CC BY
24
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 10 Выпуск 2 (2009)
УДК 511.9.
О МЕТОДЕ К. К. ФРОЛОВА В ТЕОРИИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ1
© 2009. А. С. Герцог, Е. Д. Ребров, Е. В. Триколич (г. Тула)
Аннотация
В работе рассматривается метод Фролова в теории квадратурных формул для периодических функций многих переменных из класса Е^. Библиография: 10 названий.
1 Введение.
Одной из классических проблем вычислительной математики является задача приближенного вычисления определенного интеграла. К. К. Фролов выделял следующие основные постановки задачи:
1. построение квадратурных формул, оптимальных для заданного класса функций Р;
2. построение асимптотически оптимальных квадратурных формул;
3. квадратурные формулы, имеющие точный порядок погрешности;
4. квадратурные формулы, порядок погрешности которых отличается от точного на множитель вида 1п7 N N — число узлов в квадратурной формуле) .
В данной работе рассматриваются вопросы приближенного интегрирования функций многих переменных по единичному в—мерному кубу
= {х | 0 ^ ^ 1, V = 1, 2,..., в}
по методу К. К. Фролова [9] для непрерывных периодических функций с периодом равным единице по каждой из переменных хи (V = 1, 2,... ,в), принадлежащих классу Еа(С), который состоит из периодических функций
ГО
I (х)= ^2 С (т )в2т(гЛХ),
1 Работа выполнена по гранту РФФИ 08-01-00970
для которых
\С(т)\ ^ ----С —, (а > 1)
1 ^ л (Щ_ ...шТз)а
и т = шах(1, \т\) для любого вещественного т.
Точная формулировка задачи отыскания квадратурных формул, оптимальных на некотором классе Г, принадлежит академику А. Н. Колмогорову. Для ряда классов функций одной переменной эта задача рассматривалась академиком С. М. Никольским и его учениками [8].
Для погрешности квадратурной формулы
11 N
[■■■ [ / (Х)^Х = -^^2 Р(к)/(С(к)) - RN [/] (1)
^ ^ к— 1
0 0 к—1
на классе периодических функций из Еа(С) путем несложных преобразований можно получить оценку:2
\R mi < C \S)1 (о)
N < N mi...,ms=-ж (m ■■■ rn~s)a ’
где
N
Б(т) = ^2 р(к)е2т(т’^к')') — тригонометрическая сумма сетки. (3)
к—1
Для равномерной сетки с равными весами и N = П узлами:
11 _ 1 _ 1 {...//№ = N £...£ /(П ,...,к^ - RN [/] (4)
0 о к1—0 кв—0
для погрешности приближенного интегрирования выполняется неравенство3 ю ГЛ1 5п(т1) ...$и(т8)
\^[/]\ <C Е (т- тг)а =
т1,...,тв—-ж \111,1 • • • п1в)
= К (1 + 2Т^)* - 0= ° N-1) • (6)
так как для тригонометрической суммы равномерной сетки выполняется равенство
п—1 п—1
ж-> ж-> ^ • т1 кт+.-. + токо
Б(т) = ^2 . -^2 е Жг п = п35п(т1)... 5п(т3). (6)
к\ —0 ко—0
2Знак Y1’ означает, что суммирование распространено на наборы (m1 .. .ms) = (0,...,0).
J 1, при m = 0 (mod n),
3Здесь и далее on(m) = < — символ Коробова.
I 0, при m = 0 (mod n)
Зависимость погрешности квадратурной формулы (1) от хорошо известных в теории чисел тригонометрических сумм Б(т) позволила использовать при приближенном интегрировании методы теории чисел.
Используя неравномерные сетки
(к = 1• 2,... • N; N — простое чиело),
И. М. Коробов в 1957 году в работе [3] получил для таких классов функций оценку погрешности
^^ = 0 (' (7)
Тригонометрические суммы Б(т) в этом случае принимают вид:
N т1к + т2к2 + ... + т3к5
2пг------------—------------
Б (т) = ^ е N ,
к—1
то есть являются рациональными тригонометрическими суммами, для которых (при простом N справедлива оценка А. Вейля
\Б(т)\ ^ (в — 1)^,
если хотя бы одно ти (и = 1,..., в) не крат но N.
в в 2а
неравномерные сетки предпочтительнее равномерных, однако они не реагируют на увеличение гладкости подынтегральной функции.
Вскоре И. И. Пятецкий-Шапиро [2] доказал существование сеток вида
({в1к},..., {Озк}), (к =1, 2,..., N),
для которых справедлива более точная оценка
RN [/] = 0N —11п N).
Полученый результат, несмотря на неэффективность доказательства, стимулировал дальнейшие исследования оценки погрешности квадратурных формул на классе функций Еа(С).
Существенно неулучшаемые оценки погрешности квадратурных формул на классах функций Еа(С) были установлены в 1959 г. Н. М. Коробовым [4] и И. С. Бахваловым [1]. Введеные параллелепипедальные сетки позволили получать погрешность порядка N—а 1па (5—1) N на классах функций Еа (С), для всех а > 1.
Дальнейшее уточнение оценки погрешности квадратурных формул на классах функций Еа(С) было связано с совместным приближением иррациональных
в
в=2
RN[/] = 0^—а 1пЮ, / е Е2а(С).
Следующий принципиальный прорыв в теории квадратурных формул на классах функций Еа(С) был сделан в 1976 году в работе [9] К. К. Фроловым, который, используя алгебраические сетки, получил погрешность порядка N—а1п5—1 N.
Учитывая оценки снизу И. Ф. Шарыгина [10], имеющие для квадратурных формул на классе функций Еа(С) вид
вир ^[/]\ > С1 ■ С ■ ^а 1п5—1 N• С1 = С1(в,а) > 0,
! ееа(с)
можно сформулировать:
• для классов функций Е^(С) (а > 1) на двумерных параллелепипедальных сетках получен точный порядок погрешности (Н. М. Коробов, Н. С. Бахвалов),
• для классов функций Еа(С), (в ^ 3, а > 1) на в-мерных параллелепипедальных сетках получен порядок погрешности, отличающийся от точного разве лишь на множитель вида
1п(а—1)(—) N (Н. М. Коробов, Н. С. Бахвалов).
• для классов функций Еа(С), (в ^ 2, а > 1) получены не улучшаемые по порядку оценки сверху погрешности квадратурных формул (К. К. Фролов).
Цель данной работы: дать новое полное изложение метода К. К. Фролова, получить явные оценки гиперболической дзета-функции решёток с вычислением констант и оценки погрешности приближенного интегрирования.
2 Вспомогательные леммы
го
Как обычно, через £ (а) = Е т—а обозначается дзета-функция Римана при
т—1
а > 1, для которой выполнены неравенства
ГО ГО
йх [ йх 1
— < £ (а) < 1+ - = 1 +
а — 1 ,/ ха ] ха а — 1
11
1
Лемма 1. Для любого действительного а выполняется неравенство
(1 — \х\)е2тахйх
1
(8)
где а = тах(1, \а\).
Доказательство. Если а = 0, то взяв интеграл / (1 — \х\)е2жгахйх по ча-
1
стям, получим:
(1 — \х\)е2тахйх =
1
0 1 = / (1+ + / (1 — ф2»^ =
10
1
2пга
1
0 1 — / ^ =
—1 0
^2пгах I0 | „2пгах 11 \
(2пга)2
,2пго-
е
1
е2та — 2 + е (2пга)2
—2та
2
0
вт па
п2 а2
а=0
1
вт па
па
1 = —, если\а\ ^ 1,
1 а
если\а\ > 1.
па
а=0
(1 — \х\)е жгахйх = 2 (1 — х)йх = 1
1
(а)2'
Лемма 2. Пусть функция ф(х) непрерывна на отрезке [0,1] вместе с первыми г производными (г ^ 2) и удовлетворяет условиям:4
Ф(и)(0) = ф(и)(1) = 0, (и = 0,1,..., г — 1),
ИфМИ, « 1, ИФ^МИ, « (2пГ.
43дееь и далее ||^(ж)И1 = / \ф(х)\3,х.
о
1
1
1
1
1
Тогда для любого действительного числа а выполняется, оценка
ф)е2тахвх
(10)
а
ф)е2тахвх
поэтому при \а\ ^ 1 выполняется соотношение
ф)е2тахвх
\ а\ > 1 г
ф)е2тахвх
ф(х)е
2ПІ(7Х
2піа
ф'(х)е
2шах
2піа
вх
(2піа)г
(2піа)г
Г ф(г) (Т)е2пІ°х
Ф (х)е--------вх.
1 ' У (2піа)г
(11)
Переходя в равенстве (11) к модулям, получим
ф)е2тахвх
1
Г т(г) (г)е2пІах
Ф (х)е--------вх
у 1 і (2піа)г
|ф(г)(х)|
(2п\а\)г
вх =
\ф(г)(х)\і(2п\а\) г ^ (а) г
и лемма полностью доказана.
[ 0, 1 ]
ция ф(х) удовлетворяет условию ф(0) = ф(1) = 0 и имеет на этом отрезке конечное число нулей, тогда справедливо неравенство для норм,
і
і
і
і
і
і
і
о
о
і
і
ііфМііі < ііф'Мііі-
(12)
Доказательство. Так как по условию непрерывная функция ф(х) имеет [ 0, 1 ]
имеет конечное число п ^ 1 отрезков знакопостоянства [хи—1,хи] (и = 1,... ,п),
где 0 = х0 < ... < хп = 1 ф(х„) = 0 (и = 0,... ,п) и е(—1)'ф(х) ^ 0 для любого
х е [хи, хи+1] (и = 0,... ,п — 1) е = ±1. Отсюда следует, что
х
V
ф(х) = ф(г)йг, \ф(х)\ = е(—1)' ф(г)йг при х е [х„,х„+1]
||ф(х)||1 = у \ф(х)\йх = у \е(—1)'] ф,(г)йг\йх =
0 '—0 х„ \ xv /
п—1 х *+1 /х у1 \ п— 1 х "+1
^ / е(—1)и ф (г) \ йх\ йг = ^2 / е(—1)и ф (г)(х„+1 — г) йг ^
'—0 х{ \ I ) '—0 х{
п—1 ж 1'+1 1
/ \ф(г)\йг = \ф(г)\йг = Иф(х)|1
'—0 ^ {
х„ 0
и лемма полностью доказана.
