О семействах бинарных последовательностей простого периода с квазиидеальной автокорреляцией Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

УДК 621.391.15

В.Е. Гантмахер, В. А. Едемский О СЕМЕЙСТВАХ БИНАРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ПРОСТОГО ПЕРИОДА С КВАЗИИДЕАЛЬНОЙ АВТОКОРРЕЛЯЦИЕЙ

Синтезированы бинарные последовательности, сформированные на основе классов степенных вычетов по модулю p=dR+1 для d=6,8 с автокорреляцией, близкой к нулевой.

V.E. Gantmaher, V.A. Edemsky ABOUT SIMPLE PERIOD BINARY SEQUENCES FAMILIES WITH QUASI-IDEAL AUTOCORRELATION

Synthesized binary sequences are presented in this article, formed on base of power residue classes by modulep=dR+1 for d=6,8 with autocorrelation near zero.

Введение

Бинарные последовательности z;={±1) (БП) с хорошей периодической автокорреляционной функцией (ПАКФ) часто используются в системах связи, радиолокации и гидролокации. Хорошо известны БП, соответствующие разностным множествам, сформированным на основе классов вычетов [1]. В [2] была разработана теория спектров разностей классов вычетов (СРКВ). В [3] предложена методика анализа и синтеза дискретно-кодированных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов по простому модулю, заключающаяся в комплексном использовании теории СРКВ и циклотомических чисел. Данная методика позволяет рассчитывать рельеф ПАКФ БП посредством разложения периода p на сумму квадратов целых чисел.

Цель настоящей работы заключается в синтезе БП простого периода p=dR+1, d=6,8 с ПАКФ А,(т), удовлетворяющей условию: |А,(т)| << R, то есть в синтезе БП с относительно небольшими значениями боковых лепестков (БЛ) ПАКФ. Исследование ПАКФ БП будет проведено, согласно [3], по следующей методике:

1. Разложение периода БПp на сумму квадратов целых чисел.

2. Расчет СРКВ.

3. Вычисление гармоник СРКВ с использованием явных формул для нахождения циклотомических чисел.

4. Анализ полученных соотношений для ПАКФ БП.

Пусть Нк = (9*+л, I = 0, Я -1} - класс степенных вычетов с номером к, к = 0, ё -1, где

9 - первообразный корень по модулю р.

Рассмотрим БП Z, сформированную по правилу кодирования (ПК):

иг (0 Л1-, если

^ [-1, в остальных случаях.

і є И,, Ик, Ип,

(1)

Анализ рельефов ПАКФ БП и синтез БП с квазиидеальной ПАКФ, сформированных на основе классов вычетов по модулю р для р=6

При ё=6 возможно 20 вариантов упорядоченных троек индексов (к,1,п), которые, с учетом циклических сдвигов, можно разбить на 4 множества.

10 ={(0,2,4), (1,3,5)},

/1 = {(0,1,2), (1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (0,4,5), (0,1,5)},

/2 = {(0,1,3), (1,2,4), (2,3,5), (0,3,4), (1,4,5), (0,2,5)},

/3 = {(0,1,4), (1,2,5), (0,2,3), (1,3,4), (2,4,5), (0,3,5)}.

Рельефы БЛ ПАКФ для троек индексов каждого из множеств / отличаются только циклическим сдвигом. В первом случае (/0) ДП X соответствует множеству квадратичных вычетов (невычетов), ее ПАКФ изучена [1]. Четвертый (/3) - сводится к третьему (/2) заменой

0 на 0-1и был изучен Холлом [4]. Таким образом, для определения возможных рельефов ПАКФ БП достаточно исследовать только /1.

Если р = 1 (шоё3), то справедливо разложение: р=Л2+3Б2, где А=3_/+1, А, В, /- целые

числа [5]. Обозначим через т - наименьший положительный вычет тё0 2 по модулю 3, где тё9 2 - логарифмическая функция (тё9 2=а означает, что 9“ = 2(шоё р)). Пусть М - разница между наибольшим и наименьшим уровнями БЛ ПАКФ БП.

