CC BY
11Теория сигналов
УДК 621.391.15
В. Е. Гантмахер, В. А. Едемский
Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого
Результаты синтеза двоичных последовательностей с квазиодноуровневой автокорреляционной функцией, формируемых на основе классов вычетов по простому модулю
Определены новые и обобщены известные правила кодирования двоичных последовательностей с квазиодноуровневой периодической автокорреляционной функцией, формируемых на основе классов вычетов по простому модулю р = (Я +1 для ( = 4, 6, 8. Для ряда семейств последовательностей определена их периодическая взаимнокорреля-ционная функция.
Двоичные последовательности, автокорреляция, циклотомические числа
Двоичные последовательности (ДП) с одноуровневой периодической автокорреляционной функцией (ПАКФ) широко применяются при решении различных радиотехнических задач. Среди ДП, правила кодирования (ПК) которых основаны на использовании классов степенных вычетов по модулю р, наиболее известны последовательности, соответствующие разностным множествам квадратичных, биквадратичных вычетов, биквад-ратичных вычетов и нуля, восьмеричных вычетов, Холла [1]. С целью увеличения числа ПК в последнее время конструируются последовательности с использованием двух ДП с постоянной ПАКФ [2], [3]. На взгляд авторов настоящей статьи, целесообразно также рассмотреть другой подход, а именно: для уплотнения сетки периодов полезно исследовать ДП с ПАКФ, близкой к одноуровневой (квазиодноуровневой), а также изучить их периодическую взаимнокорреляционную функцию (ПВКФ).
ДП с квазиодноуровневой ПАКФ, сформированные на основе классов вычетов по простому модулю, были исследованы в [1] с использованием теории спектров разности классов вычетов (СРКВ) при ряде ограничений на период и на число классов вычетов, применяемых при кодировании. Случай, когда уровни боковых лепестков (БЛ) ПАКФ отличаются на единицу, был изучен в [3], [4] на основе циклотомических чисел. В [5] были исследованы пары ДП с одноуровневой и двухуровневой ПВКФ на основе методики анализа и синтеза дискретно-кодированных последовательностей, заключающейся в комплексном использовании СРКВ и циклотомических чисел, позволяющей определять рельефы ПАКФ, сформированных на основе классов вычетов по модулю р , посредством разложения периода р .
В настоящей статье рассмотрены результаты синтеза ДП простого периода р = (Я +1, ( = 4, 6, 8 (Я - натуральное число), у которых ПАКФ близка к одноуровне-
14
© Гантмахер В. Е., Едемский В. А., 2007
вой без ограничений на период, число используемых классов и разницу между уровнями БЛ ПАКФ, а также определение ПВКФ для синтезированных последовательностей. Для исследования применялась методика, предложенная в [5].
Введем некоторые обозначения. Пусть р > 13 - простое число и классы И^ формируются на основе степенных вычетов: Ик = |бк+^, t = 0, Я -1}, к = 0, ё -1}, где 9 - первообразный корень по модулю р . СРКВ Ик и И1 обозначим через £(к,I) [1].
Рассмотрим ПК ДП, при которых каждому классу Ик ставится в соответствие число из множества {0,1}. Обозначим через у неупорядоченные уровни БЛ, а через ^о, •••, ^п - упорядоченные по возрастанию уровни БЛ ПАКФ (ПВКФ), и пусть Д£ = Хп - Х0, а у = Д£/Яо , где Яо - вес ДП. Пусть ДП X сформирована по ПК:
/ ч Г 1, ¡еИк;
их(г} = 1 0' •* Ик' (1)
I 0 Ик.
1. Число классов вычетов равно четырем. Пусть ё = 4, т. е. р = 1( шоё4). Тогда
2 2
р = х + 4у , где х = 1 + 4/, а у, / - целые числа. При определении рельефа ПАКФ знак у не имеет значения, поэтому будем считать далее, что у положителен. Четность Я совпадает с четностью у .