Лемма 4. Пусть Хг = || (хг(1 — х)г)(г) ||1 и фг(х) = Х—1хТ(1 — х)г, тогда функция фг (х) удовлетворяет условиям:
фГ')(0) = фГ')(1) = 0 (и = 0,... ,г — 1), (13)
II фг (х)И1 < 1, Иф{г)(х)И1 = 1. (14)
Доказательство. Рассмотрим последовательности многочленов
/V (х) = (хГ (1 — х)Г)(и) ^ 0' (х)= хг—V (и = 0,...,г).
Из определения следует, что д0(х) = 1 ж /и(х) = /'—1(х) (и = 1,... ,г).
Отсюда вытекает, что
/'(х) = /'—1(х) = (х—'+1(1 — х) г—'+1д'—1(х)У =
= (г — и + 1)хг—' (1 — х)г—' (1 — 2х)д'—1(х) +
+хг—и+1(1 — х)г—и+1д'—1(х) = хг—' (1 — х)г—' 0' (х), ди (х) = (г — V + 1)(1 — 2х)ди—1(х) + х(1 — х)д'_ 1(х)
х
1
х
и, следовательно, ди (х), действительно, много член, а / (0) = / (1) = 0 (и = 0,... ,г — 1).
г
И/0(х)И1 % И/1(х)И1 % ... % И/г(х)|1 = Аг.
Так как фг (х) = X—1 /0(х), то
Ифг (х) ||1 = X-1||/0(x)||l % 1 ||фГГ)(х) И 1 = К1И/т (х)||1 = 1
и лемма полностью доказана.
Лемма 5. Для любого действительного а и 1 < 7 % г для величины ф1 , г(а), заданной равенством
ГО
ф1Г(а) = т —1 (т + а)—г,
т——го
выполняется неравенство
а % 2(1+ С(1)) + (1 + 2С(1 ))2■>
Ч'и' (а> % ----------------------------------------------------■ (15)
Доказательство. Прежде всего, заметим, что ф1,г(а) — четная функция. Действительно,
ГО ГО
>т —^( (
ф1Г (—а) = ^ т 1 (т — а) г = ^ —т 1 (—т — а) г
т——го т——го
ГО
= т —1 (т + а)—г = ф~(,г(а).
т——го
а=0
Фч, г (0) = £ т —1т—г = 1 + 2С (^ + г) = г + г •
т——го (а)
Преобразуем выражение для ф1,г(а) при а > 0, получим:
1 ГО
ф1 , г (а) =—— + ^ т 1 (т + а) г + ^ т 1 (а — т) г+
т—1 1%т%[<г] —1
,,,
т—[ст]+2
+ [а]—7 + ([а] + 1)—7 т— (т — а)—г % -О- + ^Ш +
^ (а)г (а)г
+ V т—^ (а — т)—г + -Д- + + М.
1%т%г.ь 1 (а)7 (а)7 (а)7
Для оценки величины последней конечной суммы заметим, что она нулевая 0<а<2 Если а ^ 2, то
т—1 (а — т)—г = ^ т—1 (а — т)—г+
1%т%[а] —1 1%т% ^
2^ 21
+ ^ т—1 (а — т)—г % — ^ т—1 +—^ ^ т—г %
^ <т%[ст] —1 1%т% 2 1%т<
% 2^07) ^ 2 ) — + От)^ % 2 • -14Ь)
а1 \\а) СЫ / а
Отсюда следует, что
а % 1 , СЬ') + 2 • 21 ((у) 2-' + 1 ((г) %
ф17 [я) % 7=77 + 7=^ + =7-+ 7=тг + 7=7- + 7=7- %
(а)г (а)7 а1 (ау (ау (ау
% 2(1 + С(7)) + (1 + 2((ч)) 21 " (а)7 ’
тем самым лемма доказана полностью.
го
Лемма 6. Для любого абсолютно сходящегося ряда ^ \ щ \ при а > 1
v=—гo
справедливо неравенство
ГО / ГО \
£ і иV \а $ £ і иV і
= -ГО XV =-го /
\ ии И ■ (16)
Доказательство. Рассмотрим при а > 1 на отрезке [0,1] функцию f (х) = ха + (1 — х)а. Так как f'(х) = а (ха-і — (1 — х)а-і) и f'(х) < 0 при 0 $ х < 2
f' (2) = 0 f'(x) > 0 при 1 < х $ 1, то f (х) $ 1 при 0 $ х $ 1. Пусть а ^ 0 Ь ^ 0 и а + Ь > 0, тогда
2
аа + Ьа = (а + Ь)аП ] $ (а + Ь)с
\а + Ь)
Отсюда по индукции следует для любых а1г .. ,ап справедливость неравенства
и /и \ *
£>; \а $ £ \а \
3=1 \з=1 )
Действительно,
п /п-1 \ а / п
Е\%\а $ Е а0 + \ап\а $ £ \з\
3=1 \ 3=1 / \ 3=1 /
а
Следовательно, для любых целых P ^ Q выполняется соотношение
Q ( Q
£М“< ЕI
v=P \и=P
Переходя к пределу при P —— —и Q — ж получим утверждение леммы.
3 Решётки и гиперболическая дзета-функция решёток
Центральное понятие геометрии чисел — решётка — возникло в связи с теорией приведения положительно определенных квадратичных форм (ПКФ). Впервые понятие решётки ввел К. Ф. Гаусс в своей рецензии на работу Зеебера в 1831 году.
Использование решёток, сдвинутых решёток и проекций решёток на координатные подпространства позволяет на единообразном языке обсуждать разные вопросы теории чисел, а не только теорию квадратичных форм.
Так, например, множество Л = Л(а1,... ,as; N) решений линейного однородного сравнения
a1 • x1 + ... + as ■ xs = 0 (mod N),
является решёткой Л с det^ = N, а также, если F — чисто вещественное алгебраическое расширение степени s поля рациональных чисел Q и ZF — кольцо целых алгебраических чисел поля F, то s-мерной решёткой является множество Л(F), следующим способом образованное с помощью ZF :
Л(F) = {(0(1),..., 0(s)) \ 0(1) Е ZF }, (17)
где 0(1),..., 0(s) — система алгебраически сопряженных чисел и если d - дискриминант поля F, то det^(F) = \fd. Эти два примера решёток - решётка Л(а1;... ,as; N) решений линейного сравнения и алгебраическая решётка Л(F) играют важную роль в теоретико-числовом методе в приближенном анализе.
В частности, доказательство теоремы Дирихле о строении группы единиц конечного расширения поля рациональных чисел существенно упрощается при использовании понятия решётки и теоремы Минковского о выпуклом теле.
В аналитической теории чисел наиболее часто фигурирует решётка всех целых точек, то есть фундаментальная решётка Zs. А классическая задача о целых точках в различных областях — это задача о точках решётки Zs в этих областях.
Как известно, достаточно общее определение вещественной теоретико-числовой решётки в геометрии чисел следующее.
Пусть А1,..., Ат, т % в — линейно независимая система векторов вещественного арифметического пространства К5. Совокупность Л всех векторов вида
где аз независимо друг от друга пробегают все целые рациональные числа, называется т-мерной решёткой в К5, а сами векторы А1,...,Ат — базисом этой решётки.
Если т = в, то решётка называется полной, в противном случае — неполной. Так как в этой работе рассматриваются только полные решётки, то, следуя традиции многих изложений, для краткости будем говорить просто о решётках, опуская слово полная.
Пусть матрица Т = \ \tvk||5Х5 не вырождена, тогда линейное преобразование Т с матрицей Т переводит фундаментальную решётку Zs в решётку Л = Т • Zs с базисом А^ = (tj1,..., tjS) (1 % ] % в). Ясно, что
Л = {х = (Ь11т1 + ... + ts1ms,..., t1s т1 + ... + tSSmS)\m1,... ,т5 Е Z} .
Будем эту решетку обозначать через Л(Т).
Гиперболическим параметром решётки называется величина
которая имеет простой геометрический смысл : гиперболический крест К(Т) не содержит ненулевых точек решётки Л при Т < д(Л) . Гиперболическим крестом называется область
где д(х) = х1 • ... • х5 — усеченная норма х, и для вещественного х обозначаем х = тах(1, \х\).
Так как тах(1, N (х)) % д(х), то тах(1, N (Л)) % д (Л) для любой решётки Л, а из теоремы Минковского о выпуклом теле следует, что
Гиперболической дзета-функцией решётки Л для а > 1 определяется абсолютно сходящимся рядом
По теореме Абеля гиперболическую дзета-функцию решёток (н (Л\а) можно представить в следующем интегральном виде
аі Лі + ... +
ат Лт,
д(Л) = тіп я(х),
х&А\{0}
К(Т) = {х \ д(х) $ Т},
д(Л) $ тах^еіЛ, 1).
(18)
где 0(Т|Л) — количество ненулевых точек решётки Л в гиперболическом кресте К (Т).
Прежде всего заметим, что гиперболическая дзета-функция решёток является рядом Дирихле. Действительно, дадим несколько определений и обозначений.
Л
усеченной нормы на ненулевых точках решётки:
Qsp(Л) = [Х I X = д(х), х е Л\{0}}.
Усеченный норменный спектр является дискретным числовым множеством, т. е.
Qsp(Л) = {Х1 < Х2 < ... < Хк < ...} и Иш Хк = ж.
к^ж
Очевидно, что
д(Л) = шш X = Х1.
^еQ ,вр(Л)
Порядком точки усеченного спектра называется количество точек решётки с заданным значением усеченной нормы. Порядок точки Х усеченного норменного спектра обозначается через д(Х).
