CC BY
47
УДК 519.7
О ЛИНЕЙНОЙ СЛОЖНОСТИ ОБОБЩЕННЫХ ЦИКЛОТОМИЧЕСКИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ДИНГА-ХЕЛЛЕСЕТА
В.А.Едемский
ON THE LINEAR COMPLEXITY OF DING-HELLESETH GENERALIZED CYCLOTOMIC SEQUENCES
V.A.Edemskii
Институт электронных и информационных систем НовГУ, Vladimir.Edemsky@novsu.ru
Определены достаточные условия существования обобщенных циклотомических последовательностей Динга-Хеллесета с высокой линейной сложностью. Предложен метод вычисления линейной сложности рассматриваемых последовательностей.
Ключевые слова: последовательности, линейная сложность, обобщенные циклотомические классы
We defined sufficient conditions for designing Ding-Helleseth sequences with high linear complexity for generalized cyclotomies. We also discuss the method of computing the linear complexity of Ding-Helleseth sequences in the general case. Keywords: sequences, linear complexity, generalized cyclotomic classes
Введение
Линейная сложность последовательности является ее важной характеристикой [1]. Она может быть определена как длина самого короткого линейного регистра сдвига с обратной связью, который способен генерировать последовательность. «Хорошие» последовательности должны иметь линейную сложность, большую половины периода [1].
Применение классических циклотомических классов и обобщенных циклотомических классов для построения последовательностей, которые называют, соответственно, классическими циклотомическими последовательности и обобщенными циклотомическими последовательностями, является важным методом построения последовательностей [2]. В [3]
С.Динг и Т.Хеллесет ввели новую обобщенную цик-лотомию второго порядка по модулю р^ — р*, которая включает в себя классическую как частный случай, и рассмотрели методы конструирования двоичных последовательностей. Свойства этих последовательностей изучались в ряде работ. В частности, линейная сложность последовательности второго порядка исследовалась в [4-12]. Кроме этого, линейная сложность ряда двоичных последовательностей, сформированных на основе обобщенных циклотоми-ческих классов высших порядков, была вычислена для отдельных модулей (р", рд) в [10, 13-15].
Целью данной работы является нахождение достаточных условий существования обобщенных цикло-
томических последовательностей Динга-Хеллисета с высокой линейной сложностью, а также разработка метода вычисления линейной сложности упомянутых последовательностей в общем случае.
1. Основные определения и обозначения
В этом разделе кратко напомним определение обобщенных циклотомических последовательностей из [3].
Пусть п = р' ••• ре', где рр...,р( — попарно
различные нечетные простые числа, удовлетворяющие условию:
простых чисел, участвующих в разложении d . В силу (2) и (3) получаем, что
2и\{0}= у п^и
d|n, d >1 4
Пусть
C> = U nk'd) и q = U ^,dW
h,d)
0 VJ d 0
din, d>1
d|n, d >1
НОд(рe ~\рг -1), pfipj -1)) = 2 для всех i Ф J
и e1,...,e — натуральные числа.
Пусть Zn — кольцо классов вычетов по модулю n . Согласно китайской теореме об остатках
Z = Z e х...х Z e (1)
относительно изоморфизма ф(х) = (x modрЦ,...^ modре').
Здесь и далее x mod n обозначает наименьшее целое неотрицательное число, что сравнимо с x по модулю n. Хорошо известно, что всегда существует примитивный корень g. по модулю рe, i = 0,1,...,t [1]. Пусть
D,
(Pe)={g 2J
= {g. | J e Z} — подгруппа Z e , порожденная
Тогда пара {C0, C1} образует разбиение Zn, т. е.
Z = C ^ C и C n C = 0.
n 0 1 0 1
Рассмотрим двоичную последовательность sш, определяемую следующим образом [3]:
sг = J тогда и только тогда, когда J mod n e C..
Последовательность sш называется обобщенной циклотомической последовательностью Динга-Хеллисета. Отметим, что чаще всего рассматривается случай, когда ad = (0,...,0,1) [3].
2. Оценка линейной сложности обобщенных
циклотомических последовательностей
В этом разделе найдем достаточные условия существования обобщенных циклотомических последовательностей с высокой линейной сложностью.
Обозначим через g единственное решение следующего набора сравнений:
2 ( pei) ( pei) gi , и Dj г = gi D0 , здесь умножение выполняется
в кольце Z
i = 1,2,...,t.
g = gi (mod p/), i = 1,2,...,t.
Zm (d)
a ' — нечетное число, то
k=1 k
gD(ad,d) = d Ц d)
для J = 0,1. Здесь действия выполняются в Zd.