Использование формул для вычисления циклотомических чисел [6] позволяет определить уровни БЛ ПАКФ ДП X, сформированной по ПК (1):
• для нечетного Я
у = (р - 7 + 2 х)/16, у2 = (р - 3 - 2 х)/16; (2)
• для четного Я
у = (р-11 -6х)/16, У2 4 = (р-3 + 2х±8у)/16, У3 = (р-3 + 2х)/16 . (3)
Известно [1], что если х = 1 и Я нечетно, то ДП X имеет одноуровневую ПАКФ. Теорема 1.1. ДП X, определяемая ПК (1) для ё = 4, имеет двухуровневую ПАКФ то-
2 2
гда и только тогда, когда р = (1 + 4/) + 4 (2и +1) (и - целое число) для / ф 0. В этом случае ПАКФ (т) = {10, 10 + А£}; т = 1,7-1; М = 1/1, а Х0 =Г(и + 0 + ^ + f, / < 0;
[и(и +1) + /2, / > 0 .
Доказательство. Если XX (т) имеет два уровня и Я четно, то согласно (3) У2 = У3 или У3 = у4, так как У2 * У4. Тогда должно выполняться равенство р - 3 + 2х ± 8у = р - 3 + 2х, что невозможно, так как у ф 0. Следовательно, Я нечетно и у = 2и +1, т. е.
р = (1 + 4 / )2 + 4 (2и +1)2.
22
Справедливо и обратное утверждение, если р = (1 + 4/) + 4(2и +1) , то у = 2и +1 и Я нечетно. В этом случае, ПАКФ XX (т) имеет два уровня, которые вычисляются подстановкой х = 1 + 4/ и у = 2и +1 в (2).
Следствие 1.1. Если х фиксирован, то в условиях теоремы 1.1 с ростом р параметр у убывает пропорционально 1/р . С увеличением р ПАКФ ДП стремится к одноуровневой.
Теорема 1.1 обобщает утверждения 6.3.3-6.3.6 из [1], в которых, в отличие от нее, существуют ограничения на значения х или модуля разности |х - у|. Примеры значений р, Я, ^о, , У для ДП, определяемых условиями теоремы 1.1, имеются в [1].
В рассматриваемом случае мощность ПК равна четырем, т. е. семейство ДП состоит из четырех последовательностей Хо, Хц, Х^, Х3, соответствующих классам вычетов
Но, Щ, Н2, Н3 . Обозначим через гтах наибольшее из значений ПВКФ X], X7 для 1,7 = °Д 1 * 7.
Теорема 1.2. Если ДП X\, X7 сформированы по ПК (1) для ( = 4 и нечетного Я, то гтах = тах[(р +1 + 2х + 8у)/ 16, (р +1 -6х)/16] .
Доказательство. Наибольшее значение ПВКФ пары ДП XI, X7 совпадает с наибольшей гармоникой СРКВ £ (1,7) . В данном случае значение гтах равно наибольшей из гармоник СРКВ £(0,1), £(0,2) [1]. Согласно [5]
т. е. гтах совпадает с наибольшим из чисел, стоящих в скобках.
Рассмотрим теперь ПАКФ ДП, сформированной на основе двух классов по ПК:
Не нарушая общности, можно считать, что \к -/ = 1 или 2. При \к -/\ = 2 ДП соответствует множеству квадратичных вычетов и ее ПАКФ известна [1].
Теорема 1.3. Если у « 2Я, то ДП X, сформированная по ПК (4) для ( = 4, имеет квазиодноуровневую ПАКФ %X (т), причем если Я нечетное, то ^0 (р - 3 - 2у)/4; Д£ = у; у = 2у/(р -1) , а если Я четное, то Х0 = (р - 5 - 2у)/4; Д£ = у +1; у = 2 (у +1)/( р -1) .
Доказательство. Согласно [1], %X (т) ^ £(к,к) + £(I,I) + £(к,I) + £(/,к) (знак ^ означает, что если те Н 7, то % X (т) совпадает с 7-й гармоникой сумм СРКВ). Тогда
ПАКФ ДП X, сформированной по ПК (4), будет иметь следующие уровни БЛ: • для четного Я
£(0,1) = (1/16)(р +1 + 2х-8у, р-3 - 2х, р-3- 2х, р +1 + 2х + 8у); £(0,2) = (1/16)(р +1 -6х, р +1 + 2х + 8у, р-7 + 2х, р +1 + 2х-8у),
(4)
П,2 = (р - 5 ± 2у V4 , У3,4 = (р -1 ± 2у)/4;
(5)
• и для нечетного Я
11,2 = ( р - 3 ± 2 у )/4.
