Классификация стационарных подмоделей ранга 2 идеальной гидродинамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2019. Т. 4, вып. 1. С. 18-32.

УДК 517.958:533 Б01: 10.24411/2500-0101-2019-14102

КЛАССИФИКАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПОДМОДЕЛЕЙ РАНГА 2 ИДЕАЛЬНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

Д. Т. Сираева

Институт механики им. Р. Р. Мавлютова УФИЦ РАН, Уфа, Россия [email protected]

По двумерным подалгебрам двенадцатимерной алгебры Ли, допускаемой уравнениями идеальной гидродинамики с уравнением состояния в виде давления, представленного как сумма функций плотности и энтропии, построены инвариантные подмодели ранга 2 канонического вида стационарного типа. Уточнён канонический вид инвариантных подмоделей ранга 2 стационарного типа одиннадцатимерной алгебры Ли, допускаемой уравнениями газовой динамики с уравнением состояния общего вида.

Ключевые слова: уравнения идеальной гидродинамики, уравнение состояния, допускаемая подалгебра, представление инвариантного 'решения, инвариантная подмодель, стационарный тип подмодели, канонический вид подмодели.

Введение

В рамках программы ПОДМОДЕЛИ, поставленной академиком РАН Л. В. Овсянниковым [1], рассматривается система уравнений идеальной гидродинамики

Du + p-1Vp = 0, Dp + р V- и = 0, Dp + pfpV • и = 0, (1)

где

D = dt + (u •V) (2)

есть оператор полного дифференцирования, V = dx — градиент по пространственным независимым переменным x, и — вектор скорости, р — плотность, p — давление, t — время.

Далее используются декартовы и цилиндрические координаты. В декартовых координатах

x = xi + yj + zk, V = idx + jdy + kdz, и = ui + vj + wk, где i, j, k — ортонормированный базис. В цилиндрической системе координат

x = xi + r(cos в j + sin в k) = xex + rer,

dx 1 dx . n-t ,.j

jx = i, jr = ТГ-, je = -^ = - sin в j +cos ek, dr r дв

V = exdx + er dr + ee - de, deer = ee, deee = — er, и = Uex + Ver + Wee,

r

где ex, er, ee — ортонормированный базис.

Работа поддержана грантом РФФИ (№ 18-29-10071) и частично средствами государственного бюджета по госзаданию (№ 0246-2019-0052).

В ходе реализации программы ПОДМОДЕЛИ установлено, что система (1) с уравнением состояния произвольного вида p = f (р, S) допускает одиннадцатимерную алгебру Ли; найдены всевозможные виды уравнений состояний, расширяющих одиннадцатимерную алгебру Ли [1]; в работе [2] приведены все неизоморфные алгебры Ли групповой классификации по уравнению состояния, для каждой из которых способ перечисления неподобных подалгебр окончательно сформулирован в [3]; для одиннадцатимерной алгебры Ли построены инвариантные подмодели ранга 3, 1 [4] и ранга 2 [5].

В настоящей работе рассматриваются уравнения (1) с уравнением состояния специального вида [1]

p = f (р) + h(S), f = p2F\p). (3)

При этом термодинамические параметры идеальной среды удельной внутренней энергии и температура имеют вид

Т = g'(S) - р-1 hh(S), е = F(р) — p-1h(S) + g(S). (4)

Для измеряемых параметров T, е, р получаются уравнения состояния вида

p = С(Т,р), е = E(T, р),

заданные в параметрическом виде формулами (3), (4).

Из равенства (3) определяется энтропия S. Последнее уравнение системы (1) может быть заменено уравнением для энтропии DS = 0.