Таким образом, гиперболическую дзету-функцию решётки можно записать как ряд Дирихле:
(н Ща) = £ (Х1-■■■■*,- = £ Х>= Е ^3 ■
ХеЛ AeQSp(Л) 3=1 3
Л
^2 I х 1 • ... • х,-
ХеЛ
расходится при любом а > 1.
Действительно, пусть Л = Ь • Л(Г) - алгебраическая решётка, тогда
^1X1 • ... • х,— =^ 1^ • NИГ, (19)
ХеЛ wеZF
где N(ю) - норма целого алгебраического числа из кольца ZВ силу теоремы Дирихле о единицах ряд в правой части равенства (19) расходится при любом а > 1, так как в кольце Z ^ целых алгебраических чисел чисто вещественного алгебраического поля К, степей и в имеется бесконечно много единиц е и для НИХ N(е)| = 1.
Из этого примера видно, что использование Х1 • ... • х3 вместо |х1 • ... • х,| в определении (Н(Л I а) существенно, так как тем самым обеспечена абсолютная
Л
Лемма 7. Пусть матрица Т = ЦЬикиТ 1 = 1\Ь*ик— её обратная матрица. Тогда при Х < Х(Т), где
Ша^У ] 1
А(Т )= (gg Ё ^ i)
s -мерный параллелепипед
П(Т, A) = {x \ \tvixi + ... + tVsXs\ " A (v = 1, 2,..., s)}
не содержит целых точек k = (k1,...,ks) = 0, а s-мерный куб [—A, A]s не содержит ненулевых точек решетки Л(Т).
Доказательство. Нетрудно видеть, что линейное преобразование с матрицей Т переводит s-мерный параллелепипед П(Т, A) в s-мерный куб [—A,A]s, а обратное преобразование с матрицей Т-1 = \ \t*l/k\\sxs переводит s-мерный куб [—A, A]s в s-мерный параллелепипед П(Т, A).
Отсюда следует, что если целая точка k = (k1,... ,ks) Е П(Т, A), то найдется точка у Е [— A,A]s и k = Т-1у. Переходя к координатам, для каждого v с 1 " v " s получим:
1
\kv \
ZX- уз
3=1
s s -1 s
" XYs Кз \ < \tij О \tVj \ " 1
3=1 V " " з=1 ) з=1
Поэтому к = 0 и, знач ит, в-мерный параллеле пипед П(Т, Х) не содержит целых ненулевых точек.
Обратно, если точка у е Л(Т) Р|[— Х, Х]3, то
у = (гп Ш1 + ... + Ьит,,..., Ьз1Ш1 + ... + Ь,зт,)
и целая точка т = (т1,... ,тз) е П(Т, Х), а поэтому т = 0, у = 0 и лемма полностью доказана.
Лемма 8. Пусть матрица Т = Ц^к||зхз иТ 1 = 1\Ь*ик||,Х5 — её обратная, матрица. Тогда при Х < Х(Т), где
\-1
=1
для любого а е К5 в-мерный параллелепипед
А(Т )= (gg Ё \)
П(Т, а, Х) = [х | аи ^ ^1X1 + ... + ЪзХ, ^ аи + Х (и = 1, 2,... ,в)}
содержит не более одной целой точки к = (к1,... ,кз),
,
а в-мерный куб П [а„,а„ + Х] содержит не более одной точки решетки Л(Т). ^=1
Доказательство. Если к1,к2 £ П(Т, а, А), то к1 -к2 £ П(Т, А) и по лемме 7
к1 = к2. Обратно, если у1,у2 £ Л(Т) Р| П [аи,а„ + А], то у1 — у2 £ к(Т) П[—А, А]5
и=1
и по второй части леммы 7 у1 = у2. Лемма полностью доказана.
Пусть Е+ = {х\х ^ 0} и £ £ {-1,1}5, тогда различных £ £ {-1,1}5 ровно 2я. Положим для а £
П(Т, а,ё) = {х \ аи ^ (их + ... + и3х3) ^ аи + 1 (V = 1, 2,..., з)},
если Ьи = еиаи + (и = 1,..., в), то П(Т, а,ё) = П(Т, Ь, 1). Обозначим через
Q(T, а, £) количество целых точек в П(Т, а,е).
Лемма 9. Справедливы неравенства
Доказательство. Выберем натуральное А из условий < а ^ 1 + -^Т-Так как
и каждая из областей в правой части равенства содержит не более одной целой точки согласно лемме 8, то Q(T, а,е) ^ А5 и первое утверждение леммы доказано.
Далее заметим, что для любой целой точки т £ П(Т, а,£) выполняется соотношение
из которого, с учетом первого утверждения леммы, следует второе.
Лемма 10. Пусть матрица Т = \\ик\\5Х5 не вырождена и а — действительное число большее единицы. Тогда ряд
т £ЩТ,а,е)
(20)
((*цШ1 + ... + г^тя)... (Ь31т,1 + ... + Ь33т3)) а ^ (а! ...а3) а ,
сходится.
Доказательство. Так как
Е =11 І II П
то
и ( 0 П (Т-Ц)
єЄ{-1,1}в \к1,...,к3=0 /
[(ЬцШ! + ... + 1ит3)... (Ьз1Ш1 + ... + 1ззт3)] а ^
СО 5
« Е Е Е П (^№1 + ... + Ь^зтз) а ^
ее{—1,1}3 к1,...,кв=0 теП(тДе) ! = 1
< 2'( 1 + тГ))' ^ = 2' (1+т)‘(1+({а)Г
к1,...,кз —0
и лемма доказана.
Из последней доказанной леммы вытекает, что определение гиперболической дзета-функции решетки корректно, так как в абсолютно сходящемся ряде члены можно переставлять в любом порядке, а потому можно писать просто сумму по точкам решётки.
4 Алгебраические решётки
Оценим гиперболическую дзета-функцию решетки
(и (дЛ(Т)\а) = ^' (п^1"т1 + ■■■ + ізит*))
\^=1 /
: (П^]
Т) Ч*=1 /
Е М [я • Хи) (21)
хеЛ(Т) \и=1
для алгебраических решеток дЛ(Т), д ^ 1. Пусть все коэффициенты многочлена
Р3(х) = ^2 аиХ + хя (22)
v=0
целые рациональные, и он неприводим над полем рациональных чисел. Пусть, кроме того, все корни (и = 1,..., в) многочлена (22) действительные.
Обозначим через Т = Т(а), где а = (а0,а1,..., а3-1) — вектор целочисленных коэффициентов многочлена Ря(х), матрицу степеней алгебраически сопряжен-
ных целых алгебраических чисел 01r .. ,0s — корней многочлена Fs(x):
( 1 ... 1 \
0l . . . 0s
T
\0\—1 ... 0s—1 j
Положим
Ma) = \\T(a)lll = max l \0l\ + ... + \0s\
0«k«s— 1
k, s\ ,
\2(a) = \\T( a)\\2 = (1 + \0и\ + ... + \0V \) = \\T ( a)\l)
v=1,...,s
где TT — транспонированная матрица к матрице T.
Сформулируем теперь некоторые свойства алгебраических решеток.
Лемма 11. Пусть Q — число целых точек, принадлежащих области
Xi + Х2 + ... + ®sv 1 Xs| a Qv, (v = 1,..., s). (23)
Тогда
Q a 2s (l + (Qi ...Qs)«)S.
Доказательство. Пусть Q > 2я ^1 + (^1.. ^з)1^ . Найдем целое число Л, удовлетворяющее неравенствам
(Q1 ... Qs) s < A a 1 + (Q1 . . .Qs) s
и покроем область (23) параллелепипедами
kvQV ^ ^ r\s— 1 ^ (kV + 1)
—A~ a x1 + 0Vx2 + ... + 0V xs a -----------A-----'
ки = —А, —А +1,..., 0,1,..., А — 1, (и =1,...,в).
Таких параллелепипедов будет 2я А* < Q и, следовательно, хотя бы один из них содержит две различные целые точки. Таким образом найдется целая точка
х = 0
\Xl + 0v X2 + ... + 0'l 1Xs\ a Q, (v = 1,...,s)
в
Замечая, что произведение П(х1 + Х2 + ... + 1хв) — целое отличное
^—1
от нуля число, получим:
Ql... Qв ^ Лв,
что противоречит неравенству Q1.. ^в < Лв.
Следовательно,
Q а 2в (1 + ^1 ..^в) ^в,
что и утверждалось в лемме.
Лемма 12. Для числа целых точек Q, принадлежащих области
а к
(24)
Г[ (Х1 + ©VХ2 + ... + ©^ 1Хв)
^—1
\ху\ а N1, (и = 1,...,в)
справедлива оценка
Q а 2в (1 + 2 к^в (в + 1)(в \оё2(^\) + 2)в— 1,
где постоянная Т = Т2(а) = тах (1 + \Ои\ + ... + \©в— 1 \) зависит лишь от
и—1,...,в
корней ©и, (и = 1,..., в) многочлена (22).
Х
выполняются неравенства
мЛ\в_ 1 а \х 1 + ©^Х2 +... + ©в~1 Хв\ а (и = 1,...,в), (25)
(ТЛ1 )в 1 Ясно, что Т > 1 и log2 Т > 0.
Х
©и(Х) = х1 + ©их2 + ... + ©в—1 Хв — целые алгебраические числа (и = 1,..., в), поэтому
| | \Х1 + ©VХ2 + ... + ©'в 1Хв\ ^ 1,
v—1
(\^)в 1 \Х1 + ©цХ2 + ... + ©ви 1Хв\ ^ 1,
V—1
\в— ^ I ^ ™ I I ов— 1Х
V Хв\
\Х1 + ©VХ2 + ... + ©^ Ч\ ^ Т^1)в—1 (^ = 1,...,в).
