Принцип суперпозиции решений для задачи плоской пластичности Текст научной статьи по специальности «Математика»

140 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2009. №2(68)

УДК 539.374

ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ

© 2008 Л.В. Яхно1

Для системы плоской идеальной пластичности среды Мизеса рассматривается принцип суперпозиции решений. Для этой системы выписано новое точное решение как суперпозиция известных решений Прандтля для сжимаемого слоя и решения для равномерно нагруженного кругового отверстия. Обсуждается механический смысл полученного решения.

Ключевые слова: принцип суперпозиций, среда Мизеса.

1. Принцип суперпозиции решений

Известно [1], что система квазилинейных однородных уравнений двух функций от двух независимых переменных:

аП(П1,П2) + а12(«1,«2)+ Ьи(и1,и2) 1у + &12(«1,«2)д2 =0,

а21(П1,П2) + а22(и1,и2) ^2 + Ь21(и1,и2) + Ь22(и1,и2) = 0 .

может быть линеаризована преобразованием годографа

Т : х = х(и1,и2), у = у(и1,и2),

в области, где якобиан соответствующего преобразования

А = д (и1,и2)/д(х,у)

отличен от нуля. Это преобразование меняет ролью неизвестные функции и независимые переменные. В результате система (1.1) сводится к линейной системе:

>»2щ; - 1<пщ; -аиУ + апй = 0- (12)

Ь22- Ь21 ду, - а22;Ц + а21 дЦ; = 0.

Назовем любое решение системы (1.1)

и = (и1(х,у),и2(х,у))

хЯхно Лилия Владимировна (iakhno@kgtei.ru), Сибирский государственный аэрокосмический университет, 660014, Россия, г. Красноярск, пр. газ. Красноярский рабочий, 31.

неособым, если его преобразование в соответствующее решение

X = Т(и) = (х(щ, П2),у(П1,П2))

линейной системы (1.2) является невырожденным.

Линейная система (1.2) допускает бесконечномерную группу симметрий в силу принципа суперпозиции решений для линейных систем. Соответствующий оператор имеет следующий вид:

д д X = £(П\,П2) дх + п(и\,П2) дуу, (1.3)

где (£,п) — произвольное решение системы (1.2). Этот оператор порождает однопараметрическую группу точечных преобразований:

X = х + а£, у' = у + ап, (1.4)

где а € М — групповой параметр.

Пусть XI = (х1(п1,П2),У1(и1,П2)) и Х2 = (х2(п\,П2), У2(«ъ«2)) два решения линейной системы (1.2), которые определяют соответственно два решения и1 и и2 квазилинейной системы (1.1).

Возьмем коэффициенты оператора (1.3) как разницу двух решений XI и Х2:

£ = XI - Х2, п = У1 - У2, тогда в силу (1.4) имеем:

х = х'(и1,и2) = х2 + а£ = ах1(и1 ,и2) + (1 — а)х2(и1, и2), (1 5)

у = у'(и1,и2)= У2 + ап = ау1(и1,и2)+ (1 — а)у2(щ,щ), ( . )

что также является решением системы (1.2) как линейной комбинации двух решений. С другой стороны, формулы (1.5) неявно определяют семейство решений вида (и1(х,у,а), и2(х,у,а)) для системы (1.1). Заметим, что при а = 1 решение (1.5) совпадает с решением и1; при а = 0 - с и2.

Система (1.1) автоморфна относительно группы (1.4). Это означает, что любое неособое решение системы (1.1) может быть преобразовано в другое неособое решение этой же системы посредством допускаемой группы точечных преобразований. Этот факт позволяет связать между собой любые два решения и1, и2 квазилинейной системы (1.1), которые могут быть представлены в виде Х1, Х2.

2. Плоская пластичность

Теперь построим семейство новых аналитических решений для системы уравнений плоской идеальной пластичности среды Мизеса [2]

0,

(2.1)

3(7 дх - 2к | < дв \ дх т О О + дв ду

да ду - 2к | ( дв { дх 8Іп2в - дв ду

где а - гидростатическое давление, в + п/4 - угол между главным направлением тензора напряжений и осью ох.

Данная система является гиперболической и имеет два семейства характеристик, удовлетворяющие уравнениям:

^ = t& 9, 2к — 9 =const = а (2.2)

^ = — ctg 9, 2k + 9 = const = в- '

В математической теории пластичности характеристические кривые известны как линии скольжения. Вдоль первого семейства линий скольжения значение переменной а постоянно. Вдоль линий второго семейства постоянно значение в.

Соответствущая линеаризованная система (1.2) имеет вид:

dx d0 2k ( dx [da cos 29 + dy da sin 29) = 0,

dy d0 2k ’ dx i da sin 29 — dy da cos 29 = 0.

(2.3)

!Ш 2в — СОЪ 2в \ = и.

Оператор (1.3) имеет вид [3]

д д х = ^в) дХ + п{а'в) Щ-

где (^,п) — произвольное решение системы (2.3).

