Оптимальные системы подалгебр и инвариантные решения уравнений пластичности плоского напряженного состояния Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографические ссылки

1. Федеральная космическая программа России

на 2006-2015 гг. [Электронный ресурс]. иКЬ:

http://www.federalspace.ru/main.php?id=24.

2. Ершова Т. Б. Организационные аспекты создания единого информационного пространства предприятия // Трансп. дело России. 2009. № 2. С. 62-65.

3. Информационные технологии : учеб. пособие / А. А. Вичугова, В. Н. Вичугов, Е. А. Дмитриева, Г. П. Цапко ; Том. политехн. ун-т. Томск, 2011.

4. Вичугова А. А., Вичугов В. Н., Дмитриева Е. А. Жизненный цикл документа в информационных системах управления данными // Вестн. науки Сибири. 2011. № 1. С. 328-334.

A. S. Ametova, A. A. Vichugova, V. N. Vichugov, Yu. A. Sukhanova, S. G. Tsapko

PROJECT OF DEVELOPMENT OF UNITED INFORMATION SPACE FOR THE PROCESSES OF GENERATION OF ONBOARD ELECTRONIC EQUIPMENT OF SPACECRAFTS AT JSC «ISS» NAMED AFTER ACADEMICIAN M. F. RESHETNEV»

The authors consider a concept of united information space and describe the stages of its development for the processes of generation of onboard electronic equipment of a spacecraft at JSC «ISS» named after academician M. F. Reshetnev».

Keywords: business processes, integration of information systems.

© Аметова Э. С., Вичугова А. А., Вичугов В. Н., Суханова Ю. А., Цапко С. Г., 2012

УДК 539.374

В. И. Бурмак

ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОДАЛГЕБР И ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЛАСТИЧНОСТИ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Найдены оптимальные системы подалгебр размерности 1, 2 алгебры Ли, допускаемые уравнениями пластичности плоского напряженного состояния в случае медленных нестационарных течений.

Ключевые слова: пластичность, плоское напряженное состояние.

Рассмотрим уравнения, описывающие плоское напряженное состояние в случае медленных нестационарных течений. Уравнения имеют вид

- ! /г . „ \ -ю

u = ^v3 sin ю cos2p-cos ю j^ +

dt

dx

r~ . . „ дю „ . дф

+ V3 sinюsln2ф-------------------2sinю —-,

ây dy

д n: . . _ дю

—v = v 3sinro sin2cp--------------

дt dx

\ дю

-(43 sin ю cos2p + cos ю)—+ 2sin ю—,

' ' ây âx

âu âx

-u âv . .

-------1------= 6k A sin ю sin 2ф.

ây âx

(1)

(2)

—Х = kA^V3cosro + 3sinro cos2p), (3)

— = kA^V3cosra - 3sinro cos 2p), (4)

(5)

напряжения и осью Ох; ю - угол, связанный со значением среднего давления ст = -3- (ст1 +ст2),

cos ю = ■

л/3ст

1F

k - постоянная пластичности; u,v -

компоненты вектора скорости; все функции зависят

от X, у, Ґ .

Точечные симметрии системы (1)...(5) с использованием методики Ли [1] были найдены ранее [2].

Базис алгебры Ли Ь9, порождающей группу непрерывных преобразований, которая допускается системой уравнений (1). (5), имеет вид

Х1 =-УдX + хду -^и + идV + дФ,

X 2 = + хд X + Уду -^дх,

X3 = tdt + uâu + vâv +A-a ,

X4 = -y-u + xâv, X5 = ây , X6 = âx ,

X7 = -v , X8 =-u , X9 =ât.

(6)

Здесь X - некоторая положительная функция; ф -угол между первым главным направлением тензора

Таблица коммутаторов алгебры Ли Ь9 будет следующей (табл. 1).

