О бинарных последовательностях с периодами 2p и 4p на основе классов биквадратичных вычетов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391

О БИНАРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ С ПЕРИОДАМИ 2р И 4р НА ОСНОВЕ КЛАССОВ

БИКВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ

И.С.Вагунин, В.А.Едемский

Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]

Рассчитаны параметры ряда бинарных последовательностей с периодами 2р, 4р и близкой к идеальной периодической автокорреляционной или взаимно корреляционной функцией. Последовательности формируются на основе классов биквадратичных вычетов.

Ключевые слова: бинарные последовательности, классы биквадратичных вычетов, корреляционные функции

Parameters of series of binary sequences with the periods 2р, 4р and close-to- perfect autocorrelation or crosscorelation function are calculated. The sequences are formed on the basis of biquadratic residue classes.

Keywords: binary sequences, biquadratic residue classes, corelation function

1. Введение

Периодические бинарные последовательности (БП) zi = {±1} широко применяются в различных областях, например в системах связи, радиолокации и гидролокации [1,2]. Одной из важных характеристик БП Ъ является ее периодическая автокорреляционная

і=N-1

функция (ПАКФ) XZ (т) = ^ zizi+т , здесь N — пе-

і =0

риод БП. Хорошо известны БП, соответствующие разностным множествам и обладающие одноуровневой ПАКФ [1,2]. Существенный недостаток таких БП заключается в том, что число известных разностных множеств ограничено [2,3]. В [4,5] была предложена методика анализа и синтеза дискретно-кодированных последовательностей, сформированных на основе

классов степенных вычетов по простому модулю, с заданными ограничениями на совокупность характеристик. По этой методике в [6] были синтезированы бинарные последовательности с периодом 2p и ква-зиидеальной (близкой к идеальной) ПАКФ. Цель настоящей статьи заключается в синтезе БП с квазииде-альной ПАКФ, а так же пар БП с квазиидеальной периодической взаимно корреляционной функцией (ПВКФ). Последовательности будут формироваться с использованием классов биквадратичных вычетов по правилу кодирования, отличному от использованного

в [6].

Такие последовательности могут быть использованы в радиотехнических системах связи и передачи информации, радионавигации с шумоподобными сигналами, фазовой или амплитудно-фазовой манипуляцией и корреляционной обработкой сигналов.

/б

2. Формирование БП

Рассмотрим БП 1 с периодом 2N, сформированную на основе двух БП X = (х;-}, У = {у у} периода N по правилу кодирования (ПК)

zi =

если i = 2 j,

(1)

[у, если I = 2у +1, здесь /', } — целые числа. Согласно [5], для ПАКФ БП 1 имеем

\Хх (п) + Ху (п), еслит = 2п,

1 (т) |гх у (п) + гу х (п +1), если т = 2п +1, (2)

где Хх (п), Ху (п), гху (п), гу,х (п) — соответственно ПАКФ и ПВКФ пары БП X, У . Аналогично, если пара БП 11 и 12 сформирована по ПК (1) для последовательностей Х1, У и Х2, У2, то для ПВКФ пары последовательностей справедливо соотношение \ГХ1,X2 (п) + Гу1,у2 (п), если т = 2п,

'гг(т) = \ 2 2 (3)

', 2 1ГХ1 ,у2 (п) + у,х2 (п +1), если т = 2п +1.

Таким образом, предложенное ПК формирует БП с периодом 2N, ПАКФ которых, а также ПВКФ пары БП определяются ПАКФ и ПВКФ БП периода N, что позволяет использовать для синтеза БП результаты, полученные ранее. В частности, результаты анализа и синтеза БП с простым периодом р, сформированных на основе классов биквадратичных вычетов [5].

В следующих разделах рассмотрим задачу синтеза уравновешенных бинарных последовательностей с периодами 2р и 4р на основе классов би-квадратичных вычетов с квазиидеальной ПАКФ, т.е. с тах |Х2 (т)| < Хтах , а также пар БП периода 2р и

т=1^-1

ПВКФ: та^к,12 (т)|< Гтах , где Х тах , Гтах — за-

т=0,2 р-1 1 2 1

данные пороговые числа. Предварительно рассмотрим необходимые условия существования БП с ква-зиидеальной ПАКФ.

