Преобразование точных решений уравнений пластичности высшими симметриями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.374

С. И. Сенашов, Е. В. Филюшина, Е. А. Попов

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ПЛАСТИЧНОСТИ ВЫСШИМИ СИММЕТРИЯМИ*

Показано, как высшие симметрии плоской идеальной пластичности действуют на точные решения. Получены новые решения.

Ключевые слова: двумерная пластичность, точные решения, высшие симметрии.

ку _ /„к„ а „к

1. Рассмотрим дифференциальные уравнения тео рии идеальной пластичности в плоском случае [1]:

да д0 д0

F1 _-------2k(cos 20----+ sln20—) _ О,

дх дх дy

(І)

да

д0

д0

F2 _-----------2k(sln 20----cos 20 —) _ О

(ру. )' = ку (х, у, ст, 0, ру., а), к = 1,2,...; 1, ] = 1,2,...,

где а - одномерный параметр из некоторой окрестности нуля.

Пусть преобразования (2) образуют локальную однопараметрическую группу, тогда

дх

дy

дx

где стх =ст-к8ш20, сту =ст + кБт20, т = к00820 -компоненты тензора напряжений; ст - гидростатиче-

п

ское давление; 0 = (1; х) — ,(1; х) - угол между пер-

4

вым главным направлением тензора напряжений и осью ОХ.

Известно, что система уравнений (1) допускает бесконечную группу точечных симметрий, бесконечную алгебру высших симметрий и бесконечную систему законов сохранения [2].

Точечная группа, допускаемая системой (1), уже неплохо изучена. С ее помощью удалось построить новые серии точных решений системы (1) и изучить качественные свойства уравнений.

Законы сохранения, допускаемые системой (1), по-

дг+j а'

дг+j 0'

д(Xд(у')' ' д(X') д(у')'

Система уравнений (1) определяет в пространстве 3 “ следующую бесконечную систему уравнений

Ост (Ъ) = 0, (3)

Здесь оператор полной производной имеет вид

д

D _& + ZA Spk

д х—' k

Dy _ лУ + Z pi,j+1Т" дУ k ,г, j dp]

г, j д

а = (І, т), Ба= Бех о Вту .

Будем говорить, что система уравнений (1) допускает группу преобразований (2), если бесконечная зволили в аналитическом виде решить краевые задачи

„ р гг система (3) инвариантна при этих преобразованиях.

Коши и Римана.

В данной статье впервые будет показано, как выс

шие симметрии используются для построения новых вует производная функция симметрий ф = точных решений уравнений (1).

2. Приведем необходимые сведения о высших торая определяется из системы уравнений

симметриях уравнения (1).

Пусть

Каждый однопараметрической группе (2) соответст-

Фі ф2

ко-

lFФ_ О.

(4)

дг+j а j дг+j 0 2 . , 1 2

■_ pj _ pj ,г,j _j,2,....

дх1 ду3 дх1 ду3

Рассмотрим бесконечномерное пространство 3т с координатами (х,у,ст,0,рк) к = 1,2,... и преобразование этого пространства вида

х = /1 (х, у, ст, 0, рк, а),

y' _ f 2(x, y, а, 0, pk, а), а' _ gj(x, y, а, 0, pk, а), 0'_ g 2( x, y, а, 0, pk, а),

(2)

Черта вверху означает, что в уравнениях (4) следует перейти на многообразие (3). Уравнения (4) для системы (1) имеют вид

^ „ w „ • „л д0 ~ 50 ^

-2k (-2 sin 20----+ 2cos 20-------+

Dx dx dy

+ cos 20Dx + sin 20Dy)

l ___ л У

F ,r, ™ d0 , . 50

-2k (2 cos 20-----+ 2sin 20----+

Dy dx dy

+ sin 20Dx - cos 20Dy)

x y/ /

Подробности вычислений высших симметрий и многочисленные примеры можно найти в [2] и цитируемой там литературе.

* Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» № 2.1.1 (3023).

9О

3. Наиболее простая неточечная симметрия системы уравнений (1) имеет вид [2]

( — Л

у^

1 —

ф_

ry!

где £ _ — - 0, п_ — + 0, - инварианты Римана сис-2k 2k

темы (1), x _ x cos 0 + y sin 0, y _-x sin 0 + y cos 0.

Известен следующий факт. Пусть (ст(x, y), 0(x, y))

- решение системы уравнений (1), которое в переменных x, y обозначим через x0, y0, тогда величины ст( x, y, т), 0( x, y, т), определяемые из системы

Ут _ y^, y(x, y,0) _ Уo,

1

x, _--------УI, x( x, y,0) _ x0,

2

(5)

есть также решение системы (І).

4. Запишем известное решение Прандтля, описывающее сжатие пластического слоя жесткими плитами, в координатах (x, y).

Имеем [І]

ax _-k(x - W1 - У2 ),

a y _ -kx, т _ ky,

тогда

x _ -a/k - sln20 _ (|+n) - sln(n-|),

y _ cos 20 _ cos(n -1).

Окончательно получаем

x _ x cos 0 + y sin 0 _ -(| + n)cos П—-- sin ——- _ x0,

y _ -x sin 0 + y cos 0 _

П-| П-| _

_-(I+n) sin ------cos - _ Уо .

Решаем первое уравнение системы (5) с началь ным условием (6).

Решение этой задачи можно записать в виде

"т” д2пуо

y(1, п т) _ У о +Z

j п! д|2

Нетрудно видеть, что

з у0 (-1)”- ( 1Y п-£

—Г-0_^—r^y + 1 — I cos———.

