CC BY
32
УДК 539.374
JI. В.Яхно
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РЕШЕНИЯ НАДАИ В РЕШЕНИЕ ПРАНДТЛЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДВУМЕРНОЙ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ
Приводится общий алгоритм преобразования точных решений системы плоской идеальной пластичности среды Мизеса с использованием принципа суперпозиции, возникающего как следствие того, что система допускает бесконечномерную группу симметрии. В качестве примера рассматривается связь между известными точными решениями: решением Прандтля для тонкого слоя, сжимаемого шероховатыми твердыми плитами, и решением Надаи для радиального распределения напряжений в пластическом клине.
Ключевые слова: симметрии, двумерная пластичность, точные решения.
Рассмотрим хорошо известную систему теории плоской идеальной пластичности с условием текучести Сен-Венана-Мизеса, записанную для функций у (х, у), и(х,у) в декартовой системе координат [1]:
9ст -.7 Г 90 90 . і „
——2k\ —cos29+—sin29 | = О,
ох \дх ду
9ст -.7 Г 90 ■ 90 ,
——2к\ — sin29-— cos29 |=0,
ду \дх ду
(1)
(2)
|-2tí|ícoS2e+|iSm2el = 0.
90 ^ да да
t-2tí?Sm20-|;cos2e| = O.
90 I да да
(3)
Ввиду линеаризуемости, система (1) допускает бесконечномерную группу точечных симметрий [2] с оператором
X = хо(ст,0) ^- + y0(p,Q)^-, дх ду
(4)
(8)
где гг(х. і’) -гидростатическим давление, 0(х. у) + тс/4 -угол между главным направлением тензора напряжений и осью Ох.
Система (1) является гиперболического типа, два семейства характеристик задаются следующими уравнениями:
Как известно [1], система (1) линеаризуется преобразованием годографа
х = х(ст,0), у = у(а,В)
в области, где якобиан соответствующего преобразования отличен от нуля. Линеаризованная система имеет вид
x0=xi-x2, y0=y¡-y2. (7)
Тогда в силу (5) будем иметь так называемое размноженное решение
х = х'(ст, 0) = х2 (ст, 0) + ах0 (а, 0) =
= ахх (ст, 0) + (1 - а)х2 (ст, 0),
У = У'(а, 0) = У i (ст, 0) + ау0 (ст, 0) =
= т (ст, 0) + (1 - а)у2 (ст, 0), которое в силу линейности системы (3) задает ее решение как линейную комбинацию точных решений. Но (8) задает неявным образом решение и для системы (1). Этот принцип можно назвать принципом суперпозиции для системы плоской пластичности (1). На основе этого принципа любое точное решение системы (1) можно связать с другим точным решением.
Получаемые таким образом решения требуют, конечно, механической интерпретации, т. е. определения конкретной граничной задачи. Отметим, что соотношения (8) задают семейство решений, зависящее от параметра а.
Рассмотрим известное решение Надаи для сходящегося канала, имеющее вид [3]:
стг = -2кс In г + к cos 2i|/ --кс In (с - cos 2i|/) + А, стф = -2кс In г - к cos 2i|/ --кс In (с - cos 2i|/) + А, тГф = ksm.2\\t, аг-а^ =
= 2&cos2i|/ > О, где ст., ст , т y|j - компоненты тензора напряжений в полярной системе координат (г, ср). Для угла у выполняются соотношения
(9)
где (х„л’0) является произвольным решением системы (3). Соответствующие точечные преобразования, переводящие любое точное решение системы (1) в решение этой же системы имеют вид
х' = х + ах0 (ст, 0), у' = у + суъ (ст, 0)> (5)
где а - достаточно малый вещественный групповой параметр.
Рассмотрим два точных решения линейной системы (3): XI = (л*1 (ст, 0), >"! (ст, 0)),
Х2 = (х2 (ст, 0), (ст, 0)) ^
и возьмем в качестве функций (х ,_у) разности
г с<
Ф= I — J г. —
cos2y
c-cos2y
d\y, m' =-————с> 1.
0c-cos2y cos2y
(10)
Здесь постоянная с связана с углом раствора канала 26 следующим образом:
С .а
71
а + — = ■ ____
4 4с^і
о,”
2
(П)
а ^является постоянной пластичности. Интегрируя (10), получаем неявную зависимость между полярным углом Ф и углом у:
с
Ф = -Ч> +
у/с2 -1
arctg
с + 1
tg
(12)
Математика, механика, информатика
Условие на константу с необходимо для сходимости интеграла (10), константа^ произвольная. Данное решение описывает напряженное состояние в клиновидной области, в котором границы клина являются огибающими линий скольжения.
Запишем решение (9)- (12) в терминах функций ст и 9 системы (1), пользуясь формулами связи компонент де-виатора напряжений в полярной и декартовой системах координат [4]:
= -&5ш29со5 2ср +
+&со5 205ш2ф = &5ш2(ф-9), (13)
тГф = &со5 2(ф-9).
Таким образом, в декартовой системе координат решение (9) для системы (1) имеет вид
<5Г +СГ ст =-----21 =
Ф + ш = 9 +— =
4
л/с2 -1 у = arctg
arctg
с +1 ~\
tgV
(15)
с-1 л/с2 -1
Кроме того, имеем
71 | + -4
cos 2\\t = cos ^ 29 - 2ф + — J = зт(2ф - 29),
и тогда решение Надаи для сходящегося канала в терминах у и и принимает вид
ст = -кс
\п(х2 + у2) +ln{c + sin I 29-2arctg —
-А,
у %
9 = arctg------------1- arctg
л: 4
IE1
\с +1
-1, у/с2 -1
(16)
ст| = -кс 1п(х2 + у2)+А.