Уравнения (1) с учётом уравнения состояния (3) допускают максимальную алгебру Ли L12, базис которой в декартовой и цилиндрической системах координат записывается следующим образом [1]:

X1 = dx, X2 = dy = cos Qdr — 1 sin Q(de + WdV — VdW),

r

X3 = dz = sin Qdr + 1 cos Q(de + WdV — VdW), X4 = tdx + du = tdx + du, r

tr X5 = td4 + dv = cos e(tdr + dv) — sin в(дв + Wdv — (V — - )dw),

rt

tr X6 = tdz + dw = sin d(tdr + dv) + - cos в(дв + Wdv — (V — -)dw),

rt

X7 = ydz — zdy + vdw — wdv = de,

X8 = zdx — xdz + wdu — udw =

x

= sin d(rdx — xdr + Vdu — Udv) + cos d(Wdv — Udw — - (de + Wdv — Vdw)),

r

X9 = xdy — ydx + udv — vdu

x

— cos 9(rdx — xdr + Vdu — Udv) + sin 0(Wdu — Udw — - (de + Wdv — Vdw))

r

Хю = 81, Хп = Ьд1 + хдх + уду + гдх = ¿Д + хдх + гдг, У\ = др.

Оптимальная система неподобных подалгебр алгебры Ли Ь\2 построена в работе [6]. Подалгебры рассматриваются либо в декартовой системе координат ¿, х, у, г, и, V, ш, либо, если подалгебра содержит оператор Х7, в цилиндрической системе координат ¿, х, г, в, и, V, Ш.

1. Канонический вид инвариантных подмоделей ранга 2

В оптимальной системе неподобных подалгебр алгебры Ли L12 [6] 40 представителей двумерных подалгебр. Две двумерные подалгебры 2.38, 2.39 задают частично инвариантные подмодели ранга 3 дефекта 1, редукция которых к инвариантным подмоделям доказана в работе [7]. С помощью 24 двумерных подалгебр можно построить инвариантные подмодели ранга 2 стационарного типа, а остальные подалгебры производят подмодели эволюционного типа [8].

Каждая подмодель является основой для получения семейства точных решений исходных уравнений (1) с учётом (3), поэтому исследуемые системы уравнений необходимо записывать в виде, максимально упрощающем их интегрирование. Таким может быть вид, называемый каноническим, определение которого будет дано ниже.

Для построения подмодели необходимо вычислить инварианты двумерной подалгебры — функции от всех переменных системы (1) (зависимых u, v, w, р, p и независимых t, x, y, z), зануляющиеся при действии оператора подалгебры. Удобно составить базис инвариантов следующим образом: взять инварианты, содержащие только независимые переменные, и инварианты, содержащие одну зависимую переменную. Тогда представление инвариантного решения задаётся зависимостью инвариантов второго типа от инвариантов первого типа. Подстановка выбранного представления решения в систему (1) с учётом (3) определяет инвариантные подмодели — системы уравнений, связывающих только инварианты [1].

Любая двумерная подалгебра имеет 7 инвариантов [9], из которых инварианты первого типа обозначаются как xi, yi, инварианты второго типа — как ui, Vi, Wi, р, p1 (через S1 обозначается выражение p1 — f (р)).

Теорема 1. [8]. Инварианты можно выбрать так, что канонический вид инвариантной подмодели ранга 2 стационарного типа алгебры Ли L12 будет следующим:

Diui + a1p-1p1xi = Ьь D1V1 + а2р-1р1у! = Ь2, D1W1 = Ь3,

D1P + p(UiXi + Viyi )= рЬ4, (5)

DiSi = Ь5 или Dipi + pfp(uixi + viyi) = pfpb4 + Ь5,

где

Di = uidxi + vidyi; (6)

коэффициенты а1, а2 — функции независимых переменных x1, y1; коэффициенты bj, j = 1, 2,..., 5 — квадратичные функции инвариантных скоростей.

Доказательство теоремы 1 заключается в непосредственном вычислении подмоделей, представления решений которых даны в табл. 1, 2, а коэффициенты инвариантных подмоделей (5) — в табл. 3, 4. Все расчёты были проверены с помощью системы компьютерной математики MAPLE.