3. Необходимые условия существования БП с квазиидеальной ПАКФ на основе классов биквадратичных вычетов

Пусть р = 4Я +1, где Я — натуральное число и 0 — первообразный корень по модулю р. Обозна-

чим через Нк = (0к+Л, V = 0, Я -1} — класс степенных вычетов с номером к, к = 0,3 .

Рассмотрим пару БП X,У, сформированных по обобщенному ПК [1]

Ux (j) =

Uy (j) =

1, если j є Hm, m є Ix,

- 1 в ост. случаях;

1, если j є H m , m є IY , j = О,

- 1 в ост. случаях.

(4)

Здесь 1х , 1у — подмножества индексов, т = 0,3 .

ПАКФ и ПВКФ БП х,У, сформированных по ПК (4), однозначно определяются таблицей спектров

разностей классов биквадратичных вычетов (СРКВ) £(0, Д), где Д = 0,3 , в частности, значения ПАКФ и ПВКФ БП будут постоянны на классах биквадратичных вычетов [2].

Лемма 1. Если р > 41, то для любых к, I = 0,3

всегда существует t = 1, p -1 такое, что t принадлежат классу биквадратичных вычетов с номером k , а (t +1) — с номером l.

Доказательство. В [5] показано, что для четного R справедливо равенство

16ЯР,О) = (p-11- 6x, p-З+2x+8y, p-З+2x, p-З+2x-8y), а для нечетного R

16S(О,О) = (p -1 + 2x, p - З - 2x, p -1 + 2x, p - З - 2x),

22

где p = x + 4y , x = 1(mod 4), x, y — целые числа.

Таким образом, если p > 41 , то из представления СРГО следует, что все гармоники S(О,О), а значит и S (l, l) отличны от нуля. По определению СР^ S(l, l) существует q є Ht такое, что (q -1) є Hk, тогда t = q -1[2]. Лемма доказана.

Лемма 2. Если p > 41, то для ПАKФ БП Z , сформированной по ПK (1), имеем max|ХZ (т)| >

Т

> 2max|rXY (n)|.

п^О 1

= rx

Доказательство. Еслит = 2n +1, то ХZ(т) =

, (n) + rY x (n +1) по формуле (2), причем ПBKФ (n), rY,x (n) постоянны на классах биквадратич-

ных вычетов [2]. Таким образом, если max rX Y (n)

n*0 1 ’ 1

достигается на k-м классе, а maxirY X (n)| — на l-м

n*0 1 ’ 1

классе, то по лемме 1 для p > 41 найдется n такое, что rX Y (n) = rY X (n +1). Тогда Xz (t) = 2rX Y (n), что и доказывает лемму 2.

Согласно лемме 2, если max |/.Z (т)| < Х

то

т=1,2 p-1

max |rX,y (n)| < Xmax T=1,p-1

Таким образом, если БП Z, сформированная по ПК (1), обладает квазиидеальной ПАКФ, то пара БП X, Y обладает квазиидеальной ПВКФ. Более того, так как XZ (1) = rX Y (0) + rY X (1), то и значение rX Y (0)

должно быть мало. ПВКФ пар БП, сформированных по правилу (4), были вычислены в [5]. Согласно полученным результатам регулярное ПК пар БП на основе классов биквадратичных вычетов с малыми значениями ПВКФ для т = 0, p -1, существует, с точностью до циклического сдвига и перестановки, в единственном варианте, когда IX = {0,1}, IY = {1,2}. Исследуем БП для таких IX, IY в следующем разделе.

4. Синтез уравновешенных БП с периодом 2р и квазиидеальной ПАКФ или ПВКФ

Если IX = {0,1}, то справедливы следующие взаимно однозначные соответствия [5]:

max

для четного R

Xx(n) О (-3 + 2у~з - 2y,] + 2y,] - 2yX

(5)

для нечетного R

(знак О означает, что если (т)P e H f, то XX (т)

совпадает с f-й гармоникой СРКВ [2]).

ПВКФ пары БП X, Y была найдена в [5] при у0 =-1. Учитывая, что изменение знака у0 равносильно добавлению Д(0) = 2xp-T к значениям ПВКФ rX Y (n) и Д(0) = 2xT к значениям ПВКФ rY X (n), получаем из [5] следующие соответствия: для четного R

rX Y (n) О (2 + x,-x, x - 2,-x), rXY (0) = -1, (7)

для нечетного R

rX Y (n) О (-x,-2 + x,-x,2 + x), rX Y (0) = -1. (8)

Теорема 1. Если БП X, Y сконструированы по ПК (4) при IX = {0,1}, IY = {1,2}, то для ПАКФ БП Z , сформированной по ПК (1), max|XZ (т)| < 4 + 2|x|, т = 1,2 p -1.

