Математическая модель операции вытяжки с утонением стенки двухслойных анизотропных материалов в конической матрице Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕХНОЛОГИИ И ОБОРУДОВАНИЕ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

УДК 539.374; 621.983

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПЕРАЦИИ ВЫТЯЖКИ С УТОНЕНИЕМ СТЕНКИ ДВУХСЛОЙНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ В КОНИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕ

М.В. Грязев, С.С. Яковлев, К.С. Ремнев

Приведена математическая модель операции вытяжки с утонением стенки двухслойных анизотропных материалов в конической матрице, позволяющая определить кинематику течения материала, напряженное и деформированное состояние заготовки, силовые режимы формоизменения.

Ключевые слова: анизотропия, вытяжка, двухслойный материал, скорость деформации, деформация, напряжение, сила, пластичность.

В машиностроении на современном этапе находят широкое применение двухслойные материалы, т.е. материалы, в которых основной материал подвергается плакированию. Плакирующий слой, как правило, выполняет основную функцию - предохраняет изделие от коррозии. Процессы пластического формоизменения двухслойных материалов в настоящее время мало изучены.

Материалы, подвергаемый штамповке, как правило, обладает анизотропией механических свойств, обусловленной маркой материала и технологическими режимами его получения. Анизотропия механических свойств материала заготовки может оказывать как положительное, так и отрицательное влияние на устойчивое протекание технологических процессов обработки металлов давлением, в частности, операций глубокой вытяжки.

Рассмотрен процесс пластического деформирования цилиндрической двухслойной заготовки в конической матрице. Материалы двухслойной заготовки принимаются неупрочняющимися, подчиняющимися условию пластичности Мизеса-Хилла и ассоциированному закону пластического течения [1]. Анизотропия механических свойств заготовки - цилиндрическая. Примем что, отношение диаметра заготовки к толщине Вз / Но < 20. В этом случае можно считать, что течение материала проис-

ходит в условиях плоской деформации. Простейшим является радиальное течение в системе координат р0/' (рис. 1).

Получены основные соотношения для течения металла в клиновом канале с углом а при изменении толщины заготовки от Н§ до И 1 без разделения слоев с последующим присвоением им соответствующих индексов. Поле скоростей характеризуется уравнениями:

¥р= ¥р(р,0); Ке = 0; V/= 0. (1)

Рис. 1. Схема к расчету кинематики течения двухслойного материала

Для определения вида зависимости радиальной скорости от координат используем уравнение неразрывности, которое с учетом уравнений (1) принимает вид

Л

Эр (рРР) _ ° (2)

Общее решение этого уравнения

¥р= Щ (3)

р

Компоненты тензора скоростей деформаций находятся по формулам

. _Э^р_ Ф(0); х _ 1 Ф'(0)

Хр Эр р2 ’ Хрв 2 р2

Хв^Л Хвг'_ °;

р р2

(4)

X 2'_ °; Х/р_ °.

Поскольку физические уравнения ортотропного тела связаны с глав-

ными осями анизотропии, запишем выражения для компонент скоростей деформации в новых осях х, у, / (главные оси анизотропии) с помощью формул преобразования компонент скоростей деформаций [2]:

ф(в)

р2

соБ2в

1 Ф'(в) .

2 р2

біп 2 в; XУ _

Ф(в)

р

2

СОБ2в +

1 Ф (в)

2 р2

БІп2в;

хУ

Ф(в) . „в1 1 Ф'(в) ов -----т-^-БІП 2в +------------СОБ2в .

