Симметрии и точные решения уравнений пластичности плоского напряженного состояния Текст научной статьи по специальности «Математика»

Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Информационные технологии

УДК 539.374

В. И. Бурмак Научный руководитель - С. И. Сенатов Сибирский федеральный университет, Красноярск

СИММЕТРИИ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЛАСТИЧНОСТИ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Найдена группа непрерывных преобразований, допускаемая уравнениями, и построено новое точное решение, описывающее сжатие пластического слоя жесткими плитами, которые сближаются с постоянным ускорением.

1. Рассмотрим уравнения, описывающие плоское напряженное состояние в случае медленных нестационарных течений. Уравнения имеют вид

д í rz . „ \дю

—u = IV 3 sin ю cos2m-cos ю1--+

дt 'дх

rz . . „ дю „ . дф + V3 sinюsln2ф--2sinю —-

(1)

ду

ду

д rz . . „ дю —v = V3 sin(^ш2ф--

дt

дх

ir:- ~ \дю „ . дф -IV3 sin ю cos2ф + cos ю1--+ 2sin ю

ду

= kx(cos ю + 3sin ю cos 2ф))

ду = klíficos ю- 3sin ю cos 2ф),

ди 3v ,,. . . „ --I--= 6kX sin ю sin 2ф.

ду дх

(2)

(3)

(4)

(5)

X3 = tдt + иди + vдv + Хдх,

X4 = - Уди + хдv, X5 = д у, X6 = д х

(6)

X 7 =дv,

X8 =ди,

X9 = д{.

2. Систему уравнений (1)-(5) перепишем в виде

ди + дстх дt дх +^ = 0, ду дv дст у — + —- + д ду ^ = о, дх (7)

ст2 + СТу - СТхСТу +3т2 =3k2 , (8)

ди ду ди + дv ду дх

дх ду = X-1. (9)

2стх - СТу 2стy - СТх 6т

Здесь стх, сту, т - компоненты тензора напряжений, k, и, v , X - определены выше. Уравнения (7) и (8) - суть условий равновесия и пластичности, (9) -закон течения.

Система уравнений (7)-(9) имеет решения

ck sin 6 ck cos 6

(10)

и =

VI

, v = -

+ 3cos2 6

VI

+ 3cos2 6

Здесь X - некоторая положительная функция; ф -угол между первым главным направлением тензора напряжения и осью Ох; ю - угол связан со значением среднего давления; к - постоянная пластичности; и,V - компоненты вектора скорости, все функции зависят от х, у, t.

Найдем точечные симметрии систем (1)-(5) используя методику Ли [1].

Выпишем базис алгебры Ли Ь9, порождающей группу непрерывных преобразований, которая допускается системой уравнений (1)-(5):

Х1 = -Удх + хду -^и + и^ +дф,

X = tдt + хд х + уд у -Хд-А,

т = k cos 6, ст у = 2k sin 6, ст х = k sin 6.

у л

Компоненты тензора напряжений в этом случае равны

(11

)

Подробности построения данного решения представлены в [2].

3. Дадим одну из возможных интерпретаций построенного решения (10)-(18). Пусть

( (

J7 п V3 „

У1 = E--,--, у2 = E

1 4 2 2

3п

тогда и(у,) = ckf, ví^-ckf,

т(у\ )=k^уу, ст3

(у ) = V2k,

(19)

Найдем однопараметрические подгруппы соответствующие, каждому оператору (6), а также построим таблицу коммутаторов алгебры Ли Ь9.

Согласно [1] построим внутренние автоморфизмы и все неподобные подалгебры алгебры (6), которые позволяют построить все различные инвариантные решения системы (1)-(5). Приведем пример одного такого решения.

CÍV2) = -k^, Сту(у2) = -4~2k.

2

Это означает, что верхняя шероховатая жесткая плита, заданная уравнением у = у1, движется вниз и вправо с постоянными ускорениями. На плите задано постоянное нормальное и касательные напряжения. Вторая плита, ее уравнение у = у2, движется вверх и

Секция «Информационно-экономические системы»

влево с постоянными ускорениями. На этой плите также заданы нормальное и касательное напряжения.

Замечание. Подобные решения можно построить и для описания сжатия трубы, стенки которой движутся с постоянным ускорением.