Теорема 1. Если ё=6, то уровни БЛ ПАКФ БП, сформированной по ПК (1) для нечетного Я и (к,/,п)е/1, определяются следующими формулами:

Хіг - -1

Х2Z , Х32

8В

-1 ± —, если т - 0,

3

, 4(А ± В)

-1 ± —-------------, если т Ф 0.

3

Доказательство. Известно [1], что БЛ ПАКФ Х^т) ДП X и БЛ ПАКФ Хг(т) БП 2 свя-

заны соотношением:

Х 2 (т)- Р - 4( КХ -Х X (т)),

(2)

где іі є {±1}, хі є {0,1}, - 2хі -1, Ях - вес ДП. Для ПК (1) ЯХ=3Я. Таким образом,

X2 (т) - 4Хх (т)- р + 2 . СРКВ классов вычетов Ик и Иі обозначим через 8(к,/). Согласно [2], в этом случае уровни БЛ ПАКФ ДП X определяются СРКВ:

Xх (т) о 5(0,0) + 5(0,1) + 5(0,2) + Б3£(0,1) + Б8(0,0) + Б8(0,1) + Б38(0,2) + Б48(0,1) + Б28(0,0),

где Б - оператор циклического сдвига Хаффмена. В [3] показано, что СРКВ 8(0,д) определяется циклотомическими числами шестого порядка. Воспользовавшись явными формулами для вычисления циклотомических чисел шестого порядка [4], получаем следующие соотношения для БЛ ПАКФ ДП X:

3 р - 9 ± 8В

—--------------, если т - 0

12

3р - 9 ± 4(А ± В)

если т Ф 0.

Подстановка полученных значений ХХг) в (2) завершает доказательство теоремы.

Ж

Следствие 1.1. В условиях теоремы 1 ДО =

если т = 0

3 '

8 л+в|

если т Ф 0.

3

Л + В

Таким образом, наименьшие БЛ ПАКФ БП 2 будут, если —3— = +1. Этому условию

удовлетворяют периоды, определяемые следствием.

Следствие 1.2. Для (к,/,п)е/1 значения ПАКФ Х2(т)БП 2, сформированной по ПК (1) при ё=6, принадлежат множеству {-5,-1,3} в случае, когда период БП определяется следующими формулами:

1) р = 144м2 + 12и + 7,

2) р = 144м2 + 84м +19, где и - целое число.

Доказательство. Если р = 4(3м -1) + 3 (1 + 6м )2 = 144м2 + 12м + 7, то Л = -2 + 6м, В = -1 - 6м для т=1 и Л = -2 + 6м, В = 1 + 6м для т=2, то есть: у23 = -1 + 4. Второй вариант

рассматривается аналогично.

Условиям следствия 1.2 удовлетворяют периоды: р=19, 79, 139, 163, 607, 1063, ...

По изложенной ранее методике доказывается и следующая теорема.

Теорема 2. Если ё=6, то уровни БЛ ПАКФ БП, сформированной по ПК (1) для четного Я и (к,/,п)е/1, определяются следующими формулами:

= -3 , X22 = ^ Хзг , X42 =

3 + 8В 0

- 3 +—, если т = 0,

3 X X =

„ 4(Л + В) л , 52 , 62

- 3 + —--------- , если т Ф 0.

3

8В

1 + —, если т = 0,

3

, 4( Л + В)

1 + —----------, если т Ф 0.

8 Л + В|

Для т Ф 0 А8 > 3—- + 4, поэтому при синтезе БП 2 с квазиидеальной ПАКФ наи-

более интересен случай, когда |А + В| = 3 . В этом случае получаем следствие.

Следствие 2.1. Если (к,/,п)е/1, то для БП 2, сформированной по ПК (1) при ё=6 значения ПАКФ Х2(т) принадлежат множеству (-7,-3, 1, 5}, если:

3) р = 13 - 60м + 144м2,

4) р = 49 + 156м + 144м2, где м - целое число.

Значения р, удовлетворяющие условиям следствия 2.1: р= 37, 97, 313, 349, 709, 877, 937, 1129, 1489,. показывают, что рассматриваемые БП имеют достаточно плотную сетку периодов.

Теоремы 1, 2 обобщают результаты [2] на случай, когда при кодировании используются три класса вычетов и определяют семейства БП с квазиидеальной ПАКФ.