Из анализа (5) и (6) и получим теорему 1.3.
Следствие 1.3.1. Если у фиксирован, то в условиях теоремы 1.3 с ростом р параметр у убывает пропорционально 1/р. С увеличением р ПАКФ ДП стремится к одноуровневой.
Следствие 1.3.2. ДП X с периодом р = х2 + 4 (2и +1)2 и весом (р -1)/2 имеет двухуровневую ПАКФ Xх (т) = {Х0, Х0 + А£}; т = 1, р-1; Х0 = (р-3 - 2|2и +1| )/4; Д£ = |2и +1 и пик-фактор р/ « 2 относительно ПК (4) для ё = 4 .
Доказательство. Если у = 2и +1, то Я нечетно и утверждение следует из (6).
Следствие 1.3.3. ДП X с периодом р = х2 + 4 и весом (р -1)/2 для ё = 4 имеет двухуровневую ПАКФ Xx (т) = {Хо, ^0 +1}; т = 1, р -1 [4].
Следствие 1.3.4. ДП X с периодом р = х2 + 16и2 и весом (р -1)/2 для ё = 4 имеет четырехуровневую ПАКФ Xх (т) = [(р - 5)/4 ± и, (р -1)/4 ± и]; т = 1, р -1; Д£ = 2 |и| +1;
^0 = (р - 5)/4 - |и| и пик-фактор р/ « 2 относительно ПК (4).
Доказательство. Если у = 2и, то Я четно и утверждение следует из (5).
Следствие 1.3.5. ДП X с периодом р = х2 +16 и весом (р -1)/2 для ё = 4 имеет четырехуровневую ПАКФ %х (т) = {(р - 9)/4, (р - 5)/4, (р -1)/4, (р + 3)/4}; т = 0, р -1.
Для |к -¡\ = 1 семейство ДП состоит из четырех последовательностей Xо, XI, X2, Xз , соответствующих парам (0,1), (1,2), (2,3), (0,3).
Теорема 1.4. Если ДП Xi, Xj, сформированы по ПК (4) для ё = 4, то значение
Гшах = шах [(р +1 ± 2у )/4, (р - 2 + х)/4, (р - х)/4] .
Докажем теорему для нечетного у . Для оценки гшах достаточно рассмотреть ПВКФ X0, X1 и ПВКФ X0, X2. В первом случае ^ x ) ^ $(0,1) + £(0,2) + £(1,1) + £(1,2). Используя соотношения для СРКВ из [5], получим, что
4г^0 x ^ (р - х, р + 2 - х, р - 4 - х, р - 2 + х).
Аналогично, 4?^ х2 ^ (р +1 + 2у, р +1 - 2у, р - 3 + 2у, р - 3 - 2у) .
Анализ ПВКФ показывает, что гшах совпадает с указанным в теореме значением. Для четного у доказательство аналогично.
Теоремы 1.1-1.4 определяют семейства ДП с квазиодноуровневой ПАКФ и их взаимную корреляцию.
2. Число классов равно шести. Если ё = 6, то р = 1(шоё3) и р = А2 + 3В2, где А = 1 + 31, В, ^ - целые числа. Для ё = 6 в [7], [8] вычислены рельефы ПАКФ ДП, сформированных на основе классов степенных вычетов по модулю р . Анализ найденных рельефов ПАКФ показал, что для получения ДП с квазиодноуровневой ПАКФ лучше использовать при кодировании три класса.