Таблица 1

Таблица коммутаторов

X: X2 Xз X4 X5 X6 Х7 X, X»

X 0 0 0 0 X6 ^5 X8 ^7 0

X2 0 0 0 X4 -X5 -X6 0 0 -X,

Xз 0 0 0 -X4 0 0 -X7 -X8 -X9

X4 0 ^4 X4 0 X8 -X7 0 0 0

X5 X5 0 -X8 0 0 0 0 0

X6 X5 X6 0 X/ 0 0 0 0 0

Х7 -X« 0 X7 0 0 0 0 0 0

X8 X7 0 X8 0 0 0 0 0 0

X9 0 X9 X9 0 0 0 0 0 0

Анализ табл. 1 показывает, что алгебра Ли Ь9 разрешима и имеет следующую структуру:

- максимальные абелевы идеалы

N = {, X2, X 4, X5, X6, X 7, X8, X9 }, Х82 = {X 2, X3, X 4, X5, X6, X7, X 8, X9 };

- центр £ = {0};

- производная алгебра

19 ={ 4, X5, X6, X7, X 8, X9};

- общий вид одномерной подалгебры:

X — 0-1X-! +^2 X 2 +^3 X3 +О4 X4 +О5 X5 +

+ ОбX6 + О7X7 + ^8X8 + О9X9 ,

(7)

где а, / = 1,9 - константы.

Построим оптимальную систему подалгебр размерности 1 путем поиска наиболее простых неподобных подалгебр X (7), т. е. тех подалгебр, которые под действием внутренних автоморфизмов не переводятся друг в друга.

Так, оптимальная система подалгебр размерности 1 - 91 будет следующей:

I. оХ1 + Х2 + Х3 + Х4.

II. оХ1 + Х2 -Х3 + Х9.

III. Х1 +РХ2 + уХ3:.

IV. Х1 + Х4 +аХ9.

V. Х4 + Х5 +аХ9.

VI. Х5 + Х7 +аХ9.

VII. Х1 + Х9.

VIII. Х 2 +аХ3.

IX. Х2 + Х7.

X. Х3 + Х5;.

XI. Х4 + Х9.

XII. Х5 + Х9.

XIII. Х7 + Х9;.

XIV. Х3.

XV. Х4.

XVI. Х5.

XVII. Х7.

XVIII. Х9.

Здесь а, р, у - произвольные постоянные, причем разным значениям постоянных соответствуют неподобные подалгебры.

Инвариантные решения, построенные на 91, представлены в табл. 2.

Вид инвариантных решений ранга 2

Таблица 2

I х = #1 (4 л), ф = /2 (4, л)+^21п иг = г/3 (4л) , ие= г/4 (^ л) + Г 1п г, 4 = ееГа/2, л = евг-а

II х = х(4, л), Ф = А (4 л) + е иг = г-1/ (^ л), ие = Г/3 (4 л) , 4 = е + и л = е+‘г

III х = #1 (4 л) , ф =/2 (4 л) + „ 1п г, иг = гу/Р/ (^ л), ие = гу/Р/4 (^ л), 4 = е (Р т)г, л-* Й г(Р т) Р + У

IV х = х(4, г), ф = 6+/1 (4 г) иг = иг (^ г), ие= #2 (^ Г ) + еГ, 4 = *-«е

V X = Х(4,х), ф = ф(4,х), V = / ( ) + —, и = /2 (4,х) + У~, 4 = г + ау

VI Х = Х(4,х), ф = ф(4,х), V = /1 (4,х) + у, и = и(4,х), 4 = ау-г

VII Х = Х(4, Г), ф = 6+/1 (^ г), иг = иг (^ Г), ие = ие(^, г), 4 = 0 + г

VIII Х = г/1 (4, е), ф = ф(4, е), иг = Га/г (4,е), ие= га/ (4,е), 4 = гг-1/(1+а)

IX х = / (4,л) *-1, ф = ф(4,л) , v = ./2 (4 л)±1пг, и = и (4л) , 4 = -х> л = -у

X х=(4=х) , ф=ф(4, х) ,и=г/2 (4х)> v=г/3 (4х)> 4=геТу

Окончание табл. 2

XI X = X(x,y), ф = ф(х,y), v = fi(x,y) + xt, u = f2(x,y) i ty

XII X = X(x,y + t), ф = ф(x,y +t), v = v(x,y +1), u = u(x,y + t)

XIII X = X( x, y), ф = ф( x, y), v = f1 (x, y) i1, u = u (x, y)

XIV X = fi (xy), ф = ф(x,y), u = tf2 (x,y), v = tf3 (x,y)

XV Инвариантного решения нет

XVI X = X(x,t), ф = ф(x,t), v = v(x,t), u = u(x,t)

XVII Инвариантного решения нет

XVIII X = X(x,y), ф = ф^,y), v = v(x,y), u = u (x,y)

Примечание. В табл. 2 приняты следующие обозначения: f, i = 1,4 - произвольные функции; r и 9 - полярные коорди наты: x = rcos9,y = rsin9 ; u ,u9 - компоненты вектора скорости: u = u cos9-u9sin9,v = u sin9+u9cos9 .

