CC BY
33УДК 621.391
А. Н. Леухин
Марийский государственный технический университет
Импульсные фазокодированные последовательности с единичным уровнем боковых лепестков1
Поставлена задача построения фазокодированных последовательностей с двухуровневой импульсной автокорреляционной функцией. Приведены примеры решения задачи синтеза в аналитическом виде для некоторых "малых" длин (N = 2,3,4). Как частный случай рассмотрено численное решение задачи синтеза фазокодированных последовательностей с одноуровневой импульсной автокорреляционной функцией длин N = 5...17.
Фазокодированные последовательности, одноуровневая импульсная автокорреляционная функция, многофазные коды Баркера, последовательности с минимальным уровнем боковых лепестков
Импульсные дискретные последовательности играют большую роль в радиолокационных системах. Фазокодированные дискретные импульсные последовательности имеют пик-фактор, равный единице, поэтому методам их построения уделяется особое внимание.
Различают следующие виды бинарных (фазоманипулированных) последовательностей с хорошими корреляционными характеристиками:
• оптимальные бинарные последовательности с минимальным уровнем боковых лепестков (minimum peak sidelobe - MPS);
• субоптимальные бинарные последовательности с малыми максимальными боковыми лепестками.
Примером MPS-последовательностей являются бинарные коды Баркера, имеющие уровень боковых лепестков max|rT | = 1. Другие MPS-последовательности имеют максимальный уровень боковых лепестков импульсной автокорреляционной функции (ИАКФ), принимающий минимально возможные значения max|rT | = 2, 3, ... для заданной длины N .
Задача синтеза бинарных последовательностей, оптимальных по минимаксному критерию, формулируется следующим образом. Для заданной длины N бинарной последовательности найти минимально возможное значение уровня a боковых лепестков min |a| при условии, что каждый отсчет ИАКФ дискретной последовательности удовлетворяет условию |rT | < min |a|, т = 1, 2, ..., N -1.
Принято считать, что "в настоящее время не только нет регулярного метода синтеза бинарных фазоманипулированных сигналов, оптимальных по минимаксному критерию, но даже нельзя ответить на вопрос, насколько известные сигналы с большим числом позиций N близки к оптимальным" [1]. Такая ситуация возникла из-за того, что до сих пор не удается построить аналитический метод решения задачи и на его основе найти эффективную вычислительную процедуру. Поэтому для построения MPS-последовательностей используется метод полного перебора всех возможных бинарных кодов заданной длины N. Вычислительный ресурс, необходимый для глобальной оптимизации, экспоненциально возрастает с
1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 09-07-00072-а. © Леухин А. Н., 2009
увеличением длины кода N и выходит за грань реальности при длинах N > 70. Обзор проблемы и результаты построения MPS-последовательностей приведены в работе [1].
К настоящему времени получены следующие результаты при построении MPS-по-следовательностей [2]:
• синтезированы последовательности с максимальным уровнем боковых лепестков ИАКФ, равным max\r%\ = 1 (бинарные коды Баркера), для длин N = 2, 3, 4, 5, 7,11,13 ;
• синтезированы последовательности с максимальным уровнем боковых лепестков ИАКФ, равным max \rx\ = 2, для длин N = 6; 7 < N < 10; N = 12, 13 < N < 22; N = 25, 28;
• синтезированы последовательности с максимальным уровнем боковых лепестков max |rT| = 3 длин N = 22, 23, 24, 26, 27; 28 < N < 48 и N = 51;
• максимальный уровень боковых лепестков max |rT| = 4 имеют MPS-последовательности длин N = 49, 50 и 52 < N < 69 .
В настоящее время выдвинуто предположение [2], что для любого заданного max |rT| существует предельная длина бинарного кода N с этим уровнем боковых лепестков, а именно для MPS-последовательностей с уровнем max |rT| = 1 (кодов Баркера) максимальная длина кода N = 13, для MPS-последовательностей с уровнем max |rT| = 2 максимальная длина кода N = 28, для MPS-последовательностей с уровнем max |rT| = 3 максимальная длина кода N = 51 и т. д.
