CC BY
24
Министерство образования и науки Российской Федерации Российская академия наук Московский государственный университет им, М. В, Ломоносова Математический институт им. В, А, Стеклова РАН Московский педагогический государственный университет Тульский государственный педагогический университет им. Л, Н, Толстого Тульский государственный университет Чебышевекий фонд
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Научно-теоретический журнал
ТОМ X
ВЫПУСК 1 (29)
Тула 2009
ББК 22.13 УДК 511 434
Главный редактор В, Н, Чубариков
Ответственный секретарь С, А, Пихтильков
Редакционная коллегия:
В, А, Артамонов, Г, И, Архипов, В, Н, Безверхний, М. М. Глухов,
Е, С, Голод, Н, М. Добровольский (зам, гл. редактора),
А, Р, Есаян, А, М. Зубков, В, И, Иванов, В, Н, Латышев,
А, В, Михалев (зам, гл. редактора), Ю, В, Нестеренко, А, А, Русаков,
А, Л, Шмелькин
Чебышевекий сборник. Т. X, Вып. 1(29), — Тула: Изд-во Туп, гос. 434 пед, ун-та им. Л, Н, Толстого, 2009, - 119 с,
18ВХ 5-87954-388-9
Журнал “Чебышевекий сборник” выходит один раз в год в одном томе из четырех выпусков,
В журнале публикуются оригинальные и обзорные работы по всем разделам современной математики, а также информационные материалы,
ББК 22.13 УДК 511
Выпуск осуществлен при финансовой поддержке РФФИ, грант
№08-01-00790 а.
ISBN 5-87954-388-9
@ Тульский государственный педагогичекий университет им. Л. Н. Толстого, 2009
СОДЕРЖАНИЕ
Том 10 Выпуск 1
Е, П, Давлетярова, А, А, Жукова Асимптотическая формула для мощности разностного подмножества многомерного дискретного тора ...........4
М. Н, Добровольский Квазиполные короткие кубические тригонометрические суммы ............................................................9
А, Р, Есаян Электронные книги в Mathcad............................31
A, Laurincikas The joint distribution of multiplicative functions .41
Ф, M, Малышев, В, Л, Мигунов О предельном поведении распределения вероятностей на окружности ..........................................59
Е, Д, Ребров Алгоритм Добровольской и численное интегрирование с правилом остановки ...................................................... 65
Е, В, Триколич, Е, И, Юшина Цепные дроби для квадратических иррациональностей из поля Q(V5) ........................................77
А, Р, Ярмухаметов О связности случайных дистанционных графов специального вида,.......................................................95
М, Б, Хрипунова, В, Г, Журавлев, А, А, Жукова, Е, П, Давлетярова ЮДИН АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ (некролог) .............................109
ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ РУКОПИСЕЙ ......................................114
АДРЕС РЕДАКЦИИ ....................................................119
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 10 Выпуск 1 (2009)
УДК 511.29
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ МОЩНОСТИ РАЗНОСТНОГО ПОДМНОЖЕСТВА МНОГОМЕРНОГО ДИСКРЕТНОГО ТОРА
Е. П. Давлетярова,1 А. А. Жукова (г. Владимир)
Аннотация
Найдена асимпотическая формула для мощности подмножества дискретного тора над полем из трех элементов, никакие четыре различные точки которого не образуют невырожденного параллелограмма.
Посвящается Александру Александровичу Юдину
§1. Предварительные сведения
Пусть С — группа, операцию которой будем описывать аддитивно. Подмножество А С С назовем разностным, если для любых х,у,п,у Е А равенство х — у = п — V выполняется тогда и только тогда, когда х = п, у = V либо у = п.
Пусть Z3 — поле Z/3Z и Zn = Zn-1 Ф Zз, А - разностное подмножество Zn. Число элементов множества А будем обозначать сатй(А), А(п) = тах сатй(А),
где максимум берется по всем разностным множествам А пространства 'Щ.
Изучение разностных множеств имеет долгую историю (см. [1] - [4]). Настоящая работа посвящена исследованию мощности и структуры разностного А
ностного множества
у/2 • Зга/3 < А(п) < у/2 + е • Зга/3,
где £ - любое положительное число. Целью настоящей работы является получение асимптотической формулы
А{п) = \/2 ■ З™/3 + 0(1)
для мощности разностного множества.
Пусть а1, а2, а3, а4 - произвольные элементы пространства Zn. Будем говорить, что {а1, а2, а3, а4} образуют параллелограмм, если при подходящей перестановке ст на множестве из четырех элементов {1, 2, 3, 4} выполнено равенство
аа1 аа2 аа3 аа4-
1Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ №07-01-00118-а
Параллелограмм будем называть невырожденным, если а1,а2,а3, а4 различны.
Пусть а1, а2 - произвольные элементы пространства Zn. Разность а1 — а2 будем называть направлением. Заметим, что две разности а1—а2 и а3—а4 задают одно и то же направление, если а1 — а2 = а3 — a4(mod3), где а1, а2, а3, а4 е Щ.
а2 — а1 а1 — а2
Теорема 1. Пусть Ь1(п), Ь2(п) - единственные вещественные корни, мно-
А(п) выполняется неравенство ^(п) < А(п) < Ь2(п).
Доказательство. Пусть А(п) = к, а^ = (aj1; а^2;...; а^), аj• е ЩП, и
(а^, ат) = aj1am1 + ... + ajnamn. Определим комплекснозначную функцию
где х = (х1; х2;...; хп), х е ^П, aj е А.
Используя схему доказательства, приведенного в работе [5], вычислим
1
кам пространства образующим вырожденные параллелограммы. Поэтому для нее верно неравенство
2. Основные результаты
гочленов Ь3 — Ь2 — 2 ■ 3п и Ь3 — 2 ■ Ь2 + Ь — 2 ■ 3п + 2 соответственно. Тогда для
к
3 = 1
Представим ^2 |5а(ж)|4 в виде суммы
х&Щ
Е |^а(х)|4.
к
у,1,т,р=1, aj + — ат — ар = 0(mod3)
к
хЄ2д j,l,m,p=1,
aj +аі —ат — ар ^0(mod3)
хЄЩ
Изменяя порядок суммирования в ^2, будем иметь
^ < 3п ■ к + 3п ■ к ■ (к - 1) + 2 ■ к ■ 3п
Таким образом,
^ |5А(х)|4 < 3п(к2 + 2к). (1)
С другой строны,
£ |5д(х)|4 = |5а(0)|4 + £ |Ял(х)|4 = к4 + £ |^А(х)|4. (2)
х£ zn х=0, х=0,
3 хе%п хеЦ
Подставляя (2) в (1), будем иметь
^ |£а(х)|4 ^ 3п(к2 + 2к) — к4. (3)
х=0,
хЕЖ^1
В работе [5] была найдена следующая оценка снизу для ^ |5А(х)|4
х = 0, х^Щ
„_, 32пк.2 _ 2 . 3пк'3 + к4
£ 1^М14 > 3 ' * ■ М
х = 0, х^Щ
Объединяя неравенства (4), (3), будем иметь
< 3п(к2 + 2к) — к4.
32пк2 — 2 ■ 3пк3 + к4 ^ опп 2
3п — 1 А(п) = к
к3 — 2к2 + к — 2 ■ 3п + 2 < 0. (5)
А(п)
Ак
тивоположных) направлений в множестве А равно а значит, число точек,
которыми нельзя пополнить множество А равно Поэтому справедливо
неравенство fc > 3™,
А(п) = к
к3 — к2 — 2 ■ 3п > 0. (6)
Рассмотрим функцию f (Ь) = Ь3 — Ь2 — 2 ■ 3п, Легко проверить, что уравнение f (Ь) = 0 имеет единственный вещественный корень. Обозначим его через Ь1(п), Тогда, по методу интервалов, f (Ь) < 0 при Ь < Ь1(п) и f (Ь) > 0 при Ь > Ь1(п). Следовательно, неравенство (6) выполняется при
Ь(п) < А(п). (7)
Аналогично, рассмотрим функцию д(Ь) = Ь3 — 2Ь2 + Ь — 2 ■ 3п + 2, Уравнение д(Ь) = 0 также имеет единственный вещественный корень Ь2(п), причем д(Ь) < О для Ь < Ь2(п), д(Ь) > О для Ь > Ь2(п). Отсюда следует, что неравенство (5) выполняется при
А(п) < ^(п). (8)
Объединяя неравенства (7) и (8), получим утверждение теоремы.
