CC BY
28
Вычислительные технологии
Том 11, Специальный выпуск, 2006
ДОСТИЖЕНИЕ НАИЛУЧШЕГО ПОРЯДКА ПРИБЛИЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ФУНКЦИЙ ИЗ Wf(R2) НА РЕШЕТЧАТЫХ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ ЗА СЧЕТ ПОВОРОТА РЕШЕТКИ УЗЛОВ*
Д.Я. Рахматуллин Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН,
Уфа, Россия e-mail: [email protected]
The article is devoted to proof of achievement of best degree approximation on lattice cubature formulas, given in W^iM?). The best degree is achieved by means of the special turn of the lattice.
Введение
Известен наилучший возможный порядок приближения в пространстве \¥™(Шп), т = (mi,..., тп), интегралов по ограниченной области с помощью кубатурных формул вида
N
KN f = J] Ck,N f (X(k)). k=l
Норма функционала погрешности = f f(x) dx — K^f, О <<= К™, минимизированная
n
по расположению узлов {x(k)} и коэффициентам {ck,N}, имеет оценку
n
/fill ^v Д rn
Этот наилучший порядок может достигаться на решетчатых формулах, если взять векторный шаг решетки, подчиненный заданной гладкости подынтегральной функции [1, с, 239], В направлениях большей гладкости следует брать большие шаги решетки:
hdef(hi,...,h„), = ... = hm
n
n .
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 06-01-00597-а) и Программы № 14 Президиума РАН.
© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2006.
1
Оказывается, в двумерном случае наилучший порядок аппроксимации достигается и на кубических решетках за счет поворота на угол в, тангенс которого есть "золотое сечение",
tg9 = —т.е. следует взять последовательность решеток узлов (при К —> 0)
{hHk}, k е Z2, с матрицей H
def / cos в sin в — sin в cos в
Отметим, что эта решетка узлов не зависит от гладкостей mi и m2, При вычислениях, однако, мы накладываем техническое условие min {mi5m2} ^ 3/2 вместо естественного min {mi, m2} > 1,
Доказательству существования класса функционалов погрешности с наилучшим порядком приближения интегралов функций из в этом частном случае и посвящена настоящая работа,
1. Преобразование постановки задачи
Введем в рассмотрение пространства (К2) и W^(Q) с
М£) = V (Я£),
где
и нормами
кп) = \Л+ы2т1 + ы2т2,
dC
/(С) MC)
W(Q)
dC
/к ^(k) e
kez2
2ni(£,k)
1
2\ 2
где
Q = { x = (xi, X2) : Xi е
1 1 2' 2
i = 1 2 , / (C) = dxf (x) e-2ni<^
— преобразование Фурье функции f(x), а Д — ее коэффициенты Фурье, За И^^К2) принимаем WV (R2). Далее удобно считать m2 ^ mi > 1,
Пусть О обладает кусочно-гладкой границей и лежит в круге {./:./• ст I j. Функционал погрешности кубатурной формулы с решеткой узлов {hHk}, k Е Z2, имеет вид
ft* (f) = dxf (x) - h2 £ ck,h f (hHk).
(2)
kez2, hHken
Заметим, что
drj
fП,Я/ \
v2 (n)
In = Hi |
2
2) -
2
h
*
h
(С )
H-1n,I h
/
На функциях из C0m2(|x| ^ a < 1) нормы пространств (R2) и WT(Q) эквивалентны равномерно по всевозможным матрицам поворотов HHT = I, т. е.
W2"(K2) < CII/IIw2'(q)-
Тогда
C IIlII
W%(Q)
1
> —
C Nb Nw"2i(Q)'
а для любых коэффициентов {ck} и любой матрицы по ворота H норма
,н-1n,i
■H-1Ü,I h
(W»(R2)y
имеет двусторонюю оценку через
(W4Q))«
Для оптимального по порядку функционала l^'na пространстве W^(Q) выполняется оценка [1]
3C :
Г
1h — <
С
(W (Q))*
^ C.
(3)
Здесь
" h II(\W^(Q))*
lh(x) = Xq (x) - h x] - hh)
kez2, hkeQ
Поэтому вычисление порядка достаточно провести для однородного функционала погреш-
def , Л 1+ л/5
ностп lhh(x). Мы покажем, что при a = tg 9
3 С : IIlh II(w>(Q))h
2
2
1 j- 1
< с hmí m2 .