Пусть ДП X определяется ПК:
ТТ (1 ^ -I1, 1 е Нки Н/и НП; (7)
Ux (1 >- [0, 1 й Нк и Н> и Нп. (7)
Для определения рельефов ПАКФ достаточно рассмотреть четыре варианта троек индексов (к, /, п): (0,1,2), (0,1,3), (0,1,4) и (0,2,4). Случай (0,1,3) был исследован Холлом
[6], а случай (0,1,4) сводится к предыдущему заменой 9 на 9-1. Случай (0,2,4) соответствует множеству квадратичных вычетов [1]. Таким образом, необходимо исследовать только тройку (0,1,2). Пусть множество I состоит из троек индексов, сдвигаемых по циклу ё = 6, т. е. I = {(0,1,2), (1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (0,4,5), (0,1,5)}. Согласно [7], уровни БЛ ПАКФ ДП, сформированной по ПК (7) для нечетного Я и (к, /, п) е I, определяются следующими формулами:
п = (p - 3)/4; v2, 43p-9 ± 8В У'2^, =0;
[3p - 9 ± 4(A ±В)]/12, m Ф 0, где т - наименьший положительный вычет indg 2 по модулю 3; indg 2 - логарифмическая функция (indg 2 = а означает, что 9а = 2(modp)).
Отсюда получим следующую теорему.
Теорема 2.1. Для d = 6 и нечетного R при (к, l, n) е I ДП с весом (p -1)/2 имеет трехуровневую ПАКФ Xх (т) = {^о, ^о + &£/2, ^о + AS}; т = 0, p -1 и пик-фактор pf « 2 относительно ПК (7), причем при m = 0 Х0 = (p - 3)/4 - 2| В/3; AS = 4 |В|/3 , а при m ф 0 Х0 = (p-3)/4-IA±В/3; aS = 2|A±В/3.
Следствие 2.1.1. Если ДП X удовлетворяет условиям теоремы 2.1, то при m = 0 Y = 8В|/[3(p-1)], а при m ф 0 у = 4|A±В\/[3(p-1)] .
Следствие 2.1.2. Если значение В для m = 0 или A ± В для m = 1, 2 фиксировано, то в условиях теоремы 2.1 параметр у убывает обратно пропорционально периоду p .
2
Следствие 2.1.3. В условиях теоремы 2.1 ДП с периодом p = 4 (3u -1) + 3 (1 + 6u) = = 144u2 + 12u + 7 или p = 4 ( 2 + 3u )2 + 3 (1 + 6u )2 = 144u2 + 84u +19 и весом (p -1)/2 имеет
трехуровневую ПАКФ XX (т) = {Х0 , Х0 +1, Х0 + 2}; т = 0, р -1; Х0 = (р - 3)4 -1 с Д£ = 2 ;
у=4 (р -1) .
Несложно убедится, что для периодов р , определенных следствием 2.1.3, всегда ( А ± В )/ 3 = ±1.
ПАКФ ДП, определяемой следствием 2.1.3, несколько отличается от одноуровневой, но с ростом р это отличие становится несущественным.
Исследуем теперь случай четного Я . Согласно [7] ПАКФ будет иметь следующие уровни БЛ:
======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2007. Вып. 4
у = (p - 5)/4, v2 = (p -1)/4; (8)
при m = 0
v3,4 = 3 p -15 ± 8B/12, v56 = (3 p - 3 ± 8B)/12; (9)
при m Ф 0
v3,4 = [3p -15 ± 4(A ± B)]/12, v56 = [3p - 3 ± 4(A ± B)]/l2 . (10)
Теорема 2.2. Если R четно, то ДП X с периодом p = A2 + 108м2 и весом (p -1)/2 для d = 6, (k, l, n) е I имеет ПАКФ %X (т) = {(p - 5)/4 ± 4м, (p - 5)/4, (p -1)/4 ± 4м, (p -1)/4}; т = 1, p -1 и пик-фактор pf « 2 относительно ПК (7).
Доказательство. Если p = A2 + 108м2, то B = 6м и уровни ПАКФ определяются подстановкой B в (8)-(10).
Для малых значений м ПАКФ будет близка к одноуровневой.
Для m ф 0, согласно (10), AS > \A + B\¡3, поэтому при поиске ДП с квазиодноуровневой ПАКФ наиболее интересна ситуация, когда A + B = ±3 . При этом получаем следующую теорему.