(5)

2 р2

Принимая во внимание, что процесс деформирования реализуется в условиях плоской деформации

= 0, Хх = Чу, Х/у = Х/х = ^

то

Оох+Ьоу

^ ^ у =О; % = ^х =0, (6)

О + ь у

получим выражения для определения интенсивности напряжений О/ и ин-

тенсивности скоростей деформаций X/ анизотропного тела применительно

к нашему случаю, которые запишутся соответственно так

12

О,

А

(Г + О + Н)

(О х -О У )

2

4(1 - с)

и

X, _ 2 ((1 - с)хУ + X2 }1'2,

3

(7)

(8)

где с - характеристика анизотропии в условиях плоской деформации, которая связана с параметрами анизотропии Г, О, Н, N следующим образом [1]

с _ 1

N (Г + О)

2( го+он+т)

(-¥ < с < 1); 2 N:

1

т

sхy

Уравнения связи между напряжениями и скоростями деформаций

для плоского течения анизотропного материала запишутся так:

4а(1 - с) г 4(1 - с) .. ... . _,

о у-°=——-т,Ху; Ох-о=—-—тт/Ху; ^ху = 2т&ху, (9)

У

где

(1 + а)

т

іху

2[(1 - суа+& ]12

(1 + а)

а _ О / Г

(1°)

ЭУ ^хУ]

Определив компоненты напряжений в системе координат р, в, 2 через компоненты напряжений в системе координат х, у, г по формулам преобразования компонент напряжений

2 2 Ор _ О х соб в + О у біп в + т ху біп 2в;

г\

Ов_ох біп в + о у соб2 в - тху БІп2в;

2

'у

О 2 О 2 ;

ху'

рв

О у -О х

БІп2в + тСОБ2в

2 ху

(11)

и подставив в эти соотношения выражения (9), получим уравнения связи между напряжениями и скоростями деформаций в следующем виде:

4(1 - с)

Ор_О +

°в_° +

(1 + а)

4(1 - с)

(1 + а)

9 9

т,Xу(абіп в-соб в) + 2т,Xху БІп2в;

2 2 у(асоб в-біп в)-2т-£хуБІп2в;

(12)

трв 2(1 с)т/Ху БІп2в + 2т,Xху СоБ2в .

Преобразуем функцию Ц/ путем подстановки в выражение (9) компонент скоростей деформаций

т*хур

2

( 1 ( 1 (1 - с) Ф(0)соб20+ Ф'(0)біп20 + -Ф(0)біп20+ Ф'(0)соб20

V 2 ) V 2 )

2

1/2

(13)

Примем, что функция Ц/ = Ц/ (р); для этого будем предполагать, что скорость V р равномерно распределена по радиусу р и с = 0; ф(е)=фср; Ф'(0)= 0.

В этом случае выражение (13) преобразуется к виду

= ^хур2

2

ф

ср

Используя условие непрерывности потока материала, найдем

_ Р(А

ф

ср

а

(14)

(15)

где Vo - скорость пуансона; И1 - толщина стенки протянутой заготовки; а

- угол матрицы.

Таким образом, функция Ц/ (р) принимает вид

т (р) _Рр2;

тsхy а

2У°И1

(16)

Уравнения равновесия

Э^ 1 ^p0 Op — o0

Эp p Э0 p ^0p 1 ЭО0 2t0p _

0;

(17)

+---------^ + —^ _ 0.

Эp p Э0 p

Подставив во второе уравнение системы (17) выражения для определения компонент тензора напряжения Ор, Ое и Тре, получим

1 Эо 1 Э

p Э0 p Э0

———P(acos2 0- sin2 0) x Ф(e)cos2e +—Ф_(e)sin2e 1 + a І 2

1

- 2Р[-Ф(0) sin 20 +—Ф'(0) cos20] sin20

4(1 - с)р

х

p

х

1

Ф(0)cos20+—Ф_(0^іп20

sin20- —^x p

х

1

Ф(0) sin 20 +—Ф_(0) cos20

cos20.