(4)
Вместе с оценкой (1) это означает, что оптимальный порядок кубатурной формулы с функционалом погрешности (2) при H = cos в ( 1 а ) является наилучшим,
V -а 1 J
2. Оценка нормы однородного функционала
Рассмотрим
Е
1
Е
1
fcez2\{o} / j fc6Z2\{o} г/2 í Н-
где
v(r¡) = \J 1 + \r¡i\2mi + \r]2\2m2, 1 < mi < m2.
Взяв за новое h прежнее, поделеннoe на cos 9, будем оценивать порядок
v(h) = Е
fcez2\{0} i +
hi + ah2 2mi —ahi + k2
+
h h
2m2
при h ^ 0.
(Wr (R2 ))*
)
2
2
h
2
оо
1
Вначале "отрежем" окрестность бесконечности плоскости (к15 к2), Подберем такое К (Л,), чтобы выполнялось условие
Е
1
кеж2\{0}, //2 |к| >К(Н) \ Л
Для этого достаточно, чтобы
j ак
\k\~ZK (Ь)
Заметим, что
4т -| гп2 \ / .¿т-| т2
= О (/гт1+т2 ) = О ( N т1+т2
V2 Н-
4т^ т2
О (/гт1+т2
Л
с
1 +
2т1
Используя это неравенство и переходя в полярные координаты, получаем
1 Г . р
Е
к
ар
кб22\{0}, //2 ( ) ы^м 1 + ( - )
Л2т1 / ар р-(2т1 -1) = Л2т1 (к(л))-2т1+2.
2т1
\"\>ЩН) \ }1) \р\Ж(Н) - 1 у^) \р\>К{Н)
Здесь и далее символ х означает существование двусторонней оценки,
4т^т2 7 т-^ \ / х V
Последнее выражение оценивается сверху через /г.т1+т2 при К{К) ^ С К ,
Отбросив для удобства константу, положим
т2
Далее будем рассматривать только те точки плоскости, для которых
к е К = {к е Z2 : 1 ^ |к| ^ К (Л)}.
Выделим из суммы
1
к + а к ^ 2т
к1 + ак2 2т1 —ак1 + к2
+
К К
2т2
группу слагаемых, для которой требуемая оценка получается сравнительно просто.
Мы имеем в виду часть суммы, индексы слагаемых которых попадают в обозначенные на рисунке большие области А1, А2, А3, А4, ограниченные штриховыми линиями. Запишем уравнения прямых, обозначенных на рисунке цифрами:
1 — к2 = (а + £)к1; 6 — к1 = -(а + £)к2,
2 — к2 = ак\ + -, 7 — к\ = — ак2 + -,
4
к2 к2
ак1 ак1 -
2'
1 2'
к1 = - ак2 к1 = - ак2 -
5 — к2 = (а — £)к1;
2
1 2'
10 к1 = —(а — 5)к2.
1
1
гп
1
1-
гп
к2 1 2 3 4 5
6
7
8 9
"10
Разбиение плоскости
Все четыре области А1; А2, А3, А4 оцениваются одинаково. Для примера займемся оценкой суммы со множеством индексов:
А1 = I к : к е К = {к1 : 1 < к1 < К (Л)} П Z, к2 е
где 6 — достаточно маленькое положительное число.
1
а+6
к15 (а — 6)к1
Е
1
к1 + ак2
т
к 6А1 ^ 1 ' ^
2т1
—ак1 + к2
Л
2т2
1
(а—5)к1
1 \ К ) к
= |—т = к2
и1| =7 I (т
к1£К1 5к1 1 +
к2 — ак11 = ^ j
1
(1 + а:2)^ — ат\2т1 + 2тз
ат ^ (а2 + 1 — а6)к15 ат — (1 + а2)к1 ^ —а6к15 |(1 + а2)к1 — ат| ^ 6ак1
г2ш2 ^ Х +
Л т =
< Е —
к16К1 ¿к, 1 +
1
а6к1 2т1 т 2т2 —) + и
Е
(И
На
Ла
а2"12 (1 + £2т2)
Л
Пусть !- > 1 ка
£ На1-2™» (-^
&1бК1
-2^2+1
^ к2т2 №) Й1бК1
-2^2+1
А = ^ №)
-2т2+1 о ^ 4Ш1 т2
1; , 2ш2 ^
т1 + т2
4т 1 т2
^ А ¡1 т1+т2 .
