CC BY
6Прикладная математика
УДК 539.374
В. И. Бурмак
Сибирский федеральный университет, Россия, Красноярск
ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОДАЛГЕБР, ДОПУСКАЕМЫХ УРАВНЕНИЯМИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Найдены оптимальные системы подалгебр 1, 2, 3 алгебры Ли, допускаемой уравнениями пластичности плоского напряженного состояния в случае медленных нестационарных течений.
В [1] было доказано, что уравнения
du да x дг „ dv дау дг „ — + —- + — = 0, — + —- + — = 0, dt дх ду dt ду дх
а2х +а2у -ахау + 3z2 = 3k2,
= 1-1,
ди ду ди ду — + —
дх ду ду дх
2а- -ау 2ау -ах 6г
(1) (2)
(3)
где ох, оу, т - компоненты тензора напряжений; X - некоторая положительная функция; к - постоянная пластичности; и, V - компоненты вектора скорости, все функции зависят от х, у, t и допускают алгебру Ли Ь9:
X = - уд х + хд - уди + иду + д^, X2 = tдt + хдх + уд - Хдх, X-, = t^ + ид + уд + 1д.., X. = -уд + хд
3 t и у 4 J и у
(4)
X5 =д у,
X 6 =д-,
X7 =ду,
X8 =ди,
X9 =д,.
Автором найдены все внутренние автоморфизмы алгебры Ли (4), с помощью которых построены оптимальные системы 01, 02, 03. Это позволяет найти вид всех инвариантных решений уравнений (1).. .(3).
Библиографическая ссылка
1. Сенашов С. И., Бурмак В. И. Точное решение уравнений пластичности плоского напряженного состояния // Вестник СибГАУ. 2010. Вып. 4 (30). С. 10-11.
V. I. Burmak Siberian Federal University, Russia, Krasnoyarsk
OPTIMAL SYSTEMS OF SUBALGEBRAS ADMITTED BY EQUATIONS OF PLASTICITY
Optimal systems of subalgebras 1, 2, 3 of Lie algebra admitted by plasticity's equations of plane stress are presented.
© Бурмак В. И., 2011
УДК 539.374
Ю. Ю. Вайтекунас
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОЙ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ
Исследована суперпозиция точных решений Прандтля-Надаи двумерной пластичности. Дана графическая интерпретация линий скольжения.
В своей ставшей уже классической работе Л. Прандлем было найдено точное решение для системы двумерной идеальной пластичности Треска-Сен-Венана-Мизеса, а именно: для сжатия пластичного слоя между двумя шероховатыми параллельными плитами.
Аналогично А. Надаи нашел решение для случая распирания цилиндрической трубы давлением изнут-
ри [1]. Внешний диаметр трубы полагался равным бесконечности. Постановка задачи давалась в двумерной системе координат.
В работе [2] для построения новых решений системы уравнений идеальной пластичности на основе точечных симметрий был применен аппарат алгебры Ли. Там же был найден целый ряд частных решений. Однако исследование даже нескольких частных ре-