Последнее выражение позволяет определить величину о так

о

= -——— b(acos20-sin20) F(0)cos20 +—F'(0)sin20 +

1 + a V 2 )

( 1 ^

+ 2b -F(0)sin20 + -F'(0)cos20 sin20-20Ф(0) +

V 2 )

( 1 ^

+ 4PcJ F(0)cos20 + — F'(0)sin20 sin20d0-/(p). (18)

v 2 )

Подставив выражения для определения компонент тензора напряжения Op, О0 и tp0 в первое уравнение системы (17), имеем

Р #(р) = ф^”(0)(1 - с • sin2 20) - 2Ф'(0)с sin 40 -Р dp

- 4(1 + с cos40-с cos2 20)ф(0).

Это уравнение распадается на два

(1 - с sin2 20)Ф'(0)- 2с sin40F'(0) - 4(1 - с sin2 20)Ф(0) = D

и

p d/(p)

_D.

Р dр

Из последнего уравнения следует, что

dm = яр. dр р

После интегрирования получим

(19)

(20)

(21)

(22)

7О

/ (р) = яр 1п р + С. (23)

Заметим, что, полагая в соотношении (20) с = 0, получим уравнение для определения Ф(0) в случае изотропного материала [3]. В дальнейшем при определении поля скоростей все величины, относящиеся к слою 1 будем обозначать индексом 1, а величины, относящиеся к слою 2 индексом 2.

По аналогии со случаем вытяжки с утонением стенки изотропного материала [3] подберем в первой области функции

уп(0) = 4е20 + Ще~20 - Д/4, у,2(0) = -^ б1(е20-1) Щ,

а для второй области

у21(0) = ^2е20 + В2е 20 - °2/4,

У22(0) = - ¥0 82(6 -20-е -2а) М 2.

Решение в каждой области будем искать в виде

Ф1(0) = А;е20 + В1е-20 - Д /4 - V0 8; (е20 - 1) N1,

Ф2(0) = А,е20 + В2в~ 20 - 02/4 - ¥0 82 (е -20 - е -2а) М 2.

Функции Уц(0) и у 21(0) должны удовлетворять граничным и сопряженным условиям, а у 21(0) и у 22(0) - нулевым, однородным и граничным условиям. Сами функции Ф^0) и Ф2(0) должны удовлетворять дифференциальному уравнению (20) в точках 0 = 0 и 0 = а:

4Ф1(0)] = 0,

(24)

^2[Ф2(а)] = ^

которые с учетом приведенных выше выражений преобразуются к виду:

4Ф1(0)] = -4¥08^1 = 0, т.е. N1 = 0 (25)

и

^2 [Ф2(а)] = [1 - с2 Бт2(2а)] Ф2’(а) - 2 С1 Бт(4а) Ф{(а) -

- 4[1 - с2 Бт2(2а)] Ф2(а) - О = -4 С2 Бш4ае2аА +

+ 4с2 Бш4а е~2аВ2 - С2 Бт2(2а) О --4¥082{[1 -с2Бт2(2а)] е2а-Бт4а-е_2а }м2. (26)

Приведем окончательные выражения для определения значений компонент напряжений Ор, О0 и Тр0 в первом слое:

( 1 ^

Ор1 _-4Р1Ф[(в)-2Р1Ф[(в) + 4Р1с1І Ф[(в)соБ2в+— Ф[(0)біп20 біп20dв +

V 2 )

( 1 ^

+ 4с1Р1соб20 Ф1(0)соб20^—Ф{(в)БІп2в - ДР^пр- С1;

V 2 )

1

О01 _-2Р1Ф[(в) + 4Р1с1І Ф[(в)соБ2вн— Ф[(в)БІп2в

V 2

- ІП р- С1;

(1 Хрв1 _р1Ф1(в) - 2с^1 Ф1(в)соБ2в + — Ф1(0)біп20

V 2 Во втором слое по аналогии найдём

(1 Ор2 _-6р2Ф2(в) + 4р2с21 Ф2(0)соб20 + -Ф2(0)бІп20

біп20 dв-

(27)

біп20 .

