Линейной сложности последовательностей с периодом 2 pn на основе классов квадратичных вычетов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.628.4

О ЛИНЕЙНОЙ СЛОЖНОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С ПЕРИОДОМ 2 рп НА ОСНОВЕ КЛАССОВ КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ

В.А.Едемский, О.В.Антонова

Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]

Предложен метод расчета линейной сложности и минимального многочлена двоичных последовательностей с периодом 2рп , сформированных на основе классов квадратичных вычетов. Выделены последовательности, обладающие высокой линейной сложностью.

Ключевые слова: двоичные последовательности, линейная сложность, квадратичные вычеты

We propose the method of computing the linear complexity and the minimal polynomial of the quadratic residue binary sequences of period 2pn . Also we determine the sequences with high linear complexity.

Keywords: binary sequences, linear complexity, quadratic residues

1. Введение

Линейная сложность последовательности определяется как длина самого короткого линейного регистра сдвига с обратными связями, который может воссоздать последовательность и является ее важным показателем [1]. Обратная функция регистра сдвига может быть получена, когда известно по крайней мере 2L идущих подряд значений последовательности. Таким образом, можно считать, что для «хороших» последовательностей L > N /2 (где N обозначает период последовательности) [1]. Последовательности, обладающие высокой линейной сложностью, важны для криптографических приложений [2].

В [3] был предложен метод расчета линейной сложности обобщенных циклотомических последовательностей с периодом рп. Целью этой статьи является его обобщение на последовательности с периодом 2рп, сформированные на основе классов квадратичных вычетов.

2. Основные определения

Пусть р — нечетное простое число. Хорошо известно, что всегда существует число g — общий первообразный корень по модулям рп и 2рп , где п

— натуральное число [4]. Обозначим через Н0 и G0 подгруппы, порожденные g2 , в группах 1 * „ и 1 * п

2 р р

соответственно. Если А — подмножество кольца 1 п и / е 1, то через tA и t + А будем обозначать

2 р

следующие множества: tA = {ta(mod2рп)| а е А} и t + А = ДО + a)(mod2рп) | а е А} . Аналогично, если А

— подмножество 1 п .

Пусть Н1 = gH0 и G1 = gG0, тогда

Gk ={a(modрп)|а еНк}, к _ 0,1 (1)

и справедливы разбиения

к=0

(2)

к=0

Пусть Ц _ 0'0,...Л-1) и Ц2 = (10,...,1п-1) —

векторы, координаты которых равны нулю или единице. Введем множество

п-1

С = и ркНч и 2ркНк и {0}

к=0

и рассмотрим последовательность X, определяемую следующим образом:

_(1, если i(mod2рп) е С,

1 [0 в ост. случаях.

Последовательность X является сбалансиро-ваной согласно выше приведенным определениям. Часто классы вычетов Нк, 2Нк называют обобщенными циклотомическими классами второго порядка, а X — соответтственно обобщенной циклотомической последовательностью [2].

В этой статье исследуем линейную сложность последовательности X. Отметим, что в частном случае, когда Ц _ Ь2 _ (1,...,1) и р=+3(шой8), линейная сложность последовательности X найдена в [5,6].

3. Вспомогательные леммы

Пусть £ (х) = ^ х1 — многочлен последова-

1еС

тельности X, тогда ее линейную сложность L и минимальный многочлен т(х) можно определить по следующим формулам [2]:

L = 2pn - deg

m( x) = -

НОД^ x2 pn -1, S (x) j

,2 pn

-1

НОД1 x2pn -1, S(x)

(3)

(4)

Обозначим через а примитивный корень спепени рп из единицы в расширении поля GF(2). Так как в поле характеристики два справедливо

,2 рп _Г хр

разложение х2р -1 _1хр -II , то согласно £(ау) = 1 + ЪRk,0(аv)+Rk,1(av), т. е.

5(а) = 1 + Ъ (аv) + Ъ Rkjt (аv).

к_0 к_0

Следовательно, в силу выбора I, получаем, что

= 1 + у R

формулам (3) и (4) вычисление линейной сложности и минимального многочлена последовательности X сводится к нахождению корней многочлена £ (х) в

множестве {а1,I = 0,1,...,рп -1} и определению их кратности.

Введем вспомогательные многочлены

£к,/(х)= Е х1, тк,/(х)= Е ^ Як,/(х)= Е ^

1е р Н / 1е2 р Н / 1ер G/

здесь к = 0,1,...,п -1; / _ 0,1. Индексы Н/ и G/ всегда будут рассматриваться по модулю два.

Лемма 1. Для любых значений к = 0,1,..., п -1;

/ _ 0,1 и V = 0,1,...,рп-1 справедливы соотношения:

1) £к,у (аУ ) = Як,/ (аУ);

|як/ (аУ), если р = +1(mod8), [Як,/+1(аУ), если р = +3(mod8). Доказательство. Согласно (1) имеем pkG/ ={a(mod рп )| а еркН/}, а так как ар _ 1 и £к, / (аУ )= Е аУ1, то из последней формулы и сле-

1е ркН /

дует первое утверждение.