Доказательство. Пусть d = р'1 ... р1" , где
J1 Jm
^ikak = 0 I I(a,n) = (z )t \I(a,n) Jk e {1,2,...,t}, k = 1,2,...,m и целые числа lk удовлетворяют системе неравенств 1 < lk < e. ,k = 1,2,...,m .
k Jk
Пусть a = (ap...,at) — ненулевой вектор, принадлежащий (Z 2 )t и
I0a,n)= ) e(Z2)
k=1
По определению, положим [3]
Е(«■")= П р1) х ...х Р'' 1 1 1 г1 )е1 ^
ВМ= ф-1^Е (а'п) ), 1 = 0,1. Из определения следует, что
2* = ф,п) и д(а,п), ф,п) п д(а,п) = 0. п 0 1 ' 0 1
Очевидно, что существует элемент Ь е 2*, та-
По определению D(a<i, d) и g , получаем, что
ф| gD
к, d')) =
Т-Г (р'1 ) (р1" )
П gJ-Dj*'х...хg. DjJm>,
Л. Л. , ч -"1 ./1 J" Jm
j )eI(ad,d)
(2)
где ф(х) = (x mod р1-,...,xmod рт ) или
^ J1 Jm'
ф№" 71 = П # ...х
h, d )) =
кой что D(a,n) = ¿D0a,n). Тогда D0a,n) и D,(a"" назы-
^,(a,n) ■^0
4(a,n)
(J1,-, Jm)eI0
ваются обобщенными циклотомическими классами 2-го порядка по отношению к a и n. Далее, считаем,
Тогда ^(J + 1)akd) = zm=ad) для
что если J > 1, то D(a,n) совпадает с D( mod 2.
-)(a, n)
Г (ad, d)
(j1,...,Jm) eI0^ , следовательно, (j1 +1,...jm +1)eI1
(ad, d)
Справедливо разбиение [3]:
n
(3)
2п\{0}= и П2**
¿|п,й >1
Если d — натуральное число и d | п , d > 1, то для каждого d зададим ненулевой вектор
ай = (а1(й),...,a^d)) е (22)т, где да — число различных
по условию леммы 1. Тогда из формулы (2) имеем D^l...хD^)e E^d,d).
Таким
образом, gD0ad, d )с D1(ad, d)
а так как их
(ad, d) = D(arf, d)
порядки равны, то gD0 ' = Л* . Утверждение gD^d, d) = л0ай, d) может быть доказано аналогично.
р
Пусть а — примитивный корень "-й степени из единицы в расширении поля GF(2). Тогда для
^ ^ т да
линейной сложности Ь последовательности 5 имеем [1]:
Ь = п - {у £(ау) = 0, V = 0,1,...," -1}|, (4) где £ (х) определяется как £ (х) = ^х' .
геС.
Для того чтобы исследовать значения £(ау), введем вспомогательный полином. Пусть £а (х) = Ух', где А — подмножество Тп. Тогда для
геЛ
любого v = 1,..., n-1 получаем, что
SC (av) + SC (av) = 0.
(5)
5 =
а; ' — нечетное число, то
к=1 к
для любого V = 1,2,...,п-1 справедливо:
£ , №) = £ , (ау).
ПЛЫ, ' Л ' "П(а Л, 'Л '
Доказательство. По лемме 1 g£)1(a'', й) = £>0*', й)
V п п(ай, Л) п „(а*, Л)
в кольце ¿., тогда -¡Л, ' = —;яи\'' ' в кольце
' й 1 й 0
2п и утверждение леммы 2 следует из определения
вспомогательного многочлена. Пусть
(1, если £(1) = 0, [0, иначе,
а так как, по определению последовательности, £ (1) = (п +1)/2, то
(1, если п = 3(mod4), [0, иначе.
Теорема 1. Предположим, что для любого целого числа й > 1, й | п , сумма ^ш-1акй) — нечетное число, тогда для линейной сложности Ь последова-
да
тельности 5 справедливо неравенство: Ь > (п +1)/2-5. Доказательство. По определению последова-
да 11
тельности 5 для всех V = 1,..., п -1 получаем:
£ (ау )= V £ , (ау)+1.
У ' пЛай, ' )\ )
5 =
d |n, d >1 d 1
Тогда по лемме 2
S(agv) = У S , (av)+1.
v ' Z-i nD'd,d)v '
din,d>1 d 0
Следовательно, S(agv) = SC (av) +1, в силу (5) полу-
Co
чаем, что S(av) + S(agv) = 1 для всех v = 1,...,n-1. Таким образом, порядок множества
|{v | S(av) = 0, v = 1,2,...,n -1}|< (n -1)/2. Из последнего неравенства по формуле (4) имеем L > (n +1)/2 - 5, что и требовалось доказать.