біп20 dв +

( 1 ^

+ 4с2Р2соб20 Ф2(в)соБ2в + — Ф2(0)біп20 - Г>2Р2іп р- С2;

V 2 )

( 1 ^

002 _-2Р2Ф2(в) + 4Р2с21 Ф2(в)соб2в +— Ф2(0)біп20 біп20dв-

V 2 у

(28)

- ^2р2Іп р- С2;

(1 трв2 _Р2Ф2 - 2с2р2 Ф2(в)соБ2в + 2Ф2(в)Біп2в

біп20.

где

Р1 _

TSXy а° о

-----------; р2 _

_ тsхy 2 (а а°) 2^°^2

постоянных

2^1

Задача сводится к нахождению десяти

Ак,вк,ск,вк,N1,М2, где к _ 1,2.

Они определяются из следующих условий:

1. Постоянство расхода металла

а° а

| Рр1рйЮ+ | Ур2р<^в_-К°(51 + §2).

0 а°

2. Непрерывность скоростей течения металла на границе раздела слоёв металла

^1^а°) _ ^2^а°).

3. 4. Непрерывность напряжений Ов на границе раздела слоёв

Ов1(ра°) _ 0в2(P,а°) .

Это условие даёт два соотношения между искомыми неизвестными коэффициентами.

5. Непрерывность касательных напряжений, возникающих на границе раздела слоёв металла

^р01(Р’ао) - 'р02(рао) •

6. На контактной поверхности заготовки с пуансоном реализуется закон трения Кулона

^р01(р,о) —-m п s0i(p,o) •

7. На контактной поверхности заготовки с матрицей реализуется закон трения Кулона

тр02(р>a) - -цМ о02(рa) •

8. Учёт изменения направления течения материала на входе в очаг пластической деформации в первом и втором слоях оцениваем по наибольшей величине угла поворота

ор1(р2, a0) — 's1xytga0, если ^slxy < 's2xy, ор2(р2,a) — ^2xytga , если ^s1xy >'s2xy •

9. Удовлетворение дифференциальному уравнению (26) при 0 — 0

L1 [Ф1 (0), N1 ] — 0.

10. Удовлетворение дифференциальному уравнению (26) при 0 — a

L2 [Ф2(аХ M 2] — 0 .

Силу P процесса на выходе из очага пластической деформации можно определить следующим образом

P — P1 + P2 + Ртр, (29)

где P1 — p(dп + 61) Px1 - сила в первом слое; P2 — p(dп + 281 + 82) Px 2 - сила

р2

во втором слое; Ртр — яцпdп 1 а01(р 0) dp; dп - диаметр пуансона; 81 и

р1

82 - толщина первого и второго слоев в готовом изделии соответственно.

Для определения величин осевого о x и касательного txy напряжений, сил в первом P1 и втором P2 слоях воспользуемся формулами преобразования компонент напряжений при повороте осей координат [2].

Подставляя выражения для определения осевого о x и касательного txy напряжений в формулы преобразования компонент напряжений при

повороте осей координат, получим выражения для определения величины осевого оx и касательного txy напряжений:

2 2 оx — Ор cos 0 + О0 sin 0 - Тр0 sin20;

ор-о0 • 20. 20 (30)

t xy — ^^--------sin20 +'р0 cos20.

Принимая во внимание, что dx — р^0sin 0; dy — р^0cos0, выражения (30) и

dPx — о xdy +1 xydx — о ^^0 cos 0 + t xy р^0 sin 0,

получим соотношение для определения приращения силы dPx:

2 2

dPx = (Op cos 0 + Gq sin 0- 2tp0 sin 0 cos 0) p^d0 cos 0 +

22

+ [(Op-O0)sin 0 cos 0 + tp0 (cos 0- sin 0)] Pid0 sin 0 или с учетом приращения напряжения о x, связанного с максимальным поворотом направления течения материала на выходе из очага деформации [4], будем иметь

dPx = (Op cos0 - tp0 sin 0)pid0 +1sxy ?g0ipi cos0d0, (31)

где 0i = ao - для первого слоя; 01 = a - для второго слоя.

