CC BY
37
Математика, механика, информатика
УДК 539.374
С. И. Сенашов, В. И. Бурмак
ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЛАСТИЧНОСТИ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ*
Построено новое точное решение уравнений плоского напряженного состояния, описывающее сжатие пластического слоя жесткими плитами, которые сближаются с постоянным ускорением.
Ключевые слова: пластичность, плоское напряженное состояние, точное решение.
Рассмотрим уравнения, описывающие плоское напряженное состояние в случае медленных нестационарных течений. Уравнения имеют вид
дu да дг ду да y
і^ = О, — і — і—- = О, дt дx дУ St дx дУ
ах +аy - sxаy і Зг = 3k
дu
дx
ду
Sy
ду дu
---------1--------
дx дУ
= 1-1,
(1)
(2)
(3)
д1! 2дм іду
дм ЗІ дx дУ
дt дx
_ 1Г ду дu д —І —і — ду б ^Sx дy
дt дx
. 1 [ ду дм д —І —і — б ^Sx дУ
^ дУ
д1^ 12 дУ
ЗІ ^x дy
= О,
= О,
3Vm-1 =
Sy
2 д™ і ду YSu 2 дул2 Sx SyJ ^Sx Sy
2 Su і ду j| Su 12 оу|і 3 [ ду + oM Sx Sy^Sx SyJ 4 ^Sx Sy
и = Ги(у), V = МУ). (6)
Подставим (6) в (5), в результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения и, V:
u+
d
ku'
dy 4у
■ = О, у і
d
Ь’
dyV4Tw
= О. (7)
2стх -ст 2сту -стх 6т
где стх, ст , т - компоненты тензора напряжений; к - постоянная пластичности; и,V - компоненты вектора ско-рости; 1 - некоторая положительная функция, определяемая по условию пластичности (2). Уравнения (1) - это условия равновесия, (3) - закон течения. Из (1).. .(3) получаем
.(„ди ду^ ду ди
3ст — 1І 2-----I---1, 3ст — 1І 2------I---
" [ дх ду 0 у [ ду дх
. ( дv ди ^
6 [дХ + ?У ) (4)
С учетом (4) уравнения (1) .(3) запишутся в виде
Здесь штрих означает производную по переменной у. Пусть 2v' = w sin 9, 2u' = w cos 9, тогда система (7) запишется в виде
u + kd cos 9 = 0, v + 2kd sin 9 = 0. (8)
dy dy
Продифференцируем (8) по у и с учетом введенных выше обозначений получим
wcos 9 + к cos 9=0, wsin 9+ 4ksin 9 = 0. (9)
dy2 dy2 V '
Умножим первое уравнение (9) на - sin 9, а второе -на cos 9 и сложим:
9''(4cos2 9 + sin2 9)- 39'2 sin9 cos 9 = 0. (10)
Пусть 9' = p(9), тогда 9" = p'p и уравнение (10) запишется в виде
p'( 4cos2 9 + sin2 9)-3 p sin 9 cos 9 = 0. Интегрируя его, получим
p = 9'= I c 2 ,
V1 + 3cos 9
где с - произвольная постоянная. Следовательно,
9
cy = JV1 + 3cos2 9d 9 =
(5)
Можно показать, что уравнения (5) допускают оператор
д д д
X — ґ + и-------+ V —
дґ ди ду
в смысле Ли. Поэтому решение уравнений (5) можно искать в виде
и — ґи(х,у), V — ^(х,у).
Решения такого вида могут быть использованы для описания движений с постоянным ускорением. В данной статье мы ограничимся решениями вида
sin2 0d 0 =1E
S л
2
(її)
где Е 9, — - эллиптический интеграл второго рода.
V 2 0
Из формулы (11) следует, что 9 = 9(у) - монотонно возрастающая функция при с > 0. Поскольку
с
1
13cos
то из формул (8) получаем
, d ck sin 0
u = -k—cos 0 = . =
dy V1
13cos
* Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 гг.», проект № 1121.
1О
Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева
у = -2k d sin 0 = -dy
ck cos 0
Л
13cos
(ї2)
дут
Компоненты тензора напряжений в этом случае буг = k cos 0,
а y = 2k sin 0, а x = k sin 0. (їЗ)
Дадим одну из возможных интерпретаций построен-
ного решения (її) .. .(їЗ). Пусть
Г p S л
(
Уї = E
4 2
У 2 = E
3p л/з 4 , 2
тогда
г( Уї )=4
У (Уї) = 4lk, u( Уї) = ckf, у(Уї) =-c^^55,
^( У2)=-^^22, сту(у2) = -Т2к, и(у2) = -с^^^5, ^) = ^. (14)
Это означает, что верхняя шероховатая жесткая плита, заданная уравнением у = у движется вниз и вправо с постоянными ускорениями. На плите задано постоянное нормальное и касательные напряжения. Вторая плита (ее уравнение у = у2), движется вверх и влево с постоянными ускорениями. На этой плите также заданы нормальное и касательное напряжения.
Замечание. Подобные решения можно построить и для описания сжатия трубы, стенки которой движутся с постоянным ускорением.
S. I. Senashov, V I. Burmak
EXACT SOLUTIONS OF EQUATION OF PLASTICITY OF PLANE STRESS CONDITION
The article presents a new exact solution of equation of plane stress state, which describes compression of plastic layer with rigid sheet, which come close to constant acceleration.
Keywords: plasticity, plasticity of plane stress condition, exact solution.
© Сенатов С. И., Бурмак В. И., 2010
УДК 538.911; 539.21
В. М. Ленченко, Ю. Ю. Логинов, А. В. Мозжерин
ЛАВИННОЕ УМНОЖЕНИЕ И ИЗЛУЧАТЕЛЬНАЯ РЕКОМБИНАЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ ТОКА В КРЕМНИЕВЫХ СОЛНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТАХ
Определены условия ускорения носителей тока в полупроводниках до ударно-ионизационных энергий в сильных электрических полях ограниченной протяженности. Описаны генерационно-рекомбинационные процессы лавинного умножения и излучательной рекомбинации в виде микроплазм, возникающих в обратно смещенных р-п-переходах солнечных элементов. Представлено физическое обоснование диагностики микродефектов в полупроводниках с помощью микроплазм.
Ключевые слова: микроплазмы, солнечные элементы, р-п-переход.
Солнечные элементы широко используются в каче- плазм возрастают при увеличении прикладываемого к стве источников энергии, в том числе на энергетичес- р-п-переходу напряжения.
ких платформах космических аппаратов. В обратно сме- Локализация микроплазм может быть вызвана рез-
щенных р-п-переходах, расположенных у поверхности ким возрастанием электрического поля в области свече-полупроводника (как, например, в светодиодах и сол- ния и увеличением коэффициентов лавинного умноже-нечных элементах), в предпробойных электрических ния. Вероятнее всего это происходит в местах, где имеют-полях наблюдаются светящиеся точки и пятна, назван- ся неоднородности р-п-перехода. Такие неоднороднос-ные в [1] микроплазмами. Микроплазменный пробой, ти могут быть связаны с микродефектами, флуктуация-происходящий в обратно смещенных р-п-переходах, ми фронта легирования, дислокациями и др. В этих ло-сильно локализован, не превышает 1 мкм в диаметре и кальных областях может происходить уплотнение элект-сопровождается свечением невысокой интенсивности рического поля Е > Еп, где Еп - пороговое поле для лавин-[2]. Интенсивность этого свечения и количество микро- ного умножения носителей тока. Предполагается, что
її