Теорема доказана,
А(п) А п >
п0(е) справедливо неравенство
\/2 • 3^ + - — е < А(п) < ^2-3^ + -+£, 33
где е - некоторая положительная величина, меньшая
Доказательство. Пусть /(Ь) = Ь3 — Ь2 — 2 ■ 3п и к1(п) - корень уравнения / (Ь) = О, Покажем, что
\[2 ■ 3^ + — £ < к\(п) < \[2 • 3^ + -^ + е
33
при п > п0(е).
Непосредственным вычислением получим, что
• з¥ -1'1£ + з^2.з*£2_1^2.3?_гз_1 <0
з) 3 27
при п > п0(е).
Аналогично находим
/ (&2 ' 3§ + ^ + ' 3^ - 0 е + 3^2 • 3^£2 - ^ • 3§ + е3 - А
Легко видеть, что / (\/2 • 3^ + | + е) >0 при п > щ{ё), следовательно, к\(п) Е (^2 • 3£ + | - е; Фг • 3* + | + е).
Положим д(Ь) = Ь3 — 2Ь2 + Ь — 2 ■ 3п + 2. Пусть д (к2(п)) = О, тогда при всех п > щ(е)
^2 • 3* + \ < к2{п) < ^2-3% + 1 + £. 33
Вычислим значения функции д(Ь) в указанных точках
{ЗГ п 2\ 1 зг п 56
»('/2-3’ + з)--з'/5-3з + 27-
Очевидно, что начиная с некоторого п > по(е), (^/2 • 3§ + |) <0,
В свою очередь,
д(У2-3% + | + е
(
Можно проверить, что д (-\/2 • Зз + | + е) > 0 при п > По(е). Итак, к2(п) G
Применив теорему 1, оценки для к^п) и к2(п), получим утверждение теоремы.
Теорема доказана.
Из теоремы 2 вытекает следующая теорема.
Теорема 3. При всех п > п0(е) справедлива асимптотическая формула
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Chaimovieh М., Subset sum problem with different summands: Computations, Discrete Applied Mathematics 27 (1990), 277-282,
[2] Folkman J,, On the representation of integers as sums of distinct terms from a fixed sequence, Canad, J, Math, 18 (1966), 643-655,
[3] Freiman G.A., Subset-sum problem with different summands, Congressus Numerantium 70 (1990), 207-215.
[4] Hamidoune Y.O., Subsets with small sums in abelian groups, I,, European J, Combin,, 18 (1997), no, 5, 541-556,
[5] Давлетярова Е.П., Жукова А.А., Юдин А.А. О максимальном множестве без параллелограммов.
Владимирский государственный гуманитарный университет Получено 5.03.2009
А(п) = \[2 • 3§ + 0(1).
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 10 Выпуск 1 (2009)
УДК 511.9
КВАЗИПОЛНЫЕ КОРОТКИЕ КУБИЧЕСКИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ1
М. Н. Добровольский (г. Москва)
Аннотация
В работе выделен новый класс коротких рациональных тригонометрических сумм — квазиполные короткие рациональные тригонометрические суммы. Получены асимптотические формулы для квазиполных кубических коротких рациональных тригонометрических сумм.
1 Введение
Возникновение метода тригонометрических сумм как универсального инструмента для решения многих задач аналитической теории чисел обычно связывают с работой Г. Вейля [10], хотя впервые частный случай полных рациональных тригонометрических сумм второй степени, суммы Гаусса, встречается уже в первой половине XIX века в работах К. Гаусса по квадратичным вычетам [1]. Отметим, что указанная работа Г. Вейля явилась и основой теоретикочислового метода в приближенном анализе, созданного Н. М. Коробовым в 1957 году [4].
Первые работы Н. М. Коробова по применению методов теории чисел к построению многомерных квадратурных формул были основаны на оценках
А. Вейля полных рациональных сумм по простому модулю и аналогичных оценках по квадрату простого модуля (см. [6], [7]).
В данной главе мы применим оценки погрешности приближенного интегрирования периодических функций одной переменной для получения асимптотических формул для величины квазиполных рацинальных тригонометрических сумм, определенных ниже. Суть этого подхода состоит в следующем. Пусть д(х) = в2жг?(х\ где f (х) — дважды непрерывно дифференцируемая вещественнозначная функция такая, что
/ (1) - / (0) е 2. (1)
В силу этого условия д(0) = д(1) и функцию д(х) можно разложить в абсолютно сходящийся ряд Фурье на отрезке [0; 1]:
ГО
д(х)= £ С(т)е2п""х, (2)
ш=—ж
1Работа выполнена по гранту РФФИ 08-01-00790
где коэффициенты Фурье вычисляются по формуле:
1 1 C(m) = J g(x)e-2nimxdx = j e2m(f(x)-mx)dx. (3)
0 0
Лемма 1. Если функция f (x) дважды, непрерывно дифференцируема, на, отрезке [0,1] u Fv = max |f(x)| (v = 1, 2), то для коэффициентов Фурье два-
0^-x^-l
жды непрерывно дифференцируемой функции g(x) = e2nifпри m = 0 справедлива, оценка:
I гч ,^2F1 + 2nF2 + F2
№)1 «—^—■ м
Доказательство. Действительно, из дважды непрерывной дифференцируемости функции f (x) следует дважды непрерывная дифференцируемость функции g(x):
g/(x) = g(x)2nif/(x), g''(x) = g(x) (i2nif,(x)) + 2nif"(x)^
|g'(x)| ^ 2nFl, |g,,(x)| ^ 4n2^2 + 2nF2. (5)
Поэтому, дважды интегрируя по частям, при m = О получим:
1 1
C (m) = g(x)e- mxdx =
g(x)e
— 2nimx
— 2nim
g'(x)e"
o J -2nim
oo
-dx
l l
g' (x)e-2nimx g' (x)e-2nimx
J -2nim (-2nim)2
oo
1 Г n''(x)e-2nimx
Отсюда, переходя к модулям, получим
2 max g (x) max g (x) 2 2
o^x^l^ л o^x^l^ v л 4nFl + 4n2Fl2 + 2nF:
I ( ^ An2m2 ' 47т2т2 An2m2
2 Fi + 2ttF2 + F2 ^
2пт2 и лемма доказана.
Из доказанной леммы следует, что в обозначениях Н, М. Коробова д(х) Є Е‘2 (см. [6]).
Рассмотрим квадратурную формулу правых прямоугольников для функции
д(х):
J е2тї{хЧх = - Др[/]. (8)
0 Х=1
ство
Для погрешности приближенного интегрирования Яр[/] справедливо равен-
2
ГО , О \
ЯМ = £' С(тр), |ВД]| < (9)
6р2
т— — иго
Тригонометрическую сумму вида,
р
^Ге^Чї) (10)
Х—1
будем называть квазиполной, если для дифференцируемой функции f (ж) выполнено условие (1), которое будем называть условием квазиполноты. Очевидно, что для любой квазиполной тригонометрической суммы выполняется тривиальная оценка
р
’ " «р- (п)
Х—1
Если выполнены условия леммы 1, то из оценки для погрешности приближенного интегрирования и квадратурной формулы правых прямоугольников для функции д(х) следует асимптотическое равенство для квазиполной тригонометрической суммы:
р 1
= р I е™'Ю<1х + 'г№ + 2,г1+^ж/,р). (12)
Х—1 І
6р
где |0(/,р)| ^ 1.
В случае, когда f (х) = апхп + ... + а\х + а0 — многочлен с целыми коэффициентами, мы получаем квазиполную короткую рациональную тригонометрическую сумму вида,:
Л. 2жг(^+^Л^+...+^+ао) 2^пХп+рап-1Хп-1+-+Рп-1а1Х+рпа0
А рп р^1 р ) =^е -------------^-------------. (13)
Х=1 Х=1
Как известно (см. [7], с. 96), для такого класса сумм нельзя получить общей нетривиальной оценки методом Вейля, так как этот класс содержит суммы, модуль которых по порядку равен длине суммы.
Заметим, что любая полная рациональная тригонометрическая сумма по модулю р является квазиполной короткой рациональной тригонометрической суммой. Действительно, если f (х) = апхп + ... + а\х + а0 — многочлен с целыми
2Здесь и далее ^ означает суммирование по т = 0.
коэффициентами и /„(ж) = апрп 1хп + ... + а2рх + а\Х Н----, то справедливо
Р
равенство
Очевидно, что в этом случае применить формулу (12) невозможно, так как Р1 ^ ирп-11ап1 и Р2 ^ п(п — 1)рп-1|ап|,
Для рациональных тригонометрических сумм первой степени верно и обратное: любая квазиполная рациональная тригонометрическая сумма первой степени является полной тригонометрической суммой.
