Синтез шумоподобных фазокодированных последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 150, кн. 2

Физико-математические пауки

2008

УДК 621.391.266

СИНТЕЗ ШУМОПОДОБНЫХ

ФАЗОКОДИРОВАННЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

А.Н. Леухип, Н.В. Парсаев

Аннотация

Предложен обобщенный метод синтеза фазокодироваппых последовательностей (ФКП) с заданным значением уровня боковых лепестков одноуровневой циклической автокорреляционной функции (АКФ). Приведены результаты синтеза новых кодовых последовательностей.

Ключевые слова: шумоподобпые сигналы, фазокодироваппые последовательности, одноуровневая циклическая автокорреляционная функция, аналитическое решение задачи синтеза фазокодироваппых последовательностей.

1. Постановка задачи синтеза

Проблемой синтеза шумоподобных сигналов, начиная с работы [1]. занимаются многочисленные научные коллективы [2 5]. Шумоподобпые последовательности обладают одноуровневой АКФ со значением уровня боковых лепестков, значительно меньшим значения главного отсчета. Особый интерес среди таких кодов представляют фазокодироваппые последовательности. В работах [6. 7] ранее уже обсуждались вопросы синтеза ФКП. а в работе [8] были рассмотрены вопросы практического применения синтезированных кодов.

Дискретную ФКП Г = {Yn}0 N-i можно представить в виде:

Yn = exp (itfn), n = 0 ,...,N — 1. (1)

Циклическую АКФ можно определить па основе выражения:

N-1

Пт =^3 Yn+т( mod N) • Yn= 0 1 . . . > N - 1 (2)

n=0

Нулевой отсчет циклической АКФ должен быть равен размерности кодовой последовательности no = N, а все остальные отсчеты (боковые) должны принимать одинаковое значение a: ni = V2 = ... = Vn-1 = a. Значение уровня боковых лепестков a может быть любым вещественным числом из диапазона a £ [am;n, amax], где верхняя граница диапазона может принимать значение amax = N, а нижняя граница amin удовлетворяет уеловию amin > N/(1 — N). На основании выражений (1), (2) задача синтеза ФКП с одноуровневой АКФ при условии ^>0 = 0o сводится к решению системы уравнений

для четных N K = N/2 — 1, n = 1, 2,... ,K:

N-n-1

COs(<n) +COs(<N-n) + I] COs(<m — <m+n) +

m=1

n-1

+ 2 cos (<m — <m+N-n) = a,

m= 1 N-K-1

cos(^K) + I] cos(^m — <m+K )= a/2, (3)

m= 1

N-n-1

SÍn(^n) — SÍn(^N-n) — S SÍn(^m — <m+n) +

m=1

n-1

+ J] Sin (<m — <m+N-n) = 0. m= 1

для нечетных N, K = N — 1/2, n =1, 2,... ,K:

N-n-1

COs(<n) +COs(<N-n)+ 2 COs(<m — <m+n) +

m=1

n-1

+ I] COS (<m — <m+N-n) = a, m= 1

N-n-1

Sin(^n) — sin (<N-n) —2 Sin(^m — <m+n) +

m=1

n-1

+ ^ Sin (<m — <m+N-n) = 0. m= 1

Произвольное решение системы уравнений (3). (4) будет иметь вид:

Ф = [<° = 0° <1 <2 ... <N-1] , (5)

где неизвестными являются углы поворотов элементов кода <1, <2,..., <n-1 •

(4)

2. Анализ корней системы уравнений для синтеза ФКП

Для произвольной размерности N может существовать К решений, полученных в результате линейных преобразований некоторого исходного решения:

Фт

ф(°) фШ ... фС^-1)

(6)

Каждая строка матрицы представляет собой некоторое решение вида (5) системы уравнений (3), (4). На основании исходного решения системы уравнений в общем случае можно сформировать К = N автоморфных решений вида:

(k)

<n = <n+k mod (N) — <k,

и K = N сопряженных им решений вида

<nk+N) = <k — <n+k mod (N),

= 0,1,...,N- 1, k = 0,1,...,N- 1.