Теорема 2.3. Если (k, l, n) е I, то ДП X с периодом p = 13 - 60м + 144м2 или p = 49 + 156м + 144м2 и с весом 3R = 6 - 30м + 72м2 или 3R = 24 + 78м + 72м2 соответственно имеет четырехуровневую ПАКФ Xх (т) = {X0, ^0 +1, ^0 + 2, ^0 + 3}; т = 1, p -1;
^0 = (p - 9)/4 ; AS = 3 и пик-фактор pf « 2 относительно ПК (7).
Доказательство. Рассмотрим первый вариант, когда период ДП определяется формулой: p = 13 - 60м + 144м . В этом случае A = 1 + 6м и B = 2 - 6м для т = 1 или B = 6м - 2 для т = 2 [6]. Подставив данные значения в (10), получаем утверждение теоремы. Утверждение теоремы для второго варианта доказывается аналогично.
Таким образом, в условиях теоремы 2.3 при больших значениях p ПАКФ ДП близка к одноуровневой.
Значения p, удовлетворяющие условиям следствия 2.1.3 и теоремы 2.3: p = 19, 37, 79, 97, 139, 163, 313, 349, 607, 709, 877, 937, 1063, 1129, 1489, ... показывают, что рассматриваемые ДП имеют достаточно плотную сетку периодов.
Для ПАКФ ДП, сформированной по ПК (7), AS принимает наименьшие значения, если период p определяется следствием 2.1.3 или теоремой 2.3.
Исследуем ПВКФ пар ДП при таком определении p . Для (k, l, n) е I существует шесть ДП, сформированных по ПК (7). Обозначим через X¡, i = 1, 6 ДП, соответствующую i-й тройке индексов из множества I.
Теорема 2.4. Если (k, l, n) е I, то для ПВКФ пары ДП , Xj, i, j = 0, 6, i ф j, сформированных по ПК (7) для d = 6, справедливы следующие неравенства:
p = 144м2 + 12м + 7; rXj,X (т) < max(36м2 + 7м + 2, 36м2 -u +1); т = 1, p -1; p = 144u2 + 84u +19; rX,,X (т) < max (збм2 + 25м + 6, 36м2 + 17м + з); т = 1, p -1; (11) p = 13 - 60м + 144м2, rX,,х (т) < max (36м2 - 11м + 2, 36м2 - 19м + 4); т = 1, p -1; (12)
p = 49 + 156м + 144м2, rXi,х (т)< max(36м2 + 43м +14, 36м2 + 35м + 9); т = 1, p-1. (13)
Доказательство. Для определения рельефов ПВКФ достаточно рассмотреть три варианта, а именно, rX x (х); i = 1, j = 2, 3, 4 . ПВКФ любой другой пары X., X совпадает с одной из этих трех с точностью до циклического сдвига.
Согласно [1] rx1,Xj « S (0, j) + S (0, j +1) + S (0, j + 2) + S (1, j) + S (1, j +1) + S (1, j + 2) +
+S (2, j) + S (2, j +1) + S (2, j + 2) . Подставив значения СРКВ из [5], для p = 144м2 + 12м + 7 получим, что
22
• для i = 1, j = 2 уровни БЛ ПВКФ rxxx2 : V1 = 36м + 5м + 2, V2 3 4 = 36м + 5м +1,
2
V5 6 = 36м -м +1;
2 2 2
• для i = 1, j = 3 БЛ ПВКФ rX1 X : Vj 2 3 = 36м2 + м + 1, v4 = 36м + 7м + 2, v5 = 36м + 7м + 1,
2
V6 = 36м + м + 2 ;
2 2 2
• для i = 1, j = 4 БЛ ПВКФ : V 2 = 36м + 3м + 2, V3 4 = 36м + 3м +1, V5 = 36м + 3м + 3,
2
V6 = 36м + 3м .
Анализ уровней БЛ ПВКФ позволяет утверждать, что rx. х
( т ) < max(36м2 + 7м + 2,
36м2 - м +1). Варианты периода p, указанные в (11)—(13), исследуются аналогично.
