Эволюция характеристик решений двумерных уравнений идеальной пластичности Текст научной статьи по специальности «Математика»

S. N. Efimov, V. V. Tynchenko, V. S. Tynchenko

DESIGN OF COMPUTING NETWORK WITH EFFICIENT ARCHITECTURE FOR COMPLEX PROBLEMS DISTRIBUTED SOLVING

The choice problem of distributed computer network efficient architecture for parallel solving of complex problems is discussed. The queuing theory based analytical model of client-server computer network functioning is suggested. The method of computing network productivity estimation that allows to take into consideration characteristics of handling problem is developed.

ХЦК 539.374

С. И. Сенатов, О. В. Гомонова

ЭВОЛЮЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ1

Известное решение Прандтля преобразовывается точечными симметриями. В результате получены новые классы точных решений уравнений пластичности. Подробно рассмотрены те решения, которые могут быть использованы для описания плоских течений, возникающих при сжатии пластического слоя жесткими плитами.

(1)

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений пластичности [1] вида

Гоx - 2k(0x cos 20 + 0y sin 20) = 0, jo y - 2k (0 x sin 20 - 0 y cos 20) = 0, где o - гидростатическое давление, 0- угол между осью Ox и первым главным направлением тензора напряжений, k - постоянная пластичности; нижний индекс означает дифференцирование по соответствующей переменной.

Для этих уравнений группа преобразований известна [2]. Она порождается следующими операторами:

=dx, X2 =dy,

X3 = xdx + ydy > X4 = -ydx + xdy + de

X5 =d0

X6 =^1dx +^2dy -

-4Єкд0------de

° k e

X +=^d x +^9 y

(3)

где £ = xcos20 + ysin20 + y —, £,2 = xsin20-ycos20-x —;

k k

(£, n)- произвольное решение линейной системы Г£0 - 2k(£0 cos 20 + nc sin 20) = 0, jn0 - 2k(£0 sin20-nc cos 20) = 0 .

Для построения новых решений системы уравнений (1) используются преобразования симметрий, которые порождаются оператором X+ из (2) и имеют вид

x' = x + а£(о, 0), y = y + an(°, 0)-Для их построения необходимо знать точные решения системы дифференциальных уравнений (3). Несмотря на то, что эта система уравнений - линейная, построить точное решение, которое позволило бы получить хорошее преобразование, не так просто.

Приведем один из возможных способов построения точных решений системы (3).

Лемма. Система уравнений (3) имеет следующие решения:

/ о ч

cos2e, — sin2e

к

о

+ sin2e, - cos2e

(2)

(^о, По) (П + ^г,Ч + Пе)

Г

4^е^о + — ^е +^ С0Б2е + п Б1п2е + п —, к к

4£еПо + — Пе +^ 8т2е-п 8С0Б2е-^ —

. к к

К у

где (£,п)- произвольное решение системы (3).

Цоказательство этих фактов получается из таблицы коммутаторов операторов (2).

Эта лемма дает возможность получить серию новых точных решений системы уравнений (3). Цля этого нужно выбрать конкретное ее решение и подействовать на него любым из преобразований 71,72 или 73, где

71 :(£,пН(о, По)

Т2 :(^пН(п+^о,Ч+Пе) о,

тз

4к Є^с + — ^e + ^ cos2e +

к

+Пsin2e + n —, 4ke^c +—Пє +

к к

+£, sin2e-^scos2e-^—

Выберем в качестве «затравочного» очевидное решение системы (3): О = (1,0). Подействуем на него преобразованиями Т1, Т2, Т3. Получаем, соответственно,

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 07-01-08172).

решения Ti(O) = A = (0.0).

T3(O) = н =

cos 20.

sin 20- —

k

T2(O) = B = (0. -1) и Из этих решений наи-

более интересным представляется последнее. Применим к нему преобразования 7[, Тг, Т3. Получаем снова решения системы (3) и т. д.. Наиболее перспективным, по нашему мнению, направлением по построению новых решений является действие преобразованием Т3 , а также различные комбинации преобразований Т2 и Т3. Этот процесс можно представить в виде «дерева» решений (рис. 1).

Рис. 1

Отметим некоторые из получающихся новые реше-

ний Н :

H1 =

H2 =

cos 20; sin 20-

-------sin 20; cos 20

k

-2 —sin 20-

k

+1;

- 40 + 2 —cos 20

k

X = 20 - sin 20 + C. y = cos 20.