Оптимальная система подалгебр размерности 2 - 92 имеет следующий вид:

1. ^аХ^ + Х2 + Хз,Х +а4^^4^ .

2. (Х1 + Х4,Х4 +а9Х9) .

3. (Х + Х4, Х9).

4. (Х1 iХ9,а^Х + Х2 + Х3 +а4Х4^ .

5. (Х1 + Х9,Х4 +а9Х9) .

6. (Х 2, Х 5 +а9 Х9).

7. ^Х2 +а3Х3,Х +а2Х^ .

8. (Х2 +а3Х3, Х7).

9. (Х2 + Х3, Х5 + а7Х7).

10. (Х2 + 2 Х3, Х4 +а5 Х5).

11. (Х2 + Х3 + Х4, Х7).

12. (Х2 -Х3 + Х9,Х1 + а9Х9).

13. (Х2 ±Х7,Х4).

14. (Х2 + Х7, Х5 +а9 Х9).

15. (Х2 + Х7,Х6 +а5Х5 + а9Х9) .

16. (Х2 + Х7, Х7 +а8 Х8).

17. Х ±Х7,Х8).

18. (Х2 + Х7, Х9).

19. (X, Х +а2Хг).

20. (Х3, Х2).

21. (Х3,Х4 +а9Х9) .

22. (Х3, Х7 +а9 Х9).

23. (Х3 ±Х5,Х3 +а6Х^.

24. (Х, + Х5, Х4).

25. (Х3 ±Х5,Х^.

26. {Х3 + Х5, Х7 + а8Х8 + а9Х9 ^ .

27. (Х3 ±Х5,Х8 +09Х9).

28. (Х4,Х^ +а2Х2 +а3Х3^ .

29. (^X4,^1X1 + X2 — X3 + 09X9^ .

30. (X 4, X 2 +03 X 3).

31. (X4?X7 +09X9^ .

32. 4 iX5 + 0X9,X7 + OgX"g + 09X"9^ .

33. {x4 iX5 +oX9,Xg + O9X.

34. (X4 iX9,X1 +03X3).

35. (X4 iX9,X7 +09X9).

36. (X5 ,X 2 + 03 X 3 + 06 X ^ .

37. (X5 ,X2 — X3 + 06X6 + 09X^ .

38. (X5, X3 +06 X 6).

39. ^X5 5X6 + 07X7 + 08X8 + 09X9 ) .

40. (X5?X^7 +08X8 + 09X9^ .

41. ^X5 ,X8 + O9X9 ^ .

42. (X5 iX7 + oX9,X6 +O7X7 +08X8 +O9X9^

43. (X5 iX^7 + 0X9,X^7 +08^^8 + 09X"9^ .

44. (X5 iX7 +0X9,X8 +09X9^ .

45. (X5 iX9,X2 +07X7 +08X8^ .

46. {X5 i X9, X 6 +°7 X7 +08 X8 + °9X.

47. (X5 i X9, X7 + 08X8 + °9X9j .

48. (X5 iX9,X8 +09X9).

49. (X7 ,X2 +08X^ .

50. (X7 , X4 + 05X5 + 06X6 + °8X8 + °9X9 } .

51. ^X7,X5 +06X6 +°8X8 +09X9^ .

52. (\X7,X6 + 08X8 + °9X9) .

53. (X7,X8 +09X9^ .

54. (X 7, X 9).

55. (X7 iX9,X3 +05X5 +06X6^ .

56. {X7 iX9,X4 +05X5 +06X6 + °9X9j .

57. {^X7 iX9,X5 +06X6 + °7X7 +08X8^ .

58. ^X7 i X9 , X6 + 07X7 + °8X8 } .