6Ж1
Остается оценить сумму по слагаемым с индексами в узких областях-углах. Рассмотрим множество индексов
®1 =4 к : € К1, к2 €
1
(а — 6)к\, ак\ — -
1
nz
При этом кх ^ —, Пусть К4 = К4 П{А;1 : ^ —}. Произведя замены и преобразования
25
аналогичные проделанным выше, получим
25-
Е
к€В1 1 +
к1 + ак2 к
2т 1
+
—ак1 + к2 к
2т2
к а
к1бЖ4
1-2т2
2ка
-2т2+1
к2т2 ^ 1 = с к2т2 (к (к) —
к1€Ж4 ^
1
25
2ш-2~ / т1 \ / 2 1 ч
4т1 т2
1"
Достаточным условием выполнения оценки Ь(Н) = 0(/г,т1+т2) является, например,
. 3 Ш1 2'
Остается полоска области индексов около прямых к2 = а^ и к1 = —ак2, Рассмотрим
ае£ 1
первую из них: С\ = {к : к\ Е к2 Е [ак\ — -, ак\] П Z}, Сразу заметим, что двойная
к1
более одного значения к2. А именно, это такое к2, для которого 0 ^ ак\ — к2 ^ — или
а1к1 — к2 = (ак^, где ( ■ ) — расстояние до ближайшей целой точки.
Величины к1 + ак2 при к1 € [1, К (к)] не стремятся к нулю при уменьшении к. При этом (а + 1)к1 ^ к1 + ак2 ^ (а + 2)к1 ^ к1 + ак2 х к1. Поэтому достаточно оценить сверху
сумму
5 (к) = £
1
к1бЖ1 1 +
к1
2т 1
+
(ак1)
2т2
кк
С другой стороны, величина ак1 с изменением к1 может сколь угодно близко подходить к пулю, поэтому оценку 5(к) придется провести максимально точно.
Нам понадобятся некоторые формулы для последовательностей чисел Фибоначчи
(и}?=1, и = и = 1, Uj+l = щ + 3 ^ 2.
Рассмотрим квадратное уравнение х2 — х — 1
а=
1 +
= 0, Любое число Фибоначчи можно
Й 1-л/5
и р =
2
и
а' - рз л/5
3 > 1.
1
1
1
с
2
Вторым важным свойством последовательности {uj}°=1 является то, что ее можно использовать для взаимно-однозначной записи натуральных чисел по следующему правилу:
3 (п)
п = идп) е ; £дп) = 1; е5 е {0,1} V; ^ 2; е5 =0 V; ^ 2.
,7=2
Оцепим (ак^, к е С1, Имеем
(ак\) = ак\ — к2 = а ^^ е^щ — к2 = ^^ е^ auj — к2 = ^^ е^-^ ^--к2 =
Е'
= > £
,=,1
>/5
,=2
,=,1
]>> е-
,=,1
1.7 — 1 (Р + 2)
1 - 2 ¡3
■х/5
+* = (£■
,=,1
Ее, в) = (£ в^ ,
\/5
,=,1
,=,1
где ^ — наименьший индекс, такой что = 1, Порядок последнего выражения цепочки равенств при к1 — го равен порядку выражения внутри скобок ( ■ ), которое, в свою очередь, имеет порядок |вР1 — наибольшего слагаемого. Следовательно, (ак^ х |вР1. Получим
3 (к1)
ЗД х ^
1
к1бЖ1 1 +
2т1
+
1в |
,1
Л
3(К(Л)) 3
Е Е Е
3=2 ,1=2 {^}
3'6[31 ,J ]
2т2
1
к. = Е
,=,1(к1)
1+
/3 \ 2т1
Е и
,=,1
+
1в I
,1 2т2
Л
Е Е
а
3—,1
I +
л 7
|в I
,1
Л
2т2
л2т2 Е Е
а
3+,1(2т2 — 1)
3^2 ,1612,3]
а2(3т1+,1т2) Л,2(т2 — т:) + 1
С ' Л т2 4 т^ т2+т1
4т1 т2
Несложно проверить, что последнее выражение оценивается сверху через С7г.т 1+т2,
3
Таким образом, при т2 ^ т\ ^ - для решетки узлов {И>Нк}, к € й2, кНк € О,
2
^(Л) = Е
1
кб22\{0} 1 +
к1 + ак2 2т1 —ак1 + к2
+
К К
2т2
4т1 т2 < С К т1+т2
2т1 т2 С N т1+т2
Список литературы
[1] Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. 484 с.
Поступила в редакцию 15 сентября 2006 г.