(6)

° п_ С

(вдоль которого выполнено условие Т7~ + 0 - - ~ ).

2к 2

Эти характеристики в теории пластичности являются линиями скольжения, т. е. линиями, вдоль которых действует максимальное касательное напряжение. Поле (5)-(6) образовано двумя ортогональными семействами циклоид с радиусом производящего круга, равным 1.

Графики первого (5) и второго (6) семейств характеристик приведены на рис. 2. График первого семейства характеристик показан на рисунке сплошной линией, график второго семейства - пунктиром (при построении было выбрано значение С — 0).

Как уже было отмечено, уравнения теории пластичности допускают группу точечных симметрий, которые переводят решения системы снова в решения этой же системы, а характеристики - в характеристики.

Рассмотрим, как одно из таких преобразований действует на характеристики решения Прандтля. Выберем преобразование вида

H1 =

cos 20. sin 20-

Подействуем этим преобразованием на характеристики (5) и (6). Получаем, соответственно x = -2e - sin 2e + a cos 2e + C,

Рассмотрим известное решение Прандтля системы уравнений пластичности (1):

о = -kx + kyj 1 - y2, y = cos 20.

Решение Прандтля можно использовать для описания течения пластического материала при сжатии слоя этого материала между параллельными жесткими и шероховатыми плитами. Это же решение может быть записано в виде

о = -kx =f k-у/1 - y2,

1 (4)

0 = ±—arccos y + пп.

2

Решение (4) имеет два семейства характеристик, имеющих следующий вид:

x = -20- sin 20 + C, y = cos 20, (5)

о 0= C

(вдоль которого выполнено условие -0 = -~ ),

2k 2

y' = cos 20 + a

sin 20-

X = 20 - sin 20 + a cos 20 + C.

y' = cos 20 + a

sin 20-

(7)

(8)

где С - произвольная постоянная.

Тогда параметрические уравнения преобразованных

, -Од С

характеристик (с учетом соотношений-------0 ----и

2к 2

_ /і

- + 0 —----, соответственно) имеют вид

2k

2

х' = -20 - sin 20 + a cos 20 + C. y' = cos 20 + a (sin 20- 20 + C).

(9)

X = 20-sin20 + a cos20 + C.

y' = cos20 + a (sin20 + 20 + C). (10)

Найдем огибающие этих семейств характеристик. Напомним, что огибающей семейства кривых на плоскости называется кривая, которая в каждой точке касается одной из кривых семейства [3].

Рассмотрим уравнения характеристик (9). Необходимое условие существования огибающей:

Ф(0, C) =

Хс

Хд

Ус

У0

= 0.

Имеем выражение

ф(0, C) = 2а2 sin20 + 4acos20- 2sin20 = 0. To есть

2 2a

a sin20 + 2acos20-sin20 = 0 и tg20 =

Таким образом 1

(1 - a2)

0 =

2a

—arctg--------

2 (1 - a2)

n n

— +— n 4 2

n

^~ + ~ n 22

np0 a Ф ±1, np0 a = ±1

(11)

П 1 a2 -1

0 Ф— arctg----------------+

2 2a

признак — n, n є Z.

выполняется.

ax - y =

arctg

-2a sin

(a2 - 1)cos T2cosnn

2a

(1 - a2)

+ nn

arctg

2a

(1 - a2)

+ nn

np0 a Ф ±1, np0 a = ±1.

ниях параметра для данного семейства - линии возврата. При а| > 1 наоборот, выражение (13) представляет собой уравнения линий возврата, выражение (14) - уравнение огибающих.

Проведя аналогичные рассуждения для второго семейства характеристик (10), получаем те же выражения (13) и (14) в результате поиска огибающей. Но в этом случае при |а| < 1 уравнения огибающих имеют вид (14), а (13) представляет собой линии возврата для второго семейства характеристик. При значениях параметра а| > 1 уравнения огибающих имеют вид (13), уравнения линий возврата - (14).

Построим графики характеристик первого семейства (9) и второго семейства (10) и огибающих для характеристик первого и второго семейств (рис. 3, 4) при различных значениях группового параметра а и при С = 0. Здесь сплошной линией показаны графики характеристик первого семейства и линий (13), пунктиром - графики второго семейства характеристик и линий (14).

