О периодических автокорреляционных и взаимно-корреляционных функциях двоичных и троичных последовательностей c периодом p ≡ 1 (mod 6) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 669.78.27

В.Е.Гантмахер, В.А.Едемский

О ПЕРИОДИЧЕСКИХ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫХ И ВЗАИМНОКОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЯХ ДВОИЧНЫХ И ТРОИЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ C ПЕРИОДОМ p = 1 (mod 6)

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

The procedure of using cyclotomic numbers for calculation values of the periodical autocorrelation and cross-correlation functions of the binary and ternary periodic sequences, which coding rules are based on using classes of residues on simple module p = 1 (mod6) is proposed. Levels of PACF and PCCF are defined through A and B values in expansion p = A2 + 3B2.

Введение

Теория спектров разностей классов вычетов по простому модулю (СРКВ) [1,2] является универсальным математическим аппаратом, позволяющим осуществлять синтез двоичных (ДП), троичных последовательностей (ТП) и их ансамблей. Одним из недостатков применения данной теории для указанных выше целей является сложность анализа таблицы СРКВ, зависящей от большого числа переменных.

В данной статье изучаются периодические автокорреляционные функции (ПАКФ) и периодические взаимно-корреляционные функции (ПВКФ) ДП и ТП с периодом p = 1 + 6R , правила кодирования (ПК) которых основаны на использовании классов вычетов по модулю p. Среди таких последовательностей наиболее известны последовательности Холла с

периодом p = Л2 + 27 и одноуровневой ПАКФ, обладающие относительно редкой сеткой

периодов. Для уплотнения сетки периодов полезно исследовать ДП с квазиодноуровневой ПАКФ и синтезировать регулярные ПК для этого случая.

Кроме того, в [2] были найдены необходимые условия существования пары ДП с одноуровневой, квазиодноуровневой ПВКФ для периода p = 1 + 6R. Вопрос о достаточности данных условий не был решен.

Цель данной работы заключается в совершенствовании методов анализа и синтеза ДП и ТП на основе СРКВ за счет применения циклотомических чисел [3]. Использование циклотомических чисел создает предпосылки для нахождения не только необходимых, но и достаточных условий для существования последовательностей с заданными рельефами ПАКФ и ПВКФ. Работа продолжает исследования авторов, начатые в [3].

Пусть p = 1 + 6R — простое число и p > 13 . В [3] были изучены ПАКФ ДП и ТП для нечетного R . Здесь рассмотрим случай четного R . В [2] показано, что изучение ПАКФ сводится к исследованию СРКВ S (0, i).

Значения si j (S(0,i) = {sij }) совпадают с циклотомическими числами (j,i) порядка

6. С учетом свойств СРКВ и циклотомических чисел [4] получаем следующие соотношения для четного R :

S(0,0) = ((0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (0,5)),

S(0,1) = ((0,1), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,2)),

S(0,2) = ((0,2), (1,2), (0,4), (1,4), (2,4), (1,3)), ( )

S (0,3) = ((0,3), (1,3), (1,4), (0,3), (1,3), (1,4)).

Введем некоторые обозначения.

Если p = 1mod6, то p = A2 + 3B2. Согласно [5] это представление единственно с точностью до знака A и B . Можно показать, что A = 1 + 3t. Обозначим через т наименьший положительный вычет ind@ 2 по модулю 3. Тогда B = -m (mod3). Циклотомические числа шестого порядка для четного R приведены в табл.1 [6].

Таблица 1

т и 0 т = 1 т = 2

36(0,0) p-17 - 20A p -17 - 8 A + 6 B p -17 - 8A - 6B

36(0,1) p - 5 + 4 A + 18 B p - 5 + 4 A + 12 B p - 5 + 4 A + 6 B

36(0,2) p - 5 + 4 A + 6 B p - 5 + 4 A - 6 B p - 5 - 8 A

36(0,3) p - 5 + 4 A p - 5 + 4 A - 6 B p - 5 + 4 A + 6 B

36(0,4) p - 5 + 4 A - 6 B p - 5 - 8 A p - 5 + 4 A + 6 B

36(0,5) p - 5 + 4 A - 18B p - 5 + 4 A - 6 B p - 5 + 4A - 12B

36(1,2) p +1 - 2 A p +1 - 2 A - 6B p +1 - 2 A + 6B

36(1,3) p +1 - 2 A p +1 - 2 A - 6B p +1 - 2A - 12B

36(1,4) p +1 - 2 A p +1 - 2 A + 12B p +1 - 2 A + 6B

36(2,4) p +1 - 2 A p +1 +10 A + 6B p +1 +10 A - 6 B

Значения боковых лепестков (БЛ) ПАКФ ДП и ТП определяются по изложенной в [3] методике. Выделим наиболее интересные результаты.