Следовательно, достаточно оценить число целых точек для области, удовлетворяющей ограничениям (24, 25). Такую область можно покрыть параллеле-
ПИП6ДЭЛУ1И
\х1 + ©V Х2 + ... + ©в— 1Хв\ а к1 2^, (V = 1,..., в), (26)
где целые числа у1, ... ,ув удовлетворяют ограничениям
о а г>1 +... + Ув а в,
-(в - 1) ^2(т\) - ^ а Vv а log2 N1 - ^ + log2 Т +1, (27)
V = 1, 2 ... ,в.
Х
25), найдутся такие действительные числа щ, (V = 1,..., в), для которых выполняются соотношения
|x1 + Ovх2 + ... + OS 1xs| a ks 2Uv, v = 1,..., s,
1
2 I • • • I ^v *^в| а к
щ + ... + ив = 0,
-(в-1)к^(^т) а ^ а ^N1 + log2а, V = 1,...,в.
Следовательно, точка х принадлежит области (26, 27) для целых чисел vV = Щ] + 1, (V = 1,... ,в).
Каждое целое не более в ^2(^А)+2 различных значений. При
фиксированных у1г .. ув — 1 перемениая Ув принимает не более в + 1 различного целого значения, поэтом различных областей вида (26, 27) не более чем
(в + ^ (в^2(^А) + 2) и каждая из них (лемма 11) содержит не более чем
2в 1 + (V1 к1... 2Ь1 к^ ^ а 2в ^1 + 2к^в
целых точек. Таким образом, число целых точек Q, принадлежащих области (24), удовлетворяет оценке
Q а 2в ^1 + 2 к 1 ^ (в + 1) (вlog2(NlА) + 2~)
и лемма полностью доказана.
Покажем теперь, что при оценке гиперболической дзета-функции решетки в сумме (21) можно ограничиться лишь целыми числами mV, принадлежащими
а-1
в-мерному кубу \xV\ а д(а-1) (V = 1,... , в).
Лемма 13. Пусть матрица T = Htvk||sxs uT 1 = l\t*vk||sxs её обратная
матрица. Тогда при X < X(T)Q, где
1
Л = Г- 1"‘1
s
n(T, X) = {Х| [tv1X1 + ... + tvsXs| a X (v =1, 2,..., s)}
не содержит целых точек k = (k1,... ,ks) с || k|1 ^ Q, a s-мерный куб [—X, X]s не содержит точек y pew,emku A(T) с |y|1 ^ X(T)Q.
Доказательство. Нетрудно видеть, что линейное преобразование с матрицей Т переводит в-мерный параллелепипед П(Т, А) в в-мерный куб [—А, А]в, а обратное преобразование с матрицей Т—1 = \\Ь*1/к\\вхв переводит в-мерный куб [-А, А]в в в-мерный параллелепипед П(Т, А).
Отсюда следует, что если целая точка к = (к1,..., кв) Е П(Т, А), то найдется точка у Е [-А,А]в и к = Т— 1у. Переходя к координатам, для каждого V с 1 а
V а в получим:
к \
XX' Уз
3=1
в / в \ 1 в
а А 5] Кз \ < тав12 \^з \ •Q • 5] Кза Q
3=1 \аа 3=1 / 3=1
Поэтому ||кЦ1 < ^ мачит, в-мерный параллелепипед П(Т, А) не содержит целых точек к с || кЦ1 ^ Q.
Второе утверждение леммы тривиально и доказательство закончено.
Лемма 14. Пусть сумма Б(Т,д^) задана равенством,
У (Дд^№1 + ... + tвv№в) I
гп\\1>0 \^=1 /
3(Т,д^) = £ 11 д^1„т1 + ... + tвvтв) ) . (28)
\\т\\1>я \^=1
Тогда при д ^ 1 и Q ^ 2 ЦТ 1|1 справедливо неравенство
3{Т’д’®> 4 (а -1)А(Т)а— 1 (1 + АТ)) (1 + 1^) 1
(а - 1)А(Т)а— 1 V А(Т)) V да ) дaQa— 1
Доказательство. Прежде всего заметим, что при Q ^ 2 ЦТ—1Ц1 имеем: А(Т^ - 1 ^ 2 ||Т—\ А(Т) - 1 = 2 - 1 = 1, А(Т^ - 1 ^ ^ТЯ.
Так как
Г = и (и П (т.к,ё)\
£&{ —1,1}1 \к1,...,к1=0 /
и при ЦкЦ1 < А(Т)Q— 1 справедливо вложение П (т, к, ^ С П(Т, А) с А < А(Т)Q, то из леммы 13 следует:
3 (Т,д^) = Е П д(ии т1 + ... + tвv тв)\ а
||т||1>^ \^=1 /
/в \—а
а д(^з1т1 + ... + tзвmв)\ а
е&{—1,1}1 ц£||1^л(т)д—1 т&п(т,к,£) \3=1 /
а1 + -щ) Е (к а
\\к\\1>л(Т)я— 1
а 2в к • в ^ ^
/ 1 \в ^ __________________________ _____
(1 + МТ)) • в • ^ ^ (дк1 ...дкв)
4 V ;/ к1 ^л(т)д—1 к2,...,к1=о
0 + тЫ • к..ЛЕ.к
«-(■+т к (■+^ Г
да у да
Мт-тр + (а-кАТО-ткт) а
ва2в+а—1 ( 1 кв ( С (а) кв—1 1
а^______________(г + ^) (г +
(а - 1)А(Т)а—1\ А(Т)]\ да ) дaQa—1
и лемма доказана.
Теорема 1. Если , (V = 1,..., в), действительные корни неприводимого многочлена
в— 1
Рв(х) = ^2 аихи + хв
^=0
с целыми коэффициентам,и, матрица Т = Т( а) и а — действительное число больше единицы, то для гиперболической дзета-функции решетки Сн (дЛ(Т)\а) справедлива, оценка:
Сн (дЛ(Т)\а) а
а ^ • (в + 1^д + в \сш2(А2(Т)) + ^ С(а)+
(а - 1)А(Т)а—1\ А(Т)У V да / ) д
Доказательство. Введем обозначения:
ви = (1, ,..., &1—1) (V =1,...,в),
ш(ш, к) = <
/ я
1, если П(т, &)
У=1
я
0, если П (т, &)
к. и=1
= к,
= к,
в*(Т,д^) = Е' ( Пд^т1 + ■■■ + ^т)
1И|1^ \^=1
)
' Пд(т’^)
\*=1 /
Е
1И|1^ \„=
Тогда
(н (дЛ(Т)\а) = в*(Т,д^) + в(Т,д^).
Оценим сумму в * (Т, д, Q), положив Q1 = [^\2(Т ))я] и применив преобразование Абеля.
в *(Т,д^)= Е'
|| т ||1<^
П д(т’ &)
У=1
Я1
а д-ак-а
а д-ая Е'
Цт ||1аЗ
П(т,&)
и=1
а
£
1 а
к=1
Цт|| 1 а^, I П (т,в1) 1^=1
=к
^1
а д-аз^2 к-а ^2 ш(т,к) =
к=1 цт |1ад
^1-1 к
-~а81 ^2 (к-а - (к + 1)-а)^ и(т^)+
к=1 t=l цт||1ад
Ql
+ ^а^2 X! ш(т,г)
t=1 Цт ЦlаQ
По лемме 12 (см. стр. 26) для двойной суммы по Ь и по т справедливо неравенство
к
Е Е ш(т, Ь) а 2я ^1 + 2 ка ^ (в + 1) (в ^2^\2(Т)) + 2)
а
t=l цтЦlаQ
а 6я к • (в + 1)(в ^2^\2(т )) + 2)я-1,
— а
—а
—а
поэтому
в * (Т, д, о а д-аябя • (в + 1) (в 1о§2 т2(т)) + 2)я-1
^1-1 \
• ( к=1 (к-а - (к + 1)-а) к + С-ГСА =
Ql
= д-ая6я • (в + 1) (в ^СЫТ)) + 2)я-1^2 к-а а
к=1
а д-ая6я • (в + 1) (в ^(СЫТ)) + 2)я-1 С (а).
а(в — 1)
Отсюда и из леммы 14, выбирая С = д а-1 , находим
Сн (дЛ(Т)\а) = в*(Т, д, С) + в(Т, д, С) а а д-ая6я • (в + 1) (вlog2С\2(Т)) + 2)я-1 ((а) +
+ ва2я+а-1 (л + 1 )я ( + ((а) V-1 1
(■
1 (1 + ТТ)) (1 +
(а - 1)Т(Т)а-1 V Т(Т)) V да ) даСа-1
6‘ • (в + 1) (д + в 1<Ь2Т(Т)) + 2)’ 1 С(а)+
+0^ (1 + тТ-} ) (1 + ^ р 1
(а - 1)Т(Т)а-1 \ Т(Т);\ да ; ) д
и теорема доказана полностью.
5 Класс функций Ева (С)
Пусть непрерывная функция /(ж1;... ,х3) имеет период равный единице по каждой из переменных хи (V = 1, . . . , в), И ДЛЯ V = 1,... , в величины ши
определена равенствами
т„ = тах(1, \т„\).
Определение 2. Говорят, что периодическая функция /(х1,... ,хя) принадлежит классу Еа(С), если для любых целых чисел, т1,... ,т3 выполняется оценка
1 1
/... // ы-™*
0 0 а
а С • (т1... т3) а, (30)
Так как при а > 1 кратный числовой ряд
ГО
^ (т1 ...т3 )-а = (1 + 2( (а))
т1,...,т5 = -го
абсолютно сходится, то ряд Фурье
го
/ (х)= 5] с (т)е2т(-тХ),
т1,...,тв = -го
/(х)
грировать почленно.
Сформулируем теперь некоторые свойства функций из класса Еа(С).
Для непрерывной функции /(х1,... ,хя) и произвольных действительных а1,... , ая обозначим через ц(/,а1,... , ая) интеграл
1 1 / я \
/ ... / (П(1 - х\^ / (Х)е2т(а1 х1 + ... + азхз^х.