Величины Pxi и Px2 определяются после интегрирования соотношения (31) по 0 для первого слоя в пределах 0....ao и для второго в пределах ao...a:

ao

Px1 = I ^p^pb 0)cos 0-tp01 sin 0]p1 d0 + tsxy1 tga0 p1sin a0 0

и

a

Px2 = I [sp2(P1,0)cos0-tp02sin0]p1 d0 + tsxy2 ^gap1(sina-sina0). a0

Подставив в это выражение формулы для определения напряжений Op и tp0 (27), (28), получим

^ 0

-6P^(0) + 4Р1 q 10n(0)sin20d0 +

0

+ 4 P1q cos200n(0) - D1 P^n p1 - C1 )cos 0- (РФ1 (0) - 2 qP1 Фп(0)sin20)sin 0]p1d0 + ts1xy tga0p1 sina0;

и

a f 0

Px2 = I - 6 Ь2Ф2(0) + 4 b2 c2 I Ф22(0) sin20 d0 +

a0 _ v a0

+ 4 P2 C2 cos20 Ф22 (0) - D2 P2 ln p1 - C2) cos 0 -

- (р2ф2 (0) - 2 C2 P2 ф22 (0) sin 20)sin 0]p1d0 +152xy tgap1(sin a - sin a0), где

Ф11 = Фl(0)cos20+1Ф1 (0)sin20; Ф22 = Ф2(0)cos20+1Ф2 (0)sin20.

Полученные соотношения для анализа процесса вытяжки с утонением стенки двухслойного анизотропного материала позволяют установить влияние технологических параметров на кинематику течения материала, напряженное и деформированное состояния заготовки, силовые режимы исследуемого процесса.

ao

Pxl _ I o

Работа выполнена в рамках государственного задания на проведение научно-исследовательских работ Министерства образования и науки Российской Федерации на 2014-2020 годы и гранта РФФИ № 13-08-97-519 р_центр_а.

Список литературы

1. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев: Квант, 1997. 331 с.

2. Яковлев С.С., Кухарь В.Д., Трегубов В.И. Теория и технология штамповки анизотропных материалов / под ред. С.С. Яковлева. М.: Маттти-ностроение, 2012. 400 с.

3. Трегубов В.И., Яковлев С.П., Яковлев С.С. Технологические параметры вытяжки с утонением стенки двухслойного упрочняющегося материала // Кузнечно-штамповочное производство. Обработка материалов давлением. 2005. № 1. С. 29 - 35.

4. Теория обработки металлов давлением / Учебник для вузов / В.А. Голенков, С.П. Яковлев, С.А. Головин, С.С. Яковлев, В. Д. Кухарь / Под ред. В.А. Голенкова, С.П. Яковлева. М.: Машиностроение, 2009. 442 с.

Грязев Михаил Васильевич, д-р техн. наук, проф., ректор, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Яковлев Сергей Сергеевич, д-р техн. наук, проф., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Ремнев Кирилл Сергеевич, канд. техн. наук, доц., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет

MATHEMATICAL MODEL DRAWING OPERATION WITH WALL THINNING TWO-LAYER ANISOTROPIC MATERIALS IN CONEMA TRIX

M.V. Gryazev, S.S. Yakovlev, K.S. Remnev

A mathematical model for drawing operation with wall thinning bilayer anisotropic materials in a conical matrix, allowing to determine the kinematics of the flow of material, stress and strain state of the workpiece, forming power modes.

Key words: anisotropy, extractor fan, two-layer material, the rate of deformation, deformation, strain, strength, ductility.

Gryazev Michail Vasilievich, doctor of technical sciences, professor, rector, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Yakovlev Sergey Sergeevich, doctor of technical sciences, professor, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Remnev Kirill Sergeevich, candidate of technical sciences, associate professor, mpf-tula@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University