2. Представления инвариантных решений и коэффициенты инвариантных подмоделей в каноническом виде

Инварианты подалгебр алгебр Ли L11 и L12 можно выбрать так, что они будут отличаться только инвариантом, содержащим функцию давления p. Для подалгебр алгебры Ли L11 этот инвариант имеет вид p, а для подалгебр алгебры Ли L12 — вид p + q, где q — слагаемое из независимых переменных. Очевидно, что, построив

инвариантные подмодели ранга 2 для алгебры Ли Ь12, можно получить инвариантные подмодели ранга 2 для алгебры Ли Ь11. Для этого в представлениях решений алгебры Ли Ь12 при д добавляется коэффициент 7 для наглядного отличия подмоделей 11-мерной и 12-мерной алгебр Ли (7 = 0 в случае алгебры Ли Ьц, 7 =1 в случае алгебры Ли Ь12).

Оператор полного дифференцирования (2) в инвариантных переменных принимает вид (6). Для некоторых подалгебр полученный дифференциальный оператор может содержать множитель, на который следует разделить все уравнения подмодели.

Для подалгебр 2.8, 2.9, 2.11-2.13, 2.18-2.24, 2.26-2.28 алгебры Ли Ь12 представления решений выбираются с помощью представлений решений из работы [5] с добавленным слагаемым к функции давления р; для подалгебр 2.1, 2.2, 2.4-2.7 аналогично выбираются представления решений из работы [5], но в результате получается инвариантная подмодель, в которой три уравнения имеют неканонический вид:

Биц + р-1р1х1 = А, Dvl + а1Бш1 + р-1р1у1 = В, Бшг + Ь1р-1р1у1 = С,

где а1, Ь1 — коэффициенты подмоделей, А, В, С — правые части подмоделей.

В последней системе третье уравнение, умноженное на — а1, прибавляется ко второму. Полученное равенство, умноженное на — Ь1, прибавляется к третьему уравнению, умноженному на 1 — а1Ь1, для уничтожения слагаемого, содержащего производную давления р1у1 в третьем уравнении системы. Замена ш1 = — Ь1 v1 + (1—а1Ь1)ш1 приводит к системе канонического вида, в которой ш1 переобозначается через ш1. Для подалгебр 2.10, 2.25 инвариантная подмодель получена благодаря аналогичным рассуждениям.

Полученные представления решений подмоделей стационарного типа для подалгебр алгебры Ли Ь12 записаны в табл. 1, 2, где в первой колонке указан номер подалгебры из работы [6]. Следует отметить, что для подалгебр 2.1-2.7, 2.10, 2.25 после подстановки представлений решений в уравнения (1) с учётом (3) для получения канонического вида подмодели нужно выразить производные функций и1х1, v1xl, ш1х1 из первых трёх равенств подмодели.

Представления решений для энтропии Б можно получить из представлений решений для давления р, подставив вместо р переменную Б, вместо р1 переменную Б1 в последней колонке табл. 1,2.

Инвариантные подмодели канонического вида стационарного типа (5) отличаются друг от друга только коэффициентами а^, Ь^, которые, за исключением подалгебры 2.3, записаны в табл. 3, 4. Подалгебра 2.3 рассматривается в качестве примера в следующем разделе. Для краткости записи подалгебры 2.23 (е = 0), 2.27 (е = 1) были объединены в подалгебру еХ4+Х10, У1 + Х1; 2.24 (е = 0), 2.28 (е =1) — в подалгебру Х1, У1 + еХ4 + Х10. Для подалгебры 2.12 из [6] считать а = 0 (при а = 0 получается подалгебра 2.15 при е = 0). Подалгебра 2.19 рассматривается при е = 1, в этом случае получается подмодель стационарного типа.