Лемма 15. Если функция /(х1,... ,х3) принадлежит, классу Е<а(С), (1 <
а а 2), то для, любых действительны,х чисел, а1,... ,ая выполняется оценка
\^(/,al,... ,аз)\ а С • (2(1 + С(а)) + (1 + 2С (а))2аУ(а1 ...^в) а. (31)
Доказательство. Заменяя в интеграле ц(/,а1,... ,ая) функцию /(х1,... ,хя) её рядом Фурье и учитывая оценку (8) леммы 1 (стр. 14), получим
Ы/,°1,...,°8)\ а
а
а ^ \С (т)\\^(е2т(т’Х),а1,...,а3
т1,...,тв = -го го
а ^ \С (т)\[(тгТё!)... (т3 + а3)]-2 а
т1,...,тв = -го го
а С ^2 (т1... т3)'
х
т1,...,тв=-го
- 2
(т1 + ^1)... (т3 + аэ)
= Сф(а1) ...ф(а3), (32)
где через ф(а) обозначена сумма:
ГО
■ф(а) = ^2 т 7(т + а) г = ф1уГ(а), (^ = а,г = 2).
т=
Объединяя теперь оценку (15) (стр. 17), справедливую для любого действительного а и оценку (32), получим утверждение леммы:
I (г ) а С ' (2(1 + С (а)) + (1 + 2С (а))2аУ ( 2)
а ------------—-----—---------------, (1 = а,г = 2).
(а\... а.)а
Лемма 16. Пусть функция /(х1}... ,х3) принадлежит классу Е<а(С) иг = [а] + 1 . Пусть, кроме того, ф ункция ф(х) непрерывна, на отрезке [0,1] вместе с первыми г производным,и и удовлетворяет условиям,:
Ф
[V)/
(0) = Ф[и)(1) = 0, (и = 0,1,...,г - 1),
(ф^^х)! (1х а (2п)и, (и = 0,1,..., г).
(33)
Тогда для, любых действительных чисел, а1,... ,а. выполняется оценка
/... / (ПфХ)) /(£)е2т{а1 Xl+■■■+asXs)dx а 0 0 ^=1 /
а С ■ (2 (1 + ((а)) + (1 + 2((а)) 2аУ (а1... а.) а.
Доказательство. Заменяя в интеграле
/... [ (ПфХ) ) /(Х)е2т[а1х1+-+а°х°их.
0 0 ^=1 )
/( х)
1
[ ф(х)в2тах^х а (а)-
получим (как в лемме 15) оценку
/ -. [ Щ ФХ)) / (х)е2т[а1Х1+...+ахих 0 0 ^=1 )
а
а С ^ (т1 ,...,т.) а [т1 + а1 ...т. + а.] г а
т1, ... , Шв=—<х>
С ■ (2(1 + ((а)) + (1 + 2((а))2а)
а
(а1... а.)
(34)
что и требовалось доказать.
1
6 Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций Е$а (С)
Обозначим через П.(Т), К3, Е(х,Ь) и д, соответсвенно, параллелепипед
1
п.(т ) = { х
{
\tv1X1 + ... + изХз\ а -, V = 1,...,в
куб
к. = {х\х\ а 1, и = 1,...,$},
характеристическую функцию отрезка [0,^,
Е (х, ^) =
{
1 еслих € [0,^,
0 если х € [0, ^.
и целое, положительное, нечетное число д.
,
Лемма 17. Параллелепипед П.(Т) содержит, куб К. тогда и только тогда, когда ЦТ||1 а 2-
Если параллелепипед П.(Т) содержит куб К., то \ det Т\ а 2^-
.
Доказательство. Действительно, ЦТ||1 = ша^ \и^\ и
^а«^=1
ЦТХЦ1 = шах
3 = 1
V 3 Х3
а цт|1 ■ Щи
поэтому если ЦТЦ1 а 2, то пар^лелепипед П.(Т) содержит куб К..
Пусть ЦТЦ1 = ^ \ и
3=1
!
= 1, при t^j ^ 0,
Хз ^ -1, при tl^j < 0.
Тогда ЦХЦ1 = 1 и ЦТХЦ1 = Е \ = ЦТЦь поэтому если параллелепипед П.(Т)
3=1
содержит куб К., то ЦТЦ1 а 2 и первое утверждение леммы доказано.
Пусть V(П.(Т)) и V(К.) — объемы рассматриваемых многогранников. Если параллелепипед П.(Т) содержит куб К3, то
V(П.(Т)) ^ V(К.) = 2.
Вычислим объем параллелепипеда V(ns(T)), получим
V(П3(Т)) = у ... J dX = \ det Т\ 1 у .. ^ dy = \ det Т\ 1.
П.(Т) — 2 — 2
Отсюда следует неравенство \ det Т\ — 1 ^ 2я, что и доказывает второе утверждение леммы.
Теорема 2. Пусть параллелепипед П.(Т) содержит куб К.. Пусть дана сетка из N = узло в £ (к1,... ,к.) = (^1( к),... ,£. (к)) с весам и р(к1,..., к.), определенными равенствами
£(к) = -т—1к, [\к\ а ^, и = 1,
> (jM а v =l,...,s;^J ,
s
р(«VnK1 -^(Щ E (i&(k)\, ■
v=l
Тогда погрешность квадратурной формулы
1 1 q-1 q-1
[...[ f (x)dx = 1 detN1 ^ ■■■ ^ P( k) f (i,(k)) - Rn [f] (35)
0 0 ki=-— ks = -
N
на классе функций ESa(C), (1 < a a 2) удовлетворяет оценке
Rn (ESa(C))= sup \Rn(f )| a
f ^Ea(c)
a C • (2(1 + С (a)) + (1 + 2< (a)) 2a)s Zh (qA(T) |a). (36)
Доказательство. Построим функцию f (xi,... ,xs), совпадающую с функцией
s
П(1 -\Xv D f (xi,...,xs), f (x) G Ea(C), (1 <a a 2)
v=i
на кубе Ks, продолженную нулем вплоть до границы параллелепипеда ns(T) и продолженную затем на все пространство периодически по параллелепипеду П,(Т). Таким образом, f (xi,... ,xs) =
s
п (1 \xv I) f (xi,...,xs), при x G Ks;
v=i
0, при x G ns(T) \ Ks;
f (y + Tm) при x = y + Tm, y G ns (T), m G Zs.
2 2
Поскольку для любой непрерывной периодической функции ц(х) с периодом равным единице выпоняются равенства
1 1 0
J(1 — \х\) ц(х)Чх = J(1 — х) ц(х)Чх + J(1 + х) ц(х)Чх =
—1 0 —1
1 1 1 1
= ! п^(1 — u)du + J(1 — и) |l(—u)du = ! |l(—u)du = ^ ц(х)Чх,
0 0 0 0
то интегралы от функций /(X) и /(X) связаны соотношением
11 ( . \ 11
J...J/(х)чх =/.../(п(1—хо)/(х)чх=!...у/(х)^. (з?)
Пв(Т) —1 —1 ^=1 ' 0 0
Разложим функцию /(X) в ряд Фурье по параллелепипеду П.(Т):
ГО
?(Х)= ^ С (т1 ,...,т3)е2т(тТХ), (38)
Ш1,...,Ш3 = — ГО
С(т) = det Т у.. ^ /(Х)е—2п'1(т'тх') Чх =
П3(Т)
1 1
/... / П1—х\^/ (х)
= det Т у ... (1 — \х„\) | /(Х)е—2™(тТ'л,:Х^Х,
так как
(т,тх) = ^2 т^^2 из хз = ^2 хз^2 mV из = (т тт, X).
V=1 3=1 3 = 1 V=1
Учитывая оценку (31) леммы 15 (см. стр. 32), получим:
\С (т)\ а С \ det Т \ ■ (2(1 + С (а)) + (1 + 2( (а)) 2а) ■
\\(^т1 + ... + tsvт.) I
V=1 /
Оценим погрешность квадратурной формулы
д-1 д-1
[...р(Х) Чх = £ £ 1 /(1Т-1 к) — *Ш)-
Пв(Т) ^1=—V ^=—V
подставляя вместо функции /(X) её ряд Фурье,
\ det Т\ — 1С (0,..., 0) =
\ det Т\ — 1
ті,...,тв =—го у=1 ^=— 4—1
(т1, . . . , т.) порядка суммирования, следует равенство
Н'м (!) = I Т | 1 2' С (дти...,г{т,).
(40)
Учитывая равенство (37) и оценку (39) окончательно получим
Як ()
1 1
((х)ё,(х) -
| det Т |
4—1 -1 2
4 — 1
■■■ ^ р(к)((й к))
0 0
кі=-32І кв = - 3=1
... ((Х)в1(х) -
п
| det Т | д3
4—1 -1 2
4—1
2
22 ... (Т
к =— 4—1 к = — 4—1 '
к1= 2 кв= 2
1 Т-1к д
а
а | det Т | 1 ^' С (дт1 ,...,qms)| а
Ш1,...,Ш3= — <х>
а С • (2(1 + С (а)) + (1 + 2( (а)) 2а)3 ■ (н (дЛ(Т )|а)
и теорема полностью доказана.
Лемма 18.
1
| det Т |-1
4—1
2
4—1
••• 5] р(к)
1кв|а 4 21
а
Як (е2(1))
а
а (6 + 10<(2))3 ■ (н(дЛ(Т)^2).
(41)
Доказательство. Поскольку функция /(X) = 1 принадлежит классу функций Еа(1) при любом а большем единицы, то оценка (41) следует из (36) при
а=2
д
д
д
5Ряд Фурье сходится абсолютно (оценка (39) и лемма 10, стр. 23)
Теорема 3. Пусть функция ф(х) непрерывна на отрезке [0,1] вместе с первыми г (г = [а] + 1) производным,и и удовлетворяет условиям
Ф(' )(0) = ф(' )(1) = 0, (и = 0,1,...,г — 1),
1
[\ф'(х)\Чх а (2п)', (и = 0,1,...,г).