Если отказаться от поиска глобально оптимальных бинарных последовательностей для больших длин N (ввиду отсутствия эффективных вычислительных процедур) и выдвинуть менее жесткие требования поиска субоптимальных бинарных последовательностей (без гарантии глобальной оптимальности уровня бокового лепестка), то можно найти эффективные процедуры построения бинарных кодов с приемлемо малыми значениями максимального уровня бокового лепестка max |rT |. Среди большого количества разнообразных методов построения субоптимальных бинарных последовательностей в первую очередь следует выделить метод, основанный на связи ИАКФ и ПАКФ [1]. Обозначая че-
рез max
rx пер
максимальный боковой лепесток ПАКФ, а через max |rT имп I максималь-
ный боковой лепесток ИАКФ, придем к оценке [3]: max |rT имп| > 0.5max |rT пер|.
Полученное неравенство позволяет сделать вывод: необходимым условием "хорошей" ИАКФ является хорошая (имеющая максимальный боковой лепесток, подчиняющийся этому неравенству) ПАКФ.
Другой разновидностью фазокодированных последовательностей (ФКП) (помимо фазоманипулированных) являются многофазные последовательности, среди которых особое внимание уделяется многофазным последовательностям Баркера. Максимальное значение уровня боковых лепестков (исключая крайние боковые лепестки) ИАКФ многофазных кодов Баркера не должно превышать 1, т. е. должно выполняться условие max |rT| < 1,
т = ±1, ± 2, ..., ±( N - 2) . 14
Систематический метод построения многофазных кодов Баркера до сих пор считается не найденным [2]. Синтез многофазных последовательностей Баркера осуществляется с использованием численных методов. В работе [4] с помощью статистических методов показано, что для больших длин N многофазные коды Баркера существуют всегда при условии наличия градаций фаз М = N . В работе [2] приведен обзор и представлены результаты синтеза многофазных кодов Баркера для длин 3 < N < 45 . В работе [5] приведен список многофазных кодов Баркера с малыми фазовыми алфавитами для длин 46 < N < 63 , полученных с помощью методов стохастической оптимизации. В работе [6] дан список многофазных кодов Баркера с малыми фазовыми алфавитами для длин 64 < N < 70 и N = 72, 76, 77 .
В настоящей статье впервые предложен аналитический подход к построению импульсных ФКП с одноуровневой ИАКФ с уровнем боковых лепестков а = 1.
Постановка задачи синтеза фазокодированных последовательностей с двухуровневой импульсной автокорреляционной функцией. Импульсную ФКП, у которой отсчеты ИАКФ удовлетворяют условиям Г0 = N, |г+( ^-1)| = 1, |гт| = а, т = ±1, ± 2, ..., ±( N - 2) , назовем фазокодированной последовательностью с двухуровневой ИАКФ. Уровень а боковых лепестков (за исключением самых крайних) может изменяться в некоторых пределах: а е [ат^п; атах ]. Теоретически глобальный минимум может принимать значения атт = 0 ,
а глобальный максимум - атах = 2. Однако эти условия выполняются не для любых длин кода N, кроме того границы интервала [ат,п; атах ] различаются для разных классов ФКП одной и той же длины N .
В случае равенства уровня боковых лепестков значению а = 1 (т. е. Г0 = N, \г+Т\ = 1,
т = +1, + 2, ..., +(N -1) ) получим ФКП с одноуровневой ИАКФ (с единичным уровнем боковых лепестков).
Импульсную ФКП Г = {уп }0, жзапишем в виде Г = {у„ }0, ж={ехр (7ф„ )}0 ж-г
п = 0, 1, ..., N-1, где уп = ехр(/фп) - кодовые элементы, причем |уп| = 1; N - период кодовой последовательности; / - мнимая единица; фп - значение фазы на п -м кодовом интервале (любое вещественное значение из диапазона [ 0; 2 л]).
ИАКФ {гт } определим на основании выражения
N-1-т
Е уп+ТУП , т=а 1 N -1;
п=0 N-1-|т|
Е УпУп+Ы, т = 1 - N, 2 - N, ..., -1;
п=0
0, |т| > N. *
где т - циклический сдвиг; уп - комплексно-сопряженный кодовый элемент.