Представления инвариантных решений для подмоделей стационарного типа

в цилиндрической системе координат

№

XI

У1

и

V

Л¥

2.1 2.2

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10 2.11

2.12, а ф 0 2.13

2.18

2.19, е = 1

*

г *

г

г

X

X X

г

г *

*е

г *

-ав

- * - *

--ав *

--ав *

2 *_2

2

2 " *2

ж ——

х —

х — г г

6> — 1X1

г *

в - -1п

а

г г

(.ас-Ъ) 1x1 Ып ав

а{св - *)

N

VI + а

Х\ 101 — ау 1

аг

+ а

Х\Ь)\ — ау 1

х

1

X

ас + Ь Ъ

ОС 1

а<

Х\У\ + а-хи 1

1

Х\ + *

ж^ + аст«! ж2 + а2с2

Ж^! + IV1

ж? + 1 Ж!^! + г<;1

ж? + 1

«1 «1 11\

Х\ + * + а

Х\

~Х\

Х\У0\

1 + х(

X

ж

гУ1 + Ъв

+ а* г<;1 + а*

«1 + Ж1 «1 + Ж1

щ

и\ щ

щ Щ Щ

IV1 — Ж1М1

1 + х\

11\ + Ж1

хт + у!

«1 + Х\ VI

щ

Х\ Х\ Х\

ж^! —

2 Ж 1а2

ж^! —

2 Ж 1а2

ж^! —

х\ + а2

асг»1 — х\У0\ ж? + а2с2

~Х\

-Х\

ж^! — VI

ж? + 1 ж^! — г>1

Ж1 ^

ж2 + 1

из 1

VI

Ж1О1 + 1) а

( 1 Ж] «1 + -

\ а

+ 1) («1 + 1)уг

'Р1 Р1 Р1 Р1 Р1 Р1

Р\ Р1 Р\ Р\ Р1

Р1 Р\

7(0 — с1п |*|) 71п|*|

70

7(* - с0)

7*

70

7(* - £0)

70

71п г

70

70

/ а*2

7*

Таблица 2

Представления инвариантных решений для подмоделей стационарного типа

в декартовой системе координат

№ XI У1 и V Р

2.20 X 1, — а1п Щ г 1 щ 4 X - — + а И)\ У VI Р\ У

2.21 У г — а1п Щ г 1 И)\ - X ь7 11\ - У - а VI Рг

2.22 у г -ЬЫЩ г 1, И)\ - Ьа1п|*| 11\ - У -Ъ VI Р\ -

2.23, 2.27 У г И)\ - 11\ VI Р1 -

2.24, 2.28 У г И)\ - 11\ VI Р\ Ь

2.25 X е ~ 2 ~аг У щ 1 - ат 1 I 9 ^ +- а2 VI ги\ 1 — ащ + а2 Рг - Ь

2.26 X г ~ ~2 У щ 4 -г VI И)\ + аЬ Р1 Ь

Коэффициенты подмоделей ранга 2 стационарного типа (5)

№

2.1

2.2

2.4

2.5

ах

2.6

2.7

2.8 2.9

Х\

(

Х\

Х\

Х\

Ьх

хггиг — аь 1

^У 1

а'

— «1

( — аь 1

/ Жхг^х — ою\ \ х\ + а2

асг»х — жх«;х

V

ж? + а2с2 /

/ — VI

V х2 + 1

( — VI

Х1 -2 I 1

V + 1

о

а2

а

гу- "

кЬ 1

а

ОС

а

ОС

1 +

а2 с2

^У 1

1 1

! + -2 1

Х\У0\ — (IV1

¿Я - 5 |

^х {х\ + аг)

7 а —VI + ас — о + 7—^

ОС 1

-1

2ам

Жхг^х — (IVI

1 х\{х\ + а2)

—VI — Ь

а Х\У0\ — ау 1

2--^-—щ+

2

Жх X х

+ Р"1

+ аг - 1

-2

ас асу 1 — жхи>х жх ж^ + а2 с2 ас2

—Р ~ 1

«1 +

Ж'