Библиографические ссылки

1. Киряков П. П., Сенашов С. И., Яхно А. Н. Приложение симметрии и законов сохранения к решению

дифференциальных уравнений. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2001.

2. Сенашов С. И., Бурмак В. И. Точное решение уравнений пластичности плоского напряженного состояния //Вестник СибГАУ. Вып. 4(30). Красноярск, 2010. С. 10-11.

© Бурмак В. И., Сенашов С. И., 2011

УДК 001.895

А. А. Винар Научный руководитель - А. П. Багаева Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И СФЕРА ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

Рассматриваются инновационные технологии, которые появились недавно или появятся в ближайшем будущем, а также инновационные проекты, которые планируют воплотить в жизнь через несколько лет. Показывается сфера применения этих инновационных технологий, их полезность и значимость в жизни людей.

Современное существование и развитие общества невозможно без инновационных технологий. Они присутствуют во всех сферах жизни людей. Инновации значительно упрощают быт, работу людей, помогают поддержать здоровье, получать и передавать быстро информацию, делают отдых человека более комфортным, а досуг более интересным.

Что же такое инновации? Инновация (англ. «innovation») - это внедренное новшество, обеспечивающее качественный рост эффективности процессов или продукции, востребованное рынком. Является конечным результатом интеллектуальной деятельности человека, его фантазии, творческого процесса, открытий, изобретений и рационализации.

Рассмотрим некоторые инновационные технологии и сферы их применения.

1. ГТМ-технологии. Аббревиатура ГТМ расшифровывается как «геотрибомодификатор». ГТМ-Технология является одним из методов ремонта, применение которого на практике дополняет возможности традиционных способов ремонта машин и оборудования. ГТМ-Технология применяется для обработки новых машин и оборудования. Принципиальным отличием ГТМ-Технологии от традиционных методов ремонта является то, что данная технология ремонта изношенных узлов и механизмов любого типа проводится без разборки в режиме штатной эксплуатации [1].

2. Автомобиль без водителя. Самодвижущиеся автомобили станут следующим эволюционным шагом от запрограммированного искусственного интеллекта к когнитивной механике. Этим автомобилям по-прежнему будет требоваться оператор, чтобы физически взаимодействовать с машиной. Но вместо вождения оператор будет просто комфортно сидеть в кресле и задавать голосовой командой пункт назначения. После чего автомобиль начнёт самостоятельное вождение к заданному месту с помощью автопилота [2].

3. Автомобили без нефти. Недавно Ford объявила о своём намерении полностью отказаться от ис-

пользовании нефти в процессе производства с помощью перехода на природный соевый пеноматериал. Лидирующий технический специалист- Ford экономит около 700 тонн нефти ежегодно при использовании соевого пеноматериала для производства деталей [3].

4. Универсальный генератор. Универсальный генератор-консоль размером с монетку, выдает 2,1 микроватта мощности, выходное напряжение 10 вольт при освещенности 0,13 Ватт на квадратный сантиметр.

В результате проведенных исследований получилось, что один прибор способен вырабатывать электроэнергию из любых источников света, тепла и механических вибраций.

Генератор найдет свое применение в медицине, системах связи, для питания различных миниатюрных устройств [3].

5. Бумажные солнечные батареи. Ученые из Кембриджского университета разработали уникальные солнечные батареи в виде листа бумаги. И хотя КПД у данных солнечных батарей очень маленький, всего 4 %, ученые считают, что у их разработки есть будущее [3].

6. Домашний атомный генератор. В 2007 г. Toshibf объявила о своих планах по продаже домашних атомных генераторов по всему миру на основе разработанного прототипа. Размеры генератора составляют шесть на два метра, мощность 200 кВт, при этом он работает полностью автоматически и отказоустойчиво, ему не требуется какое-либо вмешательство пользователя. Как утверждает Toshiba, подобные генераторы могут удовлетворить потребности даже целых городских кварталов [4].

7. Сверхтонкий гибкий дисплей. Ученые из тайваньского исследовательского института ITRI сделали большой прорыв в области разработки сверхтонких дисплеев. Им удалось создать сверхтонкий гибкий дисплей диагональю шесть дюймов, толщиной 0,01см. Помимо таких сверх тонкостей данный дис-