(17)
Теперь запишем решение Надаи для линеаризованной системы пластичности, т.е. выразим х иу из(16):
xN = ±е 2fc / S(Q), yN = ±xNT,
Т = tg
' + 4 - arctg
с -I -4c1 -1
%
, + 4
(18)
5”(9) = л/с+сГ2 +(l-r2)sm29-2rcos29,
ст = 2^(С! - 9), ст = 2k(C2 + 9) (19)
и беря и в качестве параметра (рис. 1). При этом параметр и принимает значения от -а - 7г/2 до а.
= -кс[ 1п(х2 + у2) + ln(c - cos2\\>)] + А, (14)
9 = ф--arccos—^ = ф + у-—.
А К “т
Из (12) находится выражение для ф + \|/. и с учетом второго соотношения из (14) будем иметь:
Рис. 1. Линии скольжения решения Надаи для сходящегося канала
Рассмотрим решение Прандтля
(20)
у = h cos 29,
описывающее сжатие тонкого слоя параллельными плоскими шероховатыми плитами. Здесь 2h = const является шириной слоя, —р = const является значением гидростатического давление при х = 0. Граничные условия выражаются формулами (берем только верхнюю границу у = К)
X
I y=h
= 0,
' и = ~Р\ - к — .
і y=h h
Соответствующее решение линеаризованной системы (3) имеет вид (индекс Р)
h h
хР = -ст— sin29,
к к
(21)
Граничные условия для решения (16) следующие. Канал образован прямыми ф = ±а, вдоль которых (берем только верхнюю прямую Ь: ф = а)
71 1
У = 4> V =к>
тогда
уР = h cos 29.
Уравнения линий скольжения получаются из (21) заменой (19). Для решения Прандтля соответствующие характеристики изображены на рис. 2.
1.5т
Здесь индекс N указывает, что это решение А. Ыаскп. Теперь достаточно просто построить линии скольжения, полагая в (18)
Рис. 2. Линии скольжения решения Прандтля для сжимаемого слоя
Размноженное решение (8), получаемое из принципа суперпозиции решений (18) и (21) имеет вид
х = ах д, + (1 - а)хР,
* (22) У = аУы ~ (1 - а)Ур-Для построения огибающих линий скольжения для размноженного решения (22) производим замену (19) и используем необходимое условие существования огибающей семейства кривых
х = х(в,С1), у = у(в,С1), выражаемое равенством
д^ду_д)^дх =
9С, 90 9С,. 90 ’
которое в силу (2) дает два уравнения для значений С1 первого и С2 второго семейств характеристик:
дх ду
= 0,
дС1 дС1
дх ду
—+ -^tg0 = O.
дС2 дС2
Решая (23), получим
п А , Г ^(0)
Q =-0+ —-cln -2/гс w
2k
Л
С7 = 0 л—- - с In -2/гс
а 1 — ctg 0 1 -a S(Q)
Г,
sin20-2cln -2he
а 1 — ctg 0
2(1 - a)hc (1 - a)h l-Tctg© k yCi = (1 - a)h cos 20 -2(1 - a)hc
{A + Pl\
T, 0e(O,a);
l-T ctg0
хСг = -(1 - a)h
sin20-2cln| -2he
1-a S(Q) a l + T tgQ
2(1 - a)hc (1 - a)h
"T+rtg0 k
(A + Pi.
П \i 2(1 -a)hc
yc = (1 - a)h cos 20 - -—-——T,
l + ng0
71 71
2 2
уравнений (3), а значит, задает в неявной форме точное решение исходной системы (1); описывает напряженное состояние слоя с границами (25), (26) (рис. 3) и имеет следующие граничные условия заданные параметрически:
1 -а £(0)
(23)
ст L =^4-2&с1п -2he |Г‘ ^ а 1-Т ctg0
x = xCi(Q), у = yCl (0), 0 е (0,а);
I л 1 ( 1-a S(Q)
стг =А-2ксщ -2he------------------
|Г2 ^ a \ + TtgQ
(27)
* = *с2 (0), У = Ус2 ФХ
71 71
а,—
2 2
(24)
2& ^ а 1 + 7" tg 0 ^
а ^ 0,1.
Подставляя (24) в уравнения характеристик, получим уравнения огибающих:
xCi = -(1 - a)h х
1-a S(Q)
При a = 0 решение (22) совпадает с решением Пранд-ля, при а = 1 - с решением Надаи.
(25)
(26)
Можно заметить, что огибающая Г1 переходит в огибающую Г2 при замене 0 на - 7г/2 - 0.
Таким образом, размноженное решение (22) при а Ф 0, 1 является новым точным решением в замкнутой форме
Рис. 3. Линии скольжения размноженного решения
Библиографический список
1. Качанов, Л. М. Основы теории пластичности / Л. М. Качанов. М.: Наука. 1969.
2. Senashov, S. I. Symmetries and conservation laws of 2-dimensional ideal plasticity / S. I. Senashov, A. M. Vinogradov //Proc.EdinburghMath. Soc. (2). 1988. V 3. №3. C. 415-439.
3. Hill, R. The mathematical theory of plasticity / R. Hill. Oxford: Calderon press. 1950.
4. Соколовский, В. В. Теория пластичности/В. В. Соколовский. М.: Высш. шк., 1969.
L. V Yakhno
SOLUTIONS TRANSFORMATION OF NADAI AND PRANDTL FOR THE PLANE IDEAL PLASTICITY SYSTEM
A general algorithm of transformation of the exact solutions for the plane ideal plasticity system with Mises yielding criterion by means of superposition principle is proposed. This principle is a result of infinite-dimensional symmetry group admitted by the system. As an example, the relation of Nadai solution for the converging channel and Prandtl solution for compression of a block between perfectly rough plates is considered.
Keywords: symmetries, plane plasticity, exact solutions.