1

Их Жхг^х — Х\ ж2 + 1 Их Жхг^х —

-1

Жх И)\

VI

и)\

ОС 1

р

ОС 1

,

— + 1 и)! +

Х\

— (ас — Ь) —

Х\

Р~1

"7-

Жх

щ , 1 \ --Ь 1 г«х-

Жх

аЬ

Жх

Мх^х + а + 7р

-1

Жх

и\УО\ Жх

с

— (а + 7р-1) Жх

Мх^Ух

Жх Мх^Ух

Жх -Ух^х

р

-1

7-

Жх

1 °

+ 1Р

-1

У1

-Ух^х р

---7—

Ш У\

У1

Их Жх

Их Жх

Их Жх

Их Жх

щ

Жх Их Жх VI

У1

VI У\

7

жхгох — ж? + а2

+ с

"7

7"

<тох — Жхг^х х\ + а2

7 -1 + с

асг>1 — жхгох х\ + а2с2

"7

г»х — Жхг^х

х

7"

7 -1+г

г«х

-7"

г«х У\

ю „О

О! ^

1

+

1—1

I в

I

I

I

I

I

„О

сч I

^ I ^ ^ I ^ 00 00 1111

сч I

« „О

I в

-о

I

I

в I

в I

в I

I

10 I

10 I

I

в I

в I

сч „О

3 О! ^ 1—1

1 +

+

3 1—1

О! О!

1—1 1—1

I

I

I

I

в

£

3

I

£

£

сч

< I в

+

£

I

^ ^ I ^

в

сч I

сч I

т

т

т

у

о

в

о 1—1 1—1 1—1 сч 1—1 00 1—1

сч сч сч сч

сч

оо сч

10 сч сч

оо СЛ о 1—1 сч 00 ю ю

1—1 1—1 сч сч сч сч сч сч сч

сч сч сч сч сч сч сч сч сч

3. Примеры построения инвариантных подмоделей

Рассмотрим пример построения инвариантной подмодели по подалгебре 2.12, а = 0 [6]. Базисные операторы подалгебры 2.12 можно записать в цилиндрической системе координат:

Х4 = ¿дх + &и, У\ + Х7 + аХи = др + дв + а^Д + ахдх + агдг, а = 0.

Они имеют инварианты

-ав х

-, ¿е-ав, и --, V, Ж, р, р - в.

Представление решения выбирается из работы [5], в которой оно указано для двумерной подалгебры 2.3 одиннадцатимерной алгебры Ли. Необходимо лишь добавить представление для давления р:

X У

и = + -, V = Х1^1 + У1, Ж = (1 - Мх), р, р = Р1 + тв, (7)

г

где функции м1, р, р1 зависят от инвариантов х1 = ¿е-ав, у1 = -. Энтропия

имеет вид

5 = ^1(х1,у1)+ 7в. (8)

Оператор дифференцирования (2) примет вид Б = е-ав [м1дХ1 + ^1дУ1 ] = е-ав

Подстановка (7), (8) в (1) с учётом (3) и умножение первого равенства на еав, вто-еав а

ав ав

рого — на —, третьего — на--е , четвёртого и пятого — на е приводят к

Х1 У1

инвариантной подмодели ранга 2 канонического вида стационарного типа, коэффициенты которой записаны в табл. 3, 4.

Рассмотрим пример построения инвариантной подмодели по подалгебре 2.3 [6], базисные операторы которой записываются в цилиндрической системе координат:

Х10 = д4, У1 + Х7 + аХ11 = др + дв + а£д4 + ахдх + агдг Инварианты подалгебры 2.3 следующие:

ге-ав, хе-ав, и, V, Мг, р, р - в.

Представление инвариантного решения выбирается в виде х1

и = м1 + а—V = + а^1, Ж = р, р = р1 + 7в, 5 = 51 + 7в, (9) У1

где функции-инварианты м1, р, р1, 51 зависят от инвариантов х1 = хе-ав,

ав

у1 = ге ав.