Гт =
С учетом того, что модули боковых лепестков ИАКФ обладают свойством симметрии: |гт| = |г_т|, для построения импульсных ФКП с двухуровневой ИАКФ запишем систему уравнений
N _1_т
Е (фи _фп +т)
п=0
2
+
N _1_т
Е ^ (фп _Фп+т)
п=0
2
2
= а
т = 1, 2, ..., N_ 1.
В результате преобразований из данной системы получим систему уравнений вида
N _1_т
2 Е (фи _Фи+т)
п=0 N _1_т
+2 Е ^ (фи _Фп +т)
п=0
N_1_т "
Е (фи1 _Фп1+т) п1=п+1 _
N _1_т
Е ^ (фп1 _фи1+т)
п1=п +1
+
= а2 +1 + т_N, т = 1, 2, ..., N_ 1. (1)
Решения последней системы уравнений найдем в аналитическом виде. Полученные решения представим в виде вектора ТТ = [фо = 0° ф^ ф2 ... фN_1 ] ( Т - символ транспонирования), где неизвестными являются аргументы элементов кода ф^, ф2, ..., ф N _1. Фазу нулевого кодового элемента без ограничения общности решения задачи положим равной нулю: фо = 0 .
Примеры аналитического решения задачи синтеза фазокодированных последовательностей с двухуровневой импульсной автокорреляционной функцией. Приведем примеры решения системы уравнений (1) в аналитическом виде для длин N = 2, 3, 4 . Синтезируем фазокодированные последовательности с равномерной ИАКФ при условии, что фо = 0 .
Для N = 2 получим единственное решение вида = [0 ф] ( ф - любое значение из интервала ф е [0; 2л]. ИАКФ рассматриваемой ФКП будет иметь вид Г) = 2, |г±11 = 1.
Для N = 3 получим две разновидности ФКП в фазовом представлении: =0 ф 2ф+агссо8(а2Д _ 1)] и Т2 = 0 ф 2ф_агссо8(а1 ¡2 _ 1)], где ф - любое значение из интервала ф е [0; 2л]; а е [0; 2]. Импульсная АКФ рассматриваемых ФКП будет иметь вид Г0 = 3 , |г+1 = а, Г | = 1.
Для N = 4 получим четыре решения системы уравнений (1). В результате ФКП в фазовом представлении будут иметь вид:
0
ф
2ф + агссоБ (а2/2 _ 1) + агссоБ _ (1/4а2 ) (а2 _л/4 _ а2^4а4 _ а2 ) 3ф + агссоБ(а2¡2_ 1) + агссоБ _(^4а2)(а2 _>/4_а2 "\Аа4 _а2 )
2ф - arccos (а2/2 -1 3ф - arccos (а2/2 -1
2ф + arccos (а2/2 -1 3ф + arccos (а2 /2 -1
2ф - arccos (а2 /2 -1 3ф - arccos (а2/2 -1
- arccos
- arccos
+ arccos
+ arccos
- arccos
- arccos
0
ф
(1/4а2 )( а2 4а4 - а2 )
(1/ 4а2 )(а2 -7^А/4а4 - а2 )
0 ф
(1/4а2 ) ( а2 +>/4 - а2^4а4 - а2 )
(1/ 4а2 )(а2 +л/4^2л/4а4 - а2 )
0 ф
(V4а2 ) ( а2 +>/4 - а2^4а4 - а2 ) (1/ 4а2 )(а2 +л/4^2л/4а4 - а2 )
где ф - любое значение из интервала ф е [0; 2л]; а е [0.5; 2].
Импульсная АКФ рассматриваемых ФКП будет иметь вид Г0 = 4, |г+1 = |г+2 = а. Минимальное и максимальное значения уровня боковых лепестков атт = 0.5 и атах = 2
вытекают из условий: -1 < а2 /2 -1 < 1; -1 <-(^4а2 )(а2-V 4 - а2^4а4 - а2 )< 1.
Примеры решения задачи синтеза фазокодированных последовательностей с одноуровневой импульсной автокорреляционной функцией численными методами.
Систему уравнений вида (1) можно решить численными методами, например, методом стохастической оптимизации, рассмотренным в работе [5]. В таблице приведены ре-
Ч =<
3
Ч =<
4
N фп , . °
5 0 150, 60, 30, 60.