Для дальнейшего потребуется символ Коробова 6N (т), заданный равенствами
выражающийся через полную тригонометрическую сумму первой степени.
Для достаточно широкого класса квазиполных коротких рациональных тригонометрических сумм можно получить асимптотическую формулу вида,:
Для простоты изложения мы рассмотрим только случай квазиполных коротких кубических рациональных сумм с f (х) = ах3, где а — целое число. Хотя аналоги многих из доказанных ниже утверждений будут справедливы и для f (х) = ахп при любом и ^ 2,
Отметим, что тригонометрические суммы более общего вида,
рассматривались в работе А, А, Карацубы [3], Используя свои результаты из работы [2], он доказал теорему, в которой предполагались следующие соглашения: п,Ь, Р, а — целые числа, п ^ 20, г — вещественное число, 1 ^ г ^ 0.1п, і ^ п, р — простое чи ело, (а,р) = 1, Р ^ 1 ,
Теорема 1. Пусть д = р1, Р = дг. Если Р = аор^ + аїр5 1 +.. . + а3_їр+а3,
1 ^ а0 ^ р — 10 ^ а„ ^ р — 1, V ^ 1, — р-ичное разложение числа Р, то имеет
x=1
x=1
если m ф О (mod N) если m ф О (mod N)
(14)
(15)
если
(16)
0
P
(17)
x=1
место асимптотическая формула
^ ,ахп -у
5 = ^ е q = Aaops-a + a0ps~a+l3 + О(Р^),
x=1
где величины A а в> определяются, равенствами
Р~1 „ ,ахп
А = 8n(t — 1) е т р , а =
X = 1
В этой теореме А, А, Карацуба выделял особенно простой вид асимптотической формулы при P = ps и t = 0 (mod и), когда
P
___ _ .ax r y
s = J2e ~ = pl~n + o{p1-^),
x=1
В пашем случае s = 1, t = nr = пи теорема А, А, Карацубы, как будет
“ -у “ “
видно из дальнейшего, в форме S — 0(Р -^2) перестает быть верной, хотя
для большинства значений коэффициента а будет справедлив более сильный 1 " результат \S\ С 2/’i.
Цель данной работы направлена на получение оценок и асимптотических
формул для квазиполной короткой кубической тригонометрической суммы в за-
а
t
и
2 Случайные величины и квазиполные короткие кубические тригонометрические суммы
а
p 3
^ 0 . ах
S{a,p) = е Ж% р3 (18)
X=1
— простейшая квазиполная короткая рациональная кубическая тригонометрическая сумма,
В случае произвольной степени и ^ 2 будем писать
р ,ахп
Sn{a,p) = Y,zmpn • (19)
x=1
Очевидно, что при а = 0 (mod p3) Sn(a,p) = p, а значит и S(a,p) = p.
Так как S(a,p) как функция целого аргумента а периодична с периодом p3, то она может принимать не более p3 различных значений.
Если взять случайное целое число а от 0 до p3 — 1, то дискретная случайная комплекснозначная величина Xa,p = S(a,p) будет распределена на комплексной
плоскости в круге |г| ^ р, При таком взгляде на величину Б(а,р) возникает естественный вопрос о величине математического ожидания М(Ха,р) и дисперсии
что и требовалось доказать.
Отсюда сразу следует, что М (Ха>р) = М (Ха>р).
Полученный результат о величине математического ожидания наводит на мысль, что наряду со случайной величиной Ха,р = Б(а,р) целесообразно рассмотреть случайную величину Х*р = Б(а,р), получающуюся, если брать случайное целое а от 1 до р3 — 1, и случайную величину Х**р = Б(а,р), получающуюся, если брать случайное целое а из приведенной системы вычетов от 1 до
что и требовалось доказать.
Для вычисления математического ожидания М(Х^*р) потребуются дополнительные обозначения. Пусть р = р^1 • ... • — каноническое разложение
числа р на простые множители иР = р1 •... • рк. Тогда справедливы следующие равенства:
0(Ха>р).
Лемма 2. Справедливо равенство
М (Ха,р) = 1. Доказательство. Действительно,
(20)
£<5р* (х3) = 1, (21)
Х=1
р
Лемма 3. Справедливо равенство
(22)
Доказательство. Действительно,
а=1 х=1
1р
х=1
= -х)
х=1
р3 — р р — 1
р3 — 1 р3 — 1
1
к
где <р(р) — функция Эйлера, а ^(д) — функция Мёбиуса,
Лемма 4. Справедливо равенство
М (X")
Доказательство. Действительно,
1.
(25)
М (X”)
1
а(р3)
р3 — 1 к р ахз
ЕП(1-^(«))Е
а=0 ]=1 х=1
Р I Р3 — 1
„мЕ Ее"р’
1 х=1 \ а=0 0\Р
а) =
' р— 1 3
г _ .ах3
Зкг-з-
а(р3) “
х=1
Й|Р
а=0
^иЕЕ«№
' х=1 о\р
(£-г \
0__, „ . <1ах3
\ ^ 2т—5—
2^е р
а=0
Р 3 р
■'52м'52~т $а%3)
/
„3 Р
р(р3) ^ (1
' 0\Р х=1 0
а(р3)
0\Р х=1 г ^ 7 о\р
что и требовалось доказать.
Объяснение полученных результатов для величин математического ожидания легко получить, если рассмотреть случайные величины:
3
0 .азг_
л л —Ч~ « ГЛ Ч 1
• Уа,х,Р = е р , где а случайное целое от 0 до р3 — 1;
2пг
• ^*х,р = е р , где а случайное целое от 1 до р3 — 1;
Т >к >к 2ТТЪ Ч и и
• ^ахр = е р , где а случайное целое из приведенной системы вычетов от
0 до р3 — 1.
Тогда справедливы следующие соотношения для случайных величин и их математических ожиданий:
р р Хар = £] ¥а,х,р , М(Ха,р) = ^ М(¥а,х,рУ;
х=1 р
X * \ л у *
Ха,р / ; 1 а,х,р
х=1 р
__ \ л Л/"**
Ха,р / ^ 1 а,х,р
х=1
х=1
р
М (Х*,р) = £ М «**.„);
х=1
р
м (*:;) = Е м «".„)■
(27)
х= 1
р
1
Лемма 5. Справедливы, равенства
М (¥а,х,р) М Кхр)
1 при х = р,
0 при х = 1,... ,р — 1;
1
1
р3 — 1
при х = р,
при х = 1,... ,р — 1;
м (1” р) =
Доказательство. Действительно
1 пр и х = р,
0 пр и х = 1,... ,р — 1;
1 р 1 ах3
1 \ - 2ттг^Щг-
3
М(¥а>х>р) = - ^ е р3 = Мж3) =
а=0
1 пр и х = р,
0 пр и х = 1,...,р — 1;
ы{г;,,ф) = -
, р3 — 1
р —1 Е
а=1
р3 — 11
а=0
1
2п г—о-
е р3 - 1
1 | 1 при х = р,
з—7 (Л3(ж3) “ х) = ^ 1 , ,
рг — 1 ------- при ж = 1,... ,р — 1;
р3 — 1 к
р3 — 1
3
3
М (у")
Е П ^ — 6р,(а))
а(р3) 1А
1 а=0 ] = 1 /р3 — 1
2жг—о
е р 3
1
Ф№) 5]е2"р3 Х>ДО*(а)
' у а=0 0\Р )
\
1
а(р3)
а(р3)
1
/р3—1 0\Р у а=0
(р--л
Е
о\Р
2-7тг—о-е р 3
V
а=0
а(р3)
Е/'№т^(-3)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
/
' о\Р ' о\Р
1 пр и х = р,
0 пр и х = 1,...,р — 1,
0\Р
3
й =
что и требовалось доказать.
1
3
1
1
Случайные величины Уа,х,р устроены достаточно просто. Если х = р, то Уа,р,р — постоянная величина, равная 1. Если (х,р) = 1, то значения случайной величины Уа,х,р образуют на комплексной плоскости вершины правильного рЗ-угольника, вписанного в единичную окружность, одна вершина которого совпадает с единичной точкой. Если (х,р) > 1, то значения случайной величины Уа,х,р образуют некоторый подмноугольник указанного выше правильного многоугольника, Эти случайные величины не являются независимыми, так как при а = 0 все они принимают значение 0, Поэтому вычисление дисперсии случайной величины Ха,р требует специального рассмотрения.