(7)

(8)

Кроме того, на основании единственного решения (5) системы уравнений можно сформировать еще К = ^ ^) изоморфных решений вида:

(k)

<n = <nAk mod (N^

(9)

Ak - число взаимно-простое с N, k = 0,1,..., f (N) — 1, f (N) - функция Эйлера от числа N, п = 0,1,...,N — 1, а также применить к изоморфным решениям преобразования вида (8).

Таким образом, максимальное число возможных кодовых последовательностей (изоморфных, автоморфных и сопряженных решений), полученных на основе некоторой кодовой последовательности общего вида, определится как:

K = 2 • f (N) • N. (10)

В случае равенства нулю уровня боковых лепестков a = 0 от решений одного вида можно перейти к решениям другого вида на основании следующих преобразований:

2п

№ + -п-к> (И) n = 0,1,..., N — 1, k = 0,1,..., N — 1.

Для решения системы уравнений (3). (4) применим следующий подход. Систему тригонометрических уравнений (3). (4) можно заменить системой алгебраических уравнений, используя подстановки вида

1-tg3^ 2tg Щ-

COS Vn = -^, Sin <рп = -

1 + tg2^ 1 + tg2^

и вводя формальные переменные вида tg-^p- = хп , где п = 1, 2,..., N — 1. Выражая последовательно корни одного уравнения системы через корни других уравнений системы, на последнем шаге получим некоторое алгебраическое уравнение степени k

fk (a) xk + /fc_i (a) xk-i + • • • + Д (a) x + fo (a) = 0, (12)

где fi (a) - различные многочлены, где k < 2N.

Далее выполним факторизацию параметрического многочлена вида f (x) = = fk (a) xk + fk-i (a) xk-i +... + fi (a) x+fo (a) над полем вещественных значений a. Затем для каждого неприводимого многочлена fi (x) в разложении f (x) = fj (x)

xn x2 * * *

которое будет давать

найдем хотя бы одно решение вида x(i)

одно исходное i-e решение типа (5). Применяя преобразования (7)-(9) к каждому полученному решению, сформируем все возможные решения, соответствующие многочлену /¿ (ж).

На рис. 1 приведено графическое представление ФКП в комплексной плоскости в виде некоторого N-мерного вектора (контура). Каждому кодовому элементу y„ ставится в соответствие вектор единичной длины с углом поворота .

Угол поворота откладывается против часовой стрелки от оси. параллельной действительной оси. Начало каждого последующего вектора совпадает с концом предыдущего. Начало пулевого вектора y0 совпадает с началом системы коорди-

3. Графическое представление траекторий движения ФКП

Процесс формирования траекторий движения ФКП представлен на рис. 2 на примере кодовой последовательности размерности N = 4.

Рис. 1. Графическое представление ФКП в комплексной плоскости

При изменении уровня боковых лепестков a от значения amin до значения amax ФКП «разворачиваются» от некоторого начального контура, соответствующего значению amin, до конечного «выпрямленного» контура, соответствующего значению amax = N. При этом начальной кодовой последовательности при amin = N/(1 — N) соответствует замкнутый контур, а конечной кодовой последовательности Гт = [111 ... 1] всегда соответствует контур в виде прямой линии, состоящий из векторов единичной длины, направленных вправо. Графическое изображение ФКП, представленной на первом рис. 2 соответствует минимально возможному уровню боковых лепестков a = amin = —4/3, при этом образуется замкнутый контур. Спектральные и корреляционные отсчеты представлены справа от соответствующих контуров. С увеличением значения уровня боковых лепестков a

«выпрямляется», как показано на рис. 2. При этом меняются значения углов поворота каждого вектора в составе контура по определенному закону. Соответственно, меняются спектральные и корреляционные характеристики. На последнем из рис. 2 представлен конечный выпрямленный контур и его корреляционные и спектральные характеристики. Конец последнего вектора в составе контура описывает траектории, отображенные на рис. 2 в виде пунктирных кривых.

