Результаты синтеза пар двоичных последовательностей простого периода с одноуровневой и с двухуровневой взаимной корреляцией Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографический список

1. Хьюбер Дж. Робастность в статистике / Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 304 с.

2. Богданович В. А., Вострецов А. Г. Теория устойчивого обнаружения, различения и оценивания сигналов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 320 с.

3. Kassam S. A. Signal detection in non-Gaussian noise. New York: Springer-Verlag, 1988. 226 с.

V. A. Bogdanovich

Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI" A. G. Vostretsov

Novosibirsk state technical university

Adaptive detection and estimation of wide-band signals against a background of noise and interference with unknown characteristics

Adaptive asymptotically robust algorithm of detection and estimation of signals based on statistical principles of invariance and asymptotic optimum was developed. This algorithm has stable detection characteristics in conditions of a prior uncertainty of additive fluctuation noise and interference. It is shown that it is highly competitive with optimal algorithms synthesized for known signal, nose and interference parameters in condition of their prior uncertainty.

Adaptive detection, adaptive estimation, interference, noise, wide-band signals, a prior uncertainty

Статья поступила в редакцию 2 июня 2006 г.

УДК 621.391.15

В. Е. Гантмахер, В. А. Едемский

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

Результаты синтеза пар двоичных последовательностей простого периода с одноуровневой и с двухуровневой взаимной корреляцией

Найдены необходимые и достаточные условия, при которых пара двоичных последовательностей простого периода, сформированная на основе классов вычетов по модулю p = dR + 1 для d = 3,4,6, имеет одноуровневую или двухуровневую взаимную корреляцию. Для двоичных последовательностей с указанными видами взаимной корреляции определена автокорреляция.

Двоичные последовательности, взаимная корреляция, циклотомические числа

Периодическая взаимно корреляционная функция (ПВКФ) является одной из важных характеристик семейства двоичных последовательностей (ДП). В [1] найдены теоретические оценки ПВКФ для ряда последовательностей, а в [2] предложены правила построения ансамблей ДП с малой взаимной корреляцией.

Цель настоящей работы заключается в поиске необходимых и достаточных условий, при которых пара ДП простого периода, сформированная на основе классов вычетов по модулю р, имеет одноуровневую или двухуровневую ПВКФ, а также в определении пе-

26

© Гантмахер В. Е., Едемский В. А., 2006

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2006. Вып. 5======================================

риодической автокорреляционной функции (ПАКФ) рассматриваемых ДП. При этом в отличие от [1] значения ПВКФ должны быть определены в явном виде.

Пусть p = dR +1 - простое число (d, R - натуральные числа). Обозначим через 9 первообразный корень по модулю p. Тогда все ненулевые элементы простого поля Галуа GF (p) можно упорядочить по степеням 9 и разбить на d непересекающихся классов:

Hk = (б1+Л; k = 0, d -1, Г = 0, R -1}. Спектр разности классов вычетов (СРКВ) Hk и Hl

обозначим через £ (k, l) [3].

Пусть ДП X сформирована по правилу кодирования (ПК):

"х (') -{0 7Д1 (1)

Согласно [3], если пара ДП X, У сформирована по ПК (1) для Hk, Н1 соответственно, то их ПВКФ гх у (т) связана с СРКВ взаимно-однозначным соотношением

Гх,У (т) « £ (k, I) . (2)

Таким образом, исследование ПВКФ сводится к изучению СРКВ. В [3] было показа-£ (k, I) = Б1 £ (0, (I - ), где Б - оператор циклического сдвига Хаффмена; Ц - - наименьший положительный вычет по модулю d. Согласно [4]

£(0,]) = [(0,]), (1,]), ..., (а -1,])], (3)

где (/, ]) - циклотомические числа порядка а. Для а = 3, 4, 6, 8, 12 циклотомические

2 2

числа вычисляются разложением р вида р = 2 + а . В частности, циклотомические

22

числа третьего порядка выражаются в явном виде через Ь, М : 4р = Ь + 27М , Ь = 1 + 31;

22

четвертого порядка - через х, у: р = х + 4у , х = 1 + 4/, а шестого порядка - через А, В :

22

р = А + 3В [5] (все переменные, входящие в эти выражения, - целочисленные). Следовательно, соотношения (2) и (3) сводят анализ ПВКФ пары ДП к исследованию разложения периода р на сумму квадратов двух целых чисел.

Обозначим через у неупорядоченные уровни боковых лепестков (БЛ) ПВКФ (ПАКФ), а через % ..., гп - эти же уровни, упорядоченные по возрастанию, и пусть абсолютная разница между БЛ ПВКФ Д£ = гп - Г0, а относительная разница у = Д£/^ , где Щ

- число ненулевых символов ДП на периоде.