Данные теоремы обобщают результаты [1] на случай, когда при кодировании используются три класса вычетов. Теоремы 2.1-2.4 определяют семейства ДП с квазиодноуровневой ПАКФ и их взаимную корреляцию.
3. Число классов равно восьми. Если d = 8, то p = 1( mod 8) и справедливо разло-
2 2 2 2 / \ жение p = x + 4y = a + 2b , где x,y,a,b - целые числа, причем x = 1(mod4),
a =
1(mod 4).
Если ДП X, сформирована по ПК (1) для d = 8 и нечетного R, то ее ПАКФ имеет следующие уровни БЛ [5]:
• если y = 0 (mod 4) v1 = (p-15 - 2x)/64, v2 = (p - 7 + 2x + 4a)/64, v3 = (p - 7 - 2x - 8a)/64 ;
• если y ф 0 ( mod 4) v1 = (p -15 - 10x - 8a)/64, v24 = (p - 7 + 2x + 4a ± 16y)/64, v3 = (p - 7 + 6x ^ 64.
Для x = 1, a = -3 ДП, сформированная по ПК (1), имеет одноуровневую ПАКФ [6].
Теорема 3.1. ПАКФ ДП X, сформированной по ПК (1) для ё = 8 и нечетного Я, имеет два уровня БЛ тогда и только тогда, когда р определяется одной из следующих формул:
р = х2 + 64и2 = (х + 2)2 + 2Ъ2 ; (14)
р = х2 + 64м2 = 1 + 2Ъ2, х *-3; (15)
р = 9а2 + 64м2 = а2 + 2Ь2, а Ф 1; (16)
Л Л
р = [(8у +1)/3] = [(4у ± 1)/3] + 2Ь2, у = 0 (шоё4). (17)
Доказательство. Если ПАКФ имеет два уровня БЛ для у = 0 (шоё 4), то V = У2, или V = У3, или У2 = У3. Отсюда получим соотношения а = -2 - х, а = 1, х = -3а, определяющие формулы (14)—( 16) для периода р .
Если же у = 0 (шоё4), то необходимо исследовать два варианта: 1) V = У2 = vз (V = у3 = у4 ) или 2) V1 = У2, У3 = л>4 (V1 = У4, л>2 = vз ) так как У2 ф V4. В первом случае -7 + 6х = -15 - 10х - 8а (а = -1 - 2х) или -7 + 6х = -7 + 2х + 4а ± 16у (х = а ± 4у) . Таким образом, а = (-1 + 8у)/3 и х = (-1 ± 4у)/3. Подставив полученные значения х, а в разложение р, получим 2у2 ± 4у + 3Ь2 = 0. Следовательно, 2 (у ± 1)2 + 3Ъ2 = 2. Так как Ъ ф 0, то последнее равенство для целых чисел невозможно.
Во втором случае -15-10х - 8а = -7 + 2х + 4а ± 16у (х = -1 - 2а) или -7 + 6х = = -7 + 2х + 4а + 16у (х = а + 4у). Таким образом, а = (-1 ±4у)/3 и х = (-1 + 8у)/3. Получаем для р формулу (17).
Справедливо и обратное утверждение. Если р задается одной из указанных в теореме 3.1 формул, то при у = 0(шоё4) а = -2 - х, а = 1 либо х = -3а, а при у # 0(шоё4) а = (-1 ± 4у)/3 , х = (-1 + 8у)/3. Подставив данные значения х, а в VI, получим два уровня БЛ ПАКФ.
С учетом, что при нечетном Я р = 8Я +1, получим следующие представления для рассмотренных в теореме 3.1 периодов:
р = (16^ - 3)2 + 64м2 = (16^ -1)2 + 8 (1 + 2е)2 ; р = (16^-3)2 + 64м2 = 1 + 2Ъ2, w Ф 0;
р = 9 (8^ +1)2 + 64м2 = (8^ +1)2 + 8е2, и> Ф 0 ;
р = (32w - 5)2 + 4 (12^ - 2)2 = (16^ - 3)2 + 2Ъ2, где w, е - целые числа.