Рассмотрим хорошо известное решение Прандтля [4], описывающее напряженное состояние тонкого слоя, сжимаемого параллельными шероховатыми плитами. В терминах функций а, в это решение имеет вид:

a = —pi — kh + kV 1 - h2, (2.4)

y = h cos29,

где 2h - постоянная толщина слоя. Прямые y = ±h являются границами плит, pi - постоянное значение гидростатического давления на границе слоя при x = 0.

Другое известное точное решение [2] описывает пластическое состояние вокруг кругового отверстия радиуса R, нагруженного равномерно распределенным давлением p2 = const в отсутствие касательного напряжения:

9 = arCtg I + 4 = ф + П, a = -Р2 + k + k ln = -P2 + k + k ln R2,

здесь r, ф - полярные координаты.

Соответствующие решения xi, Х2 линейной системы (2.3) будут равны:

xi(a, 9) = —ah — pih — h sin 29, yi(a, 9) = hcos 29

для решения Прандтля и

P2—k / 4 c

x2(a, 9) = Recos (9 — 4) e2

P2—k / c

y2(a, 9) = Resin (9 — 4) e2

для кругового отверстия.

Используя соотношение (1.5), получим решение:

х = а (—аТ — р\Т — Ьзіп2в) + (1 — а) ЕеР— соз (в — П) е,

Р2-к , ) <? (2.6)

у = аЬсов2в + (1 — а)Ке 2к зіп [в — еы .

Можно заметить, что при а = 0 в (2.6) имеем решение (2.5) с граничным

условием

в\т=я = ф + П, а\г=к = —Р2 + к,

поэтому будем искать граничную линию для решения (2.6), полагая

а = —р\ + к, в = ф + п/4 (2.7)

и переходя в полярные координаты. Тогда из второго соотношения (2.6)

имеем:

р?-р-\

г = —2аЬ соз ф + (1 — а)Ее , (2.8)

в то время как первое соотношение в (2.6) удовлетворяется тождественно. Следовательно, решение (2.6) удовлетворяет граничным условиям (2.7) вдоль границы (2.8), которая является улиткой Паскаля. Заметим, что, для того чтобы решение имело механическую интерпретацию, значение параметра а должно быть таким, чтобы улитка оставалась выпуклой.

Если в формулах (2.6) использовать а и в из (2.2), беря в в качестве параметра, то получим уравнения характеристик. Так, полагая а = 2к(а + + в), получим первое семейство характеристик, заданное параметрическим уравнением:

х = —аЬ (2(а + в) + к + зіп2в) + (1 — а)КеР— соз (в — П) еа+в, (2 9)

— к (2.9)

у = аЬ соз 2в + (1 — а)Еезіп (в — П) еа+в.

Придавая различные значения постоянной а, получим различные характеристики первого семейства.

На рис. 2.1 изображены два семейства характеристик

Ф = в — п, г = Е ехр ^ ±в + Р2— к + ,

для решения (2.5) при р2 = к для круглого отверстия радиуса Е = 2. Деформированные линии скольжения (2.9) представлены на рис. 2.2 для улитки Паскаля (Ь = 1, р\ = р2).

Рис. 2.1. Начальные линии скольжения (логарифмические спирали) решения для кругового отверстия

скольжения решения для улитки Паскаля

Заключение

Принцип суперпозиции решений системы плоской идеальной пластичности среды Мизеса (2.1) формулируется с использованием допускаемого оператора симметрии. Для двух известных решений — решения Прандтля и решения для кругового отверстия — выписывается семейство новых аналитических решений. Основной результат состоит в использовании допускаемой точечной симметрии для преобразования характеристик. Это позволяет эффективно определить подходящие граничные условия для полученного семейства решений.

Автор выражает глубокую благодарность С.И. Сенашову за постоянное внимание к работе и ценные замечания.

Литература

[1] Рождественский, Б.Л. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике / Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко. — М.: Наука, 1968. — 687 с.

[2] Качанов, Л.М. Основы теории пластичности / Л.М. Качанов. — М.: Наука, 1969. — 420 с.

[3] Senashov, S.I. Symmetries and conservation laws of 2-dimensional ideal plasticity / S.I. Senashov, A.M. Vinogradov // Proc. Edinburgh Math. Soc. — 1988. (2). — V. 3. — №3. — P. 415-439.

[4] Hill, R. The mathematical theory of plasticity / R. Hill. — Oxford: Calderon press, 1950.

Поступила в редакцию 25/XT7/2008;

в окончательном варианте — 25/X///2008.

PRINCIPLE OF SUPERPOSITION OF SOLUTIONS FOR THE PROBLEM OF PLANE PLASTICITY

© 2009 L.V. Yakhno2

The principle of superposition of solutions for the system of plane ideal plasticity of Mises media is considered. A new exact solution as a superposition of foregone Prandtl conclusions for collapsed strata and the solution for uniformly loaded circular aperture is issued. The mechanical sense of the obtained solution is discussed.

Key words and phrases: principle of superposition, Mezis medium.

Paper received 25/XT7/2008. Paper accepted 25/X///2008.

2Yakhno Liliya Vladimirovna (iakkno@kgtei.ru), Siberian Aerospace State University, Krasnoyarsk, 660014, Russia.