Общий подход к построению фазокодированных последовательностей с одноуровневой периодической автокорреляционной функцией Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391

А. Н. Леухин, Н. В. Парсаев

Марийский государственный технический университет

Общий подход к построению фазокодированных последовательностей с одноуровневой периодической автокорреляционной функцией1

Рассмотрен общий метод синтеза дискретных фазокодированных последовательностей произвольного периода N с одноуровневой периодической автокорреляционной функцией, позволяющий определить множество последовательностей для любого вещественного значения а уровня боковых лепестков из области допустимых значений. В качестве примера в рамках метода построены новые (неэквивалентные известным) последовательности для больших и малых значений N.

Фазокодированные последовательности, одноуровневая периодическая автокорреляционная функция, метод синтеза, алгебраическое решение системы нелинейных уравнений

Периодические дискретные последовательности с хорошими корреляционными свойствами изучаются примерно с середины XX в. За это время разработано достаточно много разнообразных методов построения таких последовательностей. В первую очередь внимание уделяется построению последовательностей с пик-фактором, равным единице, при этом особое значение имеют бинарные и многофазные последовательности. При построении бинарных последовательностей [1] используются комбинаторные, численные, алгебраические и теоретико-числовые методы, связанные с теорией разностных множеств, конечных полей и конечных групп. При построении многофазных последовательностей со значениями фаз, кратными 2%/Ы (Ы - натуральное число, обычно равное периоду дискретной последовательности N), используется метод аппроксимации линейного закона изменения частоты в сигнале изменением фазы [2]. Последовательности со значениями фаз, не кратными 2%/Ы, изучены слабо (за исключением бифазных последовательностей [3], полученных на основе бинарных). Другой подход, связанный с теорией конечных полей, заключается в разработке троичных последовательностей [4] с пик-фактором, близким к единице. Известны также обобщенные подходы к построению двоичных и троичных последовательностей на основе теории спектров разностей классов вычетов [5].

Несмотря на достаточно глубокую разработку предложенных методов, ключевые вопросы теории синтеза дискретных последовательностей с одноуровневой периодической автокорреляционной функцией (ПАКФ) остаются по-прежнему нерешенными. В настоящей статье рассмотрен подход к построению фазокодированных последовательностей (ФКП) с пик-фактором, равным единице, обладающих одноуровневой ПАКФ. Отметим, что впервые данный подход был предложен в работе [6].

Постановка задачи синтеза фазокодированных последовательностей с одноуровневой ПАКФ. Многофазную последовательность Г = \уп }0 N_1 определим как

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 09-07-00072-а. © Леухин А. Н., Парсаев Н. В., 2009

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 6======================================

Г = {Уп}о,N-1 = {ехР('Фп)}о,N-l, п = 0 1 *-1, где уп = ехр (/фп) - кодовые элементы, причем |уп| = 1; N - период кодовой последовательности; / - мнимая единица; фп - значение фазы на п-м кодовом интервале (любое вещественное значение из диапазона [ 0; 2 л]).

ПАКФ {гх } определим на основании выражения

{Гт,

N-1

гт =

X Уп+х(modN)Уп , х = 0, 1, *-1, (2)

п=0

где х - циклический сдвиг; у п - комплексно-сопряженный кодовый элемент.

Нулевой отсчет ПАКФ должен быть численно равен периоду кодовой последовательности Го = N, а все остальные (боковые) отсчеты должны иметь одинаковое значение: Г = Г2 = .. = rN-1 = а. Уровень боковых лепестков а может быть любым вещественным числом из диапазона а е [ат,п; атах ], причем верхняя граница диапазона может принимать значение атах = N, а нижняя граница - атт > N1(N -0.