Следствие. Если 2 = g (mod n) в условиях теоремы 1, то L = n - 5 .
Действительно, в этом случае £ (ау) + £ 2(ау ) = 1 и £(ау) Ф 0 для всех у = 1,2,...,п -1.
Сделаем несколько замечаний к теореме 1. Когда а л = (0,...,0,1), т. е. в частном случае обобщенных цик-
лотомических последовательностей Динга-Хеллесета, условия теоремы 1 выполняются автоматически, поэтому для такого рода последовательностей приведенная в теореме 1 оценка линейной сложности всегда справедлива. Легко видеть, что это находится в согласии с уже известными результатами о линейной сложности последовательностей с периодами рп,рд [4-13]. Следует отметить, что не все последовательности, рассмотренные в [4-13], могут быть определены как 5да .
Далее, если НОДр 1(рг -1),ре--1(р. -1)) = г
для I Ф у, то, как и в [10, 13-15], для модуля р.г
можно определить обобщенные циклотомические
р)
классы Н^1 ',к = 0,1,...,г -1 порядка г. Если
=- Лр:<)=и лж1 и^!. » при
а й = (0,...,0,1) оценка линейной сложности из теоремы 1 будет справедлива и для обобщенных циклото-мических последовательностей, построенных на новых классах. Это можно показать путем замены элемента g на gг/2 в леммах 1 и 2, что согласуется с результатами [10, 13-15].
Таким образом, теорема 1 определяет достаточные условия существования обобщенных цикло-томических последовательностей с высокой линейной сложности для произвольного периода.
В следующем разделе обсудим метод вычисления линейной сложности обобщенных циклотомиче-ских последовательностей. В частности, покажем, что если среди векторов ай существует хотя бы один с четной суммой координат, то найдется такое п , для которого утверждение теоремы 1 не соответствует действительности.
3. Вычисление линейной сложности обобщенных
циклотомических последовательностей
Здесь подытожим метод вычисления линейной сложности обобщенных циклотомических последовательностей с период рд, предложенный в [16] (см. также [17]). По построению
(6)
S(av)= У S , V)+1.
V ' Z-I nD'd, d )V '
din, d>1 d 1
Исследуем слагаемые последней суммы. Если й = р1 ••• р1" , то существуют целые числа Ь.,г = 1,...,ш , такие что [1]
, п п п
Ь—Г + ... + Ь —¡- = —Г,
1 I ш I Л
р 1 р Ш Ы
где каждое число Ь.,г = 1,...,ш однозначно определяется по модулю р\ и Ь. Ф 0(тоё р.).
ъ.п/р)
Пусть Рк = а к к, к = 1,...,ш , тогда Рк —
1к „
примитивный корень рк -й степени из единицы в расширении поля GF (2) и
а = Р1 • ...• в . Обобщая теорему 1 из [16], получаем следующее утверждение.
_ 11
тогда для
■Л
у = 1,..., п -1 имеем:
Лемма 3. Если d = p1 ■ ■ ■ p1"
j1 jm
S
—DKc
,(«')=
(jr■, ОеЧ
у, гj
(¡W, d) 1
p JpL )
j1 P
... Sv
P d
( '1)
где Sp^(x)= У X.
j1 V,. Л
геГУ1 J
& \
Метод вычисления значений £. 1к (зу ) был
предложен в [8-10]. Таким образом, формула (6), лемма 3 и результаты из [10] позволяют вычислять
да
значения многочлена последовательности 5 и, следовательно, линейную сложность обобщенных цик-лотомических последовательностей. Для примера рассмотрим вариант, когда условия теоремы 1 не выполняются.
Пусть n = p1 p2
pp-
=(1,1):
тогда
(a , pp ) T pp r1r2>
¡1 1 2
= {(0,1),(1,0)}. Далее, ¡1
(a , p ) (a , p) p1 1 p2 2
= ¡/2
= {(1)}, так как, по определению, a =a =(1).
Если d = p1 p2, то P1 = a
bp?
= «ь^2 и P2 = a^1.
где
Ъ1 р1 + Ъ2 р2 = 1. Следовательно, а 1 = Р12, а 2 = Р21 . Таким образом, по лемме 3 и формуле (6) для
п = р1 р2 и а = (1,1) получаем, что
1 2 р1р2
S (av) = s0 % ^(PP + s1p1)(pv )s0 p2)(P2) +
+ Si p1)(Pip2v ) + Si p2)(P2p1v ) + 1.