3

Достаточным признаком существования огибающей является выполнение условия

Д = гефс - Сф'е* 0, где г =((е, С), >’(е, С)).

Проверим выполнение достаточного признака:

Д = -((2 -4)соз2е-Достаточный

если

Очевидно, что полученное значение для угла 0 из системы (11) удовлетворяет последнему условию. То есть огибающие рассматриваемого семейства характеристик существуют при различных значениях параметра a . Найдем их уравнения.

Исключим константу C из уравнений (9). Получим следующее равенство:

ax' - y' = -2a sin20+ (a2 - 1)cos20. (12)

Подставив в уравнение (12) выражения для 0 из (11), получим

а = -1 Рис. 4

Для четных значений числа п получаем

у = ах + а2 +1, (13)

для нечетных значений п имеет

у = ах - а2 -1. (14)

Выражение (13) представляет собой уравнение огибающих для первого преобразованного семейства характеристик (9) при \а\ < 1. Выражение (14) при этих значе-

Рассмотрим еще одно решение системы линейных уравнений (3) вида

/ +b(0)cos О 1 \

a(0)sin 2k У / г ° і 2k / (o'

^(0)sin V V 2k , + B(0) cos v 2k )

где функции а(0), Ь(0), А (0) в (0) можно определить из решения соответствующих систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Выясним, как действует преобразование (15) на характеристики (5) и (6). Подставим (15) в систему линейных уравнений (3). В результате получим систему уравнений для определения функций а(0), Ь (0), А (0) в(0) , имеющую вид

а'(0) + Ь (0)со520 + В (0)5ш20 = 0,

Ь'(0)- а (0)со8 20- А (0)5Іп20 = 0,

А'(0) + Ь (0)5ш20- В (0)со8 20 = 0,

В'(0)- а (0)8Іи20 + А (0)со8 20 = 0.

Сделаем следующие преобразования: продифференцируем каждое из уравнений (16) по 0 , тогда с учетом уравнений (16) получим следующие системы уравнений:

Га"(0) + а (0)+ 2 А'(0) = 0,

{А'(0)+ А (0)-2а'(0) = 0

и

+(1 ->/2)cos(1 + >/2) 0 cos

y2k;

Теперь выписываем преобразованные уравнения характеристик (5) и (6). Получаем соответственно

x' = -20-sin20 + a

cos(1 - >/2)0 sin

-a

(1 - -n/2) sin(1 + >/2)0 cos

0-

0-

C

\

//

(16)

y' = cos 20 + a

sin(1 ->/2)0 sin

+ a

(1 ->/2)cos(1 + >/2) 0 cos

0-C 2 C 0-C 2

(19)

V

//

для первого семейства характеристик и

(17)

x = 20-sin20 + a

cos(1 ->/2)0 sin

-0-

C

Л/

(18)

\br (0) + b (0)+ 2B (0) = 0,

{B (0)+ B (0)-2b' (0) = 0.

Будем искать решение системы (17): a(0) = CeX0, A (0) = DeX0, где C, D, X — постоянные.

Тогда для определения C, D, X получим следующие алгебраические уравнения:

CX2 + C + 2DX = 0,

DX2 + D — 2C X = 0.

Из этих уравнений без труда получаем

C12 =±iD, Xu = i(1 ±>/2), i2 =—1.

В силу этого окончательное (действительное) решение системы (17) имеет вид

a (0) = C1 cos(1 ± >/2)0 — C2 sin(1 ± >/2)0,

A (0) = C1 sin(1 ± >/2)0 + C2 cos(1 ± >/2)0,

где Q, C2 — произвольные постоянные.

Тогда согласованное с ним решение системы (18), с учетом (16) запишется следующим образом: b (0) = (1 ±>/2) х

x(C2 cos(1 т(2)0 — C1 sin(1 т >/2)0),

B (0) = (1 ±>/2) x

x(C2sin(1 t>/2)0 + C1 cos(1 t>/2)0).

Для простоты и наглядности рассмотрим случай, когда C2 = 0 , выбираем также всюду нижний знак, тогда (15) запишется в виде

£ = cos(1 —s/2)0 sin

І = sin(1 - V2)0sin

(1 ->/2)sin(1 + >/2)0 cos

-0-

y = cos 20 + a

sin(1 ->/2)0 sin

-0-

+ a

(1 ->/2)cos(1 + >/2) 0 cos

-0-

\\

//

//

(20)

для второго семейства характеристик.

