Схема оценки некоторых теоретико-числовых сумм Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии Том 11, Специальный выпуск, 2006

СХЕМА ОЦЕНКИ НЕКОТОРЫХ ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫХ СУММ*

H.H. Осипов

Красноярский государственный технический университет, Россия

e-mail: [email protected]

An evaluation method for a certain type of the theoretic-number sums is proposed. These sums appear while estimating a norm of error functional for lattice cubature formulas.

Введение

В теории кубатуриых формул одной из основных является задача об оценке нормы функционала погрешности кубатурной формулы относительно некоторого банахова пространства, которому принадлежат подынтегральные функции. Как правило, простого выражения для этой нормы не существует, и она часто записывается в виде бесконечного ряда, члены которого нумеруются точками некоторой n-мерной решетки M и зависят от малого параметра h (шага решетки узлов кубатурной формулы). Такая ситуация возникает, например, в задаче об оценке нормы функционала погрешности простейших решетчатых кубатуриых формул на пространствах функций с доминирующей производной. Эта задача в одном из вариантов своей постановки может быть сведена к исследованию асимптотики при h ^ 0 сумм вида

J^a + lh-^Y^a + lh-^y ж = s>i/2 (*)

(см, например, [1, 2], а также в более подробном изложении [3]). По этой причине изучение асимптотики сумм (*) и их возможных обобщений или модификаций представляется актуальным.

Цель настоящей работы — дать простую и удобную для практической реализации схе-

M

алгебраические решетки, конструкция которых связана с некоторым полем алгебраических чисел K степей и n ^ 2 над полем рациональных чисел Q,

1. Предварительные сведения

В двумерном случае конструкцию алгебраических решеток можно описать в элементарных терминах. Приведем пример такой решетки, построенной на основе вещественного

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 04-01-00823).

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2006.

квадратичного поля Я = Q(\/5).

Пусть Мф — решетка в плоскости М2, получающаяся из решетки Z2 точек плоскости с целочисленными координатами поворотом па угол ф, для которого число

О = tg ф

является квадратичной иррациональностью из Я, например

2

Мф

b1 = (cos ф, sin ф), b2 = (— sin ф, cos ф).

Для произвольной точки (x, y) = mbi + nb2 (m, n G Z) решетки Мф имеем

x = у cos ф, y = у' sin ф, (1)

где у = m — nO, у' = m — пО' (здесь штрих означает переход к сопряженной квадратичной иррациональности). Числа

у = m — nO, m, n G Z,

образуют кольцо целых чисел D толя Я (т, е, представляют собой все целые алгебраические числа, содержащиеся в этом поле). Таким образом, имеется взаимно-однозначное соответствие между точками Мф и числами из D, Так как

|xy| = |уу'| cosф sin ф = |m2 + mn — n2| cos ф sin ф = ccosф sin ф = c ■ 5-1/2,

где c — целое неотрицательное число, вся решетка Мф (за исключением точки (0, 0)) располагается в гиперболических слоях

|xy| = c ■ 5-1/2, c = 1, 2, 3, ... (2)

( x, y ) Мф

сываются уравнением

|NkM| = c,

где у G D и Nk(£) = СС — так называемая норм а числа С G Я, Множество решений этого уравнения есть объединение нескольких геометрических прогрессий вида

у = ±£kу*, k G Z, (3)

где

1 + л/5

(так называемая основная единица кольца D), а числа у* G D удовлетворяют условиям

= c, 1 ^ у* < £.

Легко видеть, что таких чисел у*, а значит, и прогрессий вида (3) существует лишь конечное (быть может, равное нулю) число, которое мы обозначим Q(c):

у = у = у(c), j = 1, ...,Q(c).

Значения Q(c) = 0 и ¡1^ (с) для 1 ^ с ^ 20

с <Э(с) щ =м(с)

1 1 Ц1=1

4 1 щ = 20

5 1 Их = 2 — 9

9 1 ¡1,1 =3 — 3 9

И 2 щ = -2 + 50, 112 = -1 + 40

16 1 ¡1\ =4 — 40

19 2 щ = -2 + 70, ¡12 = 5-69

20 1 ¡ц = 6 - 80

Некоторые примеры даны в таблице.