59. (Х7 ± Х9, Х7 +а8Х8).

60. (Х7 ± Х9, Х8 +а9 Х9).

61. {Х9,Х-1 + а2Х2 +а3Х3^ .

62. (Х9,а^Х + Х2 + Х'3 + а4Х^4^ .

63. (Х9, Х2 +а3 Х3).

64. (Х9, Х3 +а5 Х5).

65. (Х9, Х4 +а5 Х5).

66. (Х9, Х5 +а7 Х7).

Здесь а, а^, ] = 1,9 - произвольные постоянные,

причем разным значениям постоянных соответствуют неподобные подалгебры.

Инвариантные решения, построенные на 92, будут следующими:

Г

1. ? = -^, ^ = / (?)г,

и9 = г (/2 (?) + а49 - аа4 1пг), Х = Х(?), Ф = ¡3 (?) + 9.

2. иг = иг (г), и9 = — (/2 (г) ± Н ± г(а9 -а)9),

а9

Х = Х(г), ф = /2 (г) + 9.

3. иг = иг (г), и9 = ./2 (г)± г9, Х=Х(г),

Ф = /2 (г)+9.

2/ + а9 + 29

4. ?=-

= / (?)

и9 = г {/2 (|)+а41п г), Х = Х(?) , Ф = /3 (?) + 9

5. иг = иг (г), и9 = —(/2 (г) + гГ + г9), Х = Х(г),

а9

Ф = /2 (г)+9

6. ?=а9X1, и =и(?) у у(?) х=~х/ (?) ф = ф(?).

7. | = 1п / -(1 + а3 )1п г +а2 а3£

=/1 (?)

а -—о—39

г 3 е 2 3 , и

= /2 (?)

га3 е-а2а39

х = /3 (?)га -1е-“2“39, ф = /4 (?) + 9.

X

9. ? = -, и = / (?)/, V = /, (?)±а7у, Х = Х(?), ф = ф(?).

10. ? = Т,и = 2=г(/1 ®Х2+у2],

V =— (./2 (?)“7 + ху!, х=1/3 (?) ф = ф(?).

а5 у х у х

12. ? = /-а 1пг-а99, и = -/ (?), V = -/2 (?),

гг

Х = ^/3 (?), ф = /4 (?) + 9.

14. ? = а9У 1, и = и (?), V = / (?)± 1пх,

Х= -/2 (?), ф = ф(?).

1 -а9 ^

15. ? =--------—, и = и (?),

У

а5 - а9 —

Х=-

/2 (?),

V = /1 (?) +1п ф = ф(?).

х1

18. ?= -, и = и (?), V = / (?)± 1п х, Х= -/2 (?),

У х

ф = ф(?).

19. ? = р9-1пг, иг = 4/1 (?), и9= 4/2 (?),

е е

Х = /3 (?)/, ф = /4 (?) + 9.

20. ?= х, и = 1/ (?), V = 1/2 (?), Х=4/3 (?),

ух х х2

ф = ф(?).

23. ? =1пI+у-а6х и = / (?)^ v = /, (?)/;

Х = /3 (?)/, ф = ф(?).

25. ? = 1п/ + y, и = / (?)^ V = /, (?)t, Х = /3 (?)^ ф = ф(?).

26. и = /1 (х)е±у +—8(/2 (х)е±у + /),

V = — (./2 (х)е±у +1), х = /3 (х)е±у, ф = ф(х).

27. и =■

—( (х)е±у + *), V = /2 (х)е±у, а

Х = /3 (х)е±у, ф = ф(х).

32. и = -с_( (х) + а8?)+ (У 2Р§) ,

V = — (/2 (х) + /) + (х + Р7)у, Х = Х(х), ф = ф(х).

а9

33. и = —(А (х) + / + ау), V = /2 (х)±ху,

Х = Х( х), ф = ф( х).

34. иг = А (г) еа39 , и9 = /2 (г)еа39 ± гг,

Х = /3 (г) еа39, ф = /4 (г) + 9.

36. ?=((1 + а3) 1п(х+а6), и = /1 (?)-а31п(х+а6),

V = /2 (?)(/1 (?)-а31п(х + а6)), х = /3 (?)еУ а3 +1 ф = ф(?).