Приведем графики характеристик (19) для различных значений параметра а (рис. 5, 6).

а = 5 Рис. 5

>

2к

\ У

_ \

а

cos

2к

\ /

/ _ \

а

+

2к

\ /

а = 10 Рис. 6

Библиографический список

1. Ишлинский, А. Ю. Математическая теория пластичности / А. Ю. Ишлинский, Д. Д. Ивлев. М. : Физматлит, 2001.

2. Киряков, П. П. Приложение симметрий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений /

П. П. Киряков, С. И. Сенашов, А. Н. Яхно. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2001.

3. Математическая энциклопедия / под ред. И. М. Виноградова, Т. 3 М. : «Советская энциклопедия», 1982.

S. I. Senashov, O. V. Gomonova

EVOLUTION OF THE CHARACTERISTICS OF SOLUTIONS TO THE 2-DIMENSIONAL EQUATIONS OF IDEAL PLASTICITY

The well-known Prandtl s solution is transformed by point symmetries. As the result the new classes of the exact solutions to the equations of plasticity are received. Solutions which can be used for the description of plane flows arising from pressure of a plastic layer by rigid plates are considered in details.

'УДК681.34

Н. А. Алексеев, О. В. Богданова

АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ СИСТЕМА ОПЕРАТИВНОГО ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ

Рассматривается программный комплекс автоматизированной системы оперативного производственного планирования и управления, базирующийся на новой двухуровневой модели. Предложен алгоритм решения задачи межцехового планирования.

Большая часть предприятий с дискретным производством как в России, так и за рубежом относится к так называемым позаказным производствам, выпускающим свою продукцию мелкими сериями или даже единичными экземплярами. Позаказное производство - это разработка под заказ определенного изделия, сборка готового изделия под заказ или производство ассортимента продукции, обладающей индивидуальными особенностями согласно требованиям заказчика. Наиболее распространенными средствами оперативного планирования и расчета расписаний в отечественном действующем производстве на сегодняшний день являются сетевые графики, бумажные и электронные таблицы, доски планирования и т. п. Но объем информации, которую необходимо обрабатывать для выработки управленческих решений, является огромным даже для небольших предприятий, и человеку без вспомогательных средств такая обработка не под силу. К тому же достаточно часто составленные вручную оперативный план и производственные расписания нарушаются срочными заказами, переделкой брака, больничными листами, поломкой оборудования, непредвиденным изменением спроса и т. д. Единственный выход - строить динамичные и гибкие производства на базе современных автоматизированных информационных систем управления, позволяющих снижать себестоимость выпускаемой продукции, сокращать издержки и производственные потери, сокращать объемы материально-технических запасов, учитывать возможные будущие отклонения от стандартных ситуаций.

При разработке программного комплекса автоматизированной системы оперативного производственного

планирования и управления использовались современные методики оптимизации расписаний, в частности, применительно к конкретному производственному процессу, методы управления сроками выполнения заказа (рис. 1).

Для дальнейшего рассмотрения проблемы разработки подобных информационных систем сформулируем постановку задачи.

Имеются работыj = 1,..., n и m машин M,...,M . Работа j состоит из n■. операций 0jj, •••, Onj. Две операции одной работы не могут производиться одновременно. Операция Oj имеет длительностьp.j, если производится машиной це {Mj,... , Mm }. Отношения предшествования существуют между любыми операциями. Такая общая задача составления цехового расписания может быть интерпретирована как задача составления плана проекта при ограниченных ресурсах (RCPSP - The Resource-Constrained Project Scheduling Problem) с r = m + n возобновляемыми ресурсами, где Rk = 1 для k = 1,..., m + n, и с числом

n

операций O jj, равным X n j . Кроме того, операция

j = 1

O j использует объем ресурса k , равный r jk, где [0 еслб jJ.„ = Mk 0л0 k = m + j;

1 в прот0вном слочае.

Ресурсы k = 1,..., т соответствуют оборудованию, в то время как ресурсы т + _/ (] = 1,..., п ) необходимы, чтобы моделировать ситуации, когда разные операции одной работы j не могут производиться одновременно.