Далее, если р = ±1(mod8), то 2 е Н и 2G/ _ ^ [4]. Как и ранее, получаем, что в этом

случае Тк,/ (аУ) = Як / (аУ). Если же р = +3(mod8), то

2 г Н0 и 2G/ _ G/+1, тогда

Тк,/ (аУ )= £ а” _ Е а” _ Як,/+:(аУ).

1е2 ркН/ 1е ркН/+1

Что и требовалось показать.

Пусть

\1к, если р = +1(той8),

2) Тк,г (а’) _■

]к _•

1 - 1к, если р = +3(mod 8)

и I = {крк Ф ] , к _ 0,1,...,п -1}.

Лемма 2. 5(а’) = 0 для V = 0,1,...,рп-1 тогда

и только тогда, когда V є

и рп

'г

к+1

кєі

Доказательство. Прежде всего заметим, что £(1) Ф 0 по определению последовательности. Согласно (2) имеем

£ (аУ ) = 1 + £ £кА (аУ) + £ Т^ (аУ),

к _0

к _0

или по лемме 1

кєі

уЯр

(5)

кєі Иєг

по определению вспомогательного многочлена.

Согласно лемме 3 из [3] для любого I = 1,..., п

сумма

ъ

Иєг *

і І1, если t _ I -1,

І0, если і ФI -1.

Из последнего соотношения по формуле (5) получаем, что если V є р г п- / , то

11, если к + / Ф п -1,

10, если к + / _ п -1.

Таким образом, 5 (а’ ) = 0 для V = 0,1,..., рп-1

ип_1_к ^ *

р г к+1, что и

кєі

доказывает лемму 2.

Для того, чтобы определить, какие из чисел а ’ являются кратными корнями многочлена 5(х), воспользуемся результатами из [3]. Определим вспомогательную последовательность Y, положив

У _■

11, если i(modрп) є Gi и... и Gi

10 в ост. случаях.

Пусть 5Г ( х) — многочлен последовательности Y. В [3] показано, что если V є р^/ , I _ 0,1,...,п -1, то

5Y (а”) = Rn-1,in_l_l (р ^+/ | +1( р -1)/2, (6)

рп-1

где в _ ар . При этом, не нарушая общности, можно считать, что Rn-1,0(P) Ф 0 [7,8].

Лемма 3. Если 5(а? ) = 0 для V є рп-1-кг* к+1 ,

к = 0,1,..., п -1, то av — кратный корень многочлена 5(х) тогда и только тогда, когда V є рп-к_1Git+1 при р = 1(тоё8) или V є рп-к -1 Gi+1 для нечетного п - к и V є рп-к -^ для четного п - к при р = -1(mod8).

Доказательство. Для выделения кратных корней многочлена 5 ( х) исследуем его производную. По определению многочлена последовательности X

п-1

имеем

5 ( х) = х 1Ъ 5и ^ ( х) . Тогда по лемме 1

I _0

п-1

получаем, что 5 ^) = а^ Ъ Rl ц ^)

или

I _0

п-к

£ (аУ) = а У£т (аУ). Воспользовавшись формулой (6), получем, что если у е рп-к-1/ , то

£' (аУ) = а-УЯп-!,1к (вgik+У ) + (п - к -1)(р -1)/2. (7)

Если р = +3(тоё8), то Яп-1,;- (ва) г {0,1}, у _ 0,1 для любого а : а Ф 0(тоё р) [7,8].

Следовательно, в этом варианте по (7) £ (аУ) Ф 0 и аУ — простой корень многочлена £(х).

Если же р ф +1(mod8), то [7,8]

[1, если a(mod р) е G0,

Я-1.аСРа) Ч0 ( /'; ° (8)

[0, если a(mod р) е 11.

Пусть р ф 1(mod 8), тогда (р -1)/ 2 ф 0(mod8)

и согласно формулам (7,8) £ (аУ) _ 0 для

у е рп-к-11/ тогда и только тогда, когда

/: g1k +у (modр) е , т. е. / ф 1к + 1(mod2).

Пусть р ф -1(mod8), тогда, как и в

предыдущем случае, получаем, что £ (аУ) _ 0 для у е рп-к-11/ тогда и только тогда, когда

[/ ф 1к + 1(mod2), если (п - к) нечетно,

[/ ф 1к (mod2), если (п - к) четно.

Последнее утверждение и завершает доказательство леммы 3.

4. Метод вычисления линейной сложности последовательности

Сформулируем теперь основной результат ста-

тьи.