Представление решения (9) выбирается так, чтобы оператор дифференцирования (2) в новых переменных имел вид канонического оператора (6), умноженного на некоторый коэффициент: Б = е-ав [м1дХ1 + ^1дУ1 ] = е-авБ1.

Подстановка (9) в уравнения (1) с учётом (3), умножение полученных равенств

ав

на еав и вычитание третьего уравнения из второго и первого уравнений для уничто-

жения слагаемых, содержащих Dw1, приводит к инвариантной подмодели ранга 2:

Di u i + р 1 ( ( 1 + a2 ^ ) piX1 + a2 ^-piyi

У1

2 x 1 2 . w 1 l x 1 \ x 1 _ 1

= a2^w2 + а— I 2—v1 — uJ + yа—^р 1,

У1

У1 \ У1

У1

2

У1

D1V1 + р 1 ( a2 X1P1xi + (1 + a2)p1yi) = (1 + а2) w + Yap 1y1 1 + f1 V1W1,

У1

1 x1 w1 1 1

D1W1 — ap 1 —p1xi + P1yi = — (V1 + aw1)--YP 1У1

\У1 ) У1

D1P + p(u1xi + V1yi) = —p ( 2aw1 + — )

i i У1 У1

a У1

:iq)

П С

0181 = -7—.

У1

Из коэффициентов первых двух уравнений системы (10) при производных р1х1 и р1у1 можно составить симметрическую матрицу

2

а2

C

2 x1 2 x1 1 + a2 I — 1

У1

У1

2 x1 2 a2— 1 + a2

У1

имеющую вещественные собственные числа и собственные векторы. Значит, по алгоритму, описанному в работе [10], можно найти замену переменных

x = Vl(xl,Уl), У = V2(х1,У1)

с якобианом

M

д^1 д^1

дх1 дУ1

дф2 дф2

дх1 дУ1

u1 = M u1

V1 V1

и замену компонент скорости

которые приводят систему (10) к каноническому виду, быть может, с дополнительной простейшей заменой.

Собственные числа матрицы C имеют вид

Ä1 = 1, Ä2 = 1 + a2

Матрица из собственных векторов e1, e2 матрицы C такова:

x1

E = 1|б1 <°21

ß1 ß2

У1

x1 У1

где ß1 = ^1(х1,У1), ß2 = ß2(х1,У1) — произвольные функции. Уравнения

M = Eт

11)

задают р?, р2. Сначала находятся приравниванием смешанных производных

и _

dxiyi dyixi'

1 i x1 \ n í _ 2 i 2>

|Ui = — a ( — ) , ^2 = yi^ (x? + y2)

xi \у?/

где а, в — произвольные функции. Найденные функции подставляются в

систему (11), и получается искомый вид функций

Pi = Pi ^^ , P2 = P2 (x2 + У2)

Выберем функции из следующих соображений. Пусть x? = ri sin 0, yi =

ri cos 0, тогда равенства = 0, = ri выполнены при следующей искомой замене:

x = arctg —, y = л/я? + y2' y111

обратная замена имеет вид

х? = y sin X, у? = y cos X. (12)

Якобиан замены есть J = y = 0. Получаем замену компонент скорости

u? = У cos Xu? + sin Xv?,

__ __ (13)

v? = —y sin xu? + cos xv?.

Подстановка замен (12), (13) в систему (10) приводит к инвариантной подмодели ранга 2, в которой нужно сделать ещё одну замену:

_ ( а2 \ а _

wi = 1 +--— w? +--= v?.

\ cos2 X) cos X

В результате получается инвариантная подмодель ранга 2 канонического вида стационарного типа (5) 2.3, коэффициенты которой в переобозначенных переменных X О x?, y О y?, u? О u?, v? О v?, w? O w? следующие:

1

а1 = —2 , 1 y2

1 2 cos x?w? — av? /. cos x?w? — av? \

bi =--u?v?----2-— sin Xi cos Xi —--2-— + au? ,

y? y?(cos2 x? + a2 )\ y?(cos2 x? + a2) J

02 = 1 +

a2

cos2 X?