(p),
(7)
Свойства полиномов S, 1 (x), j, i = 0,1 были изучены в [10].
*
Лемма 4. Если v е Z , то
S (av)
= 0 если p1 = 3 (mod 4) и p2 = 3 (mod 4), 1 в ост. случаях.
. случаях.
*
Доказательство. Если у е 2п , тогда из формулы (7) получаем, что
Л p),
Л ^),
Р Кп
P^ AV
S(av) = S^ (Pv) + Sq (P?) + Sr^'CP!2) + ^'(p1'). (8)
Рассмотрим два случая.
1. Если p1 = p2 = 3 (mod 4), тогда, согласно закону взаимности квадратичных вычетов, символы
Лежандра I — I и I — I различны. Без потери общно-
сти можем предположить, что \-1- I = 1. Таким обра-
>2 )
зом,
~<(Р Кп
Лp ),
(p)
s^X2 ) = ) и s^a^) = s-^(P2).
Подставив последние соотношения в формулу (8), получаем, что S(av) = 0 для всех v е Z*.
2. Если p1 = 1 (mod 4) или p2 = 1 (mod 4), то
— I = \ — I. В этом случае, без потери общности,
p? ) I p )
можно считать, что
S1( p1)(Pf2v ) = S p1)(Pv ) и sj p2)(Pp1v ) = sj p2)(P2). Тогда из (8) получаем, что S(av) = 1 для всех v е Z* [18,19].
Из леммы 4 следует, что утверждение теоремы
1 не имеет места при n = p1 p2 и a = (1,1).
1 2 p1p2
Воспользовавшись леммой 3, можно завершить вычисление линейной сложности последовательности
sш и показать, что если n = p,p„ и a = (1,1), то:
1 2 p1 p2
1. L = p1 + p2 -1, если p1 = 3 (mod 8) и p2 = 3 (mod 8)
2. L = p1 + (p2 -1)/2, если p1 = 3 (mod8) и p2 = 7 (mod 8)
3. L = p2 + (p1 -1)/2, если p1 = 7 (mod8) и p2 = 3 (mod 8)
4. L = (p1 + p2)/2, если p1 = 7 (mod 8) и p2 = 7 (mod 8).
Заключение
В работе определены достаточные условия существования обобщенных циклотомических последовательностей с произвольным периодом и высокой линейной сложностью. В частности, показано, что в наиболее часто рассматриваемом варианте обобщенные циклотомические последовательности обладают высокой линейной сложностью при любом периоде. Также предложен метод вычисления линейной сложности рассматриваемых последовательностей.
1. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. М.: Мир, 1988. 820 с.
2. Cusick T.W, Ding C., Renvall A. Stream Ciphers and Number Theory. Amsterdam: Elsevier, 1998. 474 р.
3. Ding C., Helleseth T. New generalized cyclotomy and its applications // Finite Fields Appl. 1998. V.4. P.140-166.
4. Ding C. Linear complexity of some generalized cyclotomic sequences. // Int. J. Algebra Comput. 1998. V.8 (4). P.431-442.
5. Park Y.H., Hong D., Chun E. On the linear complexity of some generalized cyclotomic sequences // Int. J. Algebra Comput. 2004. V.14 (4). P.431-439.
6. Bai E., Liu X. Some notes on prime-square sequences. // J. Comput. Sci. Technol. 2007. V.22 (3). P.481-486.
7. Kim Y.-J., Jin S.-Y., Song H.-Y. Linear complexity and autocorrelation of prime cube sequences // Lecture Notes in Computer Science. 2007. V.4851. P.188-197.
8. Kim Y.J., Song H.Y. Linear complexity of prime n-square sequences // IEEE International Symposium on Information Theory. Toronto, Canada. 2008. P.2405-2408.
9. Yan T., Li S., Xiao G. On the linear complexity of generalized cyclotomic sequences with the period pnm // Appl. Math. Lett. 2008. V.21. P.187-193.
10. Edemskiy V. About computation of the linear complexity of
generalized cyclotomic sequences with period p"+1 // Designs, Codes and Cryptography. 2011. V.61 (3). P.251-260.
n
m
m
и
11. Yan T., Sun R., Xiao G. Autocorrelation and linear complexity of the new generalized cyclotomic sequences. // IEICE Trans. Fund. Electron. 2007. V.E90-A. P.857-864.
12. Yan T., Chen Z., Xiao G. Linear complexity of Ding generalized cyclotomic sequences // Journal of Shanghai University. 2007. V.11(1). P.22-26.
13. Bai E, Liu X., Xiao G. Linear complexity of new generalized cyclotomic sequences of order two of length pq // IEEE Transactions on Information Theory. 2005. V.51(5). P.1849-1853.