На основании выражений (1), (2) задача синтеза ФКП с одноуровневой ПАКФ при условии фо = 0° сводится к решению системы уравнений • для четных N : К = N2-1, п = 1, 2, ..., К :

N-п-1 п-1

X ^(фот-Фда+п)+Х'

т=1 т=1

Фп + cos Ф N-п + X C0s (Фт -Фт+п )+Х c0s (фт -Фт+N-п ) = а';

N - К-1

ФК + X C0S (Фт -Фт+К ) = а12; (3)

т=1

N-п-1 п-1

^П Фп - ^П ФN-п - X (фт -Фт + п )+Х sin (фт - Фт+N-п ) = 0;

т=1 т=1

• для нечетных N : К = (N -1)/2, п = 1, 2, ..., К :

N-п-1 п-1

Фп + ф N-п + X (фт -Фт+п )+X (фт -Фт+N-п ) = а';

т=1 т=1

N-п-1 п-1

фп - siп ФN-п - X (Фт -Фт + п )+X siп (фт - Фт+N-п ) = 0.

т=1 т=1

(4)

Решение системы уравнений (3), (4) найдем в общем виде

ЧТ =[ф0 = 0° Ф1 Ф2 ... ФN-1 ], (5)

"Т"

где неизвестными являются аргументы элементов кода ф1, ф2, ..., фN-1; - знак транспонирования.

Требуется построить для заданного периода N и заданного значения уровня боковых лепестков а все ФКП с одноуровневой ПАКФ.

Рис. 1

На рис. 1 приведено графическое представление ФКП в комплексной плоскости в виде контура, образованного конкатенацией векторов, соответствующих элементам кода. При этом начало каждого последующего вектора совпадает с концом предыдущего. Начало нулевого вектора находится в нулевой точке комплексной плоскости.

При изменении уровня боковых лепестков а от атт до атах контур ФКП, представленной графически на рис. 1, меняет свою форму от некоторого начального контура, соответствующего значению атт, до конечного контура, соответствующего значению

а.

max

. При этом конец последнего вектора формирует некоторую траекторию движения (годограф) (рис. 2).

Анализ корней системы уравнений для синтеза ФКП с одноуровневой ПАКФ и алгебраический метод ее решения. Для значения периода N может существовать до К решений, получаемых в результате линейных преобразований некоторого исходного ре-

Т

шения: Ф =

т(0) т(1) . т(K-1)

. Каждая строка матрицы Ф представляет собой решение вида (5) системы уравнений (3), (4). На основании исходного решения системы уравнений можно сформировать в общем случае К = N автоморфных решений вида:

ф( k) (0) (0) фп = фп+k mod( N) ф£

и K = N "сопряженных" им решений вида

ф( k) =ф(0)-ф(0)

фп = фk ф„ + k mod( N)'

(6)

(7)

где п = 0, 1, ..., N -1; k = 0, 1, ..., N -1; а верхний индекс "0" обозначает векторы исходного решения.

Кроме того, на основании единственного решения (5) системы уравнений с помощью децимаций можно сформировать еще K = ф( N) (ф( N) - фи-функция Эйлера от числа N ) изоморфных решений вида:

ф( k) = ф( 0) (8) фп =фп(^ mod N), (8)

Im

N = 4 ,4 -а = amin =- V3

/ | --а = -1

■ ■ ---а = 0

— ! ^ — ■ —^ ........... а = amax = 4

ri -I----„

! \

_ I* —.................................►

>т

_Г I_I_I_I_

- 1

1 2 Рис. 2

Re

1

0

0

3

где X £ - число, взаимно простое с N; п = 0, 1, ..., N -1; к = 0, 1, ..., ф(^- 1, а также

применить к изоморфным решениям преобразования вида (7).

Таким образом, максимальное число возможных кодовых последовательностей (изоморфных, автоморфных и сопряженных решений), полученных на основе некоторой кодовой последовательности общего вида, составит К = 2ф(N) N .

Преобразования типа циклического сдвига и сопряжения образуют группу, изоморфную группе диэдра, а децимации образуют группу, изоморфную группе взаимнопростых вычетов по модулю N . Обе указанные группы являются разрешимыми, поэтому для дальнейшего решения системы уравнений (3), (4) можно использовать следующий подход.