Аналитическое решение системы уравнений (3), (4) приводит к трем исход-N=4

получить все возможные остальные решения.

1) Для а £ [—1,0] и а = 4 получим первое исходное решения вида:

а — а/ а? — 4 а

(ро = 0, ifi = arccos---, ip2 = tpi + <рз-

На рис. 3 такому решению будет соответствовать траектория движения, образованная кривой линией между точками 4 и 3. С помощью преобразований (7) можно получить решения вида:

а + а/ а2 — 4а а + \/ а2 — 4а а — а/ а2 — 4а (fo = 0, (pi = arccos---, (f 2 = arccos----arccos---

(образует нижнюю дугу между точками 4 и 2):

а — \/ а2 — 4а

(ро = 0, (pi = 2тт — arccos---,

а + а2 — 4а а — \/ а2 — 4а а + \/ а2 — 4а

<Р2 = 2я" —arccos----arccos---, íp-¿ = 2ir — arccos

(образует дугу между точками 4 и 5):

^о = 0, у>1 = 2п — arccos

а + а2 — 4а

Т 0° 70,529° 250,529° 180°

i t—

1 \< '1 f— ч—

V-

^— тт

V .

453 Т 0° 90° 18 o9 33.5 44.55

\

— 4 <-- ^—

- ^ — ?f—

\

Т 0° 72° 216° 144°

Циклическая АКФ

Циклическая АКФ

Циклическая АКФ

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 ^10 12 3 4

Энергетический спектр

Т 0° 180° 180° 180°

Циклическая АКФ

-А

Энергетический спектр

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 "10 12 3 4

Т 0° 0° 0° 0°

Энергетический спектр

ш

hz

ZÁ

Энергетический спектр

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 '"101234

¥ 0° 135° 180° 135°

Циклическая АКФ

X;

А

Энергетический спектр

'.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 М 0 1 2 3 4

¥ 0° 258,463° 258,463° 258,463°

Циклическая АКФ

!

f- \ /-

\ 4 А V -4

i

»4 ■

г

•Л

Энергетический спектр

5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 1-1 0 1 2 3 4

Циклическая АКФ

4-

14- Y

Л •Л

-V.

Энергетический спектр

Рис. 2. Пояснение к процессу формирования траекторий движения при N = 4

а — л/ а2 — 4 а а + л/а2 —4 а а — а2 — 4а (р2 = arceos----arceos--- , <£>3 = arccos-—-

(образует верхнюю дугу между точками 4 и 2).

Преобразования вида (8) приведут к решениям, совпадающими с рассмотренными. С помощью преобразований (9) получим изоморфные решения вида:

а + V о? —4а а — Vа2 —4 а

(ро =0, (fi = arccos---, (рз = arccos---, 922 = <fi + ^з

5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 -0 --0.5 --1 -1.5 --2 --2.5 --3 --3.5 --4 --4.5 --5

—■ Г- \ " N

ТГ HÉ-/

t- /-

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

Рис. 3. Точки бифуркации па траекториях движения (образуют дугу между точками 4 и 3):

<ро =0, да = arceos ■

а — а/ а? — 4 а

4

а + \/ а2 — 4а а — а/ а2 — 4а (р 2 = arceos----arceos---, да = arceos

а + \J а? — 4а

44 (образует нижнюю дугу между точками 4 и 2);

да = 0, да = 2п — arccos

а + а2 — 4а

4

а + \/ а2 — 4а а — а/ а2 — 4а да = 27Г —arccos----arccos---, да = 2тг — arccos

(образует дугу между точками 4 и 5):

а — а/ а? — 4 а

да =0, да = arccos ■

. — а/ а2 — 4а

а — а/ а2 — 4а а + а/ а2 — 4а а + а/ а2 — 4а да = arccos--arccos-, да = 27г — arccos-

4 4 ' 4

(образует верхнюю дугу между точками 4 и 2).

Преобразования вида (8) приведут к решениям, совпадающими с рассмотренными.