ДП и ТП на основе трех классов

Пусть ДП X сформирована по ПК

Г1, если i е Hk, Н,, Hn,

Ux О' Нп (2)

[0 в ост. случаях.

Всего возможно 20 вариантов упорядоченных троек индексов (к, I, и), которые, с учетом циклических сдвигов можно разбить на четыре множества:

10 ={(0,2,4), (1,3,5)};

11 = {(0,1,2), (1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (0,4,5), (0,1,5)};

12 = {(0,1,3), (1,2,4), (2,3,5), (0,3,4), (1,4,5), (0,2,5)};

13 = {(0,1,4), (1,2,5), (0,2,3), (1,3,4), (2,4,5), (0,3,5)}.

Рельефы БЛ ПАКФ для «троек» из одного множества будут отличаться только циклическим сдвигом.

Согласно [3] необходимо исследовать только два варианта: (0,1,2) и (0,1,3). Обозначим через у1,у2,... неупорядоченные уровни БЛ ПАКФ и ПВКФ дискретно-

кодированных последовательностей (ДКП), а через X 0, 1Ь... — упорядоченные по возрастанию БЛ ПАКФ ДП. Как и в [2], ДХг- = 11 - X 0 и Д£ = шахДХ 1. Пусть у = —, где Я0 — чис-

К0

ло ненулевых символов на периоде.

Лемма 1. Если (к, I, и) = (0,1,2), то ПАКФ ДП X, соответствующей ПК (2), задается

следующей таблицей 2.

_____________________________________________________________Таблица 2

(0,1,2) т = 0 т = 1 т II 2

36^ 9р - 45 + 24В 9р - 45 9 р - 45 -12 А +12 В

36У2 9р - 45 9 р - 45 +12 А + 12В 9р - 45 +12 А -12В

36^3 9р - 45 - 24В 9р - 45 -12 А -12В 9р - 45

36у4 9р - 9 + 24В 9 р - 9 9 р - 9 -12А + 12В

36у5 9 р - 9 9 р - 9 +12А + 12В 9 р - 9 +12А - 12В

36У6 9р - 9 - 24В 9р - 9 -12А-12В 9 р - 9

Доказательство. В этом случае согласно [2]

Xх (т) » £(0,0) + ВБ(0,0) + В2£(0,0) + £(0,1) + В3Б(0,1) +

+ Б(0,2) + В3 Б (0,2) + в(б (0,1) + В3 Б (0,1)) . Воспользовавшись (1) и табл.1, получаем табл.2.

Из анализа табл.2 получаем следующую теорему.

Теорема 1. Если Я четно и (к,I,п)е/х, то ДП X с периодом р = А2 + 108м2 и весом р—1 имеет ПАКФ X Х (т) = IР—5 ± 4м, Р—5, Р—1 ± 8м 1, т = 1, р -1, относительно ПК 2 ХК* [ 4 4 4 1

(2), пик-фактор р/ « 2.

16|м|

Для малых значений м ПАКФ будет близка к одноуровневой I у =

I Р-11

Из табл.2 ясно, что для т = 1,2 при поиске ДП с квазиодноуровневой ПАКФ наиболее интересен случай, когда А + В = ±3.

Теорема 2. Если (к, I, п)е 11, то ДП X с периодом р = 13 - 60м + 144м2 или р = 49 + 156м + 144м2 и весом 3Я = 6 - 15м + 72м2 или 3Я = 24 + 78м + 72м2 имеет четырех-

36м - 15м +1,

уровневую ПАКФ Х(т) = {X0, X0 +1, X0 + 2, Х0 + 3}, т = 1, р -1, с X0 (т) = I ’ или

[36м2 + 39м +10

р - 9

X0 = —4—, относительно ПК (2) и пик-фактор р/ « 2.

Доказательство. Так как р = 13-60м + 144м2, то А = 1 + 6м и В = 2-6м для т = 1

или В = 6м - 2 для т = 2. Подставляя данные значения в табл.2, получаем утверждение

теоремы.