Используя изложенную выше методику, исследуем БП при ё=8, нечетном Я. В этом случае справедливо разложение: р = х2 + 4у2 = а2 + 2Ь2, х = 1 (шоё4), а = 1(шоё4), где х,у,а,Ь - целые числа [5].

Пусть БП 2 сформирована по ПК:

и2(о = {1, если /еЯк,^Яп,Н, (3)

[-1, в остальных случаях.

Как уже отмечалось ранее, достаточно рассмотреть случай, когда к=0. Для (0,/,п,^) всего возможно 35 вариантов, среди которых выберем шесть циклически независимых и не

3

сопряженных (варианты, сводящиеся к квадратичным или биквадратичным вычетам, здесь не рассматриваем):

Ь = {(0,1,2,3);(0,1,2,7); (0,1,6,7); (0,5,6,7)},

Ь2 = {(0,1,2,4);(0,1,3,7); (0,2,6,7); (0,4,5,6)},

Ь = {(0,1,2,5);(0,1,4,7); (0,3,4,5); (0,3,6,7)},

Ь4 = {(0,1,3,4);(0,1,5,6); (0,2,3,7); (0,4,5,7)},

Ь5 = {(0,1,3,5);(0,2,4,7); (0,2,5,6); (0,3,4,6)},

Ь = {(0,1,3,6);(0,2,5,7);(0,2,3,5);(0,3,5,6)}.

Согласно (2), X2 (т) = 4Хх(т)- р + 2, где ДП X, сформирована по ПК:

1 если /' е Нк, Н1, Нп, Нч,

их (0 = |л

[0, в остальных случаях.

Воспользовавшись формулами для вычисления циклотомических чисел восьмого порядка [4] для расчета соответствующих СРКВ, определим уровни БЛ БП, сформированных по ПК (3). Их значения приведены в таблице.

Уровни БЛ ПАКФ БП 2 для р = 8R + 1.

(0,1,2,3) у = 0(mod4) у Ф 0(mod4)

2^12 — 2 + х — 2 у — а — 2 — х + 2 у + а — 4Ь

2 2 N — 2 — х — 2 у + а + 4Ь — 2 + х + 2 у — а

2X32 — 2 — х + 2 у + а — 4Ь — 2 + х — 2 у — а

2X42 — 2 + х + 2 у — а — 2 — х — 2 у + а + 4Ь

(0,1,2,4)

12 4 —12 — 3х + 8 у — а + 4Ь —12 — х + 4 у + а

4 2 N — 4 + 3х + 4 у + а — 4 + х — а — 4Ь

4X32 — 4 + 3х — 4 у + а — 4 + х — а + 4Ь

4Х42 4 — 3х — 8 у — а — 4Ь 4 — х — 4 у + а

(0,1,2,5)

2Хц — 2 + х — 2 у — а — 2 + х + 2 у — а

2 2 N — 6 — 2 х + 2а -6

2X32 — 2 + х + 2 у — а — 2 + х — 2 у — а

2X42 2 2 — 2 х + 2а

(0,1,3,4)

2X12 -6 — 6 — 2 х + 2а

2 2 N — 2 + х — 2 у — а — 2 + х + 2 у — а

2X32 2 — 2 х + 2а 2

2X42 — 2 + х + 2 у — а — 2 + х — 2 у — а

(0,1,3,5)

4X12 — 4 + 3х — 4 у + а — 4 + х — а — 4Ь

2 4 —12 — 3х — 8 у — а + 4Ь —12 — х — 4 у + а

4 3 N 8 — 3х + 8 у — а — 4Ь 4 — х + 4 у + а

4X42 — 4 + 3х + 4 у + а — 4 + х — а + 4Ь

Окончание таблицы

(0,1,3,6)

2 1 N — 2 + х + 2 у — а - 2 - х - 2у + а - 4Ь

N сд — 2 + х — 2 у — а — 2 — х + 2 у + а + 4Ь

N сд - 2 — х — 2 у + а - 4Ь — 2 + х + 2 у — а

— 2 — х — 2 у + а + 4Ь — 2 + х — 2 у — а

Анализ формул таблицы показывает, что для того чтобы уровни БЛ ПАКФ были близки к нулю, необходимо выполнение следующих условий: у»Ю и а^х для первого, третьего, четвертого и шестого вариантов или у»Ю и а^-3х для второго и пятого вариантов.