Заменим систему тригонометрических уравнений (3), (4) системой алгебраических уравнений, введя подстановки вида

cos фп =

1 - tg2 (фи/2)]/[1 + tg2 (фи/2)] ; sinф„ = 2tg(фи/2)/[1 + tg2 (фи/2)

и формальные переменные вида tg (фп/ 2) = хп , п = 1, 2, ..., N -1. Выражая последовательно корни одного уравнения системы через корни других уравнений системы, на последнем шаге получим уравнение степени к вида:

/£ (а)хк + /к(а)хк-1 + ... + / (а)х + /0 (а) = 0, (9)

где / (а) - различные многочлены степени к (в общем случае к > 4) с разрешимой группой. Далее выполним факторизацию параметрического многочлена вида / ( х) = /к ( а) хк + /к-1(а) хк-1 + . + /(а) х + /0 (а) над полем вещественных значений а. Затем для каждого неприводимого многочлена / (х) в разложении / (х) = ^ / (х) най-

(Z (i) [ (i) (i) (i)'

дем хотя бы одно решение вида x = xj x2 ■■■ xn , которое дает одно исходное i-e решение типа (5). Применив преобразования (6)-(8) к каждому полученному решению, сформируем все возможные решения, соответствующие многочлену f (x) .

Примеры решения системы уравнений и синтез последовательностей для некоторых "малых" периодов.

Для N = 2 система уравнений (3) примет вид cos (ф1) = a/ 2, откуда непосредственно

следует решение ф1 = ± arccos (a¡2), a = [-2; 2]. Например, последовательности Г0 = {1,i} и T = {1, -i} будут иметь нулевой уровень ПАКФ a = 0 . При N = 3 система уравнений (4) примет вид

[cos ф1 + cos ф2 + cos (ф1 - ф2 ) = a; 1 sin ф1 - sin ф2 - sin (ф1 - ф2 ) = 0. Выполнив описанные ранее подстановки, получим систему уравнений вида 3 - X2 -X2 -x2rf + 4xYx2 = a(l + x2)(l + xf);

-4xjx2 (xi - x2 ) = 0, имеющую три решения.

Первое решение: х^ = 0; (a + 1) х| + a - 3 = 0. В этом случае х^ = 0, x2 = ±^/(3 - a )/(1 + a), a e[-1; 3]. Перейдя от переменных х к значениям фаз, получим: фд = 0; ф1 = 0; Ф2 =± arccos [(a -1)/2]; a e[-1; 3].

Второе решение: Х2 = 0; (a + 1) х2 + a - 3 = 0, откуда Х1 = ±^/( 3 - a )/(1 + a) ; Х2 = 0; a e[-1; 3]. Тогда значения фаз: Ф0 = 0; ф1 =± arccos [(a -1)/2]; Ф2 = 0; a e[-1; 3].

Третье решение: х^ = Х2 = х; (a +1) х4 +(2a - 2) х2 + a -3 = 0. В этом случае: х^ = Х2 = х;

х = ±^(3 - a)/(1 + a), a e[-1; 3], а значения фаз составят: ф0 = 0; ф1 =ф2 =± arccos [(a -1)/2]; a e[-1; 3].

Все три решения эквивалентны, так как могут быть получены одно из другого при помощи преобразований (6)-(8).

Для N = 4 система уравнений (3) примет вид

cos ф1 + cos Ф3 + cos (ф1 - Ф2) + cos (ф2 - Ф3) = a; < cos Ф2 + cos (ф^ - Ф3 ) = a/2; sin Ф1 - sin Ф3 - sin (ф1 - Ф2 ) - sin (ф2 - Ф3 ) = 0.

После перехода к алгебраической системе получим:

-4(1 + хх)(хх - Х2Х3 -1 -х^) = a(1 + х2)(1 + х|)(1 + х2); -2 ( Х3 Х} + Х^Х2 +1 - Х2Х3 )(Х^Х2 - хх -1 - Х2Х3 ) = a (1 + х2 )(1 + х| )(1 + х2 );

-4Х2 (х^ - Х3 ) (х^ - Х2 + Х3 + Х^Х2Х3 ) = 0.

Полученная система уравнений имеет три исходных решения, из которых с помощью преобразований (6)-(8) можно получить еще K решений для каждого.