Доказательство. Если т = 2n , то по формуле (2) справедливо равенство XZ (т) = XX (n) + XY (n). Из свойств СРКВ следует, что формулы (5) и (6) будут справедливы для ПАКФ БП Y при циклическом сдвиге в правой части элементов матрицы на единицу. После суммирования получаем, что XZ (т) = -2, т * 0, если R нечетное, и XZ (т) = ±2, - 6, т * 0, если R четное.

Если же т = 2n +1, то по (2) имеем XZ (т) = rX,Y (n) + rY,X (n +1), тогда из формул (7) и (8) следует, что значения ПАКФ X Z (т) e e {1 + x,±2,±2x,-2x ± 4} для четного R и XZ (т) e

є {-1 - x,±2,±2x,-2x ± 4} для нечетного R, т = 1,2p -1. Таким образом, max |XZ (т)| < 4 + 2|x|, и теорема до-

т=1,2 p-I

казана.

Согласно лемме 2, если p > 41 , то max |XZ (т)| = 4 + 2|x. Таким образом, при p > 41

т=1,2 p-1

наименьшее возможное значение бокового лепестка ПАKФ БП в условиях теоремы 1 равно шести, т. е. рельеф ПАKФ при p = 1 + 4y несколько отличается от оптимального при N = 2(mod4)(X Z (т) = {± 2}, т = 1,2 p -l)

[1], но несущественно.

Теорема 1 задает достаточные условия синтеза уравновешенных БП с ПАKФ, близкой к оптимальной, БП Z будет удовлетворять заданным ограничениям при p = x2 + 4 y2, 4 + 2| x| < X max .

Аналогично можно сконструировать и пары БП с квазиидеальной ПBKФ, о чем свидетельствует следующая теорема.

Теорема 2. Если пары БП XI, YI и X2, ї2 определены ПK (2) при IXj = (0,1}, IYj = (2,З} и

Ix2 = (1,2}, IY2 = (0,З}, то для ПBKФ пары БП ZI, Z2, сформированных по ПK (1), max|г^2(т)| < 4 + 2|x,

Xx (n) О (-1 - 2y,-1 + 2y,-1 - 2y,-1 + 2y), (6) т = 0,2p -1.

Доказательство. Согласно формуле (3) ПВКФ пары БП 11, 12 определяется ПВКФ

Гх1,х2 (п), Гу1 ,у2 (п), Гх1 ,у2 (п), у х2 (п + 1^ значенИЯ

которых при п Ф 0(п +1 Ф р) определены формулами

(7,8), а при п = 0 равны ± 1. Рассматривая все возможные комбинации слагаемых, после суммирования получаем, что заведомо г1 1 (т) е

е {±2, ± (х +1), ± (х - 3), ± 2х, ± 2х ± 4} при т = 0,2р -1.

Из последнего соотношения и следует утверждение теоремы 2.

Теорема 2 определяет достаточные условия существования пар БП с квазиидеальной ПВКФ. Если 4 + 2|X < гтах , то пара уравновешенных БП с периодом 2 р, р = х2 + 4 у2 удовлетворяет заданному ограничению.

5. Синтез БП с периодом 4р и квазиидеальной ПАКФ

Рассмотрим еще один пример синтеза БП с квазиидеальной ПАКФ, также с использованием классов биквадратичных вычетов. В [7] исследованы ПАКФ БП, сформированных по ПК

Г1, если ] е (н0,0 и Нол и Ню и яи ) , их(] ) = [ , (9)

[-1 в ост. случаях,

где Н],к = { а\а =1,2р -1, (а)2 = ], {а)р е Нк }, {а)р

— наименьший положительный вычет натурального числа а по модулю р, ] = 0,1, к = 0,3, при этом Н],к = {]} х Нк.

Рассмотрим еще одну БП У , сформированную по ПК, аналогичному правилу (9):

|1, если ] е (Н 0,1 и Н0,2 ^ Н1,0 и НЦ )^

[-1 в ост. случаях, и исследуем ПВКФ пары БП х, У .

Лемма 3. Если пара БП х, У формируется по ПК (9,10), то рельеф ее ПВКФ равен гх У (п) = {±2, ± 2 ± 4у} , т = 0,2р -1 .