Приведем несколько примеров периодов, удовлетворяющим условиям теоремы 3.1: р = 233, 937, 1193, 1289, 2281, 4201, 6857, 12 041, 17 929, 21 193, 23 977, 24 841, 25 673, 26 249;1801, 3529, 8713, 20 809; 6361, 9001, 23 017, 23 209, 26 041; 41.
Результаты анализа ДП с ПК (1) и двухуровневой ПАКФ для периодов р = 8Я +1, определяемых теоремой 3.1, приведены в табл. 1.
Таблица 1 Если ДП удовлетворяет усло-
виям теоремы 3.1, то Д£ зависит только от w и для заданного Д£ можно определить целое "семейство" периодов ДП. Для Д£ «Я ДП, определяемые теоремой 3.1, будут иметь квазиодноуровневую ПАКФ. Примеры значений р, Я, Хд, Л£, у
для ДП, определяемых условиями теоремы 3.1, имеются в [1].
Теорема 3.1 обобщает утверждения 6.3.11-6.3.14 [1], так как не содержит ограничений на х, у.
Для ё = 8 исследуем ДП, сформированные по ПК:
Я ^0
32w2 +1 + 8м2 21 ^ 22 4w2 - 2w + м2 22 4w2 + м2
32w2 +1 + 8м2 2 2 4w - 2w + м 2 2 4w - w + м
72w2 + ^ +1 + 8м2 22 9w2 + 2w + м2 22 9w + 3w + м2
200w2 - 64w + 5 ^ -1 25w2 -11w +1 2 25w - 5w
тт ПЛ1, ;
хКг) 10, г £ нк и н1 и нп и нч.
(18)
Рельефы ПАКФ ДП, сформированных по ПК (18), приведены в [7]. Не нарушая общности, можно считать, что к = 0. Для (0,1, п, д) возможно всего 35 вариантов четверок индексов. Проведенные исследования позволили выделить ДП с ПАКФ, наиболее близкой к одноуровневой, для следующих множеств четверок индексов: Ь = {(0,1,2,5); (0,1,4,7);
(0,3,4,5); (0,3,6,7)} и М = {(0,1,3,4); (0,1,5,6); (0,2,3,7); (0,4,5,7)} (случаи, сводящиеся к квадратичным и биквадратичным вычетам, здесь не рассматриваются).
Лемма 3.1. Если р = х2 + 64 = (х + 4)2 + 2Ь2, то р = 89 - 80м - 96и2 + 256м3 + 256м4. Верно и обратное.
Доказательство. Если а = х + 4, у = ±4, то из соотношения х2 + 64 = (х + 4)2 + 2Ь2
получим Ь = 2 (2t +1) . Тогда х = 5 - 41 - 4t2 и при замене t на — -1 формула для х не меня-
2 3
ется, т. е. не нарушая общности, можно считать, что t = 2м и р = 89 - 80м - 96м + 256м +
и
+256м4. Напротив, если р = 89 - 80м - 96м2 + 256м3 + 256м4, то р = (5 - 8м - 16м2 ) + 64 2
р = (9-8м-16м2) + 8(4м +1)2, т. е. а = х + 4, у = ±4.
Теорема 3.2. Если р = 1(шоё8) и р = 89 - 80м - 96м2 + 256м3 + 256м4 [р = х2 + 64 =
= (х + 4)2 + 2Ь2 ], то ДП X, сформированная по ПК (19) для (к, I, п, д) е Ь, имеет двухуровневую ПАКФ Хх (т) = {Х0, Х0 + 2}; т = 1, р -1; М = 2; Х0 = (р - 9)/4 и пик-фактор р/ « 2.
Доказательство. Если (к,I,п,д)еЬ и у = 0(шоё4), то согласно [7] ^357 = = ( 2 р - 6 + х ± 4 у - а)/64 ; у26 = (р - 5 - х + а)/4; у4,8 = (р -1)/4. Для р = х2 + 64 =
= (х + 4)2 + 2Ь2 справедливо соотношение а = х + 4, у = ±4. Отсюда ^0 = (р - 9)/4; = (р-1)/4; Л£ = 2.