14. Yan T., Hong L., Xiao G. The linear complexity of new generalized cyclotomic binary sequences of order four // Information Sciences. 2008. V.178(3). P.807-815.
15. Chen Z.X., Li S.Q. Some notes on generalized cyclotomic sequences of length pq // Journal of Computer Scitnce and Technology. 2008. V.23(5). P.843-850.
16. Edemskiy V., Antonova O. About Computation of the Linear Complexity of Generalized Cyclotomic Sequences with Period pq // Proc. of 2011 International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications (IWSDA'011). China. 2011. P.9-12.
17. Антонова О.В., Павлова А.В. О линейной сложности последовательностей Уитмена четвертого порядка // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2012. №№68. С.123-125.
18. Ding C., Helleseth T., Shan W. On the linear complexity of Legendre sequences // IEEE Trans. Inform. Theory. 1998. V.44. P. 1276-1278.
19. Едемский В.А. Гантмахер В.Е. Синтез двоичных и троичных последовательностей с заданными ограничениями на их характеристики. В.Новгород.: НовГУ, 2009.189 с.
Bibliography (Transliterated)
1. Lidl R., Niderraiter G. Konechnye polia. M.: Mir, 1988. 820 s.
2. Cusick T.W, Ding C., Renvall A. Stream Ciphers and Number Theory. Amsterdam: Elsevier, 1998. 474 r.
3. Ding C., Helleseth T. New generalized cyclotomy and its applications 11 Finite Fields Appl. 1998. V.4. P.140-166.
4. Ding C. Linear complexity of some generalized cyclotomic sequences. 11 Int. J. Algebra Comput. 1998. V.8 (4). P.431-442.
5. Park Y.H., Hong D., Chun E. On the linear complexity of some generalized cyclotomic sequences // Int. J. Algebra Comput. 2004. V.14 (4). P.431-439.
6. Bai E., Liu X. Some notes on prime-square sequences. // J. Comput. Sci. Technol. 2007. V.22 (3). P.481-486.
7. Kim Y.-J., Jin S.-Y., Song H.-Y. Linear complexity and autocorrelation of prime cube sequences // Lecture Notes in Computer Science. 2007. V.4851. P.188-197.
8. Kim Y.J., Song H.Y. Linear complexity of prime n-square sequences // IEEE International Symposium on Information Theory. Toronto, Canada. 2008. P.2405-2408.
9. Yan T., Li S., Xiao G. On the linear complexity of generalized cyclotomic sequences with the period p^m // Appl. Math. Lett. 2008. V.21. P.187-193.
10. Edemskiy V. About computation of the linear complexity
of generalized cyclotomic sequences with period p"+1 // Designs, Codes and Cryptography. 2011. V.61 (3). P.251-260.
11. Yan T., Sun R., Xiao G. Autocorrelation and linear complexity of the new generalized cyclotomic sequences. // IEICE Trans. Fund. Electron. 2007. V.E90-A. P.857-864.
12. Yan T., Chen Z., Xiao G. Linear complexity of Ding generalized cyclotomic sequences // Journal of Shanghai University. 2007. V.11(1). P.22-26.
13. Bai E, Liu X., Xiao G. Linear complexity of new generalized cyclotomic sequences of order two of length pq // IEEE Transactions on Information Theory. 2005. V.51(5). P.1849-1853.
14. Yan T., Hong L., Xiao G. The linear complexity of new generalized cyclotomic binary sequences of order four // Information Sciences. 2008. V.178(3). P.807-815.
15. Chen Z.X., Li S.Q. Some notes on generalized cyclotomic sequences of length pq // Journal of Computer Scitnce and Technology. 2008. V.23(5). P.843-850.
16. Edemskiy V., Antonova O. About Computation of the Linear Complexity of Generalized Cyclotomic Sequences with Period pq // Proc. of 2011 International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications (IWSDA'011). China. 2011. P.9-12.
17. Antonova O.V., Pavlova A.V. O lineinoi slozhnosti po-sledovatel'nostei Uitmena chetvertogo poriadka 11 Vestnik NovGU. Ser.: Tekhn. nauki. 2012. №68. S.123-125.
18. Ding C., Helleseth T., Shan W. On the linear complexity of Legendre sequences // IEEE Trans. Inform. Theory. 1998. V.44. P. 1276-1278.
19. Edemskii V.A. Gantmakher V.E. Sintez dvoichnykh i tro-ichnykh posledovatel'nostei s zadannymi ogranicheniiami na ikh kharakteristiki. V.Novgorod.: NovGU, 2009.189 s.