д£2п 2 I 21 2

Сворачивая полученные ряды из (7), получаем

y(£, п, т) _ у о exp (- ) + cos 0 exp (- ^) - cos 0.

Отсюда без труда получаем решение системы (1) в координатах (x, у, ст, 0):

у (т) _ x sin 0 + y cos 0 _

_ y0 exp (- ^4) + cos 20 exp (- ^2) - cos 20,

где y0 _ cos 20.

Из (8) следует, что

у (т)=уо ехр (-т4)+ехр (-т2)-1

а это означает, что на данном решении высшая симметрия ф сводится к преобразованию вида х' = в1 х,

у = вЫ

Поэтому новых решений из решения Прандтля построить не удается.

5. Аналогичная ситуация складывается и с решением Надаи, описывающим напряженное состояние около круглого отверстия. Это решение имеет в полярной системе координат вид

ст1Г = 2к 1п г, стфф = 2к 1п г + 2к, тгф = 0.

6. Рассмотрим решение Надаи [1], описывающее течение в плоском сходящемся канале. Оно имеет вид

стгг = -2кс 1п г + к 008 2у - кс 1п(с - 008 2у),

стфф = -2кс 1п г - к 008 2у- кс 1п(с - 008 2у),

тгф = к 8ш2у, стг -стф = 2к 008 2у > 0,

где у - угол между первым главным направлением тензора напряжений и полярным радиусом. Постоянная с связана с углом канала 2а:

с С +1

а + п/4 = , агйг.------,

чс -1

с > 0, 0 < а < п /2.

Тогда уравнение первого семейства характеристик этого решения имеют вид [2]

і )_ exp

s -1 Х0),

(б)

Г-(Х +0) 1.1

v c ,

y (0, ci)_ xT(0),

S(0) _^c + cT2 (0) + sin20 [l - T2 (0)] - 2T (0)cos20

T(0)_tg 0+П4-arctgfjc+jtg ^(0+n

где

(7)

Здесь с1 - постоянная, определяющая характеристику; 9 є (0, а) - параметр.

В этом случае уравнение преобразованных характеристик, симметрий ф, будут иметь вид

і 7 Г (-®)2

х(т, |, С1) =-7=1 х(ю, С1)ехр

2^/лт 1 і

У(т,I,ci) _ —j= I y(ra,ci)exp

2Vпт -і

4т

d ю,

(I-m)2

4т

d ю.

(В)

Аналогично выписываются преобразованные характеристики и второго семейства. Предварительные компьютерные расчеты показывают, что в этом случае высшая симметрия ф дает новое решение.

П

Библиографические ссылки дифференциальных уравнений. Новосибирск : Наука,

1. Хилл Р. Математическая теория пластичности. 2001.

М. : Гостехтеоретиздат, 1956. 3. Яхно Л. В Суперпозиция решений Надаи и

2. Киряков П. П., Сенатов С. И., Яхно А. Н. При- Прандтля для задач плоской пластичности // Сиб.

ложение симметрий и законов сохранения к решению журн. индустр. математики. 2009. № 3. . 123 138.

S. I. Senashov, E. V. Filyushina, E. A. Popov

TRANSFORMATION OF EXACT SOLUTIONS OF EQUATIONS OF PLASTICITY WITH ADVANCED SYMMETRIES

The article shows how advanced symmetries of plane ideal plasticity influence on exact solutions. New solutions are obtained.

Keywords: two-dimensional plasticity, exact solutions, advanced symmetry.

© Сенатов С. И., Филюшина Е. В., Попов Е. А., 2011

УДК 539.374

С. И. Сенашов, Е. В. Филюшина, А. М. Попов, И. В. Ковалев

НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ АНИЗОТРОПНОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ*

С помощью группы непрерывных преобразований, допускаемых системой уравнений анизотропной пластичности в двумерном случае, найдены некоторые новые точные решения, которые являются аналогами точных решений в изотропном случае.

Ключевые слова: анизотропная теория пластичности, группа непрерывных преобразований, алгебра Ли.

1. Рассмотрим систему уравнений анизотропной теории пластичности в двумерном случае [1]:

^ +* = 0, ^ 3 = 0, (1)

дх ду ду дх

(а( -аy )2

1 - c

+ 4т2 _ 4k2,

-г ( -аУ )2 + 4т'2 _ 4.

а2

В уравнениях (1), (3) сделаем замену: a'x _а-2sin20, т'_ cos20, а', _ а + 2sin20.

(2)

где стх, ст , т - компоненты тензора напряжения;

1 - с = а2 - параметр анизотропии [1]; к - предел текучести при сдвиге.

В системе (1)-(2) введем переменные кст’х =стх, кст'у =ст у, к т' = т, тогда вид уравнения (1) не изменится, а уравнение (2) примет вид

Получаем

дст ( д9 д9 ,

-----21 а—00829+------8іп29 | = 0,

дх ^ дх ду

дст (59 д9

-----21 — 8іп29 -а—00829 | = 0.

дУ 1дг ду

Найдем характеристики системы (4).

Они имеют вид

(4)

dy! _

dx У1 2

-2 cos 20 ± Vcos2 20 • а2 + sin2 20 sin 20

(5)

Соотношение на характеристиках (5) запишутся

так:

а _ ±2|-\/а2 cos2 20 + 2sin2 20d0. (б)

(3)

2. Найдем группу непрерывных преобразований, допускаемую системой (4). Допускаемый оператор ищем в виде [2]

д д д д

X _Ii лТ + I2 лТ + п7 + П2^Т, dx dy да д0

(7)

где I зависят от x, y, а,

* Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» № 2.1.1 (3023).