Число классов вычетов равно трем. Использовав явные формулы для циклотоми-ческих чисел третьего порядка [5], получим, что при а = 3 справедливы следующие соотношения для СРКВ:

18£(0,0) = (2р -16 + 2Ь, 2р -4 -Ь -9М, 2р - 4-Ь + 9М); 18£ (0,1) = (2 р - 4 - Ь - 9М, 2 р - 4 - Ь + 9М, 2 р + 2 + 2Ь); (4)

£ ( 0,2) = Б£ ( 0,1).

Как следует из (4), ПВКФ пары ДП в этом случае не может быть одноуровневой, так как М ф 0 .

Теорема 1. Любая пара ДП X и У, определяемых ПК (1) для ё = 3 с периодом р = 1 (шоёЗ), имеет двухуровневую ПВКФ тогда и только тогда, когда период определен

2 * \ с л --^(* +1), если Г > 0;

как р = 9 + 15t + 7. При этом гх у (т) = {го, го + ДМ; т = 1, р -1; го= <{ 2

+ 1) , если ^ 0;

М = ^ +1; у = l/|зt + 2.

Доказательство. Не нарушая общности, можно считать, что к = 0, I = 1, т. е. гх У (т) ^ £ (0,1). Если ПВКФ пары ДП X и У имеет два уровня, то, согласно (4),

±3М = Ь + 2. Тогда М = ±(1 + {) , так как Ь = 1 + Зt и р = + 15t + 7. Значения ?0 получаются подстановкой значений Ь, М в (4).

2 2

С другой стороны, если 4р = (1 + 30 + 27 (t +1) , то Ь = 1 + Зt и М = ± (1 +1). В обоих случаях, согласно (4), £ (0,1) имеет только два уровня. Следовательно, ПВКФ ДП X и У также имеет два уровня. Теорема доказана.

Теорема 2. Если пара ДП X, У, определяемых ПК (1) для ё = 3, имеет двухуровневую

ПВКФ, то каждая из этих ДП имеет трехуровневую ПАКФ % (т) = { 0 +1), 10 + 2), 0 +1)2}; т = 1, р -1.

Доказательство. Если для ПК (1) р = 92 + Ш + 7, то Ь = 1 + Зt и М = ±(1 +1). Уровни БЛ ПАКФ находятся подстановкой значений Ь, М в (4).

Число классов вычетов равно четырем. Заметим, что если р = (1 + 4 / )2 + 4 у2, то

2 2

Я = у + 2/ + 4/ , т. е. четность у совпадает с четностью Я . Согласно [4], для четного Я :

16£ (0,0) = (р-11 - 6х, р - 3 + 2х + 8у, р - 3 + 2х, р - 3 + 2х - 8у);

16£ (0,1) = (р - 3 + 2х + 8у, р - 3 + 2х - 8у, р +1 - 2х, р +1 - 2х); (5)

16£(0,2) = (р -3 + 2х, р +1 -2х, р -3 + 2х, р +1 -2х),

а для нечетного Я :

16£ (0,0) = (р - 7 + 2х, р - 3 - 2х, р - 7 + 2х, р - 3 - 2х);

16£ (0,1) = (р +1 + 2х - 8у, р - 3 - 2х, р - 3 - 2х, р +1 + 2х + 8у); (6)

16£(0,2) = (р +1 -6х, р +1 + 2х + 8у, р-7 + 2х, р +1 + 2х-8у).

Из анализа (5) и (6) следует, что в общем случае рельеф ПВКФ может иметь четыре уровня, причем с ростом р разница между уровнями будет существенно увеличиваться. Найдем условия, когда ПВКФ имеет не более двух уровней.

Теорема 3. Пара ДП X и У, сформированных по правилу кодирования (1) для

а = 4, имеет одноуровневую ПВКФ тогда и только тогда, когда р = 1 + 16м (и - целое

число) и \1 -1 = 2. В этом случае rх у (т) = и2 .

Доказательство. Покажем сначала необходимость данных условий. Можно считать, не нарушая общности, что 1 = 0 и I = 1 или 2. Из (2) следует, анализ ПВКФ сводится к изучению СРКВ £ (0,1) или £ (0,2). По (5) и (6) СРКВ £ (0,1) вне зависимости от четности R не может иметь одинаковых гармоник.

Если R четное, то из третьего равенства в (5) следует, что х = 1 и у = 2и. Тогда

р = 1 + 16м2 и ^ у (т) = (р -1)/16 = и2. Для нечетных R равенство гармоник в £ (0,2) невозможно согласно (6).