Легко видеть, что и в общем случае, если рассмотреть случайные величины
3 Дисперсия квазиполных коротких кубических тригонометрических сумм
Прежде всего выясним как себя ведет квадрат модуля простейшей квазиполной кубической суммы в среднем. Рассмотрим величину
(34)
х=1
то будут справедливы аналогичные результаты:
р
х (п) = V"1 у (п)
а,р а,х,р
х=1
при х = р,
при х = 1,... ,р — 1
(35)
,3
(36)
а=0
Лемма 6. Справедливо равенство
сг(р) = р.
(37)
Доказательство. Действительно,
а(р) = "з
рЗ
а=0 х=1
Ее
р
У=1
х,у=1
что и требовалось доказать,
Ха,р
нимаем величину
Б (Ха,р) = М (1Хар — М (Ха,р)|2) =
Р3-1 ________
= -3 X! (з(а,р) - м (Ха>р)^ (в(а,р) - М (Ха>р)^ =
Р а=0
Р3-1 ________
= 5] (Б(а’Р) ~ Х) (8(а,р) - 1) =
Р а=0
Р3-1 ________
= — ^ ^\8(а,р)\2 - Б(а,р) - Б(а,р) + 1^ =
р а=0
р3- 1 р3-1 р3-1_______ р3- 1
= ^ 5] №,р)|2 - ^ ^ ^ 5] 1 :
а=0 а=0 а=0 а=0
= a(p) - M(Xa,p) - M(Xa,p) + 1= p - 1 - 1 + 1= p - 1 В общем случае для величины
pn-1
(39)
<г(р.«) = 4: Е 1-5«(а>р)12' (40)
p a=0
дословно повторяя наши рассуждения, также получим равенство
а(р,п)= р. (41)
Рассмотрим величину
1 р2-1
<71 (Р) = ~2 X! 1^(а^’-Р)|2- (42)
р а=0
Лемма 7. Справедливы неравенства
р ^ ^(р) ^ 2р. (43)
Доказательство. Действительно,
1 Р2-1 Р „ .а^3 Р „ .«У3 1 Р Р2-1 „ .а(Ж3-?/3)
/ \ I \ ^ \ ^ 2жг—т" \ ^ -2жг^п- I \ ^ \ ^ 2-7гг—-,-1
р Ее ’ =-;ЕЕ' р =
а=0 х= 1 у= 1 х,у= 1 а=0
1 р р
= — ^2 Л2(^3 - У3) = Р + X! ^Р2^2 + + У2}- (44)
р х,у=1 х,у=1
х=у
x
0 ^ ^ V (х2 + ху + у2) ^ 1. (45)
У=!
у=х
Действительно, при 1 ^ х ^ ри 1 ^ у ^ р, у = х имеем
2 2 2 2
1 ^ х <х + ху + у < 3р.
Так как при фиксированном х квадратный трехчлен х2 + ху + у2 монотонно
возрастает как функция от у при 1 ^ у ^ р, то найдется не более двух значений у таких, что ёр2 (х2 + ху + у2) = 1.
Пусть 1 ^ у! < у2 ^ р и х2 + ху! + у2 = р2, х2 + ху2 + у| = 2р2. Тогда х(у2 - у!) + у| - у2 = р2- Так как 1 ^ у2 - у! < р, х + у2 + у! < 3р и (у2 - у!)(х +
у2 + у!) = р2, ТО
' _ V
Ш ш 2’ (46)
х + у2 + у! = 2р. р
р х р х
Кс. III р четное, ТОу1=р— - — —, У2=р+- — — и
2 2 _1_ _1_ 2 2 _1_ (^ ^ ^ ^ ^ ^ 2 9 2 / ,< у\
р = X + ХУ1 + У! = X + х I -р - -х I + I -р - -х I = -х + —р . (47)
гт
Отсюда х = у у^9’ ЧТ0 невозможно Для целочисленных х и р. Поэтому неравенство (45) полностью установлено.
Из (44) и (45) следует
p ^ ^l(p) = p + ^ ^p2 (x2 + xy + У2) ^ 2p, (48)
x,y=1
x=y
что и требовалось доказать.
Рассмотрим величину
1 p-1
<т2(р) = - X! 1^(а^2>-Р)|2- (49)
Лемма 8. Функция a2(p) — мультипликативная функция, то есть для,
любых натуральных p и q с (p, q) = 1 справедливо равенство
^2(pq) = ^2(p)^2(q). (50)
Доказательство. Действительно,
р .ах3
Б(ар2,р) = р (51)
х=!
р
Как хорошо известно (см. [7], с. 21), для полных сумм справедлива теорема умножения. Поэтому при (р, д) = 1 имеем
Б(а(рд)2,рд) = Б(а'р2,р) ■ Б(а''д2, д) (52)
для некоторых а' и а'', При этом, когда а пробегает полную систему вычетов по модулю рд, величины а' и а'' независимо пробегают полные системы вычетов по модулям р и д, соответственно.
Следовательно,
рд—! р—! д—!
рд ■ ^2(рд) = ^ |Б(а(рд)2,рд)|2 = ^ ^ |Б(а'р2,р)|2|Б(а''д2,д)|2 =
а=0 а'=0 а"=0
' р—! \ /д—! \
^|Б(а'р2,р)|2 И ^ |Б(а''д2,д)|21 = р^2(р) ■ д^2(д) (53)
Ча'=0 / \а"=0 /
и лемма доказана.
р
I р при р = 3 или р = 2 (mod 3),
а2(р) = Ь о (54)
13р - 2 прир = 1 (mod 3).
Доказательство. Действительно,
р
а2(р) = X! ^р(х3 - у3). (55)
х,у=!
Если р = 3 или р = 2 (mod 3), то х3 пробегает полную систему вычетов по р
р
а2(р) = X! 5р(х - у)= р. (56)
х,у=!
Пусть теперь р = 1 (mod 3) тогда прн х = 0 (mod р)
р
^р(х3 - у3) = 3 (57)
У=!
и поэтому
p p— 1 p
a2(p) = ^2 ^p(x3 - y3) = 1^ ^2 ^(x3 - y3) =
x,y=1 x=1 y=1
= 1 + (p - 1)3 = 3p - 2, (58)
что и требовалось доказать.
Лемма 10. Справедливы неравенства
p ^ 0-2 (p) ^ 3p. (59)
Доказательство. Действительно,
, , 1 ^ -»а£ 1 ^
^H=pLLe ’Ь ” =Е-Ее г =
а=0 x=1 y=1 x,y= 1 а=0
pp = X! ^p(x3 - y3) = p + ^p(x2+xy+y2). (60)
x,y=1 x,y=1
x=y
Так как
p
0 £p(x2 + xy + y2) ^ 2, (61)
y=1
TO
p
p ^ 02 (p) = p + ^2 ^p(x2 + xy + y2) ^ 3p, (62)
x,y=1
x=y
что и требовалось доказать,
p
Тогда при 0 ^ а ^ p3 — 1 возможно только три слу чая для d = (a,p3): ил и d = 1, или d = p^H d = p2.
Рассмотрим величину
1 p3—1
<7о(р) = “з X! 1^(а>-Р)|2- (63)
p а=1
(a,p) = 1
p
p — 2 ^ Oo(p) ^ p — 1. (64)
Доказательство. Действительно, для простого р
^о(р) = ^(р) - ^і(р)/р- (65)
Поэтому из лемм 6 и 7 следует утверждение леммы.
Обозначим через N(р) количество натуральных а, 1 ^ а ^ р3 — 1, (а,р) = 1 таких, что ^(а,^)! ^ 2^/р.
р
3
Х(р) > ^(р3 ~ р2). (66)
Доказательство. Действительно, по лемме 11 имеем
1 р3-і 1
р- 1 ^ <70(р) ^ ^ №,р)|2 > — (р3 -р2 - ЛГ(р)) 4р. (67)
р а=і р
(а,р)=1
Отсюда следует, что
и теорема доказана.
N(р) > ^(р3 ~ Р2) (68)
4 Асимптотическая формула для квазиполной короткой кубической тригонометрической суммы
При натуральном а рассмотрим периодическую с периодом 1 функцию /а(х), заданную равенствами
„ . . (е2™ах3 при 0 ^ х ^ 1,
/а(х) = \ , (г х, ^ п . (69)
I /«(|х|) Пр И X < 0 И X > 1.
Для этой функции /а(0) = /а(1) = 1- Поэтому она непрерывна на всей числовой прямой. Разложив ее в ряд Фурье па отрезке [0; 1], получим
ГО
/а(х)= £ сДт)е2”, (70)
т=—го
где
1
Са(т) = J /а(х)е-2пгт^х. (71)
0
Прежде всего изучим два условно сходящихся несобственных интеграла.