2) Для a £ [0, 4] получим второе исходное решение вида:

да = 0, да = да = да = агссоэ - 1

(образует верхнюю дугу между точками 6 и 1).

С помощью преобразований (7) можно получить решения вида:

да = 0, да = да = 0, да = arccos - 1 (образует верхнюю дугу между точками 2 и 1):

4

/а

ро =0, р1 = <р2 = 0, р3 = агссов - 1 (образует верхнюю дугу между точками 2 и 1):

а

р0 = 0, р2 = рз = о, р 1 = агссов - 1

(образует верхнюю дугу между точками 2 и 1).

Применяя к ним преобразования вида (8) получим решения вида:

а

ро =0, <р\ = р, = р3 = 2тт — агссов — 1 (образует нижнюю дугу между точками 6 и 1):

а

ро = 0, <р\ = рз = 0, р2 = 2тт — агссов — 1 (образует нижнюю дугу между точками 2 и 1)

ро = 0, р1 = р2 =0, рз = I (образует нижнюю дугу между точками 2 и 1).

а

(ро = 0, <р1 = р2 = 0, рз = 2тг — агссов ( - - 1

а

(ро = 0, р2 = рз = 0, <р\ = 2тт - агссов - 1

(образует нижнюю дугу между точками 2 и 1).

Для приведенного решения изоморфные решения, задаваемые преобразованием (9). совпадут с автоморфными решениями, задаваемыми преобразованиями (7). а=0

Ф = [0 р п р], где р £ [0, 2п] .

Это решение образует окружность радиусом К = 2 с центром в точке 4 с координатами (0; 0), проходящую через точки 2, 3, 6 и 5.

Преобразования вида (8) приведут к решению:

Ф = [0 р 0 р + п], где р £ [0, 2п] .

Это решение образует бесконечное множество решений в одной точке 2.

Таким образом, проведенный анализ траекторий движений на примере размерности кодовой последовательности N = 4 позволяет сделать следующие выводы и ввести некоторые определения:

Определение 1. Точками бифуркации назовем точки пересечения траекторий движения.

Например, точки 1 6 точки бифуркации на рис. 3. Эти точки задают граничные значения ат^ и атах для области допустимых значений а - уровня боковых лепестков различных уравнений, полученных при решении системы уравнений (3). (4). Их можно рассматривать аналогично синергетическим точкам бифуркации, являющихся начальным и конечным значениями для конкретной ветки одного из возможных решений системы уравнений (3). (4).

Определение 2. Точкой сингулярности траектории движения является точка, в которой существует бесконечное множество решений.

Для N = 4 такой точкой является точка 2 на рис. 3.

Определение 3. Каждому участку траектории между двумя соседними точками соответствует одно или сразу несколько решений системы уравнений (3). (4).

Например, для N = 4 (рис. 3):

- каждая точка окружности с радиусом Д = 3 и с центром в точке (1; 1), проходящей через точки 1 и 6, соответствует только одному решению:

- каждая точка окружности с радиусом Д = 2 и с центром в точке 4 с координатами (0; 0), проходящей через точки 2, 3, 6 и 5, (кроме точки 2), соответствует также только одному решению:

каждая точка дуг между точками 4 и 3, 4 и 2 (верхней и нижней), 4 и 5 соответствует двум решениям.

каждая точке дуг между точками 2 и 1 (верхней и нижней) соответствует трём решениям.

Определение 4. Число решений в одной точке траектории движения назовём энтропией и обозначим через Н.

В точке сингулярности энтропия Н = го. В точках бифуркации для N = 4

Н = 1 Н = 4

Н = го в точке 2, которая одновременно является и точкой бифуркации и точкой сингулярности. Если в какой-нибудь точке траектории движения будет разрыв,

Н=0

всегда будет удовлетворять условию

0 < Н < го. (13)

Определение 5. Число возможных решений, соответствующих заданному значению уровня боковых лепестков а, обозначим через Р и назовём мощностью кода.