Доказательство. В [5] показано, что ПВКФ пары БП х, У равна

[Гх1 ,у1 ((^р )+гх2,у2 (<т>р ), если т = 2n,

[гх1,У2 (т>р )+гх2У (т>р X если т = 2п +1 Здесь /х1 = {0,1}, 1х2 = {0,3} и У = {1,2}, 1^ = {0,1}.

Таким образом, гх У (0) = 2, а при т Ф 0 ПВКФ тх^х2 ((т) ) определена формулами (7), (8), которые

при циклическом сдвиге в правой части элементов матрицы на единицу будут справедливы и для ПВКФ гх2 У2 ((т) ). После суммирования получаем, что

гх У (т) = ±2, т = 2п .

Uy (j) =

(10)

(т) =

ПВКФ пары последовательностей X1, Y2 совпадает с ПАКФ БП, сформированной по ПК (4) при Ix = {0,1} и задается формулами (5,6). Согласно [5] для ПВКФ пары БП X2, Y1 будут справедливы следующие взаимно однозначные соответствия: для четного R

XX (<т) p ) О (1 + 2у,-1 - 2y,1 + 2y,1 - 2y), (11)

для нечетного R

Xx (<т)p ) О (3 - 2у,-1 + 2у,-1 - 2у,3 + 2у). (12)

После суммирования по формулам (5,6,11,12) получаем, что rX Y (т) = ±2 ± 4у, т = 2n +1, т * p;

rX y ( p) = 2. Лемма доказана.

Теорема 3. Если пара БП X, Y сконструирована по ПК (9,10), то для ПАКФ БП Z сформированной по ПК (1), max|XZ (т)| < 4 + 8у|, т = 1,4p -1.

Доказательство. Автокорреляционные функции двоичных последовательностей, соответствующих рассматриваемым БП, были рассчитаны в

[5,7,8]. Откуда и следует, что при нечетном R ПАКФ XX (т) О (2x,-2x,2x,-2x}, если т = 2n +1, т * p, XX (т) = -2 при т = 2n и XX (p) = 2 , а при четном R XY (т) о (-2x,2x,-2x,2x}, т = 2n +1, т * p ; XY (т) О (-6,-2,2,-2}, т = 2n; XY (p) = 2 . Суммируя по формуле (2), получаем, что XZ (т) = {0,±4}, т = 2n , если R нечетное, и XZ (т) = {-8,0,4}, т = 2n, если R четное. Если же т = 2n +1, то из (3) и леммы 3 следует, что max|XZ (т)| < 4 + 8у|, что и доказывает теорему 3.

Теорема 3 определяет достаточные условия синтеза БП с периодом 4 p и квазиидеальной ПАКФ,

БП будет удовлетворять заданным ограничениям при

p = x2 + 4у^ 4 + 8|у| < Xmax.

6. Заключение

Синтезирован ряд новых уравновешенных бинарных последовательностей с периодом 2p и автокорреляционной или взаимно корреляционной функцией, близкой к идеальной. Определены параметры бинарных последовательностей с периодом 4 p и квазиидеальной автокорреляционной функцией. Последовательности формируются на основе классов биквадратичных вычетов.

1. Свердлик М.Б. Оптимальные дискретные сигналы. М., 1975. 200 с.

2. Гантмахер В.Е., Быстров Н.Е., Чеботарев Д.В. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка. СПб.: Наука и техника, 2005. 400 с.

3. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970. 423 с.

4. Gantmakher V.E., Edemskiy V.A. The Synthesis Methodology of Periodic Discretely Coded Sequences Formed Basing on Cyclotomic Classes with Basic Parameters Constraints // Proceedings of 2007 International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications (IWSDA’07). China, 2007. Р.4-8.

5. Едемский В.А., Гантмахер В.Е. Синтез двоичных и троичных последовательностей с заданными ограничениями на их характеристики. В.Новгород.: НовГУ, 2009. 189 с.

6. Едемский В.А., Вагунин И.С. // Физика и механика материалов: Приложение к Вестнику НовГУ. 2009. №50. С.26-29.

7. Ding C., Helleseth T., Martinsen H. // IEEE Trans. Info. Theory. Jan 2001. Vol. IT-47. Р.428-433.

8. Едемский В.А., Вагунин И.С. // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. 2008. № 6. С.147-150.