а
СЮ СЮ
т, , [ сов(2п£) Г в1п(2п^) ,
У ----- ■/(а) = У ^2 ^ ^
аа
справедливы, оценки
О ^ /(а) ^ _ 7ЗГ_, -4т=<^(«)< 5
247г\//а2’ 4тг^ бтгч/а2
Доказательство. Действительно, для любого натурального к имеем
1
fc+l 2 / h= [ °OS^ dt= [ cos (2тга) ( 1----------1 = I du, (73)
V/(fc + M)2 ^J(k + \ + u)\
k 0 \ v V v 2
1
fc+1 _ 2
Jk= f dt= [ sin (2тта) ( 1---------------1 = I du. (74)
k 0 2 Для функции
1 1 j+M+fc
g{k,u) = =----- = = — = x
V(fc + M)2 Щк + \+и)2 Щи + к)2(\ + и + к)2
x , ---------------------------------, 1 =-, (75)
</(w + fc)4 + ^/(M + fc)2(i + M + fc)2 + ^/(| + M + fc)4 при 0 ^ tt ^ 4 справедливы неравенства
\J\ + u + k (%/(и + fc)4 + \J(u + k)2{\ + u + k)2 + \J(\ + u + к)4j
^ g(k, u) ^
1 / 4
^ , —------/ =------/ v (76)
v^n+T ^\/(tt + к)4 + у(tt + fc)2(| + и + fc)2 + у(| + и + fc)4J
Отсюда следует
1 (77)
3^/(1 + kf ’ 3^
и, значит, ряд
СЮ
К (а, и) = д(к,и)
Л=а
СХОДИ гея. при ЭТОМ 1
1
г2 2л/(а +1)2 У з^
У а+1
Л=а
1 /" ^х
£ —= + I
Уа5 У 3#? ЗЛ? 6»
(78)
(79)
Далее имеем:
1
ОО 2
1 (а) = 5] 4 = сое (2пи) К(а,м)^м
й=а п
= I сое (27га) ( X(а, и) — X ( а, - — и ) ] с1и,
1
ОО \
3 (а) = 3 = эт (2пи) К (а, м)^м.
&=а п
Отсюда следуют неравенства
7
О ^ /(а) ^ ——= сое (27гм) с1и
7
0
247Г 'Уа?’
1
А\/а?
1 1
2 2
15
вш (27гм) с1и ^ </(а) ^ —~^= вт (2тги) с1и =
(80)
00 и лемма полностью доказана.
Лемма 13. При а = 0 справедливо равенство
В + *^2 ^1(а) + г^(а)
бтг^Уа?
(81)
Са(0)
1.241 < В = 3 сое (2пх3) ^х + 1 (1) < 1.242 +
24п ’
а
1
7
1
1 Г 5
0.570 Н-< В2 = 3 sin (2пх3) dx + J( 1) < 0.571 Н-,
4п J 6п
0
0 < ^(а) = Va?I(a) < — < 02(a) = v/a2J(a) < —. (82)
24п 4п 6п
Доказательство. Действительно,
1 1 е.т = /<**•**<&=<**’<!*=
ооз^
1 а
1 Г 1 Г e2nit
=___ e27Tix3dx Н_-____dt =
01 = ~^= ^ ^3 J cos (2ttx3) dx + /(1) — /(a) J +
+i ( 3 sin (2nx3) dx + J (1) — J (a)
0
Bi + iB2 9\ (a) + *6*2 (a) 3/a a
(83)
Так как приближенные численные расчеты на компьютере дают значения
1
1241 < 3/cos (2nx3) dx<Lm
0
1
0.570 < 3 У sin (2nx3) dx < 0.571, (84)
0
и согласно лемме 12
7 1 5
то утверждение леммы полностью доказано.
Лемма 14. При a = 0 и m =0 справедливо равенство
, ч 3ia 03(a,m)9a3 , ., „ . .
Caim) = ------v ’ J , \вз(а,т)\^1. 85)
2nm2 m3
Доказательство. Действительно, интегрируя по частям, получим
1 3
г е>2птж3 е—2пгтж
Са(т) = е2тах3е~2ттЧх =
—2пгт
о о
і 3 3 і [ е2п“х (6пгаж2)е-2“ , е2піах (6пгаж2)е-2“
ах = —
] —2пгт (—2пгт)2
о
і 3
Г е2жіах ((бтгіах2)2 + 12тггаж) е~2жітх _ Зга
У (—2тгіт)2 2тгт2^
о
3 і е2™ж ((бтггаж2)2 + 12тггаж) е“2~
+
о
(—2пгт)3 і 3
[ Є2піах3 ((бпгах2)3 + 6(6пга)2ж3 + 12піа) в-2™ ,
І-----------------------------<=г™^------------
)
3га (6пга)2 + 12пга
- + , 1 — +
2пт2 (—2пгт)3
і
+ ^ ^ [ ((67Га)3ж6 + 6(б7га)2ж3 + 127га) сіх =
(2пт)3 ,/ у '
о
Зга 97гга2 + За 6*(а, т) (у7г2а3 + у™2 + За)
2пт2 2п2т3 2п2т3
3га 03(а,т)9а3
3
2пт2 т:
где |0(а,га)| ^ 1 |03(а,ш)| ^ 1, и лемма полностью доказана. Рассмотрим квадратурную формулу
/„(х)<ії = “ У] - Др1Л
р \р/
(86)
(87)
где для погрешности приближенного интегрирования Яр[/] справедливо выражение
ГО
Др[/«] = X! с«(Рт)’ (88)
т=—сю
Теорема 3. Справедливо асимптотическое равенство
В1 + *В2 01(а) + *02(а)\ п*а 04(а)23а'
5(а,р) =р-----------------------------------+ — +
3
а /2 р р2 '
1 ГО
1.241 <_£?! = 3 [ сое (27гж3) с1х + [ с°8 ^ < ^242 + 7
^2 • 24тг’
0 1
1 ГО
0.570 + — < £>2 = 3 [ вш (2тгх3) с1х + [ ' ^ сИ < 0.571 Н-,
4тг ] У 1 ] Уё бтг’
01 ГО
А Л ^ зГ СОБ (2тгЬ) 1л 7
0 < 01 (а) = у а2 ——=—сИ <
№ 24тг:
ГО
< в2{а) = Уа2 ! |04(а)| ^ 1. (89)
Доказательство. Действительно,
р / ч ^ 1 х
8{а,р) = ^/а =Ру/^х^х + Кр^
= р(са(0) + ^ са(ртИ . (90)
--а \
т=—го
Воспользуемся леммами 13 и 14, получим 5 (а,р) =
_ (В1 + 1В2 6*1 (а) + *6*2(а) / Зга 03(а,т)9а3\\
“^“3^5 а „^2^? (Р™)3 //'
Отсюда следует
I В + *В2 01 (а) + г6>2(а)\ п*а 04(а)23а3 ,
5(а,Р)=Р( —-------------------------+ <92>
где |04(а)| ^ 1, и теорема доказана.
Замечание 1. Из доказанной теоремы, вытекает, что
• при фиксированном а короткая кубическая рациональная сумма Б(а,р) по порядку равна р;
при а у/р имеем -£= ^ и р Б(а,р) р
арр
при л/р а р?о имеем -&= ^ - нре в (а, р) р?о.
V -у/а Р Р
9 1 1 „3 Лгу ^ / \ ^3
при р ю а р 12 имеем ^2 -гг и Ь{а,р) р*.
Р \ а р
Отметим, что 5(р3 — а,р) = 5(—а,р) = 5(а,р), поэтому теорема 3 позволяет оценивать сумму и при больших а близких к р3,
5 О гипотезе Монтгомери относительно суммы Вейля
В своей монографии [9] Монтгомери в пункте 8, на странице 194 сформулировал следующую проблему:
к
"Покажите, что если Р(х) = ^ акхк, |а — а/д| ^ 1/д2, (а, д) = 1, то
.? =1
N /1 N 1/к
Ее(Р(»))«^‘+<(- + ^ . (93)
п= 1 ' /
Или же постройте контрпример. Даже незначительные улучшения существующих границ были бы интересны. Например, при к = 3 и д ~ N3/2 получите верхнюю границу о(^/4), скажем О(^) где к < 3/4,"
При к = 3, N = рт, д = р2"7^1 = ]У2+™ и а = р"1-1 рассмотрим квазиполную короткую рациональную кубическую тригонометрическую сумму
рт Рт N
Р „ш-1 х3 _Р х3 N 3
^(р"1-1, рт) = ^ ^ е2^?^ = ^ е2™ V. (94)
Х=1 Х=1 Х=1
Теорема 4. Справедливо асимптотическое равенство
В1+3гВ2р)^1 + О (рт_3) при т = 1,..., 9,
5'(р"г_1,р"г) = Б1+гБ2р7 + О (р7) при га = 10, • (95)
О (рт-3) при т ^ 11.