6 0, 210, 120, 90, 120, 210.
7 0, 228.133, 132.835, 157.538, 85.67, 133.803, 241.936.
8 0, 210, 120, 90, 120, 150, 300, 30.
9 0, 343.943, 207.87, 191.813, 235.741, 219.669, 23.597, 187.539, 291.482.
10 0, 61.315, 75.557, 167.978, 358.75, 145.63, 313.704, 244.3, 125.615, 66.93.
11 0, 218.658, 142.005, 89.256, 28.34, 137.392, 23.914, 172.347, 296.201, 334.859, 73.517.
12 0, 155.397, 9.62, 286.039, 216.078, 75.309, 165.678, 319.792, 311.601, 340.171, 315.568, 350.964.
13 0, 8.54, 317.081, 168.372, 195.095, 159.099, 304.005, 190.457, 60.569, 172.137, 236.804, 53.13, 181.67.
14 0, 359.101, 323.68, 3.691, 229.482, 18.357, 195.424, 78.135, 339.429, 205.216, 214.518, 1.848, 26.427, 145.527.
15 0, 246.49, 72.98, 213.198, 1.26, 275.357, 251.977, 120.823, 188.096, 265.207, 17.726, 2.143, 312.755, 14.839, 21.329.
16 0, 229.418, 52.842, 325.322, 188.857, 328.854, 108.76, 279.426, 344.427, 277.631, 237.385, 237.065, 348.592, 110.816.
17 0, 127.523, 163.888, 276.513, 7.57, 100.59, 5.017, 235.06, 158.308, 190.576, 36.33, 270.292, 342.87, 323.966, 288.837, 25.202, 272.725.
зультаты синтеза ФКП с одноуровневой ИАКФ (|r±T| = 1, т = ±1, ±2, ..., ±( N -1) ) длин N = 5, 6, ..., 17.
Таким образом, в настоящей статье сформулирована в общем виде задача построения ФКП с двухуровневой ИАКФ (уровень крайнего бокового лепестка равен |r±( N-1) | = 1,
а остальных боковых лепестков |rT| = a ). Приведены решения задачи синтеза таких последовательностей в аналитическом виде для длин N = 2, 3, 4. Показано, что существует бесконечное множество ФКП с импульсной двухуровневой ИАКФ с допустимым значением уровня боковых лепестков a. Численным методом синтезированы ФКП с единичным уровнем боковых лепестков ИАКФ длин N = 5.17.
Список литературы
1. Свердлик М. Б. Оптимальные дискретные сигналы. М.: Сов. радио, 1975. 200 с.
2. Levanon N., Mozeson E. Radar Signals. Chichester: John Wiley& Sons, 2004. 411 p.
3. Ипатов В. П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов: принципы и приложения. М.: Техносфера, 2007. 488 с.
4. Ein-Dor, L., Kanter I., Kinzel W. Low autocorrelated multiphase sequences // Phys. Rev. E (Statistical, nonlinear, and soft matter physics). 2002. Vol. 65, № 2. P. 020102/1-020102/4.
5. Borwein P. B., Ferguson R A. Polyphase sequences with low autocorrelation // IEEE Trans. on Inf. Th. 2005. Vol. IT-51, № 4. P. 1564-1567.
6. Nunn C. J., Coxson G. E. Polyphase pulse compression codes with optimal peak and integrated sidelobes // IEEE Trans. on Aerosp. and El. Syst. 2009. Vol. AES-45, № 2. P. 775-781.
A. N. Leukhin
Mari state technical university
Impulse phase-coded sequences with unit level of sidelobes
The design problem of phase-coded sequences with two-level impulse autocorrelation function is formulated. The examples of problem solutions are shown in analytical manner for some "short" length N=2, 3, 4. The numbered solution of the design problem of phase-coded sequences with the lengths N=5... 17 with one-level impulse autocorrelation function (the level of all sidelobes is equal to one) is shown as a particle case.
Phase-coded sequences, one-level impulse autocorrelation function, polyphase Barker's codes, minimum peak sidelobes sequences
Статья поступила в редакцию 31 октября 2009 г.
