Исследование некоторых точных решений двумерной идеальной пластичности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная математика

УДК 539.374

В. И. Бурмак

Сибирский федеральный университет, Россия, Красноярск

ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОДАЛГЕБР, ДОПУСКАЕМЫХ УРАВНЕНИЯМИ ПЛАСТИЧНОСТИ

Найдены оптимальные системы подалгебр 1, 2, 3 алгебры Ли, допускаемой уравнениями пластичности плоского напряженного состояния в случае медленных нестационарных течений.

В [1] было доказано, что уравнения

du да x дг „ dv дау дг „ — + —- + — = 0, — + —- + — = 0, dt дх ду dt ду дх

а2х +а2у -ахау + 3z2 = 3k2,

= 1-1,

ди ду ди ду — + —

дх ду ду дх

2а- -ау 2ау -ах 6г

(1) (2)

(3)

где ох, оу, т - компоненты тензора напряжений; X - некоторая положительная функция; к - постоянная пластичности; и, V - компоненты вектора скорости, все функции зависят от х, у, t и допускают алгебру Ли Ь9:

X = - уд х + хд - уди + иду + д^, X2 = tдt + хдх + уд - Хдх, X-, = t^ + ид + уд + 1д.., X. = -уд + хд

3 t и у 4 J и у

(4)

X5 =д у,

X 6 =д-,

X7 =ду,

X8 =ди,

X9 =д,.

Автором найдены все внутренние автоморфизмы алгебры Ли (4), с помощью которых построены оптимальные системы 01, 02, 03. Это позволяет найти вид всех инвариантных решений уравнений (1).. .(3).

Библиографическая ссылка

1. Сенашов С. И., Бурмак В. И. Точное решение уравнений пластичности плоского напряженного состояния // Вестник СибГАУ. 2010. Вып. 4 (30). С. 10-11.

V. I. Burmak Siberian Federal University, Russia, Krasnoyarsk

OPTIMAL SYSTEMS OF SUBALGEBRAS ADMITTED BY EQUATIONS OF PLASTICITY

Optimal systems of subalgebras 1, 2, 3 of Lie algebra admitted by plasticity's equations of plane stress are presented.

© Бурмак В. И., 2011

УДК 539.374

Ю. Ю. Вайтекунас

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОЙ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ

Исследована суперпозиция точных решений Прандтля-Надаи двумерной пластичности. Дана графическая интерпретация линий скольжения.

В своей ставшей уже классической работе Л. Прандлем было найдено точное решение для системы двумерной идеальной пластичности Треска-Сен-Венана-Мизеса, а именно: для сжатия пластичного слоя между двумя шероховатыми параллельными плитами.

Аналогично А. Надаи нашел решение для случая распирания цилиндрической трубы давлением изнут-

ри [1]. Внешний диаметр трубы полагался равным бесконечности. Постановка задачи давалась в двумерной системе координат.

В работе [2] для построения новых решений системы уравнений идеальной пластичности на основе точечных симметрий был применен аппарат алгебры Ли. Там же был найден целый ряд частных решений. Однако исследование даже нескольких частных ре-

Решетневские чтения

шений приводит к выводу, что не все полученные в результате групповых операций решения имеют однозначное механистическое истолкование.

Рассмотрим некоторое частное точное решение системы двумерной идеальной пластичности, которое является гомотопией решений Прандтля и Надаи, и покажем эволюцию от решения Надаи до решения Прандтля (рис. 1-4). Решения отличаются между собой значением одного коэффициента (назовем его формфактором).

Рис. 1. Решение Надаи (формфактор равен 0)

Для значений формфактора, превышающих 0,33, характеристики обоих семейств начинают пересекать линию постоянного давления, которая в общем случае представляет собой улитку Паскаля, при этом проис-

ходит разрыв характеристик. Имеющееся точное решение не отражает этого фактора и вид самопересекающихся характеристических линий указывает на это. В диапазоне изменения формфактора, очень близко к 1, вид характеристических линий снова можно интерпретировать как решения, близкие к решению Прандтля. Изучение разрывов характеристических линий планируется в дальнейшем.

Рис. 3. Решение при формфакторе, равном 0,7

/X ^

Рис. 4. Решение Прандтля (формфактор равен 1,0)

Библиографические ссылки

1. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М. : Изд-во иностр. лит., 1954.

2. Аннин Б. Д., Бытев В. О., Сенашов С. И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1985.

U. U. Vaitekunas

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

A STUDY OF SOME EXACT SOLUTIONS OF TWO-DIMENSIONAL IDEAL PLASTICITY

The authors investigate a superposition of exact solutions of the Prandtl-Nadai two-dimensional ideal plasticity. A graphical interpretation of the slip lines is presented.

© BanreKyHac to. to., 2011