Доказательство. Действительно, по теореме 3 имеем
с( т-г т) _ т(Вх + гВ2 ^(р™-1) + гв2{рт~1)\
Ь{р ’р )~р \з^~ р-1 ) +
тар"1”1 в4(рт-1)23(рт~1)3 _ Вг + Ш2 2т-|-1
+ 2рт + (рт)2 _ 3 Р 3
П7
- (^(Рт_1) + ^2(рт_1) Р + ^ + 04(рт-1)23рт-3. (96)
2р
Отсюда следует утверждение теоремы, так как
• 2™+1 > т — 3 при т = 1,... ,9]
• 2™+1 = т — 3 = 7 при га = 10;
• 2™+1 < т — 3 при га ^ 11.
Сравним полученный результат е гипотезой Монтгомери. Согласно этой гипотезе для тригонометрической суммы
* 3
X
'?*№«) = <97)
справедлива оценка
При N = рт, д = р2т+1 = ІУ2+™ получаем
(98)
|в*(АГ,,)| « «»+*- I + -р-I «ЛГ»+<+1=. (99)
По теореме 4 справедливо асимптотическое равенство
+ 0 ^1-™) при га = 1,..., 9,
при га =10, . (100)
О (ІУ1-™ ) при т ^ 11.
Отсюда следует, что при т = 1,..., 10 гипотеза Монтгомери — неравенство (93) справедливо. При т ^ 11 получается оценка с к < 3/4, При т ^ 13 соотношения (100) лучше чем общая оценка методом Вейля (см, [4] с, 96)
|5*(Л^)| < н1+^+£. (101)
При т > 13 предложенный метод дает оценку хуже чем метод Вейля. По-видимому, требуется более совершенная оценка коэффициентов Фурье, чем оценка из леммы 14.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. М.: Из-во АН СССР, 1959.
[2] Карацуба А. А. Тригонометрические суммы специального вида, и их приложения // Известия АН СССР. 1964. Т. 28 №1. С. 237 - 248.
[3] Карацуба А, А, Асимптотические формулы для некоторого класса тригонометрических сумм // ДАН СССР. 1966. Т. 169 №1. С. 9 - И.
[4] Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957. N 6. С. 1062 - 1065.
[5] Коробов Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.
[6] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.
[7] Коробов Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.
[8] Шнирельман Л. Г. Простые числа М.-Л.: Гостехиздат, 1940.
[9] Montgomeri Hugh L. Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis. Providence, E.I. : Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences by the American Mathematical Society, 1994. (Заглавие серии: Regional conference series in mathematics, no. 84)
[10] Wevl H. Uber die Gleiehverteilung von Zahlen mod. Eins. // Math. Ann. 1916. Bd. 77. S. 313-352 (пер, в кн.: Вейль Г. Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984)
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Получено 10.04.2009
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 10 Выпуск 1 (2009)
ЭЛЕКТРОННЫЕ КНИГИ В MATHCAD1
А. Р. Есаян (г. Тула)
Аннотация
В работе описана современная компьютерная информационная технология создания электронных документов в системе компьютерной математики Mathcad.
Электронная книга состоит из множества отдельных специально оформленных Mathcad-доку ментов, играющих роль страниц. Любая книга обязательно имеет оглавление и не обязательно — обложку и индексный указатель. Ее страницы — это полноценные Mathcad-доку менты с живыми вычислениями. Они могут содержать графики, ресурсные ссылки, гиперссылки, аннотированные области и иные объекты. Созданная книга автоматически получает в свое распоряжение удобную панель навигации. Книгу можно аннотировать, то есть изменять в ней страницы по своему усмотрению, в том числе и вставлять в них любые дополнительные объекты. Все сделанные изменения при закрытии книги автоматически исчезнут. Однако пользователю предоставляется возможность сохранять аннотированную книгу в виде отдельной копии для продолжения работы с ней. Оригинальная версия книги при этом не теряется и при необходимости в любой момент может быть восстановлена.
Открытие электронных книг Команда А открывает доступ к
справочным материалам по использованию встроенных электронных книг и созданию собственных электронных книг.
Команда В открывает окно для работы с электронной книгой. Меню и панели инструментов для окон книги и справочной системы мало чем отличаются друг от друга, за исключением одной важной детали, В окне электронной книги нет кнопок Contents, Index и Search и поиск реализуется иначе,
1. Этапы формирования электронной книги
Создание электронной книги можно разбить на серию следующих шагов:
1, формирование отдельных Mathcad-доку ментов;
2, составление оглавления книги;
3, вставка гиперссылок между областями документа и файлами на данном компьютере или какими-либо ресурсами Интернета;
1Работа выполнена по гранту РФФИ 08-01-00790
A. He/p/Author'sRe/erence/Content...
B. He/p/E — books ...
4, создание специального текстового hbk-файла, содержащего всю информацию по структуре книги;
5, тестирование hbk-файла на отсутствие ошибок,
6, формирование индексного указателя (необязательно);
Рассмотрим каждый из этих шагов в отдельности,
2. Страницы электронной книги
Будем считать, что документы-страницы книги уже созданы и представлены, например, такими файлами\dl.xmcd, d2.xmcd и dS.xmcd. Поместим эти файлы в одну папку, скажем, dbook. Дальнейшие действия этого раздела необязательны.
Если по некоторым объектам документов имеются справки в виде файлов с расширениями xmcd, doc пт, п., создадим в dbook подпапку pop-ups. В нее поместим все справочные файлы, В дальнейшем объекты документов и соответствующие им справки должны быть связаны гиперссылками. Можно также создать подпапки для своих шаблонов (templates), стилей (styles) и данных (data).
3. Обложка и оглавление книги
Если необходимо, создадим еще один файл cover.xmcd, который будет играть роль обложки книги.
Сформируем файл contents.xmcd, содержащий список тем книги (оглавление, содержание). Выглядеть этот файл может, например, так:
Содержание
Таблица производных
Таблица интегралов
Основные теоремы
Имена файлов обложки и содержания могут быть и иными. Далее мы свяжем представленные в файле содержания темы с соответствующими им документами dl-d3.
Поместим файлы cover.xmcd и contents.xmcd в папку dbook, где уже находятся файлы-страницы dl.xmcd, d2.xmcd и dS.xmcd и, возможно, подпапка pop-ups со справочными материалами,
4. Вставка гиперссылок
Создадим гиперссылки от элементов содержания к соответствующим им файлам:
Таблица производных ^ dl.xmcd,
Таблица интегралов ^ d2.xmcd,
Основные теоремы ^ dZ.xmcd.
Создадим также гиперссылки от элементов файлов dl, d2 и d3 к соответствующим файлам-справкам из папки pop-ups (если они есть),
5. Создание НВК-файла
Приступим к наиболее отвеетвенному моменту создания электронной книги -формированию текстового hbk-файла. Аббревиатура hbk сформирована из букв слова handbook — справочник. Имя hbk-файла должно совпадать с именем основной папки электронной книги, В нашем случае - это dbook. hbk. Создавать hbk-файл необходимо в каком-либо текстовом редакторе, например, блокноте Notepad. При записи файла обязательно надо проследить, чтобы был указан txt-тип файла и установлена кодировка Unicode.