Достаточность при р = 1 + 16м2 следует из подстановки х = 1, у = 2и в СРКВ £ (0,2). В этом случае все гармоники одинаковы. Теорема доказана.

Теорема 4. Каждая из пары ДП X, У, ПК которых определены теоремой 3, имеет четырехуровневую ПАКФ X (т) = {и2 - и, и2 -1, и2, и2 + и}; т = 1, р -1; Д£ = 2 |и|; у = 1/|2и|.

2

Доказательство. Если р = 1 + 16и , то х = 1, у = 2и и уровни БЛ ПАКФ определяются подстановкой значений х, у в (5).

Исследуем случай, когда ПВКФ имеет два уровня.

Теорема 5. Пара ДП X и У, сформированных по правилу кодирования (1) для а = 4, имеет двухуровневую ПВКФ тогда и только тогда, когда

р = (1 + 4/)2 + 16и2; / ф 0; 1 -1 = 2 (7)

либо

р = (1 + 4/)2 +16/2 ; |1 -1\ = 1 (8)

или

р = (1 + 4/)2 + 4 (1 + 2/)2 ; 1 -1\ = 1. (9)

В случае (7) ^ у (т) = {и2 + /2, и2 + /(/ +1)}; Д£ = |/\, в случае (8) ^ у (т) =

= {/2, /2 + 2/}; Д£ = \2/\, в случае (9) ^,у (т) = {2/2 + /, 2/2 + 3/ +1}; Д£ = \2/ +1.

Доказательство. Как и в предыдущей теореме, необходимо провести анализ СРКВ £ (0,1) и £ (0,2). При четном R, согласно (5), в £ (0,2) всегда имеются две различные гармоники для х ф 1. Если же R нечетное, то в £ (0,2) число различных гармоник больше двух. Исследуем СРКВ £ (0,1) . Если R четное, то из (5) следует р -1 - 2х = р - 3 + 2х ± 8у,

т. е. 1 - х = ±2у . Тогда / = ±и и р = 16/2 + (1 + 4/)2 . Если же R нечетное, то р - 3 - 2х =

= р +1 + 2х ± 8у , т. е. -1 - х = ±2у или у = ± (1 + 2/) и р = (1 + 4/)2 + 4 (1 + 2/)2. Уровни БЛ ПВКФ вычисляются согласно (6). Теорема доказана.

Для периодов, определяемых (7), Д£ зависит только от одного слагаемого, что позволяет получать "семейство" ДП с одинаковым Д£.

Следствие 5. 1. Если р = 16и2 + 9 или р = 16и2 + 25, \к -1\ = 2, то ПВКФ гх у (т) = = {и2 +1, и2 + 2}; = 1; у = 4/(р -1) .

Следствие 5. 2. Если р = (1 + 4/)2 +16/2 или р = (1 + 4/)2 + 4(1 + 2/)2; |к-1 = 1, то

У = У\4/ +1.

Примеры значений р, Я, , У для пары ДП, определяемых теоремами 4 и 5,

имеются в [3].

Теорема 6. Если пара ДП X, У, определяемых ПК (1) для ё = 4, имеет двухуровневую ПВКФ для периодов р, определяемых теоремой 5, то каждая из этих ДП имеет

ПАКФ, задаваемую одним из следующих соотношений (т = 1, р -1) (см. таблицу):

X (т) = {и2 + /2 - / -1, и2 + /2 + /, и2 ± и + /2 + /};

X(т) = {2/2 - / -1, 2/2, 2/2 + /, 2/2 + 2/}; X(т) = {2/2 + /, 2/2 + 2/}. Теорема доказывается подстановкой у = 2и; х = 1 + 4/, у = 2/; х = 1 + 4/ или у = 1 + 2/ ; х = 1 + 4/ в СРКВ £ (0,0) (5) ,(6).

Число классов вычетов равно шести. Когда ё = 6, то для ПВКФ ДП X и У наиболее интересные результаты получаются в случае четного Я [4]. Если ДП X и У сфор-

Уровень боковых лепестков гх,У ( т)