Таким образом, при больших значениях р ПАКФ данной последовательности близ-

й ( 6

ка к одноуровневой I у =----

^ р-1^

Рассмотрим ТП 2, сформированную по ПК

а если I е н, Нк, нп,

и2 (0 = 10, если I = 0, (3)

[-1 в ост. случаях.

Известно [7], что

X 2 (т) = 4Х х (т) - р + 2 + Д(0),

12, если I е {к, I, п},

гДе А(0) = 1 .

[- 2 в ост. случаях.

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 3. Если (к, I, п)е /ь то для ТП 2 с периодом р = 13 - 60и + 144и2 или

р = 49 + 156и + 144и2 значения ПАКФ X2(т) принадлежат множеству {-5,-1,3}, относительно ПК (3).

Первые значения р, удовлетворяющие условиям теоремы: р = 37,97,313,349,709,877,937,1129,1489,...., показывают, что рассматриваемые ДП и ТП имеют достаточно плотную сетку периодов.

Лемма 2. Если (к, I, п) = (0,1,3), то ПАКФ ДП X, соответствующей ПК (2), определяется следующей таблицей 3.

Таблица 3

(0,1,3) 0 = £ т = 1 т = 2

36^ 9р - 45 +185 9р - 45 +12А - 65 9р - 45 +12А -125

36^2 9р - 45 -125 9р - 45 -185 9р - 9 -12А - 425

3^ 9р - 9 + 65 9 р - 9 9р - 9 -12А + 305

36у4 9р - 45 - 65 9р - 45 -12А - 305 9р - 45

36у5 9р - 45 +125 9р - 9 -12А + 425 9 р - 9 +185

36У6 9р - 45 -185 9р - 45 +12А +125 9р - 45 +12А + 65

Лемма 2 доказывается аналогично лемме 1.

Из анализа табл.3 получаем следующую теорему.

Теорема 4. Если Я четно и (к,I,п)е 12, то ДП X с периодом р = А2 + 108и2 и ве-

и|, т = 1, р-1, относительно ПК (2), пик-фактор р/ » 2.

Для малых значений и ПАКФ будет близка к одноуровневой [ у = 13!^. |. в [8] оши-

I р - и

бочно полагают, что здесь возможны два уровня.

ПВКФ ДП, синтезированных на основе одного класса вычетов

Исследуем ПВКФ пары ДП X, У сформированных по ПК

11, если I е Нк, и (/) = ] (4)

[ 0, если I £ Нк.

Если ДП X и У сформированы по ПК (4) и |к -/| = 1,2,3, то БЛ ПВКФ гх У (т) с точностью до циклического сдвига совпадают со значениями Б(0,1), Б(0,2), Б(0,3).

Теорема 5. Если ДП X и У сформированы по ПК (4), то ПВКФ гх У (т) имеет один

уровень тогда и только тогда, когда р = 1 + 108и2 и |к-/| = 3. В последнем случае

rXY (т) = р—1 = 3и 2.

X ,м' 36

сом Р-1 имеет ПАКФ X;,(тИ^-5±3и, ^±2и, ^ + и, ^-2 I 4 4 ’44

Теорема 5 получается из анализа табл.2.

Теорема 6. Если ДП X и У сформированы по ПК (4), то ПВКФ rх У (т) имеет два уровня тогда и только тогда, когда период р определяется одной из следующих формул:

1) р = 1 + 36и + 432и 2, р = 13 + 72и + 108и 2, |к -/| = 1,

2) р = 1 + 12и + 144и 2, |к -/| = 2,

3) р = 61 + 324и + 432и , р = 13 + 72и + 108и , |к — /| = 3,

4) р = А2 + 108и2, А ф 1, |к - /| = 3.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда |к -/| = 1. В этом случае согласно табл.1 и формуле (1) если т = 0, то два уровня возможны тогда и только тогда, когда А = 1 ± 35, а

если же т = 1,2, то А = 1. Отсюда и получаем требуемые соотношения для р с учетом чет-

ности Я . Другие три случая получаются аналогично.

Следствие 6.1. ДП X и У с периодом р = 1 + 36и + 432и2 или р = 13 + 72и + 108и2 и

весом

Я = 6и + 72и rXY (т) = {и2,12и2 + 6и}

или Я = 2 + 12и + 18и имеют

ДБ = 6| и|,

1

т = 1, р-1,

rXY(т) = {и2 + и,3и2 + 4и +1}, т = 1,р-1, ДБ = |3и +1, у =

двухуровневую

1

у =

ПВКФ

или

2|3и +1|

|12и +1| относительно ПК (4) для

|к -/| = 1.

