Научная статья на тему 'О двоичных и троичных последовательностях с квазиодноуровневой периодической автокорреляционной функцией для p  1 mod 4'

О двоичных и троичных последовательностях с квазиодноуровневой периодической автокорреляционной функцией для p  1 mod 4 Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
84
30
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Гантмахер В. Е., Едемский В. А.

The necessary and sufficient conditions of existence of binary and ternary successions with quasi-single-level by a periodic autocorrelation function for the period 4 mod 1≡p are presented.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Гантмахер В. Е., Едемский В. А.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «О двоичных и троичных последовательностях с квазиодноуровневой периодической автокорреляционной функцией для p  1 mod 4»

УДК 669.78.27

В.Е.Гантмахер, В.А.Едемский

О ДВОИЧНЫХ И ТРОИЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ С КВАЗИОДНОУРОВНЕВОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ

ФУНКЦИЕЙ ДЛЯ p = 1 mod 4

The necessary and sufficient conditions of existence of binary and ternary successions with quasisingle-level by a periodic autocorrelation function for the period p = 1 mod 4 are presented.

В [1,2] разработана теория спектров разности классов вычетов в простом поле Галуа. Эта теория была эффективно использована для синтеза новых регулярных правил кодирования полностью уравновешенных троичных псевдослучайных последовательностей с периодом p = 1 mod 4 [3,4]. Правила были получены обобщением результатов расчета на ЭВМ. В данной статье находятся необходимые и достаточные условия для применения вышеупомянутых правил. Исследования проводятся с использованием спектров разности классов вычетов (СРКВ) и циклотомических чисел.

Пусть р = 1 + 4Я — простое число и р > 5 . Обозначим через 0 первообразный корень простого поля Галуа ОР (р). Тогда все ненулевые элементы ОГ (р) можно упорядочить по степеням 0 и разбить на четыре непересекающихся класса

Рассмотрим правила построения дискретно-кодированных последовательностей (ДКП), при которых каждому из классов ставится в соответствие какое-либо число из множества {0,±1}, и изучим корреляционные свойства получаемых последовательностей. В [1] было

показано, что для этих целей удобно использовать математический аппарат спектров разностей классов вычетов. Напомним основные определения и соотношения.

СРКВ Ик и И1 будет матрица строка из четырех чисел £ (к, I) = (50, s1, s2, s3), где

si — число элементов множества {91+44 - 9к; t = 0, Я -1}, принадлежащих Иг-.

В [1] показано, что если двоичные последовательности (ДП) сформированы по правилу

то для периодической автокорреляционной функции (ПАКФ) ДКП X справедливо соотношение

Следовательно, изучение ПАКФ и ПВКВ в этом случае сводится к исследованию СРКВ. В [1] исследованы свойства СРКВ и, в частности, было показано, что

Введение

Определения и обозначения

Hk = {9k+4t, k = 0,3; t = 0, R -1}.

(1)

X x (т)» S (k, k), а для периодической взаимнокорреляционной функции X и Y

rx,y (т) » S(k, l).

Аналогично, если Z = X + Y, то

X z (т) = S (k, k) + S (l, l) + S (k, l) + S (l, k).

(2)

(3)

(4)

S(k,l) = DkS(0, < l - k >4),

(5)

где < l - k >4 — наименьший положительный вычет по модулю 4, а D — оператор циклического сдвига Хаффмена. Таким образом, как ПАКФ, так и ПВКФ ДКП, сформированных по правилу кодирования (1), определяются S(0, j) = (s0j, sjj,s2 j, s3). В этом случае siJ- является числом решений сравнения 9j+4t -1 = 0i+4s mod p для t,s = 0,R -1, т.е. совпадает с циклотомическим числом (j, i). В [5] приведены явные формулы циклотомических чисел для этого случая.

Для p = 1mod4 справедливо P = x2 + 4y2, x = (1)4. Запишем следующие соотношения, связывающие СРКВ и циклотомические числа.

Для R = 0mod2

S (0,0) = ((0,0), (0,1), (0,2), (0,3)),

S (0,1) = ((0,0), (0,3), (1,2), (1,2)), (6)

S (0,2) = ((0,2), (1,2), (0,2), (1,2)),

где

16(0,0) = p -11 - 6 x,

16(0,1) = p - 3 + 2x + 8y,

16(0,2) = p - 3 + 2x, (7)

16(0,3) = p - 3 + 2x - 8y,

16(1,2) = p +1 - 2x.