т = 0 т = 1 т = 2

к -1 = 1

36у1 р - 5 + 4 А + 18В р - 5 + 4 А +12 В р - 5 + 4 А + 6 В

36У2 р - 5 + 4 А-18В р - 5 + 4 А - 6 В р - 5 + 4 А-12В

3^3 р +1 - 2 А р +1-2 А - 6В р +1 - 2 А + 6В

36у4 р +1 - 2 А р +1-2 А - 6В р +1-2 А-12В

36у5 р +1 - 2 А р +1 - 2А + 12В р +1 - 2А + 6В

36У6 р +1 - 2 А р +1 - 2А - 6В р +1 - 2А + 6В

|к -1\ = 2

36у1 р - 5 + 4 А + 6 В р - 5 + 4 А - 6 В р - 5 - 8А

36У2 р +1 - 2 А р +1 - 2А - 6В р +1 - 2А + 6В

36^3 р - 5 + 4 А - 6 В р - 5 - 8А р - 5 + 4 А + 6 В

36у4 р +1 - 2 А р +1 - 2А + 12В р +1 - 2А + 6В

36у5 р +1 - 2 А р +1 +10 А + 6В р +1 +10А - 6В

36У6 р +1 - 2А р +1-2А - 6В р +1-2 А-12В

|к - /| = 3

36у1 р - 5 + 4 А р - 5 + 4 А - 6 В р - 5 + 4 А + 6 В

36У2 р +1 - 2 А р +1-2А - 6В р +1-2 А-12В

3^3 р +1 - 2 А р +1 - 2А + 12В р +1 - 2А + 6В

мированы по ПК (1) и \к -1\ = 1, 2, 3, то БЛ ПВКФ тх у (т) с точностью до циклического

сдвига совпадают со значениями £ (0,1), £ (0,2), £ (0,3) соответственно (см. таблицу). Знак В выбран в зависимости от первообразного корня 9, а именно, если т - наименьший положительный вычет тёд 2 по модулю 3, то В = -т(шоёЗ), А = 1(шоёЗ) (тёд 2 -

логарифмическая функция: тёд 2 = а ^ 9а = 2(шоё р)).

Теорема 7. Если ДП X и У сформированы по ПК (1) для ё = 6, то ПВКФ тх у (т)

имеет один уровень тогда и только тогда, когда р = 1 + 108м2 и |к -1\ = 3. В этом случае гх,у (т) = (р -1)136 = 3м2.

Доказательство. Если |к -1 Ф 3 или т ф 0, то (согласно таблице) ПВКФ содержит хотя бы два различных уровня, так как В ф 0 . В случае, когда |к -1\ = 3; т = 0 из равенства БЛ

ПВКФ получим А = 1. Следовательно, В - четно и делится на 3, т. е. В = 6м и р = 1 + 108м . Выполнение условий теоремы 7 гарантирует одноуровневость ПВКФ. Теорема 8. Каждая из пары ДП X, У, ПК которых определены теоремой 7, имеет

ПАКФ X(т) = {3м2 ± м, 3м2 -1, 3м2, 3м2 ± 3м}; т = 1, р -1 при Д£ = 6|м|; у = 1/(3|м|).

Теорема доказывается подстановкой А = 1; В = 6м в £(0,0), где 36£(0,0) = = (р -17 - 20А, р - 5 + 4А + 18В, р - 5 + 4А + 6В, р - 5 + 4А, р - 5 + 4А - 6В, р - 5 + 4А - 18В) .

Теорема 9. Если ДП X и У сформированы по ПК (1) для ё = 6 и четного Я, то ПВКФ гх у (т) имеет два уровня тогда и только тогда, когда период р определяется одной из следующих формул:

р = 1 + 36м + 432м2 (10)

или

р = 13 + 72м + 108м2 (11)

- для |к -1 = 1;

р = 1 + 12м + 144м2 (12)

- для |к -1 = 2;

р = 61 + 324м + 432м2, (13)

р = (1 + 6* )2 + 108м 2, (14)

р = 13 + 72м + 108м2 (15)

- для |к-1 = 3 (при * Ф 0).

Доказательство. Пусть |к -1 = 1. В этом случае (согласно таблице), если т = 0, то два уровня возможны тогда и только тогда, когда А = 1 ± 3В, а если же т = 1, 2, то А = 1. Отсюда и получим требуемые соотношения для р с учетом четности Я . Другие три случая получаются аналогично.

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2006. Вып. 5

Из последней теоремы вытекают следствия.

Следствие 9. 1. ДП X и У с периодами (10) или (11) и, соответственно, весами

2 2 / \ ( 2 2 К = 6м + 72м или К = 2 + 12м + 18м имеют двухуровневую ПВКФ rх у (.т) = |12м ,12м +

+6м}; т = 1, р -1 при Д£ = 6|м|; у = 1/|12м + 1 либо rх у (т) = {3м2 + м, 3м2 + 4м + 1}; т = 1, р -1 при Д£ = |3м +1; у = 1/ (2 |3м +1) относительно ПК (1) для |к -1 = 1.