В ЛЬй-файле необходимо разместить данные по структуре электронной книги, Они должны быть специальным образом оформлены, В нашем случае содержание hbk-файла могло бы быть таким:
;Copvright: ТГПУ, 2009, All rights reserved :23 07 2009 .version 14
.title название электронной книги
, noscriptwarning
.pathdbook
,pathdbook\pop-ups
splash cover.xmcd
TOC contents.xmcd
d 1 dl.xmcd
d2 d2.xmcd
d3 dS.xmcd
Обложка Оглавление Таблица производных Таблица интегралов Основные теоремы
Опишем правила, которых следует придерживаться при создании ЬЬк-файла, и поясним смысл его отдельных элементов. Строки, первым символом которых является точка с запятой - относятся к комментарию. Их разрешается размещать в любых местах, в любом количестве и с любым содержанием. Строки, начинающиеся с символа точки - предоставляют системе информацию общего назначения. Остальные строки непосредственно описывают файлы страниц книги, В них имеется по три столбца, последний из которых не обязателен. Друг от друга столбцы должны разделяться пробелами или символами табуляции, В первом столбце находится логическое имя файла, во втором - имя файла, а в третьем - некоторые фразы, которые будут появляться в строке заголовка в качестве второй изменяемой ее части. Логическим именем может быть любое слово, в том числе и на русском языке, а не обязательно имя соответствующего файла без расширения, как это сделано в нашем примере: (И ^ (И.хтсс!. Все файлы, перечисленные в ЬЬк-файле, должны быть Майсай-файлами,
Поговорим о назначении каждой строки в приведенном выше ЬЬк-файле:
• строки комментария, начинающиеся с символа необязательны и служат лишь для пояснений и (или) для косметических целей. Например, строку пробелов вставить нельзя, а пустую строку комментария - можно;
• .version 14, Version - ключевое слово. За ним должен быть указан номер версии Mathcad, используемой для разработки книги;
• .title - название электронной книги. Title - ключевое слово. Идущий после title текст появляется в строке заголовка электронной книги как первая неизменяемая часть сообщения для каждой страницы;
• .noscriptwarning. Noscriptwarning - ключевое слово-команда, по которому блокируется вывод предупреждающих сообщений в элементах управления (если они имеются);
• .pathdbook. Pathdbook - условное обозначение основной папки электронной книги (path+dbook);
• .pathdbook\pop-ups. Pop-ups - подпапка в основной папке pathdbook. По этой же схеме формируются пути доступа к другим возможным подпапкам в pathdbook при любой глубине вложенности;
• splash cover.xmcd : Обложка, Строка используется для представления файла-обложки книги, В первом столбце находится ключевое слово splash, во втором - имя файла обложки. Оно может быть и отличным от cover;
• TOC contents.xmcd : Оглавление, Строка используется для представления файла-оглавления книги, В первом столбце находится ключевое слово ТО С, которое должно писаться прописными буквами, во втором - имя файла-оглавления. Оно может быть и отличным от contents:,
• d 1 dl.xmcd : Таблица производных, В первом столбце находится логическое имя файла первой страницы книги, во втором - имя файла. Логическим именем может быть любое слово;
• остальные строки имеют структуру предыдущей строки.
Замечание. В любую строку hbk-файла, представляющую конкретную страницу книги, после второго столбца через пробел можно вставить слово skip (пропустить). Например
d2 d2.xmcd skip : Таблица интегралов.
Тогда при обычном листании книги в любом направлении эту страницу мы будем проскакивать. Однако попасть на нее можно, но только из оглавления.
Ранее была создана папка dbook, теперь мы сформировали файл описания структуры книги - dbook.hbk. Перенесем папку dbook и файл dbook.hbk в папку handbook системы Mathcad. Если такой папки нет, то ее следует создать.
Если ни на одном из предыдущих этапов не было совершено ни одной ошибки, то мы уже имеем электронную книгу, и с ней можно работать. Однако вряд ли это так. Фактически hbk-файл - это программа на некотором скриптовом языке, а при написании программ ошибки почти неизбежны. Чтобы удостовериться, так это или нет - необходимо провести тестирование. Как это можно сделать, описывается в следующем пункте,
6. Тестирование НВК-файла
После того как ЛЬй-файл создан и помещен на место, его можно протестировать на наличие ошибок, используя специальные встроенные утилиты. Но чтобы получить к ним доступ, систему Mathcad придется закрыть и снова ре-стартовать в hbk-режиме. Делается это так:
• через меню “Пуск” панели задач Windows реализуем команду “Пуск/ Выполнить” (Start/Run). Открывается окно “Запуск программы”;
• в поле ввода открытого окна сформируем путь до файла mathcad.exe и дополним его пробелом и опцией jhhkmode. Делать это необходимо сразу за последней двойной кавычкой. Результат будет выглядеть, например, так:
"C:\Program Files\Mathcad\Mathcad 14\mathcad.exe"/hbkmode
• при нажатии на кнопку Ok система Mathcad загружается в hbk-режиме и появляется диалоговая панель Handbook Utilities. С ее помощью независимыми переключателями можно запустить на выполнение одну из двух утилит - тестирование книги ( Check Handbook) или генерирование индексного указателя (Generate Index). Вид этой панели представлен на рисунке
1.
Handbook Utilities
0 Check Handbook
OK
П Generate Index
Cancel u
Рис. 1. Панель запуска утилит в hbk-режиме
Выберем на открытой панели утилиту Check Handbook - тестирования книги, и кнопкой Ok запустим ее на выполнение. Сразу же предлагается указать имя
проверяемого файла. Когда это будет сделано и нажата кнопка Ок, начнется тестирование. Его завершение сопровождается выводом сообщения, представленного на рисунке 2, и генерацией в папке handbook двух отчетных текстовых файлов: ErrorLog.txt и ProgressLog.txt. В них представлены результаты тестирования,
Влюченные в файл ErrorLog сведения об ошибках, если они есть, размещаются в следующих разделах:
• файлы, перечисленные в dbook.hbk, но не найденные в папке dbookr,
• файлы документов из папки dbook, не перечисленные в dbook.hbk;
• неправильные гиперссылки в dbook.hbk:
• найденные вычислительные ошибки.
Если все эти разделы пусты, не считая заголовков, то ошибок указанных типов нет, В противном случае их необходимо устранить,
В файл ProgressLog помещаются список всех жшЫ-файлов, успешно прошедших тестирование, В файлах, не представленных в этом списке, если таковые есть, были найдены те или иные ошибки. Их необходимо устранить.
Mat head 111
▲ НВК mode processing has finished. 1 OK 1
Рис. 2. Сообщение о завершении тестирования Мк-файла
7. Формирование индексного указателя
Будем считать, что электронная книга создана и остается сформировать лишь индекс, или, по-другому, индексный указатель. Индекс является некоторой специальной структурой данных, позволяющей вести в действующей книге поиск по ключевым словам и фразам. Состоит индекс из отдельных индексных записей - слов или фраз, связанных с областями конкретных документов книги. Создание индекса протекает с учетом возможного наличия у всех или некоторых областей документов заранее вручную сформированных индексных записей. При отсутствии таких записей они полностью формируются автоматически, О создании индексных записей для областей вручную поговорим в конце данного пункта, а сейчас приступим к описанию процесса создания индекса.
Как и при формировании hbk-файла при создании индекса систему Mathcad необходимо закрыть и затем снова рестартовать в hbk-режиме. Откроется панель Handbook Utilities (см, рис, 1), на которой выполним следующее: выключим переключатель Check Handbook, включим переключатель Generate Index и нажмем кнопку Ок. Тем самым будет запущена на выполнение утилита генерирования индекса и при завершении ее работы откроется панель, представленная на рисунке 2, Индекс получен в виде текстового файла index.txt и помещен в папку handbook. По правде говоря, то, что мы получили, называть индексом еще рано. Это лишь заготовка для индекса, с которой предстоит еще немало поработать до превращения ее в полноценный, действующий индекс. Дальнейшую работу представим в виде двух этапов - сортировки индекса и доработки индекса. Рассмотрим их отдельно. Все команды, о которых идет речь ниже, выполняются через меню.
Сортировка индекса:
• откроем файл index.txt в текстовом процессоре Microsoft Word;
• конвертируем содержимое документа в таблицу:
— выделим текст ключом С7/7 Л:
— конвертируем текст в таблицу с тремя столбцами и разделителем Для этого выполним команду “Таблица/Преобразовать/Текст в таблицу” и на открывшейся панели сделаем такие установки: столбца -
3, разделитель - “|”;
• отсортируем таблицу. Для этого выполним команду “Таблица/Сортировать” и на открывшейся панели назначим порядок сортировки: сначала по столбцу 1, затем по столбцу 3, затем по столбцу 2;
• конвертируем таблицу обратно в текст:
— выделим таблицу. Для этого выполним команду “Таблица/Выделить /Таблица”;
— конвертируем таблицу в текст. Для этого выполним команду “Таблица/Преобразовать/Таблицу в текст” и на открывшейся панели подтвердим, что разделитель - “|”;
• сохраним переработанный индекс в текстовом формате;
• преобразуем полученный индекс в формат Unicode. Для этого откроем файл в блокноте (Notepad) и запишем его командой File/Save As при типе файла - txt и кодировке - Unicode.
На этом этап сортировки индекса закончен.