Для R = 1mod2

S (0,0) = ((0,0), (1,0), (0,0), (1,0)),

S (0,1) = ((0,1), (1,0), (1,0), (0,3)), (8)

S (0,2) = ((0,2), (0,3), (0,0), (0,1)),

где

16(0,0) = p - 7 + 2x,

16(0,1) = p +1 + 2 x - 8 y,

16(0,2) = p +1 - 6 x,

16(0,3) = p +1 + 2 x + 8y,

16(1,2) = p - 3 - 2x.

Сразу же заметим, что R = y2 + 2t + 4t2, т.е. четность y совпадает с четностью R.

Двоичные последовательности с одноуровневыми (квазиодноуровневыми) ПАКФ и ПВКФ

Пусть ДП X сформирована по правилу кодирования (1). Для иллюстрации метода докажем заново известный результат.

Лемма 1. ДП X имеет одноуровневую ПАКФ тогда и только тогда, когда

p = 4(2u +1)2 +1. В этом случае Х(т) = u(u +1).

Доказательство. Согласно (2) и (5) можно считать, что k = 0 и Х(т) о S(0,0). Таким образом, необходимым и достаточным условием одноуровненности Х(т) будет равенство компонент S(0,0). Согласно (6) и (7) для четного R это невозможно. Для нечетного R должно выполняться равенство (0,0) = (1,0). Последнее означает, что x = 1 и y = 2u +1. Тогда X = (p - 5)/4 = u(u +1). Это известное разностное множество биквадратичных вычетов.

Лемма 2. ДП X имеет двухуровневую ПАКФ тогда и только тогда, когда

p = 4(2u +1)2 + (1 + 4t)2 для t Ф 0. В этом случае Х(т) е {u(u +1) + t(t +1), u(u +1) +12}.

Доказательство. Если Я нечетно, то у = 2u +1, и согласно (8) Х(х) всегда имеет два уровня. Если же Я четно, то согласно (6) и (7) Х(х) имеет минимум три уровня.

Следствие 1. Если p = 4(2м +1)2 + 32 или p = 4(2м +1)2 + 52, то уровни ПАКФ отличаются на 1.

Рассмотрим теперь пару ДП X и Y, сформированных по правилу кодирования (1). В общем случае рельеф ПВКФ может иметь четыре уровня. Изучим наиболее интересные случаи.

Теорема 1. Пара ДП X и У имеет одноуровневую ПВКФ тогда и только тогда, когда

р = 16м2 +1 и |к -/| = 2. В этом случае Х = м2.

Доказательство. Согласно (3) и (5) можно считать, не нарушая общности, что к = 0 и I = 1 или I = 2. Следовательно, как и в лемме 1, все сводится к анализу £ (0,1) или 5” (0,2).

СРКВ £(0,1) не может иметь одинаковых компонент, так как (0,1) Ф (0,3).

Исследуем £(0,2). Если Я четное, из (6) и (7) следует (0,2) = (1,2), т.е. х = 1 и у = 2м. Тогда Х(т) = (р -1)/16 = и2. Для нечетного Я равенство невозможно. Теорема доказана.

Теорема 2. Пара ДП X и У, сформированных по правилу кодирования (1), имеет двухуровневую ПВКФ тогда и только тогда, когда:

1) р = 16м2 + (1 + 44)2, 4 Ф 0; |к -/| = 2. В этом случае Х(х) е{м2 + 42, и2 + 4(4 +1)};

2) р = 16м2 + (1 ± 4м)2 = 32м2 ± 8м +1; |к -/| = 1. В этом случае Х(х) е{м2, и(и ± 2)}.

Доказательство. Как и в предыдущей теореме, необходимо провести анализ СРКВ

£(0,1) и £ (0,2).

При Я = 0mod2 согласно (6) в £(0,2) всегда две компоненты, если х Ф1. Если же Я нечетное, то в £(0,2) всегда (0,1) Ф (0,3). Приравнивая к этим уровням остальные, получаем противоречие.