Следствие 9. 2. ДП X и У с периодом (12) и весом К = 2м + 24м имеют двухуровневую ПВКФ ^ у (т) = {4м2, 4м2 + 2м}; т = 1, р -1 при Д£ = 2|м|, у = 1/|12м +1 относительно ПК (1).

Следствие 9. 3. ДП X и У с периодами (13) или (14) и, соответственно, весами К = 10 + 54м + 72м2 или К = 2 + 12м + 18м2 имеют двухуровневую ПВКФ ^ у (т) =

= {12м2 + 7м + 1, 12м2 +10м + 2}; т = 1, р-1 при Д£ = |3м + 1|; у = 1/ (2|12м + 5) либо гХу (т) =

= {3м2 + м, 3м2 + 4м +1}; т = 1, р -1 при Д£ = |3м +1|, у = 1/(2|3м +1|) относительно ПК (1).

22

Следствие 9. 4. ДП X и У с периодом (14) и весом К = 6* + 2* + 18м имеют двухуровневую ПВКФ гх,у (т) = 2 + * + 3м2, *2 + 3м2}; т = 1, р -1 при Д£ = И ; у = 6И/(р -1) относительно ПК (1).

Теоремы 7 и 9 являются обобщением утверждения 6.4.5 из [3], так как не содержат ограничений на А, В, |к -1.

Теорема 10. Если ДП X, У, сформированы по ПК (1) с периодами р, определяемыми теоремой 9, то каждая из этих ДП имеет ПАКФ, определяемую следующими выражениями (т = 1, р -1):

• при |к -1 = 1: X(т) = {12м2 -9м-1, 12м2, 12м2 + 2м, 12м2 + 3м, 12м2 + 4м, 12м2 + 6м} - для периодов, определяемых формулой (10), либо X(т) = {3м2 + м, 3м2 + 2м, 3м2 + 3м,

3м2 + 4м+1} - для периодов, определяемых формулой (11);

• при |к -1\ = 2: X(т) = {4м2 - 3м -1, 4м2, 4м2 ± 2м, 4м2 + м, 4м2 + 4м};

• при |к-1 = 3: X(т) = {12м2 + 5м, 12м2 + 6м, 12м2 + 10м + 2, 12м2 + 13м + 3} - для периодов, определяемых формулой (13); X (т) = {3м2 + м, 3м2 + 2м, 3м2 + 3м, 3м2 + 4м +1} -

/ \ ( 2 2 2 2 для периодов, определяемых формулой (14), и мт) = -3*- 1 + 3м , * +* + 3м ±3м,

2 2 2 21

* + * + 3м ± м, * + * + 3м / - для периодов, определяемых формулой (15).

Теорема доказывается подстановкой соответствующих значений А, В в СРКВ £ (0,0), приведенный в [4].

Таким образом, определены необходимые и достаточные условия существования пар двоичных последовательностей с одноуровневой или с двухуровневой ПВКФ для случая,

когда период ДП есть простое число p = dR +1; d = 3, 4, 6 . Последовательности сформированы на основе классов степенных вычетов по модулю p. Найдены семейства ДП, имеющие одинаковые формулы для вычисления периода p, боковых лепестков ПАКФ X (т) и ПВКФ r (т), абсолютной AS и относительной у разницами между уровнями БЛ ПВКФ. Сформулированы правила кодирования семейства таких ДП.

Библиографический список

1. Кренгель Е. И., Мешковский К. А. Взаимная корреляция некоторых классов псевдослучайных последовательностей // Радиотехника. 2000. № 6. С. 8-13.

2. Кренгель Е. И., Мешковский К. А. Ансамбли двоичных последовательностей с малой взаимной корреляцией и большой линейной сложностью // Радиотехника. 2004. № 4. С. 3-8.

3. Гантмахер В. Е., Быстров Н. Е., Чеботарев Д. В. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка. СПб.: Наука и техника, 2005. 400 с.

4. Гантмахер В. Е., Едемский В. А. Методика анализа и синтеза ДКП, формируемых на основе классов вычетов по модулю p . В. Новгород, 2005. 49 с. - Деп. в ВИНИТИ 26.12.05, № 1737-В2005.

5. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир. 1970. 423 с.

V. E. Gantmaher, V. A. Edemsky

Novgorod state university after Yaroslav the Wise

Synthesis results of couples of simple period binary sequences with one- and two-level mutual correlation

Necessary and sufficient terms on which couple of simple period binary sequences formed on module p = dR + 1 for d = 3,4,6 residue classes had one-level and two-level mutual correlation were found. Autocorrelation for binary sequences with this mutual correlation was determined.

Binary sequences, cross-correlation, cyclotomic numbers

Статья поступила в редакцию 12 апреля 2006 г.