2

Первое решение: х^ = 0; Х2 = 0; axз + a - 4 = 0. Корни данной системы уравнений имеют вид: х^ = 0 , Х2 = 0, Х3 = ±^/(4 - a)/a ; a e [0; 4]. Значения фаз: Ф0 = 0 ; ф^ = ф2 = 0; Ф3 =± arccos [(a - 2)/2]; a e [0; 4]. Годограф системы векторов для этого решения приведен на рис. 3, кривая 1.

При помощи преобразований (6)-(8) из полученного решения можно получить следующие решения:

ф0 = 0; ф: =± arccos [(a - 2)/2]; ф2 = ф3 = 0; a e [0; 4]; ф0 = 0; ф: = 0; ф2 =± arccos [(a - 2)/2]; ф3 = 0; a e[0; 4]; Ф0 = 0; ф1 = ф2 = Ф3 = ± arccos [(a - 2)/2]; a e [0; 4].

Второе решение: Х2 = 0; х^ = -1/Х3 ; a(1 + х2 ) = 0. Эта система имеет бесконечное число решений при a = 0 : х^ = -1/Х3 ; Х2 = 0 (годограф решения - рис. 3, кривая 2). Исходное решение как совокупность фаз элементов имеет вид: ф0 = 0; ф^ = ф + тс; Ф2 = 0;

- 1

- 2

- 3

Рис. 3

Фз = ф; ф = [0; 2л]. Преобразования вида (6)-(8) приводят к решению ф0 = 0 ; ф^ = ф;

Ф2 = л; фз =ф; ф = [0; 2л]. Третье решение:

х2 = (х1+хз )/(1 - х1хз); х1=±>/ хз2/(2хз2 -1);

(-4 - за) х4 +(8 - 2а) х2 + а - 4 = 0.

Годограф системы представлен на рис. з, кривая 3. Данная система уравнений имеет корни:

х1 = ±>/хз/(2хз-1); х2 =( х1+хз )/0 - х1хз);

хз = ±у)(а - 4 + 2л/а (а + 4))/(-4 - за) ; а е[-4/з; 0].

Одно из решений можно представить в виде: ф0 = 0 ; ф^ = arccos

(а-У]а2 -4а)/4

фз = arccos

(а + Vа2 - 4а )/4

; ф2 = ф1 + фз . С помощью преобразований (6)-(8) из исходного решения можно получить все оставшиеся решения.

Примеры решения системы уравнений для некоторых "больших" периодов.

Рассмотренный подход позволяет найти решения для любых значений периода N. В качестве примеров приведем некоторые неэквивалентные известным ранее классы решений: • Период N = р = 4к +1, а е [N/(1 - Ю; N :

ф = агс^ [(-1 + у/N + (N -1) а)/(N -1)

; п = 1, 2,

N -1;

фп =

ф, п - квадратичный вычет по модулю N; -ф, п - квадратичный невычет по модулю N.

• Период N = р = 4к +1, а е[N1 (1 - N); N - 4]:

ф = arccos [(-1 -VN + (N -1) а)/(N -1) фп определено как указано в предыдущем случае.

к

п = 1, 2, ..., N -1;

Период N = р = 2 +1, а е [ N1 (1 - N); N ] . Введя обозначения

с = 1 ->/(а +1) N - а ; d = (>/(N -1) N - с->/N-1 + с2 )/(N -1), п ^N + (N -1) d2 + -1) N (^N -1 + )

= 1, 2,

N -1;

а = arccos

- N + (N -1) d2

; Р = агееоБ d,

получим фазовую структуру ФКП вида

Фо = 0; Фи

а, п = j4 mod N;

2 4

-а, п = j mod N п п ^ у' mod N;

2 5т

Р, п ^ ' mod N п п = в mod N;

-Р в остальных случаях, причем ' = 1, 2, ..., N -1; в - минимальный квадратичный невычет по модулю N;

т = 0,

2^ -2 -1.

d =

Период N = р = 22 +1, а е [^(1 - N); « N - 2]. Обозначим -1 + >/ N ( N -1) -V N ( а +1)-а N ( а + 2 )- а - 2>/N (а + 1)

а

N-1

п = 1, 2,

N -1;

а = arccos

-Т^+Сж-^Ы^+г^Яж-!)^ (-VN -1 + )

; Р = агссоБ d.