Исследуем теперь СРКВ £(0,1). Если Я четное, то из (6) следует либо (0,1) = (1,2), либо (0,3) = (1,2), т.е. р -1 - 2х = р - 3 + 2х ± 8у или 4 - 4х = ±8у, тогда 4 = ±м и р = 16м2 + (1 ± 4м)2. Уровни Х(х) вычисляются согласно (7). Если же Я нечетное, то либо (1,0) = (0,1), либо (1,0) = (0,3), т.е. р -3 - 2х = р +1 + 2х ± 8у или -164 = 16м + 8, что невозможно.

Следствие 2. Если р = 16м 2 + 3 или р = 16м 2 + 5, то рельеф Х(х) = {м 2 +1, м 2 + 2} для |к -/| = 2.

Аналогично, если взять 2 = X + У, то для |к - /| = 2 можно получить согласно (4) хорошо известный результат о рельефе ПАКФ, так как в этом случае 2 соответствует множеству квадратичных вычетов.

Троичные квазиортогональные последовательности

Рассмотрим теперь троичные последовательности (ТП), сформированные по следующему правилу кодирования:

и (о =

1, если i е Ик,

-1, если i е Иг,

0 в остальных случаях.

Согласно (4) и (5) в данном случае можно считать, не нарушая общности, что |к -/| = 1,2.

Теорема 3. Если |к -/| = 1, то г(х) имеет два уровня тогда и только тогда, когда р = 4(2м +1)2 + (1 + 44)2. В этом случае Х(т) е {м,-м -1}.

Доказательство. Можно считать, что к = 0 и I = 1. Тогда согласно (4) г(т) о £(0,0) + ££(0,0) - £(0,1) - £(1,0).

Если Я четно, т.е. у = 2м, то г(т) имеет уровни

1 — х — 3 у 1 — х + 3 у

м1 = (0,0) + (0,3) - 2(0,1) =--^-, м 2 = (0,1) + (0,0) - 2(0,3) =-----

1 — х + у 1 — х + у

м3 = (0,2) + (0,1) - 2(1,2) =--, м4 = (0,3) + (0,2) - 2(1,2) =--------.

Двухуровневая ПАКФ в этом случае невозможна.

Если же Я нечетно, т.е. у = 2м +1, то

у — 1 у + 1

м1 = (0,0) - (0,1) =—2— = м, м2 = (0,0) - (0,3) =---2— =-м -1, м3 = м1, м4 = м2.

Последнее и доказывает теорему.

Теорема 4. Если |к -/| = 2 и р = 4у2 + (1 + 44)2, то г(т) всегда имеет два уровня. Доказательство. Как и в теореме 3, достаточно проанализировать компоненты СРКВ: (м1,м2, м3, м4) = £(0,0) + £2£(0,0) - £(0,2) - £(2,0).

Если Я четно, то

х + 1 х — 1

м1 = (0,0) - (0,2) =--— = -24 -1, м2 = (0,1) - (0,3) - 2(1,2) = —— = 24, м3 = м1, м4 = м2.

Если же Я нечетно, то

х — 1 х + 1

м1 = (0,0) - (0,2) = —— = 24, м2 = 2(1,0) - (0,3) - (0,1) =-— =-24 -1, м3 = м1, м4 = м2.

В обоих случаях получаем требуемые уровни.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Заключение

Данные результаты дают необходимые и достаточные условия для ряда регулярных правил формирования двоичных последовательностей с квазиодноуровневыми ПАКФ и ПВКФ, а также определяют регулярные правила построения полностью уравновешенных квазиортогональных троичных последовательностей с двухуровневой ПАКФ.

1. Гантмахер В.Е. // Тр. 2-й Междунар. науч.-техн. конф. «Актуальные проблемы фундаментальных наук». М., 1994. С.В40-В43.

2. Гантмахер В.Е. // Вестник НовГУ. Сер.: Естеств. и техн. науки. 1995. №1. С.81-87.

3. Гантмахер В.Е. // Вестник НовГУ. Сер.: Естеств. и техн. науки. 1998. №10. С.77-81.

4. Гантмахер В.Е. // Вестник НовГУ. Сер.: Естеств. и техн. науки. 1999. №13. С.76-80.

5. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970. 423 с.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.