CC BY
29
УДК 669.78.27
В.Е.Гантмахер, В.А.Едемский
О ДВОИЧНЫХ И ТРОИЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ С КВАЗИОДНОУРОВНЕВОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ
ФУНКЦИЕЙ ДЛЯ p = 1 mod 4
The necessary and sufficient conditions of existence of binary and ternary successions with quasisingle-level by a periodic autocorrelation function for the period p = 1 mod 4 are presented.
В [1,2] разработана теория спектров разности классов вычетов в простом поле Галуа. Эта теория была эффективно использована для синтеза новых регулярных правил кодирования полностью уравновешенных троичных псевдослучайных последовательностей с периодом p = 1 mod 4 [3,4]. Правила были получены обобщением результатов расчета на ЭВМ. В данной статье находятся необходимые и достаточные условия для применения вышеупомянутых правил. Исследования проводятся с использованием спектров разности классов вычетов (СРКВ) и циклотомических чисел.
Пусть р = 1 + 4Я — простое число и р > 5 . Обозначим через 0 первообразный корень простого поля Галуа ОР (р). Тогда все ненулевые элементы ОГ (р) можно упорядочить по степеням 0 и разбить на четыре непересекающихся класса
Рассмотрим правила построения дискретно-кодированных последовательностей (ДКП), при которых каждому из классов ставится в соответствие какое-либо число из множества {0,±1}, и изучим корреляционные свойства получаемых последовательностей. В [1] было
показано, что для этих целей удобно использовать математический аппарат спектров разностей классов вычетов. Напомним основные определения и соотношения.
СРКВ Ик и И1 будет матрица строка из четырех чисел £ (к, I) = (50, s1, s2, s3), где
si — число элементов множества {91+44 - 9к; t = 0, Я -1}, принадлежащих Иг-.
В [1] показано, что если двоичные последовательности (ДП) сформированы по правилу
то для периодической автокорреляционной функции (ПАКФ) ДКП X справедливо соотношение
Следовательно, изучение ПАКФ и ПВКВ в этом случае сводится к исследованию СРКВ. В [1] исследованы свойства СРКВ и, в частности, было показано, что
Введение
Определения и обозначения
Hk = {9k+4t, k = 0,3; t = 0, R -1}.
(1)
X x (т)» S (k, k), а для периодической взаимнокорреляционной функции X и Y
rx,y (т) » S(k, l).
Аналогично, если Z = X + Y, то
X z (т) = S (k, k) + S (l, l) + S (k, l) + S (l, k).
(2)
(3)
(4)
S(k,l) = DkS(0, < l - k >4),
(5)
где < l - k >4 — наименьший положительный вычет по модулю 4, а D — оператор циклического сдвига Хаффмена. Таким образом, как ПАКФ, так и ПВКФ ДКП, сформированных по правилу кодирования (1), определяются S(0, j) = (s0j, sjj,s2 j, s3). В этом случае siJ- является числом решений сравнения 9j+4t -1 = 0i+4s mod p для t,s = 0,R -1, т.е. совпадает с циклотомическим числом (j, i). В [5] приведены явные формулы циклотомических чисел для этого случая.
Для p = 1mod4 справедливо P = x2 + 4y2, x = (1)4. Запишем следующие соотношения, связывающие СРКВ и циклотомические числа.
Для R = 0mod2
S (0,0) = ((0,0), (0,1), (0,2), (0,3)),
S (0,1) = ((0,0), (0,3), (1,2), (1,2)), (6)
S (0,2) = ((0,2), (1,2), (0,2), (1,2)),
где
16(0,0) = p -11 - 6 x,
16(0,1) = p - 3 + 2x + 8y,
16(0,2) = p - 3 + 2x, (7)
16(0,3) = p - 3 + 2x - 8y,
16(1,2) = p +1 - 2x.