- N + (N -1) d 2

Вид фазовой структуры ФКП аналогичен предыдущему случаю.

Для периода кодовой последовательности, являющегося квадратным числом (N = 2 , г е 2 - положительное целое), при нулевом уровне боковых лепестков (а = 0) ПАКФ существует бесконечное множество решений, задаваемых выражением

Фп =ап тоа& + 2л/г ]п/г[ n(mod г); п = 0, 1, ... ^ -1, (10)

где ]•[ - целая часть числа; а0 = 0; ат е [0; 2л] - произвольное значение фазы; т = 1, ..., г -1.

Существует также бесконечное множество решений вида (5), задаваемых выражением

п-1_1 ^+1Г

5+1 ..... (11)

4л'

Фп = ап (mod2)+--^

N

5 =0"

2

; п = 0, 1,

N -1,

где а е [0; 2л]; N = 4г , г е 2 .

На основании выражений (10) и (11) с помощью преобразований (6)-(8) можно получить бесконечное множество решений. Известные коды Френка, коды класса Р и коды Задоффа-Чу являются частными случаями последовательностей вида (10)—(11) и их линейных преобразований.

В настоящей статье приведены (для примера) далеко не все синтезированные ФКП с одноуровневой ПАКФ, неэквивалентные известным ранее. Другие примеры ФКП с одноуровневой ПАКФ, полученные в рамках развитого метода, можно найти в работах [7], [8].

В рамках разработанного подхода основным этапом является решение алгебраического уравнения (9) с использованием теории Галуа для решения уравнений высших степеней. Однако для произвольной степени уравнения k решение, хотя и существует (в силу разрешимости группы уравнения), но его поиск является трудоемкой и зачастую "штучной" работой, поскольку результаты, полученные при решении уравнения степени k, не всегда удается обобщить на решение уравнения для степени ^ > k .

В настоящей статье сформулирована в общем виде задача построения ФКП с одноуровневой ПАКФ. Разработан метод решения системы уравнений, позволяющий находить все возможные ФКП заданного периода N для допустимого вещественного значения уровня боковых лепестков a одноуровневой ПАКФ. Приведены примеры построения новых ФКП, неэквивалентных известным ранее.

Список литературы

1. Golomb S. W., Guang Gong. Signal design for good correlation for wireless communication, cryptography, and radar. Cambridge: University press, 2005. 438 p.

2. Levanon N., Mozeson E. Radar signals. Chichester: John Wiley& Sons, 2004. 411 p.

3. Амиантов И. Н. Избранные вопросы статистической теории связи. М.: Сов. радио, 1971. 416 с.

4. Ипатов В. П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М.: Радио и связь, 1992. 152 с.

5. Гантмахер В. Е., Быстров Н. Е., Чеботарев Д. В. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка. СПб.: Наука и техника, 2005. 400 с.

6. Leukhin A. N. Algebraic solution of the synthesis problem for coded sequences // Quantum Electronics. 2005. Vol. 35, № 8. P. 688-692.

7. Новые фазокодированные последовательности с хорошими корреляционными характеристиками / А. Н. Леухин, А. Ю. Тюкаев, С. А. Бахтин, Л. Г. Корнилова // Электромагнитные волны и электронные системы. 2007. № 6. C. 51-54.

8. Леухин А. Н., Парсаев Н. В. Синтез шумоподобных фазокодированных последовательностей // Учен. зап. Казанск. гос. ун-та. Сер. "Физико-математические науки". 2008. Т. 150. Кн. 2. C. 38-50.

A. N. Leukhin, N. V. Parsaev Mari state technical university

General approach to design of phase-coded sequences with one-level periodic autocorrelation function

General design method for phase-coded sequences of any period N with the one-level periodic autocorrelation function is shown. The method allows to determine the full set of sequences having a resolved real value а of periodic autocorrelation sidelobes. For example within the offered method the new (non-equivalence earlier known) sequences are designed for small and large values of period N.

Phase-coded sequences, one-level periodic autocorrelation function, design method, algebraic solution of non-linear equations system

Статья поступила в редакцию 31 октября 2009 г.