г

9

37. ? = a9 ln(x + a6 )-1, и =

v =X~^f2 (?) X=- ’

Г-—) (?)

(х + аб)

( + а ( + )2 f3 (?) ф = ф(?)

\х + аб^ (х + аб )

38. ? = х-a6lnt, и = / (?)t, v = f2 (?)t,

X = f3 (?)t, Ф = Ф(?).

39. ? = а9x -1, и = f (?)-a8x, v = f2 (?)-a7x,

X = X(?), ф = ф(?).

40. u = —(f (x) + a8t), v = —(f2 (x) +1),

а9 а9

X = X(x), ф = ф/x).

41. и = —— (f (x)+1), v = v (x), X=X(x),

а9

Ф = Ф^ ).

42. ? = ay + —9x-1, и = — (/ (?) + x),

—8

v = / (?) -a7x + y, X = X(?), ф = ф(?).

43. и = f (x)+—(/ (x)+t)

v = —( (x) +t) + y, X = X(x), ф = ф(x).

a9

44. и = —(fi (x) +1-ay), v = f, (x) + y,

a9

X = X(x), ф = ф/x).

45. ?=У+-, и =—

x a

f (?) +a I / (?) -a7 ln|-f3 (?)

v = f2 (?) - a7 ln^-xf3 (?)j, X = if3 (?), ф = Ф(?).

46. ? = y +1 + a9x, и = f (?)-a8x, v = /2 (?) -a7x, X = X(?), ф = ф(?).

47. и = f (x) + y +1, v = — ( (x) + y +1),

a9

X = X(x), ф = ф/x).

48. и = —— (f1 (x)+ y-1), v = v(x), X = X(x),

a9

Ф = Ф^ ).

55. ? = a6y-a5x, и = fi (?)exa6,

v = f2 (?)ex-a6 ±^ X = f3 (?)Ф = Ф(?).

56. ? = a6y-a5x, и =

a5

2

f (?)- у

1

a5a6

f2 (?) + a5 ~~2 + a6a9у X = X(?), Ф = Ф(?).

У

57. ?=a6У -x, и = f1 (?) + a8У, v = f2 (?)+t + a7У, X = X(?), ф = ф(?).

58. и = fi (y) + a8x, v = f2 (y) +1 + a7x, X = X(y), Ф = Ф( У )■

61. ? = ai0-lnr, иг = fi (?)r

,a3la2

= f2 (?)

a3/a2

X = f3 ^e^3-a2)0 , Ф = f4 (?) + 0.

ea20

62. ?=-------, иг = f (?)r, и0 = f2 (?)r + a4rlnr,

r

X = X(?), ф = f3 (?) + 0.

63. ?= x, и = fi (?) x-3, v = f2 (?)

.a3

X = f3 (?)x-3-i, Ф = Ф(?).

64. и = fi (x)eya5, v = f, (x)ey/ 5, X = / (x)ey/ 5: Ф = Ф(x ).

Г

65. и = -

2

fi (x)-V , v =— (f2 (x) + xy),

2 I a5

X = Х(х), ф = ф(х).

66. и = и (х), V = /2 (х) + а7у, X = Х(х), ф = ф(х).

Здесь /, I = 1,4- произвольные функции. На подалгебрах 11, 13, 16, 17, 21, 22, 28, 29, 30, 31, 35, 49...54, 60 инвариантные решения нельзя повторить в силу критерия инвариантности [1].

Библиографические ссылки

1. Киряков П. П., Сенашов С. И., Яхно А. Н. Приложение симметрий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Новосибирск : Изд-во Сиб. отд-ния Рос. акад. наук, 2001.

2. Бурмак В. И. Симметрии и точные решения уравнений пластичности плоского напряженного состояния // Молодежь и наука : материалы VII Всерос. науч.-техн. конф. Красноярск, 2011. С. 41-46.

V. I. Burmak

OPTIMAL SYSTEMS OF SUBALGEBRAS ADMITTED BY EQUATIONS OF PLASTICITY

In the article the author presents optimal systems of subalgebras of 1, 2 dimentionality of Lie algebra, accepted with equations ofplane stress plasticity, in the case of lag unsteady flow.

Keywords: plasticity, state of plane stress.

© Бурмак В. И., 20i2

5