Таблица 2.
p L, M %0 Рельеф ПАКФ AS
41 + 80u + 144u2 + 128u3 + 64u4 _ x2 +16 = (x - 8)2 + 2b2 _ L ( p - 9 )/ 4 {^0, ^0 +1,^0 + 2, ^0 + 3} 3
1097 - 232u - 216u2 + 32u3 +16u4 _ x2 + 256 = (x + 4)2 + 2b2 L (p - 13V4 {^0, ^0 + 2, ^0 + 4} 4
89 - 80u - 96u2 + 256u3 + 256u4 _ x2 + 64 = (x + 4)2 + 2b2 _ M ( p - 9 )/ 4 {^0, ^0 +1,^0 + 2, ^0 + 3} 3
41 + 80u + 144u2 + 128u3 + 64u4 _ x2 +16 = (x - 8)2 + 2b2 _ M (p - 13V4 {^0, ^0 + 3,^0 + 4} 4
25 + 48u2 + 64u4 [x2 +16 = (x + 8)2 + 2b2 ] M ( p - 9 V 4 {^0, ^0 +1,^0 + 2, ^0 + 3} 3
Параметры других ДП с квазиодноуровневой ПАКФ для p = 8R +1 приведены в табл. 2. Таким образом, получен целый ряд семейств ДП с квазиодноуровневой ПАКФ. В статье представлены результаты синтеза двоичных последовательностей с квазиодноуровневой ПАКФ для случая, когда период ДП - простое число p = dR +1, d = 4,6, 8 . Последовательности сформированы на основе классов степенных вычетов по модулю p . Найдены семейства ДП, имеющих одинаковые формулы для вычисления периода p, боковых лепестков ПАКФ X (т) и ПВКФ r (т), абсолютной (AS) и относительной (у) разниц между уровнями БЛ ПАКФ. Сформулирован ряд ПК семейств таких ДП. Для семейств ДП с квазиодноуровневой ПАКФ определены их ПВКФ.
Библиографический список
1. Гантмахер В. Е., Быстров Н. Е., Чеботарев Д. В. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка. СПб.: Наука и техника, 2005. 400 с.
2. Кренгель Е. И., Мешковский К. А. Ансамбли двоичных последовательностей с малой взаимной корреляцией и большой линейной сложностью // Радиотехника. 2004. № 4. C. 3-8.
3.. Almost difference set and their sequences with optimal autocorrelation / K. T. Arasu , C. Ding, T. Helleseth, H. Martinsen // IEEE Trans. Inform. theory. 2001. Vol. 47, № 11. Р. 2934-2943.
4. Ding C., Helleseth T., Lam K. Y. Several dasses of binary sequences with tree-level autocorrelation // IEEE Trans. Inform. theory. 1999. Vol. 45, № 11. P. 2601-2606.
5. Гантмахер В. Е., Едемский В. А. Результаты синтеза пар двоичных последовательностей простого периода с одноуровневой и двухуровневой взаимной корреляцией // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2006. Вып. 5. С. 26-33.
6 Холл М. Комбинаторика. М.: Мир. 1970. 423 с.
7. Гантмахер В. Е., Едемский В. А. Методика анализа и синтеза ДКП, формируемых на основе классов вычетов по модулю p . 49 с. Деп. в ВИНИТИ № 1737 - В2005 от 26.12.05.
8. Гантмахер В. Е., Едемский В. А. О ПАКФ двоичных и троичных последовательностей c периодом p = 1(mod6) // Вест. НовГУ. Сер. "Техн. науки". 2005. № 30. С. 52-57.
V. E. Gantmaher, V. A. Edemsky
Novgorod state university after Yaroslav the Wise
Synthesis results of binary sequences formed on the base of residue classes on simple module with quasi one-level autocorrelation function
Defined new and generalized known rules of coding binary sequences formed on base of residue degree classes by simple module p = dR +1 for d = 4, 6, 8 with quasi-one-level periodical autocorrelation function. For series of sequence families their periodical cross-correlation function defined.
Binary sequences, autocorrelation, cyclotomic numbers
Статья поступила в редакцию 12 октября 2006 г.