Теорема 1. Пусть последовательность X определена формулой (2), тогда:

^ , х2рп -1

1) L _ 2рп -^ р (р -1) и т(х) = -

где

G( x) = П

kєI

xp -1

G( x)

если p Ф+3(mod8);

kєI

2)

L _ 2p" -1,5^ pk (p -1)

kєI

m( x) =

x2 P" -1

G(^П П (x - av)

если p ф +1(mod8).

Здесь

/k _

ik, если (n - k) четно и p ф-1(mod8), 1 - ik в ост. случаях.

Доказательство. По лемме 2 £ (аУ ) = 0 для у = 0,1,..., рп-1 тогда и только тогда, когда у е ирп-1-к1 *к+1 . Если р ф+3(mod8), то в силу

kєI

стые. Далее, когда v є p" 1 kZ* k+1 , то av является

корнем многочлена xp -1, но не является корнем

многочлена

xp -1. В этом случае

тео-

НОД(х2 р -1,5(х)) = ^ хР к -1, и утверждение

кєі Х” -1

ремы 1 при р Ф+3(тоё8) следует из формул (3) и (4).

Пусть р ф +1(mod8). В этом случае по лемме 3 число аv является кратным корнем многочлена 5 ( х) , если V є рп-к-1G/i. Следовательно, как и выше,

НОД(х2р -1,5(х)) = G(x)^ ^ (х - av). И снова

применение формул (3) и (4) завершает доказательство теоремы.

В заключение заметим, что если

п-1

р ф +3(mod 8), то по теореме 1 L > 2рп - 2 рк (р -1)

к _0

или L > рп +1. Таким образом, если р Ф+3(mod8), то любая последовательность, сформированная по правилу (2), заведомо обладает высокой линейной сложностью. Если же р ф +1(mod8), то этот же результат достигается при п -1 г I.

5. Заключение

В статье предложен метод расчета линейной сложности и минимального многочлена обобщенных циклотомических последовательностей, сформированных на основе классов квадратичных вычетов. Определены условия, при выполнении которых эти последовательности заведомо обладают высокой линейной сложностью и могут быть использованы для криптографических приложений.

леммы 3 все корни многочлена S(x) вида av про-

1. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. М.: Мир, 1988. 820 с.

2. Cusick T.W., Ding C., Renvall A. Stream Ciphers and Number Theory. Amsterdam: Elsevier, 1998. 474 р.

3. Edemskiy V. About computation of the linear complexity of

generalized cyclotomic sequences with period pn+1 // Designs, Codes and Cryptography. 2011. V.61. Issue 3. Р.251-260.

4. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987. 416 с.

5. Zhang J., Zhao C.-A., Ma X. On the Linear Complexity of Generalized Cyclotomic Binary Sequences with Length 2 p2 // IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences. 2010. E93. A1. Р.302-308.

6. Zhang J., Zhao C.-A., Ma X. Linear complexity of generalized cyclotomic binary sequences of length 2pm // Appl. Algebra Eng. Commun. Comput. 2010. V.21(2). Р.93-108.

7. Ding C., Helleseth T., Shan W. On the Linear Complexity of Legendre Sequences // IEEE Trans. Info Theory. 1998. V.IT-44. Р.1276-1278.

8. Едемский В.А. Гантмахер В.Е. Синтез двоичных и троичных последовательностей с заданными ограничениями на их характеристики. В. Новгород.: НовГУ, 2009.189 с.

£єІ vє p"-k-G

k

xp -1

и

kєI vєp"—k-1G

Bibliography (Transliterated)

1. Lidl R., Niderrajjter G. Konechnye polja. M.: Mir, 1988. 820 s.

2. Cusick T.W., Ding C., Renvall A. Stream Ciphers and Number Theory. Amsterdam: Elsevier, 1998. 474 p.

3. Edemskiy V. About computation of the linear complexity of

generalized cyclotomic sequences with period pn+1 // Designs, Codes and Cryptography. 2011. V.61. Issue 3. R.251-260.

4. Ajjerlehnd K., Rouzen M. Klassicheskoe vvedenie v sovre-mennuju teoriju chisel. M.: Mir, 1987. 416 s.

5. Zhang J., Zhao C.-A., Ma X. On the Linear Complexity of

Generalized Cyclotomic Binary Sequences with Length 2p2

// IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences. 2010. E93. A1. R.302-308.

6. Zhang J., Zhao C.-A., Ma X. Linear complexity of generalized cyclotomic binary sequences of length 2pm // Appl. Algebra Eng. Commun. Comput. 2010. V.21(2). R.93-108.

7. Ding C., Helleseth T., Shan W. On the Linear Complexity of Legendre Sequences // IEEE Trans. Info Theory. 1998. V.IT-44. R.1276-1278.

8. Edemskijj V.A. Gantmakher V.E. Sintez dvoichnykh i tro-ichnykh posledovatel'nostejj s zadannymi ogranichenijami na ikh kharakteristiki. V. Novgorod.: NovGU, 2009.189 s.