Для R = 1mod2
S (0,0) = ((0,0), (1,0), (0,0), (1,0)),
S (0,1) = ((0,1), (1,0), (1,0), (0,3)), (8)
S (0,2) = ((0,2), (0,3), (0,0), (0,1)),
где
16(0,0) = p - 7 + 2x,
16(0,1) = p +1 + 2 x - 8 y,
16(0,2) = p +1 - 6 x,
16(0,3) = p +1 + 2 x + 8y,
16(1,2) = p - 3 - 2x.
Сразу же заметим, что R = y2 + 2t + 4t2, т.е. четность y совпадает с четностью R.
Двоичные последовательности с одноуровневыми (квазиодноуровневыми) ПАКФ и ПВКФ
Пусть ДП X сформирована по правилу кодирования (1). Для иллюстрации метода докажем заново известный результат.
Лемма 1. ДП X имеет одноуровневую ПАКФ тогда и только тогда, когда
p = 4(2u +1)2 +1. В этом случае Х(т) = u(u +1).
Доказательство. Согласно (2) и (5) можно считать, что k = 0 и Х(т) о S(0,0). Таким образом, необходимым и достаточным условием одноуровненности Х(т) будет равенство компонент S(0,0). Согласно (6) и (7) для четного R это невозможно. Для нечетного R должно выполняться равенство (0,0) = (1,0). Последнее означает, что x = 1 и y = 2u +1. Тогда X = (p - 5)/4 = u(u +1). Это известное разностное множество биквадратичных вычетов.
Лемма 2. ДП X имеет двухуровневую ПАКФ тогда и только тогда, когда
p = 4(2u +1)2 + (1 + 4t)2 для t Ф 0. В этом случае Х(т) е {u(u +1) + t(t +1), u(u +1) +12}.
Доказательство. Если Я нечетно, то у = 2u +1, и согласно (8) Х(х) всегда имеет два уровня. Если же Я четно, то согласно (6) и (7) Х(х) имеет минимум три уровня.
Следствие 1. Если p = 4(2м +1)2 + 32 или p = 4(2м +1)2 + 52, то уровни ПАКФ отличаются на 1.
Рассмотрим теперь пару ДП X и Y, сформированных по правилу кодирования (1). В общем случае рельеф ПВКФ может иметь четыре уровня. Изучим наиболее интересные случаи.
Теорема 1. Пара ДП X и У имеет одноуровневую ПВКФ тогда и только тогда, когда
р = 16м2 +1 и |к -/| = 2. В этом случае Х = м2.
Доказательство. Согласно (3) и (5) можно считать, не нарушая общности, что к = 0 и I = 1 или I = 2. Следовательно, как и в лемме 1, все сводится к анализу £ (0,1) или 5” (0,2).
СРКВ £(0,1) не может иметь одинаковых компонент, так как (0,1) Ф (0,3).
Исследуем £(0,2). Если Я четное, из (6) и (7) следует (0,2) = (1,2), т.е. х = 1 и у = 2м. Тогда Х(т) = (р -1)/16 = и2. Для нечетного Я равенство невозможно. Теорема доказана.
Теорема 2. Пара ДП X и У, сформированных по правилу кодирования (1), имеет двухуровневую ПВКФ тогда и только тогда, когда:
1) р = 16м2 + (1 + 44)2, 4 Ф 0; |к -/| = 2. В этом случае Х(х) е{м2 + 42, и2 + 4(4 +1)};
2) р = 16м2 + (1 ± 4м)2 = 32м2 ± 8м +1; |к -/| = 1. В этом случае Х(х) е{м2, и(и ± 2)}.
Доказательство. Как и в предыдущей теореме, необходимо провести анализ СРКВ
£(0,1) и £ (0,2).
При Я = 0mod2 согласно (6) в £(0,2) всегда две компоненты, если х Ф1. Если же Я нечетное, то в £(0,2) всегда (0,1) Ф (0,3). Приравнивая к этим уровням остальные, получаем противоречие.