, cos x?w? — av? , 2 \ a _i 2

b2 =--;;-5-(2ayi sin x?u? — cos x?w?) + 7--—p + y?u?,

y? cos x?(cos2 x? + a2) y? cos2 x?

— 1

u? cos x?vi YP 1

63 = [ay1u1 + sin x1w1J--+ [av? — cos x1w1J

cos x? y?(cos2 x? + a2) y? cos x?

( cos x?v? + aw?

64 = — 2—--2--—— cos я? — tg x?u?

\ y?(cos2 x? + a2)

cos x?w? — av?

65 = —7-

y?(cos2 x? + a2)

а окончательный вид представления решения таков

x r

X _aÑ I о ~

x\ = arctg —, yi = e v x2 + r2

2

sin X\ cos2 X\ sin X\ cos X\

U = yi cos xiui +----— vi + a—---w\,

cos2 x1 + a2 cos2 x1 + a2

3 2

cos3 xi a cos2 xi

V = -yi sin XiUi +--2--—-vi +--2--—-Wi,

cos2 xi + a2 cos2 xi + a2

cos xiwi — avi

W =---— cos xi,

cos2 xi + a2

P, P = Pi + 7®, S = Si + 70.

4. Заключение

Таким образом, для уравнений идеальной гидродинамики с давлением в виде суммы функций плотности и энтропии построены 24 представителя инвариантных подмоделей ранга 2 канонического вида стационарного типа. Уточнён вид подмоделей уравнений газовой динамики с уравнением состояния произвольного вида. Полученные подмодели являются основой для получения точных решений системы уравнений (1) с учётом уравнения состояния (3) и могут быть изучены с групповой точки зрения. Пример изучения инвариантной подмодели ранга 2 и получения точного решения приведён в работе [11].

Список литературы

1. Овсянников, Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика / Л. В. Овсянников // Приклад. математика и механика. — 1994. — Т. 58, вып. 4. — С. 30-55.

2. Хабиров, С. В. Неизоморфные алгебры Ли, допускаемые моделями газовой динамики / С. В. Хабиров // Уфим. мат. журн. — 2011. — Т. 3, вып. 2. — С. 87-90.

3. Хабиров, С. В. Оптимальные системы суммы двух идеалов, допускаемых уравнениями гидродинамического типа / С. В. Хабиров // Уфим. мат. журн. — 2014. — Т. 6, вып. 2. — С. 99-103.

4. Чиркунов, Ю. А. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды / Ю. А. Чиркунов, С. В. Хабиров. — Новосибирск : НГТУ, 2012. — 659 с.

5. Мамонтов, Е. В. Инвариантные подмодели ранга два уравнений газовой динамики / Е.В.Мамонтов // Приклад. механика и техн. физика. — 1999. — Т. 40, вып. 2. — С. 50-55.

6. Сираева, Д. Т. Оптимальная система неподобных подалгебр суммы двух идеалов / Д. Т. Сираева // Уфим. мат. журн. — 2014. — Т. 6, вып. 1. — С. 94—107.

7. Сираева, Д. Т. Редукция частично инвариантных подмоделей ранга 3 дефекта 1 к инвариантным подмоделям / Д. Т. Сираева // Многофаз. системы. — 2018. — Т. 13, № 1. — С. 59-63.

8. Хабиров, С. В. Аналитические методы в газовой динамике / С. В. Хабиров. — Уфа : Башк. гос. ун-т, 2013. — 224 с.

9. Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников. — М. : Наука, 1978. — 400 с.

10. Хабиров, С. В. Приведение инвариантной подмодели газовой динамики к каноническому виду / С. В. Хабиров // Мат. заметки. — 1999. — Т. 66, вып. 3. — С. 439-444.

11. Сираева, Д. Т. Инвариантная подмодель ранга 2 на подалгебре из линейной комбинации переносов для модели гидродинамического типа / Д. Т. Сираева, С.В.Хабиров // Челяб. физ.-мат. журн. — 2018. — Т. 3, вып. 1. — С. 38-57.