Приведем необходимые для дальнейшего изложения теоретико-числовые факты (доказательство можно найти, например, в [4]). Ряд

Е

с= 1

Я(с)

сходится в полуплоскости Ее 5 > 1, где его сумма есть аналитическая функция параметра з, совпадающая с так называемой дзета-функцией Дедекинда Ся(з) толя Я, В частности, при Ее з > 1 имеем

, ^ Я(с) 1пс

с=1 С

Приближенные значения функций £я(з) и Ля(з) = — ('яможно найти, используя специализированную систему компьютерной алгебры 1'ЛШ СП' [5].

Решетки типа Мф могут быть построены в произвольном п-мерпом случае. Подробное описание излагаемой ниже конструкции, а также доказательство содержащихся в ней утверждений см, например, в [4, гл. 2].

Пусть Я — поле алгебраических чисел степени п ^ 2, которое для простоты мы пред-

Я

® — его кольцо целых чисел. Обозначим через о* (1 ^ % ^ п) изоморфные вложения поля Я в поле вещественных чисел М, Нормой Хя(С) чпсла С € Я называют произведение всех чисел, сопряженных с т. е.

п

Хя (С ) = П о* (С )•

¿=1

Имеем Хя(С) € если ^ € то € Ъ. Число С € Я можно изобразить в пространстве

точкой х = (х15 • • •, хп), где

х* = о* (С), 1 ^ % ^ п.

Числа ^ € ® при этом изображаются точками некоторой п-мерной решетки М, лежащей (за исключением точки (0,..., 0)) в слоях

|х1... хп| = с, с =1, 2, 3, ...

М

нием

|ХяМ| = с,

с5

где ц € Известно, что все его решения допускают однозначное представление в виде

» = ±ек1... £кии ^, к =(кг,...,ки) € Zk,

где {£1,... ,£к} — некоторая фиксированная система основных единиц кольца число которых

и = п — 1,

а ^ = ^(с) € ® — некоторые фиксированные решения, ] = 1,..., Q(c). Это утверждение легко вытекает из классической теоремы Дирихле о структуре группы единиц (т, е, обратимых элементов) кольца целых чисел произвольного поля алгебраических чисел.

2. Схема оценки в двумерном случае

Для иллюстрации схемы рассмотрим один, в целом типичный, пример. Пусть нас интересует асимптотика суммы

3(к,Мф,81,з2)= ^

^ (1+ |Л.-1жЬ )(1+ |Ь-1у|32)

(0,0)=(х,у)бМф 1 1 1 п 1 У| >

при К ^ 0. Покажем, что при 82 > 81 > 1 справедлива оценка

5(К,Мф,зЪ82) х К231,

а если 82 = 81 > 1, то

5 (К, Мф, 81, 82) = С * К231 (1п К-1 + 0(1)),

где

531/2

С*=4 —СяЫ. (4)

1п £

Доказательство этого утверждения разбивается на несколько этапов. Этап 1 (подготовительный). Имеем

1 те Я(с)

Б{}1,Мф,з1,з2)= V --—-——----—- =

где

Р{1) = т>-Л/1Х / 1 \ \) г = {ЬГ1\ш\ соэф)е\ и = к'2с ■ 5"1/2.

(1 + г31 )(1 + (и/г)32 )' у

Положим

Е = ^ ^(к), I =[ ^(£) ¿1,

fc6Z

и пусть 6 = Е — I.

Этап 2 (оценка интеграла). Оцепим I, сделав замену переменой £ ^ г:

1 = ±[_I_^ = -1- [__<ь

1п£] (1 + г31 )(1 + (и/г)32) г 1п£] (1 + г31)(г3* + и3*)

м

м

+

+

Если s2 > s1 > 1, то

1 í zs2-si-i 1 п

ln £J ZS2 + US2 ' ln £ S2 sin (ns1 /s2)

R+

Если же s2 = s1 > 1, то

I= 1--= 1 ^ + 0<c2<l.

ln £ US1 — 1 ln £

Этап 3 (оценка погрешности). Оценим S, используя неравенство

|¿| ^J |F'(t)| dt. (5)

R

Имеем

F'(t) = - ___SÁW/Z)S2 \ F(t)

откуда

|F'(t)| < C3F (t), C3 = (Si + S2)ln £.

s2 > s1 > 1

|¿| < C3I < CiC3^-S1.