Если провести окружность с центром в начале координат и радиусом

Д= л/{а+ 1)ЛГ-о, (14)

то точки пересечения данной окружности с кривыми траекторий движения последнего вектора контура ФКП на комплексной плоскости будут задавать решения,

а

ность кода определится как сумма энтропий во всех точках пересечения окружности с радиусом (14) с траекториями движения:

Р = £ Н (п), (15)

п=0

где Ь - число точек пересечения окружности с кривыми траекторий движения, п

Например, при а = ат;п = N/(1 — N) из (14) следует, что Д = 0, и окружность вырождается в точку, совпадающую с началом координат. При а = атах = N из (14) следует, что Д = N и окружность будет касаться крайней правой точки траектории движений и соответствовать решению Гт = [111 ... 1].

На рис. 4 представлено полное семейство возможных решений при уровне боковых лепестков а = — 1. В этом случае Д = 1 и в точках пересечения с линиями, соответствующими линиям траекторий движения, показаны восемь возможных ФКП. Все 8 последовательностей имеют одинаковые циклические АКФ и

одинаковые энергетические спектры. Движение по окружностям с центром в начале координат не приводит к изменению уровня боковых лепестков циклической АКФ и уровня отсчетов энергетического спектра. Такие ФКП образуют бесконечное множество решений для фиксированного уровня боковых лепестков а, Р = то. Заметим, что в точках сингулярности также Р = то.

На рис. 5 приведены все возможные траектории движения ФКП при изменении уровня боковых лепестков в пределах допустимых значений а € [ат;п; атах] для размерностей N = 2 ^ 10.

Как следует из рис. 5, с ростом размерности N наблюдается значительное увеличение числа линий на кривых траекторий движения, что соответствует росту

Р

4. Аналитические решения задачи синтеза

Применив разработанный и описанный выше подход к синтезу ФКП с заданным уровнем боковых лепестков, получим следующие аналитические решения:

1) для размерностей N = р = 4к +1, а €

N 1-ДГ'

N

у = агссов

-1+ ^/N+(N-1)-. N — 1

1,2,..., N - 1,

(16)

У«

у, если п — квадратичный вычет по модулю N —у, в противном случае;

2) для размерностей N = р = 4& +1, а €

N 1-ДГ'

у = агссов

-1 - -у/ЛГ + (ЛГ - 1)-N - 1

Я-4

п = 1, 2,..., N — 1,

(17)

Уп

у, если п - квадратичный вычет по модулю N —у, в противном случае;

3) для размерностей N = р =22 +1, а €

N l-N

N

с = 1 - V (о + 1) N ~ «=-гт—;-,

N — 1

(Ж - 1)й2 + 2сУ(Ж- ^(-а/Ж^Т+Й^)

а = агссов

—N + (N — 1) й2

п = 1, 2,..., N — 1,

(18)

Уп

в = агссоэ (й),

а, если п - квадратичный вычет по модулю N

—а, если п - четверичный вычет по модулю N

в, если п - квадратичный невычет по модулю N

_ — в, если п - четверичный невычет по модулю N;

4) для размерностей N = р =22 +1, а €

й =

« ЛГ-2

1—лг' "

-1 + -у/ЛГ (./V — 1) - -у/ЛГ (о + 1) — о — у N (а + 2) — а —

N - 1

а

¥ 0" 72" 216" 144"

т 0" 288" 144" 216"

• "4

*

/ *

л •

1' т > Т- / V,

\ •г 1 < /

ь

1. ? — \ А

! •

% 4 > -

_ р .

¥ 0" 144" 72" 288"

¥

Г

"4 "3.5 "3 "2.5 "2 "1.5 "1 "0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

т 0" 288" 72" 144"

*

4

/

1 -

1 / \

\ \ /

к, V л

V / > \ л

% 4 _ » -

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

т 0" 216" 288" 72"

" * - .