Исследуем теперь СРКВ £(0,1). Если Я четное, то из (6) следует либо (0,1) = (1,2), либо (0,3) = (1,2), т.е. р -1 - 2х = р - 3 + 2х ± 8у или 4 - 4х = ±8у, тогда 4 = ±м и р = 16м2 + (1 ± 4м)2. Уровни Х(х) вычисляются согласно (7). Если же Я нечетное, то либо (1,0) = (0,1), либо (1,0) = (0,3), т.е. р -3 - 2х = р +1 + 2х ± 8у или -164 = 16м + 8, что невозможно.
Следствие 2. Если р = 16м 2 + 3 или р = 16м 2 + 5, то рельеф Х(х) = {м 2 +1, м 2 + 2} для |к -/| = 2.
Аналогично, если взять 2 = X + У, то для |к - /| = 2 можно получить согласно (4) хорошо известный результат о рельефе ПАКФ, так как в этом случае 2 соответствует множеству квадратичных вычетов.
Троичные квазиортогональные последовательности
Рассмотрим теперь троичные последовательности (ТП), сформированные по следующему правилу кодирования:
и (о =
1, если i е Ик,
-1, если i е Иг,
0 в остальных случаях.
Согласно (4) и (5) в данном случае можно считать, не нарушая общности, что |к -/| = 1,2.
Теорема 3. Если |к -/| = 1, то г(х) имеет два уровня тогда и только тогда, когда р = 4(2м +1)2 + (1 + 44)2. В этом случае Х(т) е {м,-м -1}.
Доказательство. Можно считать, что к = 0 и I = 1. Тогда согласно (4) г(т) о £(0,0) + ££(0,0) - £(0,1) - £(1,0).
Если Я четно, т.е. у = 2м, то г(т) имеет уровни
1 — х — 3 у 1 — х + 3 у
м1 = (0,0) + (0,3) - 2(0,1) =--^-, м 2 = (0,1) + (0,0) - 2(0,3) =-----
1 — х + у 1 — х + у
м3 = (0,2) + (0,1) - 2(1,2) =--, м4 = (0,3) + (0,2) - 2(1,2) =--------.
Двухуровневая ПАКФ в этом случае невозможна.
Если же Я нечетно, т.е. у = 2м +1, то
у — 1 у + 1
м1 = (0,0) - (0,1) =—2— = м, м2 = (0,0) - (0,3) =---2— =-м -1, м3 = м1, м4 = м2.
Последнее и доказывает теорему.
Теорема 4. Если |к -/| = 2 и р = 4у2 + (1 + 44)2, то г(т) всегда имеет два уровня. Доказательство. Как и в теореме 3, достаточно проанализировать компоненты СРКВ: (м1,м2, м3, м4) = £(0,0) + £2£(0,0) - £(0,2) - £(2,0).
Если Я четно, то
х + 1 х — 1
м1 = (0,0) - (0,2) =--— = -24 -1, м2 = (0,1) - (0,3) - 2(1,2) = —— = 24, м3 = м1, м4 = м2.
Если же Я нечетно, то
х — 1 х + 1
м1 = (0,0) - (0,2) = —— = 24, м2 = 2(1,0) - (0,3) - (0,1) =-— =-24 -1, м3 = м1, м4 = м2.
В обоих случаях получаем требуемые уровни.
Заключение
Данные результаты дают необходимые и достаточные условия для ряда регулярных правил формирования двоичных последовательностей с квазиодноуровневыми ПАКФ и ПВКФ, а также определяют регулярные правила построения полностью уравновешенных квазиортогональных троичных последовательностей с двухуровневой ПАКФ.
1. Гантмахер В.Е. // Тр. 2-й Междунар. науч.-техн. конф. «Актуальные проблемы фундаментальных наук». М., 1994. С.В40-В43.
2. Гантмахер В.Е. // Вестник НовГУ. Сер.: Естеств. и техн. науки. 1995. №1. С.81-87.
3. Гантмахер В.Е. // Вестник НовГУ. Сер.: Естеств. и техн. науки. 1998. №10. С.77-81.
4. Гантмахер В.Е. // Вестник НовГУ. Сер.: Естеств. и техн. науки. 1999. №13. С.76-80.
5. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970. 423 с.