Поступила в 'редакцию 27.12.2018 После переработки 27.02.2019

Сведения об авторе

Сираева Дилара Тахировна, младший научный сотрудник, Институт механики им. Р. Р. Мавлютова УФИЦ РАН, Уфа, Россия; e-mail: [email protected].

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2019. Vol. 4, iss. 1. P. 18-32.

DOI: 10.24411/2500-0101-2019-14102

CLASSIFICATION OF RANK 2 STATIONARY SUBMODELS OF IDEAL HYDRODYNAMICS1

D.T. Siraeva

Mavlyutov Institute of Mechanics, Ufa Federal Research Center of the Russian Academy of

Sciences, Ufa, Russia

[email protected]

For two-dimensional subalgebras of the twelve-dimensional Lie algebra, admitted by the equations of the ideal hydrodynamics with the equation of state in the form of pressure, represented as the sum of the density and entropy functions, invariant submodels of rank 2 of the canonical form of stationary type are constructed. The canonical form for rank 2 invariant submodels of stationary type of the eleven-dimensional Lie algebra, admitted by the equations of gas dynamics with the state equation of a general form, is specified.

Keywords: ideal hydrodynamics equations, equation of state, permissible subalgebra, representation of invariant solution, invariant submodel, stationary type of submodel, canonical form of submodel.

References

1. Ovsyannikov L.V. The "podmodeli" program. Gas dynamics. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1994, vol. 58, no. 4, pp. 601-627.

2. KhabirovS.V. Nonisomorphic Lie algebras admitted by gasdynamic models. Ufa Mathematical Journal, 2011, vol. 3, no. 2, pp. 85-88.

3. KhabirovS.V. Optimal system for sum of two ideals admitted by hydrodynamic type equations. Ufa Mathematical Journal, 2014, vol. 6, no. 2, pp. 97-101.

4. ChirkunovYu.A., KhabirovS.V. Elementy simmetriynogo analiza differentsial'nykh uravneniy mekhaniki sploshnoy sredy [Symmetry Analysis Elements of Continuum Mechanics Differential Equations]. Novosibirsk, Novosibirsk State Technical University, 2012. 659 p. (In Russ.).

5. MamontovE.V. Invariant submodels of rank two of the equations of gas dynamics. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 1999, vol. 40, no. 2, pp. 232-237.

6. Siraeva D.T. Optimal system of non-similar subalgebras of sum of two ideals. Ufa Mathematical Journal, 2014, vol. 6, no. 1, pp. 90-103.

7. Siraeva D.T. Reduktsiya chastichno invariantnykh podmodeley ranga 3 defekta 1 k invariantnym podmodelyam [Reduction of partially invariant submodels of rank 3, defect 1 to invariant submodels]. Mnogofaznye sistemy [Multiphase Systems], 2018, vol. 13, no. 3, pp. 59—63. (In Russ.).

8. Khabirov S.V. Analiticheskiye metody v gazovoy dinamike [Analytical methods in gas dynamics]. Ufa, Bashkir State University, 2013. 192 p. (In Russ.).

9. Ovsyannikov L.V. Group analysis of differential equations. Moscow, Science Publ., 1978. 400 p. (In Russ.)

10. Khabirov S.V. Reduction of an invariant submodel of gas dynamics to canonical form. Mathematical Notes, 1999, vol. 66, no. 3, pp. 355-359.

xThe work is supported by Russian Foundation of Basic Research, grant 18-29-10071, and partially supported by State Scientific Task 0246-2019-0052.

32

T. CupaeBa

11. SiraevaD.T., KhabirovS.V. Invariant submodel of rank 2 on subalgebra of translations linear combinations for a hydrodynamic type model. Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 2018, vol. 3, no. 1, pp. 38-57. (In Russ.).

Accepted article received 27.12.2018 Corrections received 27.02.2019