Если s2 = s1 > 1, то

I |F'(t)| dt =

R

Г \zSl - (co/z)Sl\ dz Г (co/z)Sl dz

R+ R+

J (1 + ^)2 z

R+

Следовательно,

|5| < 2u-S1. Этап 4 (заключительный). Имеем

ln 5

u-S1 = c-S1 h2si ■ 5si/2, ln и = 2 ln h-1 + ln c -

При s2 > s1 > 1 получаем

^ Q(c)

S(h,M^sbs2) =2^ J](I + <

c=1 j=1

те Q(c)

< 2(C1 + C1C3) ^¿u-S1 = C4h2s1, C4 = 2C1(1 + C3)5S1/2(кЫ.

c=1 j=1

2

При к = [£], где £ определяется из равенства г = ш, соответствующее слагаемое суммы Е будет х ш-31, поэтому полученная оценка является точной по порядку. Если в2 = > 1, то имеем

те Я(с)

Б (к, Мф, $1, $2) = 2 ^ ¿(7 + 5) = С *к231 (1п к-1 + С5),

с=1 ¿=1

где константа С * определена в (4), а для С5 справедливо представление

^ АдЮ —41п £ - 1п5 2 + 41п £ - 1п 5 сБ = -р + д, -4-< д <---.

Замечание. Для изучения асимптотики сумм типа Б (к, Мф, $2) можно привлекать и другие методы, например методы теории диофантовых приближений, использующие аппарат цепных дробей [3, § 3 гл. 3].

3. Пример оценки в п-мерном случае

Предложенная выше схема оценки сумм по алгебраическим решеткам применима и в п-мерном случае, однако, как станет видно из приводимого далее примера, ее реализация технически сложнее.

Пусть — положительные чпела и $ — их среднее гармоническое:

п

s =

s- + . . . + s„1

Положим

S(h,M,Sl,...,Sn) = У --——:---—-:-, (6)

где M — некоторая решетка в Rn, Нетрудно показать, например, что для M = Zn и s > 1 этот ряд сходится, причем

S (h, Zn,si,...,sn) х hns*

при h ^ 0 где s* = min {s1,..., sn}. Следующая теорема обобщает результат работы [6] на n-мерный случай.

Теорема. Пусть s > 1 u M — решетка, изображающая в Rn кольцо целых чисел D вполне вещественного поля алгебраических чисел, K степени n. Тогда

S(h,M,si,...,sn) х hns

при h ^ 0.

Таким образом, поскольку s > s* (за исключением случая s1 = ... = sn), для алгеб-M

M = Zn.

Предварительно докажем одно вспомогательное утверждение. Лемма. Интеграл

f 1 dw1... dwu

W1 +... + w„ + пГ=1 wia ПГ=1 wi

сходится, при любых положительных a1,..., au

Доказательство. Достаточно доказать, что для некоторых п > 0 и С > 0 в каждой из областей вида {(ю15..., юи) € М+ : ю1 ^ 1,..., юи ^ 1} выполнено неравенство

и

Ю1 + ... + №и + Ю-"1 ^ Сю±П . . . 1=1

(неравенству Ю1 ^ 1 соответствует множитель в произведении справа, а неравенству Ю1 ^ 1 — множит ель ю-4). Пусть, например,

Ю1 ^ 1, ... ,Ю1 ^ 10 < Ю1+1 ^ 1, .. ., 0 <Юи < 1.

Тогда

wi + ... + wu + Д w- ai ^ wi + ... + wi + (wi ...w{) a(w+i ...Wu) e ^ i=i

^ (wi... wi)Y + (wi... wi)-a(wi+i... w„)"e = xY + x~ay~ß, где a = max {ai,..., ai} ß = min {ai+i,..., au}, 7 = 1//,

x = wi... wi ^ 1, 0 < y = wi+i... wu ^ 1. Осталось убедиться, что

xY + x"ay"e ^ Cxny"n в области x ^ 10 <y ^ 1. Рассмотрим функцию

f (x) = ynx7"n + y"e+nx-a"n.