Исследуем найденные необходимые условия. Если а^-3х, то: у2 « 8х2 + 2Ь2, тогда с ростом р условие у«0 не будет выполняться. Таким образом, в вариантах Ь2,Ь5 при относительно больших значениях р ПАКФ не будет квазиидеальной.

Равенство а=х невозможно, так как 4у2 Ф 2Ь2. В этом случае: а«х ± 4 и

Ь2 « ±8х +16 + 4у2, то есть при малых значениях у и относительно большом р значение Ь также будет велико, таким образом, в вариантах Ь1уЬ6 ПАКФ не будет квазиидеальной.

В вариантах Ь3,Ь4 при малом значении у и а^х ПАКФ будет иметь небольшие уровни БЛ, в частности, имеет место теорема 3.

Теорема 3. Если (к,/,п,д)е£3, то значения ПАКФ кг(т) БП 2, сформированной по ПК (3) при ё=8, принадлежат множеству {-7,1}, если р = 89 -80м -96и2 + 256м3 + 256м4 ( р = х2 + 64 = (х + 4)2 + 2Ь2), множеству {-7,-3, 1, 5}, если р = 41 + 80м + 144м2 + 128м3 + 64м4 ( р = х2 +16 = (х - 8)2 + 2Ь2), множеству {-7,-3,-3, 9}, если р = 25 + 48м2 + 64м4 ( р = х2 +16 = (х + 8)2 + 2Ь2) и, для указанных периодов, соответственно множествам {-7,-3, 1, 5}, {-11, 1, 1, 5}, {-7,-3, 1, 5}, если (к,/,п,д)е£4. При достаточно больших периодах |к2 (т)| << р, БП является квазиидеальной.

Доказательство. Если р = х2 + 64 = (х + 4)2 + 2Ь2, то у = 4, а = х + 4 и, согласно таблице, к12 = -7, к2 3 42 = 1. Другие варианты рассматриваются аналогично.

Ряд значений р, удовлетворяющих условиям теоремы 3: р=73, 89, 1913, 5689, 26633, 80153, 41, 457, 27241, 60041, 525641, 137, 5641, 84697, 156041. показывает, что рассматриваемые БП имеют достаточно плотную сетку периодов.

Заключение

Определены рельефы ПАКФ для БП, сформированных на основе классов степенных вычетов по модулю р=оК+1 для ^=6,8. Найдены новые и обобщены известные ПК БП с квазиидеальной ПАКФ. Найдены семейства БП с одинаковым рельефом ПАКФ, имеющие одинаковые формулы для вычисления периода р, боковых лепестков ПАКФ (к(т)).

ЛИТЕРАТУРА

1. Винокуров В.И. Дискретно-кодированные последовательности / В.И. Винокуров, В.Е. Гантмахер. Ростов-н/Д., 1990. 293 с.

2. Гантмахер В.Е. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка /

В.Е. Гантмахер, Н.Е. Быстров, Д.В. Чеботарев. СПб.: Наука и техника, 2005. 400 с.

3. Гантмахер В.Е. Методика анализа и синтеза ДКП, формируемых на основе классов вычетов по модулю р / В.Е. Гантмахер, В.А. Едемский. НовГУ. Новгород, 2005. 49 с. Рус. -Деп. в ВИНИТИ № 1737-В2005 26.12.05.

4. Холл М. ^мбинаторика / М. Холл. М.: Мир, 197G. 423 с.

5. Бухштаб A.A. Теория чисел / A.A. Бухштаб. М.: Наука, 1966. 384 с.

Гантмахер Владимир Ефимович -

доктор технических наук, профессор кафедры «Радиосистемы»

Новгородского государственного университета

Едемский Владимир Анатольевич -

кандидат физико-математических наук,

докторант кафедры «Прикладная математика и информатика»

Новгородского государственного университета

Статья поступила в редакцию 05.09.06, принята к опубликованию 10.10.06