0
Пусть сетка £(к) та, же, что и в теореме 2. Тогда погрешнось квадратурной формулы
1 1 /
(хXV) ) /(х)ЧХ =
/■■■/ (п ^})
0 0 Vv=1 /
1=1 1=1 . .
Idet T Г‘ t, ■■■ t (П ( (k), 1)\ X
Ik1l=-- lfcl=-- 'v=1 '
Xf - Rn(f) (42)
на, классе функций Ef(C) удовлетворяет оценке
Rn (Ef(C))= sup \Rn(f)| a f eE°(C)
< C • (2(1 + ((a)) + (1 + 2((a)) 2a)‘ • Zh(qA(T)\a). (43)
Доказательство. Построим функцию f(x), совпадающую с функцией
s
Г[ <p(xv) I f ( x) на единичном кубе 0 a xv a 1, (v = 1,s), продолженную
v=i J
нулем вплоть до границы параллелепипеда ns(T) и продолженную затем на все пространство периодически по параллелепипеду. По определению функции f(x) ясно, что погрешность квадратурной формулы (42) совпадает с погрешностью квадратурной формулы
q-i q-i
[... (тш! = I-d'tT— t ... t /(1 t-iЛ - rn(f),
qs
q
Как и при получении равенства (40) в теореме 2 получим
ГО
Rn(f) = I detT|-i C(qmi,... ,qms).
Поскольку
С (т1, ...,т.) = \ det Т ^^ ]'(Х) е2т(тТХ)Чх =
п,(т )
= \ det Т \ ! ... [ ф(хV )\ / (Х)е2пг(Т *т,Х)Чх,
0 0 ^=1 /
то, учитывая оценку (34) леммы 16 (см. стр. 33), окончательно получим Ям(/)\ = К(!)\ а С (2 (1 + ((а)) + (1 + 2((а)) 2а)* ■ (н(дЛ(Т)\а), что и доказывает оценку (43).
7 Тригонометрические суммы сеток с весами
Пусть сетка £ (к) и вес а р( к) (к \ а , и = 1, 2,..., в) те же, что и в
теореме 2 (см. стр. 35).
Тригонометрической суммой сетки с весами называется выражение вида
\ det Т\ — 1
\ det Т \ — 1 2
5(т1 ,...,т3) = 1цр I ^р(=
к
д-1 д-1
2 2
„ Е ■■■ Е р( к)е2т(т^(к)). (44)
4 \к1 |а1-1 к \ а -
Так как каждое слагаемое в сумме, определяющей тригонометрическую сумму сетки с весами, по модулю не превосходит единицу, то справедлива тривиальная оценка ^ (т1 ,...,т.)\ а \ det Т\ — 1. Кроме этого из леммы 18 имеем оценку
\1 — Б(0,..., 0)\ а (6 + 10С (2)). ■ Сн (дЛ(Т)\2).
/( х)
xV, (и = 1,... , в) и её ряд Фурье сходится абсолютно. Оценим погрешность
квадратурной формулы
1 1
/..//(х)ч(х)= \ \ £ ... £ Р( к)/(£ (к)) — Ям(/) (45)
0 0 \к1\а \Ма
/( х)
го
/(X) = £ а(т1,... ,т3)е2жг(т,х'). (46)
Ш1,...,Ш3= — ГО
Лемма 19. Если ряду Фурье (46) периодической функции /(х) абсолютно сходится, то справедливо равенство
Ем (/) = а(0,0)
| det Т |
— £ р(к) — 1 ) +
+ ^ а(ші?... ,шз)Б (ші,...,шз).
(47)
Доказательство. Действительно, подставляя в квадратурную формулу (45) абсолютно сходящийся ряд Фурье функции /( х), получим:
Ям (/) = £ а(ші,..., шз)Б(ші,..., шз) — а(0,
Ші,...,Шв= — ГО
0)
а(0, . . . , 0)
I det ТI
— £ р( к) — 1 ) +
к
+ ^2' а(шіу... ,шз)Б (шіу...,шз).
ті = -е
Лемма 20. Для любого а > 1 справедливо равенство
Ем (Е?(1))
I det ТI 1
к
дз
р( к) — 1
+ Е Б (ші, ...,шз) (ш1... ш3)а
(48)
(49)
т=—сс
Доказательство. Действительно, переходя в равенстве (47) к оценкам по модулю и учитывая определение класса Еа(1), получим:
Ем(/)І а
| det ТI
д3
-1
~^2р( к)
1
к
+ Е' IS(.Ш1^^^■:^:гJ)I. (50)
ті,...,та=-™ (ші ...шз)а
Рассмотрим граничную функцию6 /0( х) класс а Еа(1) для сетки с весами из теоремы 2, заданную коэффициентами ряда Фурье:7
ао(ші,.. .,шз)
Из определения функции /0 ( х) ясно, что
!
3(ті,...,тв)
\Я(ті,...,те)\(т1...тї)“ , ПРИ Б(ші, . . . ,шз) = 0, 0, при Б(ш1,... ,ш3) = 0.
Ям (М
I det ТI
-і
^2р( к) — 1
+ ^ Б(ші,..., ш,
ті,...,тв=-Е (ші . . . шз)С
Из неравенства (50) и равенства (51) следует утверждение леммы.
6Определение граничной функции класса для сетки см. в работе [7] стр. 60. 7 Здесь черта в числителе означает комплексное сопряжение.
з
д
з
д
з
д
Лемма 21. Если в тригонометрической сумме (44) сетка £( к) и веса р(к) те же, что и в теореме 2, то
ОС
Y,' (mi.. .m,s)-2\S (a
« Rn (E2J1)) « (6 + 10((2))s • Zh(q^(T)\2). (52)
Доказательство. Действительно, из леммы 20 следует
ГО
J2' (mi. ..ms)-2\S(mi,... ,ms)\ a Rn (E2S(1)) ,
а учитывая оценку (36) теоремы 2 (a = 2,C =1) (см. стр. 35)
Rn (E2(1)) a (2(1+ Z(2)) + (1 + 2Z(2))22)sZh(qMT)\2),
получим утверждение леммы.
Обозначим через Р( k) fix + £ ( к) ) сумму
к
£ ... £ р(к) f (х+йк))
|ki|a \ks\a q-rL
и через fi (х) функцию
fi(x)=( £ ... £ р(к i) ...p(kp)f (x + й( ki) + ... + й( kp)) (53)
к\ кр
/( х)
для функции / ( х) выполняется равенство
fi( х) = £ a(mi,...,ms) (S (mi,... ,ms))p e2m(m,x). (54)
mi,...,ms=-ro
Если f (x) G Ef(C), mo fi( x) G Ef(C \ det T\-p).
Доказательство. Действительно,
' \ det T\-i )p
f (x) ( ) (\detT\ Л
fi(x)= a(mi,...,ms) ( --------s---
mi,...,ms=-ro \ q J
x £ ... £ Р(й)... p(kp)e2ni(m’X+^kl)+...+^kp))
ki kp
ro
m
mi,...,ms=-ro
£ a(mi,..., ms) (S(mi,..., ms))p e2m(m,x').
Если /(х) Е Еа(С), то для коэффициентов Фурье функции /(х) выполняется оценка \а(ш1,... ,ш3)\ а С (ш1 ...Ш3)-а. Отсюда, пользуясь тривиальной оценкой для тригонометрической суммы сетки
\Б (ш1,...,ш3)\ а \ det Т \-1,
/1( х)
\а(ш1,... ,ш3) (Б(ш1,... ,ш3))р \ а С(ш1.. .ш3)-а\ detТ\-р и лемма полностью доказана.
Лемма 23. Пусть функция ф(х) непрерывна на отрезке [0,1] вместе с первыми г (г = [а] + 1, а > 2) производными и удовлетворяет условиям
)(0) = ^(1) = 0, (и = 0,1,... ,г — 1),
1
J )(х)| <1х а (2п)и, (и = 0,1,...,г).
0
Пусть сетка £(к) и веса р(к) те же, что и в теореме 2. Тогда для функции /1(х), определенной равенством (53) при р = г и /(х) Е Е<а(С) (а > 2), справедлива оценка
11 ( « \ ( 11 « \ 11
Д ф(х„ )1 /г( х)йх — I ... Пф(х„ )д,х\ / ... //1 (х)д,х ^=1 / 0 0 ^=1
0 0 V-1 / \0 0 ^ = 1 /0 0
а
а С • ^Т\-1 ((6 + Щ(2)) • (н(ЯЛ(Т)\2))а . (55)
Доказательство. Подставляя в интеграл
[ ... [ Ф(х„ ) \ /1( х)йх
0 0 V-1 )
/1 ( х)
| 1 |
ф(х)е
11
а а
(2пш)г (ш)г
получим
■ = I... У (ПФ» )^ Ь( ^Х- <р(х)с1х
го
= 5^ а(ш1 ,...,ш3)(Б (ш1,...,ш3)У
т1,...,ш3 ——го
х!... /(I!ф(х-)е2ттА
0 0 V-1 )
— а(0,..., 0) (Б(0,..., 0))г I [ ф(х)йх
К
1 1
/1(х)йх
00
йх—
I - I (Пф(х*)е2жтХ^
Е' а(ш1,... ,ш3) (Б(ш1,... ,ш3))'‘
йх.
00
Следовательно
го
\к\ а с е' (ш1,...,шз)-а-г \б(ш1,...,шз)\г а
т1,...,Шв ——го
а \detТ\ 1 С ^2' (ш1,...,ш3) 2а\Б(ш1,...,ш.
(56)
Ш1 ,...,Шв = — ГО
так как г = [а] + 1, а а г а а+1 и \Б(ш1,..., ш3)\г-а а \det Т\-1, \det Т\-1 ^ 23.