*- /

/ -

} 1 V, / V,

^ > 1

л

\ ,1 \ /

! \

.*

- _

"4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 "1 "0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

т 0" 216" 144" 288"

"4 "3.5 "3 -2.5 "2 "1.5 "1 "0.5 0 0.5 1 1.5 2

т 0" 144" 216" 72"

3 3.5 4 4.5 5

( '

4 1— V-

V* К- к—

Л, /

"4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 "1 "0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

т 0" 72" 288" 216"

* * *

*

/ *

/ » >

1 / / V,

\ / / /

ч

V \ А

1 !

Ч. »

- „

"2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-4

Рис. 4. Семейство ФКП размерности N = 4, а = — 1

Рис. 5. Примеры всех возможных траекторий движения последнего вектора контура ФКП па комплексной плоскости

а = arccos

1, 2,...,N - 1,

-\Jn+ (N - l)d2 +2d^(N - l)N (-^/W^T+dVN^)

-N + (N - 1) d2

(19)

¥>n =

в = агееов (¿),

а, если п - квадратичный вычет по модулю N

—а, если п - четверичный вычет по модулю N

в, если п - квадратичный невычет по модулю N

_ — в, если п - четверичный невычет по модулю N;

Отметим, что другие решения системы уравнений (3). (4) представлены в работах Гб. 81.

Заключение

Рассматриваются основные положения обобщенной теории синтеза ФКП с заданным уровнем боковых лепестков. Приведены аналитические выражения для синтеза новых кодовых последовательностей для синтеза новых ФКП с уровнем

боковых лепестков a (Е

N 1-N

N

для размерностей N = p = 4k + 1 и выражения

для синтеза новых кодовых последовательностей с уровнем боковых лепестков цик-

лической АКФ a £ чисел Ферма.

N 1 — N 7

N2

для размерностей N = p = 22 + 1 - простых

Работа выполнена при финансовой поддержке по темам НИР в рамках гранта Президента РФ МД-63.2007.9 и гранта РФФИ 07-07-00285.

Summary

A.N. Leukhin, N.V. Parsaev. Synthesis and Analysis of Pliase-Coded Sequences.

Generalized method for synthesizing phase-coded sequences with the given level of side lobes of one-level cyclic autocorrelation function is offered. The results of new coded sequences' synthesis are shown.

Key words: like-noise signals, phase-coded sequences, one-level cyclic autocorrelation function, analytical decision of phase-coded sequences synthesis problem.

Литература

1. Woodward P.M. Probability and Information Theory with Applications to Radar. N. Y.: McGraw-Hill, 1953.

2. Кук Ч., Берифельд M. Радиолокационные сигналы. Теория и применение. М.: Сов. радио, 1971.

3. Свердлик М.Б. Оптимальные дискретные сигналы. М.: Сов. радио, 1975.

4. Варакии JI.E. Системы связи с шумоподобпыми сигналами. М.: Радио и связь, 1985.

5. Гаитмахе.р В.Е., Быстрое Н.Е., Чеботарев Д.В. Шумоподобпые сигналы, анализ, синтез, обработка. СПб.: Наука и техника, 2005.

6. Leukhin A.N. Algebraic solution of the synthesis problem for coded sequences // Quantum Electronics. 2005. V. 35, No 8. P. 688 692.

7. Леухин А.Н., Корнилова Л.Г., Тюкаео А.Ю. Выбор модулирующей последовательности для кодового разделения каналов в оптической памяти па основе фотонного эха // Изв. РАН. Сер. физ. 2008. Т. 72, Л» 1. С. 73 75.

8. Леухин А.Н., Тюкаео А.Ю., Бахтин С.А., Корнилова Л.Г. Новые фазокодировап-пые последовательности с хорошими корреляционными характеристиками // Электромагнитные волны и электронные системы. 2007. Л*' 6. С. 51 54.

Поступила в редакцию 15.02.08

Леухин Анатолий Николаевич доктор физико-математических паук, профессор Марийского государственного технического университета, г. Иошкар-Ала.

Парсаев Николай Владимирович аспирант Марийского государственного технического университета, г. Иошкар-Ала.

Е-шаП: cudeemarstu.net