Имеем f (x) ^ f (xo), где

VT - nj

Так как

г _ 07 , „ Л , в

/Ы-/, 5 = —+ 1 +

а + 7 \ а + 7^

то /(ж0) ^ С при 0 < у ^ 1, если г] достаточно мало. □

Доказательство теоремы. Имеем

Б (Л, М, . . . , =

те

Q(c)

о=^еэ 1 1 c=i j=i fcgzu

Здесь

u

F(yi, ...,Уи)= 1 , ytM1 ,1 , „ , * = П 1 ^ г ^ n.

1 + Zi + ... + zn

i=i

Введем обозначение

п

ш = П= ь-г

¿=1

Тогда, в частности,

и

¿и = ^ Д 2:-1 1=1

(напомним, что и = п — 1), Положим

£ = ^ Р(кь..., ки), I = Р(у1,..., уи) ... ^Уи,

и пусть, как и выше, 6 = £ — I, А, Оценим интеграл I, Так как

тг~ = Рт1%и Рш1 = 1п Мет)|, Оут

для якобиана 3 замены тереме иных (у15..., уи) ^ (¿1,..., ¿и) имеем

3 = ЯД^, Д = | ёе^р.

Следовательно,

1=1

...

1 + + • • • + ¿Г* + (о; ПГ=1

I — Я 1 J -—-;—^г.-1 ч Л-,,-- ^ Я

где

г /* 1 <^1 ... (1ги

После замены переменных (¿1,..., ¿и) ^ (-ш15..., ади), где

од = ш-5^1, 1 ^ I ^ и,

получим

~ 1 /* 1 (¿101 . . . ^*У + ... + «,„ + ПГ=1 Щ8ф1 ПГ=1 ^ '

По лемме последний интеграл сходится и, таким образом, справедлива оценка

I < С^-

Б, Опираясь на многомерный аналог неравенства (5) (см., например, [2]), можно показать, что 6 < С2!. Следовательно,

£ = I + 6 <

В, Так как u-s = hnsc-s, то

те

S (h, M, si,..., sn) < Сг^, Q(c)c-shns = Cihns.

c= 1

Осталось показать, что полученная оценка является точной по порядку. Это так, поскольку сумма Е содержит слагаемое х u-s. Действительно, пусть y1, ..., yu таковы, что

z™1 = 1 < l < u.

Тогда F(yi,..., yu) х uj~s и можно взять к\ = [у i], ,,,, ku = [yu]. □

В заключение приведем еще один пример такого рода оценки (распространение примера из разд. 2 на n-мерный случай):

у -———, Л 1 ,———— ~hns*{\nh~l)v-\ h^ о,

где s* = min {sl5..., sn} > 1, a v — число номеров г, доя которых Si = s*. При v = n указанная оценка допускает уточнение (см. аналогичный результат в [2], сформулированный для суммы (*)), За недостатком места доказательство этих утверждений мы опускаем.

Список литературы

flj Рамазанов М.Д. О порядке сходимости решетчатых кубатурных формул в пространствах с доминирующей производной // Докл. АН СССР. 1984. Т. 277, № 3. С. 551-553.

[2] Осипов H.H. Асимптотика нормы функционала погрешности решетчатых кубатурных формул на пространствах W^i'p'qS) (Л) // Вычисл. технологии. 2004. Т. 9. Спецвыпуск. С. 95-101.

[3] Осипов H.H. Кубатурные формулы для периодических функций: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Красноярск, 2004.

[4] Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.

[5] http://www.parigp-home.de

[6J Рамазанов М.Д., Рахматуллин Д-Я. Достижение наилучшего порядка приближения интегралов функций из Wm(R2) на решетчатых кубатурных формулах за счет поворота решетки узлов // Кубатурные формулы и их приложения: Матер. VIII Междунар. семинара-совещания. Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2005. С. 109-116.

Поступила в редакцию 15 сентября 2006 г.