Утверждение леммы следует теперь из оценки (52) и неравенства (16) (см. стр. 18):
1
\К'\ а С • \det Т \ Ч ^ (ш1,...,ш3) 2\Б (ш1 ,...,ш3)\\ а
Ш1,...,Шв = — ГО
\
а С • ^Т\-1 ((6 + 10С(2)) • Сн(яЛ(Т)\2)Г .
Из функций ф(х), удовлетворяющих условию леммы 23
Ф(и)(0) = ф(и)(1) = 0, (и = 0,1,...,г — 1),
1
! |ф(^(х)| йх а (2п)и, (и = 0,1,...,г),
0
выберем такую функцию ф*(х), интеграл от которой строго больше нуля и за-г
Ф*(х)йх = X = Х(г) > 0
3
а
Например, если положить ф*(х) = фг (х) (см. лемму 4 стр. 16), то
1 1
[ ф*(х)йх = [ фг(х)йх = Х°, X = Х(г) = Х°.
и и ХГ ХГ
00
Теорема 4. Пусть сетка £(к) и веса р(к) те же, что и в теореме 1, а > 2 и г = [а] + 1 . Тогда погрешность квадратурной формулы
1 1
f . . f /(х)йх =
00
[т■■■'0)Г (п ф (ь к)) Е(и&), 1)) X
X .
ко
х £ Р(к1) ...р(К) / (£(к0) + ... + £(кт)) — КМг (/) (57)
к\ ,■■■, кг
на классе функций Еа(С) удовлетворяет оценке
С
\КМг (/^ а
(
Х3(Б(0,..., 0))г (2 (1 + С(а)) +(1 + 2С(а)) 2а)3 • Сн(ял(Т)\а)
det Т \
))3 • (н \det Т \
«N1 = [1 + (г + 1)(д — 1)]3 = О(М).
+ ((6 + 10( (2)У-НдА(Т )\2))а ^ (58)
Доказательство. Если функция /( х) принадлежит классу Еа(С), то и /1 ( х) р = г
лежит классу Еа(С\ det Т\-г).
Следовательно, по теореме 3 (см. стр. 37)
1 1 3 14 (й^^
Ф*(хи) 1 /1( х)йх
\ det Т \
Е ( ПФ («-(кс)} Е («V( ка), 1) ) Ыйк)) — Я'К,(/) к0 ^=1 /
Г+1 Е(й Ф’ («V(Ы) Е («V№>)• 1})
Х £ р(к1) . . . р(кг) / [С(к0) + £( к1) + ... + ^ кг ^ — ЯМ1 (/),
к\ ,■■■, кг
\Я*М1 (/)\ а С • \ det Т - (2 (1 + с (а)) + (1 + 2( (а)) 2а)3 • (н (дЛ(Т)\а),
С другой стороны, из утверждения (55) леммы 23 получим 1 1 /
3
Ф*(xv) ) Л( х)йх
1 1 3
/•••/ (п фх ))
0 0 ^=1 /
1 1
X3
Ф*(х)йх \ J ...у /1(х)йх — Я1 /0 0
/(х)йх | (Б(0,..., 0))г — Я1,
ч0 /00 1 1
00
\Я1\ а С • ^Тг1 ((6 + Щ(2)У • Сн(дЛ(Т)\2)Г .
1 1
Выражая из уравнений (61) и (59) интеграл / ... / /(х)йх1... йх3
00
1 1
/(х)йх = X 3 (Б(0,..., 0))"
00
\ det Т \
-1
N
г+1
X
X
Е Пф* («^(ад) е(^(ко), 1)
1
ко
ЧV=1
х Е П р(^ П / (С(к0) + ... + £( кг ^ +
к1,:;кт '
Я1 — Я%1 (/) Xз (Б (0,..., 0))
и учитывая оценки (62) и (60), получим первое утверждение теоремы:
\Я^ (/)\
(
Я^1 (/) — Я1
Xз (Б(0,..., 0))г
а
С
Xз (Б(0,..., 0))г
(2 (1 + С(а)) + (1 + 2С(а)) 2а) • Сн(дл(Т)\а)
+
\ det Т\г ((6 + 10((2))3 • (н(дЛ(Т)\2)) \det Т \
.
(59)
(60)
(61)
(62)
3
1
Когда компоненты векторов к0,к 1,... ,кг независимо пробегают множество значений
о — 1
\kjv\ а^~, (з = 0,...,г;V =1,...,в)
компоненты вектора
к0 + к1 + ... + кг пробегают лишь множество значений
к \ а (0 — 1), (и =1, 2,...,$).
Таким образом, квадратурная формула (57) построена по N1 узлам
N1 = [1 + (г + 1)(д — 1)]3 = ОN
вида £ ( к) = 1 Т-1 к, ( к \ а г+г (о — 1), и = 1,...,з) и теорема полностью
доказана.
Следствие 1. Если функция /(х) принадлежит классу Еа(С), (а > 2), то существуют такие веса 7а(к), для которых погрешность квадратурной формулы,
1 1
1
.../А(х)йх = £ ... £ ^а(к) П ~Т 1к) — ЯМ1 (/) (63)
0 0 |к1|аТ+Т (9-1) к3аТ+Т(9-1) о
удовлетворяет оценке (58)
(г = [а] + 1, N1 = (1 + (г + 1)(о — 1))3, N = д3). Доказательство. Действительно, если положить
1а( к) = X-3 (Б (0,..., 0))-
\ det Т \
1
N
г+1
X
х Е (П (ад) е(ьк), ш (п рк))
к1,...,кт, \^=1 / 4^=1 /
ко ,к1 ,...,кт ко+к1 + ... + кт =к
то правые части в квадратурных формулах (57) и в (63) будут равны, что и доказывает утверждение следствия.
7.1 Алгебраические сетки
а = (а0, а1, . . . , а3-1)
s1
Pa{x) = avxv + xs
(64)
v=0
неприводим над полем рациональных чисел и все корни ©и (и = 1,..., в) многочлена (64) действительные.
Обозначим через Т( а) матрицу степеней алгебраически сопряженных целых алгебраических чисел ©і,... ,©в — корней многочлена Рз(х):
T{ a)
і 01
0s-1
і
0s
0s-i)
(65)
а через © = (0і,..., ©в) — вектор полного набора алгебраически сопряженных чисел — корней многочлена Ра(х).
Напомним, что
Аі(а) = ЦТ( а)||і = тах |©і|й + ... + \©3\к,
О^к^в-і
А2(а) = ||Т (а)|2 = (1 + © \ + ... + = ЦТТ( а)11ъ
и=і,...,в
где Тт — транспонированная матрица к матрице Т.
Тогда параллелепипед
ns{Ti) = і x задаваемый матрицей
{
Itvixi + ... + tvsxsI в ^ {V =і,...,.в)
Ti = Ti{ a)
і
2\\T {a)!,
T{ a),
(66)
содержит s —мерный К уб Ks = {x IIxv I в і, V = і, . . . , s} = {x I ||x||i в і}, где ||x||i = max IxvI, поскольку \\T{a) ■ x|l в \\T{a)|l ■ ||x|l, то есть
v=l,...,s
max \0kxl + ... + 0sxs\ в |0l|k + ... + |0sIk, {k = 0, і,..., s — і).
Ixv I^l
v = l,...,s
Решётка Л(Т(а)) называется алгебраической. Она имеет вид
Л-{T{a))
ml,... ,ms Є Z
.
Так как координаты любой ненулевой точки х Е Л(Т(а)) — алгебраически со-
х1 . . . х3
целое рациональное число.
Как известно, для любой решетки Л взаимной решёткой называется решётка Л*, заданная равенством
Л* = {х \ У у Е Л: ( х,у) Е Ъ] .
Как видно из определения взаимной решетки, для любой решётки выполняется равенство (Л*)’ = Л.
Непосредственно из определения следует равенство (дЛ)* = 1 Л*.
Кроме этого, если Т — произвольная невырожденная матрица и Т* = (Т-1 )т, то решетки Л(Т) и Л(Т*) — взаимные решетки: Л*(Т) = Л(Т*).
Л
то найдется натуральное д такое, что Л = 1 • Л1 и Л1 — целочисленная ре-о
Т
Л1
detЛ1 • Ъ3, поэтому в любой рациональной решётке найдется ненулевая точка х = (х 1,..., х3) с нулевым произведением х1 ...х3 = 0. Ясно, что для раци-Л Л*
свойством.
Следующая лемма показывает, что для решёток, не являющихся рациональ-
Т Т*
I 0 ,2 ,Г\\ ( -(10^6+8^3) 3/2-1 /6+11/3 \
0 У/2 У/О \ 51 17 51
Т
Т*
3/2-1 5/6+4/3 5-2/2
17 34 17
/6+11/3 5-2/2 5/6+4/3
\ 51 17 51 /
у/2 у/6 у/2 у л/3 у/2 у/6 у
тогда для решетки Л(Т), если ненулевая точка х Е Л(Т) имеет нулевое произведение х1 х2х3 = 0, то она имеет вид х = (0, ку/2, ку/3) или х = (пу/3, 0, п(у/6 — \/3)) (к,п Е Ъ), а во взаимной решётке Л(Т*) ненулевых точек у Е Л(Т*) с нулевым произведением у1у2у3 = 0 не существует.
Л(Т)
х Е Л(Т)
х = (ту/~2 + пу/3, (к + п)у/2 + ту/6, ку/3 + ту/2 + пу/6) к,т,п Е Ъ.
Первая координата ту/2 + пу/3 для целых т и п в силу иррациональности числа У§ обращается в ноль только при т = п = 0, отсюда следует первый вид точек х Е Л(Т), имеющих нулевое произведение х1х2х3 = 0 х = (0, ку/2, ку/3).
Вторая координата (к+п)л/2+тл/6 = л/2((к+п)+тл/3) для целых к, т и п в силу иррациональности числа у/3 обращается в ноль только при т = к + п = 0, отсюда следует второй вид точек х Е Л(Т), имеющих нулевое произведение х1х2х3 = 0 х = (пу/3, 0, п(у/6 — л/3)).