Следствие 6.2. ДП X и У с периодом р = 1 + 12и + 144и 2 и весом Я = 6и + 24и2 имеют двухуровневую ПВКФ rх У (т) = {4и2, 4и2 + 2и! т = 1, р -1, ДБ = 2|и|, у = —1—, от’ 3|4и +1|

носительно ПК (4) для |к -/| = 2.

Следствие 6.3. ДП X и У с периодом р = 61 + 324и + 432и2 или р = 13 + 72и + 108и 2

22 и весом Я = 10 + 54и + 72и или Я = 2 + 12и + 18и имеют двухуровневую ПВКФ

гху (т) = {и2 +7и +1, 12и2 + 10и + 2}, т = 1, р-1, ДБ = |3и +1|, у =-1-,

’ 2|12и + 5|

гху (т) = {3и2 + и,3и2 + 4и +1}, т = 1,р-1, ДБ = |3и +1, у =

или

2|3и +1|

относительно ПК (4)

для |к -/| = 3.

Следствие 6.4. ДП X и У с периодом р = А2 + 108и2, А ф 1, и весом Я имеют

двухуровневую ПВКФ гх у (т) = —5 + 4А, р + \ ^ 2А \, т = 1, р -1, ДБ =

|А -1 „ = А-1

36 36 У " ' 6 р - Г

относительно ПК (4) для |к -1 = 3.

В качестве примера приведем результаты расчета параметров р, Я, X 0, ДБ, у для пары ДП с двухуровневой ПВКФ для периода р, определяемого первой формулой в теореме 6.

Таблица 4

и -1 -2 2 4 1 -3 3 -4 4 -6 -7

р 397 1657 1801 7057 193 769 1201 1453 2029 3469 4801

Я 66 276 300 1176 32 128 200 242 338 578 700

X 0 6 36 48 192 4 19 30 37 52 91 127

AS 6 12 12 48 4 8 10 11 13 17 20

Y 0,09 0,043 0,04 0,02 0,09 0,04 0,035 0,03 0,027 0,02 0,019

Приведенный пример показывает, что рассматриваемые ДП и ТП имеют достаточно плотную сетку периодов.

Теоремы 5-6 являются обобщением утверждения 6.4.5 из [2], так как не содержат ограничений на А, 5, |к -11.

Заключение

Таким образом, предложенная в работе методика синтеза и анализа ДКП с использованием СРКВ и циклотомических чисел позволила:

1) выразить все гармоники таблицы СРКВ через две переменные, последнее существенно упрощает анализ таблицы;

2) определить уровни боковых лепестков ПАКФ и ПВКФ и свести анализ ПАКФ и ПВКФ ДКП к анализу разложения их периода, если ДП или ТП формируются по рассмотренным выше правилам кодирования;

3) упростить методику синтеза ДКП с помощью СРКВ, изложенную в [2].

В результате применения циклотомических чисел были найдены:

1) параметры р, Я, X 0, ДБ, у ДП с квазиодноуровневой ПАКФ с периодом р = 6 Я +1, весом 3Я, пик-фактором р/ = 2 и ДБ = 3;

2) необходимые и достаточные условия одноуровневости и двухуровневности БЛ ПВКФ для пары ДП с периодом р = 6Я +1, весом Я, формируемых на основе одного класса вычетов по модулю р.

1. Гантмахер В.Е // Вестник НовГУ. Сер.: Естеств. и техн. науки. 1995. №1. С.81-87.

2. Гантмахер В.Е., Быстров Н.Е., Чеботарев Д.В. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка. СПб.: Наука и техника, 2005. 400 с.

3. Гантмахер В.Е., Едемский В.А. // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2005. №30. С.52-57.

4. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970. 423 с.

5. Михелович Ш.Х. Теория чисел. М., 1967. 336 с.

6. Whiteman A.L // Acta arithmetica. 1960. №6. Р.53-76.

7. Винокуров В.И, Гантмахер В.Е. Дискретно-кодированные последовательности. Ростов н/Д., 1990. 293 с.

8. Ding C., Helleseth T., and Lam K.Y. // IEEE Trans. Inform. Theory. Nov. 1999. Vol. 45. P.2601-2606.