Третья координата ку/3 + тл/2 + пл/6 = л/3 ^к + л/2 ^для целых
к т п у/2 и у/3 обращается в ноль только
при т = к = п = 0 отсюда следует первый и второй в иды точек х Е Л(Т),
х1х2х3 = 0
таких точек.
Для взаимной решетки Л(Т*) произвольная точка у = (у1,у2,у3) Е Л(Т*) имеет вид:
у1
у2
у3
9тл/2 — 3т + (11п — 8к)у/3 + (п — 10к)л/6 51 ,
(10п — 2к) + (6к — 4п)у/2 + 4ту/3 + 5ту/в 34 ,
15т — 6тл/2 + (11к + 4п)л/3 + (к + 5п)л/6)
51 :
к,т,п Е Ъ.
Для равенства нулю первой координаты у1 ^^^^тадимо т = 11п — 8к = п —10к =
0 отсюда следует т = п = к = 0.
Для второй координаты получаем 10п — 2к = 6к — 4п = т = 0, что снова т=п=к=0
Наконец, для третьей координаты имеем необходимое условие равенства её нулю — т = 11к + 4п = к + 5п = 0, что возможно толь ко при т = п = к = 0.
Таким образом, произведение у1у2у3 =0 только для нулевой точки взаимной решетки Л(Т*) и лемма полностью доказана.
Для алгебраических решёток и сама решётка, и её взаимная решётка не имеют ненулевых точек с нулевым произведением координат. Для обоснования этого достаточно показать, что координаты любой ненулевой точки взаимной решётки для алгебраической решетки образуют полный набор алгебраически сопряженных чисел из одного и того же алгебраического чисто вещественного поля степени в над полем рациональных чисел Q.
Обозначим через = Q(Ov) — алгебраическое расширение степени в поля
рациональных чисел Q (и = 1,... ,в). Так как все корни неприводимого многочлена Ра(х) — действительные числа, то мы имеем набор из в изоморфных
в
Т( а)
пряженных чисел, а все элементы ^-ого столбца матрицы принадлежат одному и тому же алгебраическому полю (V = 1,...,в). Так как точки решетки Л(Т( а)) Т( а)
х Е Л(Т( а))
чисел, а ^-ая координата для любой точки этой решетки принадлежат одному и тому же алгебраическому полю ¥<0'^ (и = 1,..., в).
Покажем, что этим свойством обладает и взаимная решётка. Как обычно,8 аі (0) = (— 1)а3-, — элементарные симметрические многочлены степени і от корней многочлена Ра(х) (0 а і а в).
£
Лемма 25. Пусть Б,(0) = ^ 0І, і ^ 0 и симметрическая матрица Q(а)
задана равенством
и=1
Q( а) =
( Бо(0) Бі(0)
Б3-\(0)
Б3(0)
\ Б3-і(0) ... Б2з-2(0) у!
тогда Q(a) — невырожденная, симметрическая, рациональная матрица и справедливо равенство Q(a) = Т( а) ■ Т( а)т.
Доказательство. Действительно, пусть Q(а) = (д„-)зх:г. Тогда по правилу произведения матриц имеем:
IV]
Ее- • 0Г‘ = б»+,-2(0)
к=1
и равенство Q(а) = Т(а) ■ Т(а)т доказано. Из него следует невырожденность и симметричность матрицы Q(а). Так как степенные сумм корней многочлена, как симметрические функции, рационально выражаются через элементарные симметрические функции, то матрица Q(a) — рациональная, и лемма полностью доказана.
Обозначим через (О) элементы матрицы Q(а)-1. Ясно, что из симметричности функций Б-(О) вытекает симметричность функций (О).
Лемма 26. Справедливо равенство
( Ек=1 и к (0)01
Т*(а) =
1
Ек=1 и к(0)01
1
{Ек=1 ик(0)0к
-1
-1
Ек=1 и к(0)0 Ек=і и к(0)0к-1)
Ек=1 иак (0)0к-1
8 здесь пользуемся естественным соглашение, что а3 = 1.
Доказательство. Действительно, из равенства Q(а) = Т( а) ■ Т( а)т вытекает Т-1(а) = Т(а)т ■ Q(а)-1. Так как Т*(а) = (Т-1(а))т и ^т( а) = Q(а), то из предыдущего следует
Т*(а) = (Т(а)т • а)-1)Т = Я(а)-1 • Т( а)
{ ии(0) ... и!8(ё) -и2 1 (в) ... и2 8(в)
\иаг(в) ... иаа(в) / \01
< 1 . . . 1
01 . . 08
^0?-1 . . 08-1
/
(Ек=і иік(0)0\-1 . Ек=1 и2 к (0)0— .
\к-1
. Ек=1 иік(0)0к-1 ^ . Ек=і и2к(0)0к-1) . Ек =1 иак (0)0к-1
/
V Ек=1 Usк(0)0\
п лемма доказана.
Лемма 27. Произвольная точка х решетки Л(Т*( а)) имеет вид:
х
(Ё (Ё и„к(0)т») еЧ-1,..., ^ (Ё и»к(ё)тЛ 0к'-1 )
\к=1 \и=1 / к=1 \^=1 / /
где т1,... ,т8
произвольные целые числа.
Доказательство. Утверждение леммы вытекает из вида матрицы Т*(а), так как произвольная точка решётки Л(Т*( а)) является линейной целочисленной комбинацией строк матрицы Т*( а).
Лемма 28. Пусть 1(0) — наименьший общий знаменатель для рациональных чисел, Б0(О),... (0), тогда, точка, х решетки Л(Т*( а)) будет це-
лочисленной, тогда и только тогда, когда, х имеет вид: х = 1(0) ■ (т,... ,т) и т — целое число.
Других точек х решётки Л(Т*( а)), у которых хотя бы одна координата, рациональная, не существует.
Доказательство. Из леммы 27 вытекает, что координаты каждой точки х Е Л(Т *( а)) — полный набор алгебраически сопряжен пых чисел, а ^-ая координата для любой точки этой решетки принадлежат одному и тому же алгебраическому полю (и = 1,..., в). Поэтому, если х Е Л(Т*( а)) — рациональная точка, то х1 = ... = xs — рациональное число. Отсюда следует, что целые т1}..., ms являются решением системы
5Х=1 и г(ё)ши = XI
Е^=1 и 2(®)ти =0
(67)
ЕЛ и^з (@)ш„ = о.
Так как из определения обратной матрицы имеем:
£ и, =л, .
v=1 *■
где 8„] — дельта Кронекера, то ши = х18и—1(0) (V = 1,...,з). Из целочис-ленности ш1,... ,шя следует, что х1 = 1(0)ш для некоторого целого ш, что и доказывает утверждение леммы.
Определение 3. Алгебраической сеткой Фролова типа, г ^ 0 с матрицей Т( а) и параметром д называется сетка Мг(Т1(а),д).
Теорема 5. Пусть , (и = 1,... ,в), действительные корни неприводи-
мого многочлена
в—1
„V |
Ра(х) = ^2 аиXй + Xя
v=0
с целыми коэффициентам,и.
Пусть, матрица Т( а) задана, соотношением (65), матрица Т1 — равен-
/йй) ( \ 1 при1 <а а 2 ством (66), г(а) = < а сетка,
У [а], при а > 2,
Й к), \ а , V = 1,...,^, (68)
равенствам,и
£( к) = - Т—1 к, (д — целое, нечетное).
д
Тогда существуют такие веса, ра(к), что погрешность квадратурной формулы
1 1
[... Iи(ху/х = £ Ра(к)Я-Т—1 к) -п.„а(и)
0 0 IК |а(г(а)+1) — д
на, классе функций ЕЯа(С) удовлетворяет оценке
Яма = О (д—ая 1пя—1 д) , (69)
На = (1 + (г(а) + ^ ) •
Доказательство. Рассмотрим сначала случай 1 < а а 2, тогда Ма = N = дя. Положим ра(к) = р(к) (см. стр. 35). Как было показано в теореме 2 (1 < а а 2) (см. стр. 35), погрешность квадратурной формулы будет удовлетворять оценке
\КМ \ а С ■ (2(1 + С (а)) + (1 + 2( (а)) 2а )* (н (дЛ(Ті)\а).
Так как дЛ(Т1) = д1Л(Т(а)) с д1 = 2\\т{а)^1 > то пРименима теорема 1 (см. стр. 29),
(н (діл(Т(а))|а) а
(6,{3 + 1^- 1—^ ді + з ^(Тт + 2)
Л-+^ Г)
(\^д )
\ дая )
8а2*+а-1 (х + 1 V/1 + С (а)\а-1\ 1
(а — 1)А(Т( а))а 1 \ \(Т(а))) \ д\ ) ) д'1а
(1п— д"
а
46):
(
А*(Б(0,..., 0))г (2 (1 + С(а)) +(1 + 2С(а)) 2аУ ■ (н(діл(Т)|а) +
к
ёе1 Т \
^ = о( ^ 1
\ёе1Т\ ) \ дая )
что совпадает с утверждением теоремы 5.
+ ((6 + Щ(2))в ■ Сн(діЛ(Т)\2)П = 0( 1п— д
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 3-18.
[2] Гельфанд И. М., Фейнберг С. М.,Фролов А. С., Ченцов Н. Н. Применение метода случайных испытаний (метода Монте-Карло) для решения кинетического уравнения, Тр. II Международной конференции по мирному использованию атомной энергии (Женева, 1958, Доклад 2141), Атомиз-дат, 1959, Т. 2, С. 628-633
[3] Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957. №6. С. 1062-1065.
[4] Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124, №6. С. 1207-1210.
[5] Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. №4. С. 19-25.
[6] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.
[7] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.
[8] Никольский С. М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1979.
[9] Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 231. 1976. №4. С. 818-821.
[10] Шарыгин И. Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций// Ж. вычисл. матем. и матем. физики №2, №3 1963 С. 370-376.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого Московский педагогический государственный университет Поступило 25.11.09