Доработка индекса:
• поместим в одну папку файл newdict.exe (индексная утилита из папки Mathcad) и созданные нами файлы index.txt и dbook.hbk. Пусть, к примеру, это папка nid на устройстве d\
• через меню “Старт” командой
Старт/Программы/Стандартные/Командная строка откроем (черное) окно командной строки и запустим утилиту newdict.exe: d:\>nid\newdict.exe nid\index.txt nid\dbook.hbk
При обнаружении первой же ошибки утилита newdict.exe прекращает работу и указывает номер ошибочной строки в индексном файле index.txt. Так будет, например, если найдена пустая строка, В индексе не должно быть пустых строк, в том числе и за последней строкой с данными. После устранения ошибки процесс этого пункта должен быть повторен. Если все выполнено правильно, то newdict.exe генерирует два выходных файла out.dct и out.pfs;
• переименуем файлы out.dct и out.pfs в соответствии с именем нашего hbk-файла, то есть в dbook.dct и dbook.rfs;
• поместим полученные файлы в подпапку dbook папки handbook.
Этап доработки индекса завершен, и можно приступать к работе с электронной книгой.
Замечания.
1, Если изменилось содержание документа или был изменен hbk-файл, то индекс должен быть перестроен,
2, Для большей убедительности, что hbk-файл и файл индексов построены правильно, можно организовать их совместную проверку, вызвав панель Handbook Utilities.
3, Еще раз подчеркнем, что hbk-файл и файл индексов должны быть текстовыми и иметь кодировку Unicode.
Нам осталось поговорить о формировании индексных записей для областей вручную, В основном это полезно потому, что позволяет за конкретной областью закрепить не одну, а несколько поисковых фраз. Итак, открыт документ. Создание индексной записи для любой области а можно осуществлять через контекстное меню по команде: RCUck (а) / Properties / Index/.... Далее в поле Index Phrase требуется ввести необходимые фразы, отделяя их друг от друга символом “|”: фраза,1\фраза2\фразаЗ .... Вся подобная “ручная” работа будет учтена в дальнейшем только при создании индекса, то есть файла index.txt.
А. СНск(ш )
Открытие индекса
Команда А выполняется щелчком левой кнопки мыши
по соответствующей кнопке Search панели инструментов и открывает панель индекса электронной книги, представленную на рисунке 3, Научиться вести поиск с помощью элементов управления панели индекса достаточно просто, И мы на этом задерживаться не будем.
Search Book
Search for
exponential functions, derivatives of
I Search I
m
basic integrals chain rule
constant multiple rule
exponential functions, derivatives of l.
exponential functions, integrals of integration, by parts inverse trinnnnmetrir fijnrtinns. derivatives nf Я)
Go To
Next
Close
Previous
Found no matches
Рис. 3. Панель индекса электронной книги
8. Аннотирование электронной книги
На страницах открытой электронной книги мы можем не только проводить вычисления по имеющимся данным, но и изменять эти данные, а также вставлять и удалять любые новые области. Оригинальные области удалять нельзя, Изменения в книге называют ее аннотацией. На аннотированных страницах можно проводить полноценные вычисления, используя обычную маткадов-скую технологию. Доступ к основным панелям инструментов для аннотирования книг проще всего осуществлять через заранее открытую панель Math. Если специально не позаботиться, то при закрытии электронной книги все текущее аннотирование из нее удаляется.
При открытой электронной книге в меню появляется подменю Book. С помощью выборов этого подменю можно выполнять разнообразные команды, связанные с аннотированием книги. Эти выборы и соответствующие им действия таковы:
• Annotate Book - включение/выключение данного выбора. При выключенном выборе ( ) закрытие книги сопровождается автоматическим удалением всех аннотаций в книге, сделанных в текущую сессию. При включенном выборе (v) закрытие книги приводит к выводу панели Save Annotation. С
помощью ее управляющих кнопок аннотации текущей сессии можно: сохранить (Save) и не сохранять (No) на текущей странице, сохранить (Save АП) и не сохранять (Not to АП) во всей книге. Эту же команду можно выполнить и через контекстное меню;
• Highlight Changes - включение/выключение подсветки новых областей. Эту же команду можно выполнить через контекстное меню Цвет подсветки можно менять через меню командой Edit/ Color ,,,;
• Save Section - сохранить изменения на текущей странице;
• Save АП Changes - сохранить изменения во всей книге;
• View Original Section - просмотреть оригинальную, неаннотированную страницу;
• View Edited Section - просмотреть аннотированную страницу;
• Restore Section - восстановить текущую страницу до состояния оригинала, то есть неаннотированной версии;
• Restore АП - восстановить всю электронную книгу до состояния оригинала, то есть неаннотированной версии.
При сохранении аннотированной электронной книги, фактически записывается ее копия, а оригинал остается без изменений, В последующем, открывая книгу, мы видим ее аннотированную копию, а не оригинал. Этот факт отмечается появлением после сообщения в строке заголовка символа звездочки -
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Есаяп, А, Р, Mathead в обучении информатике и математике / А, Р, Есаян,
В, Н, Чубариков, Н, М, Добровольский, А, Н, Сергеев - Тула, изд. ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2009. - 364 с.
[2] Система Mathead 14 М035. Электронное руководство для авторов (Electronic Publising With Mathead) PTC, 2007.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого Получено 2.02.2009
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 10 Выпуск 1 (2009)
УДК 519.14
THE JOINT DISTRIBUTION OF MULTIPLICATIVE FUNCTIONS
A. Laurincikas
Аннотация
In the paper, the existence of a joint limit distribution for a real multiplicative and a complex-valued multiplicative functions is considered. For one class of multiplicative functions, the necessary and sufficient conditions for the existence of a limit distribution are obtained.
Introduction. Denote by N, N0, Z, R and C the sets of all positive integers, non-negative integers, integers, real and complex numbers, respectively. A function g : N ^ C is called multiplicative if g ф 0,m G N, and g(mn) = g(m)g(n) for all m,n G N, (m, n) = 1. Clearly, we have that g(1) = 1. A function f : N ^ C is said to be additive if f (mn) = f (m) + f (n) for all m, n G N, (m, n) = 1. This definition implies f (1) = 0. The main problem of the probabilistic number theory are asymptotic distribution laws for additive and multiplicative functions. We recall
nGN
//„(...) = -#{1 < m < n : ...}, n
where in place of dots a condition satisfied bv m is to be written. As usual, bv B(S) denote the class of Borel sets of the space S, and by p a prime number. The first probabilistic result for multiplicative functions was obtained by P. Erdos in [6]. Let Pn and P be two probability measures on (R, B(R)), We say that Pn converges m-weaklv to P as n ^ ж if Pn converges weakly to P and limn^^ Pn({0}) = P({0}). In the case P({0}) = 1, the latter condition is ommited. We use the notation
I u if |u| < 1, w = \
II if |u| > 1.
Теорема 1. ([6]). Let g(m) > 0 be a'multiplicative function. Then the probability measure
Vn(g(m) G A), A G B(R), (1)
converges m-weakly to a certain probability measure P on (R, B(R)), P({0}) = 1, as n ^ ж, if and only if the series
II9ip) — 111 II9ip) — HI2
p p p p
converge.
The first result on real multiplicative functions of an arbitrary sign belongs to A, Bakstvs [1], We recall that a probability measure P on (R, B(R)) is called symmetric if, for some a G R,
Teopema 2. ([1]). Let g(m) be a real multiplicative function. Then the probability measure (1) converges m-weakly to a certain non-symmetric probability measure on (R, $(R)), as n ^ to, if and only if the series (2) and
converge, and there exists a G N such, that g(2a) = —1.
The problem of the existence of limit distribution for real multiplicative functions was completely solved in [14], Let, for a G R and A G B(R),
Теорема 3. ([Ц]). Let g(m) be a real 'multiplicative function. Then the probabi-
(R, B(R))
P = Pa for every a G R, as n ^ ж, if and only if the series
Let Pra and P be probability measures on (C, B(C)). We say that Pn converges weakly in the sense of C to P as n ^ to if Pn converges weaklv to P as n ^ to, and, additionally, limn^^ Pn({0}) = P({0}).
Teopema 4. ([4]). Let g(m) be a complex-valued 'multiplicative function. Then the probability measure
P(-ж, a) = 1 — P(-ж, a].
| log |g(p)||<1
converge.
Now let g(m) be a complex-valued multiplicative function. Define
and
log Ig(p)1 if e 1 < |g(p)| < e,
1 if|g(P)| < e-1 or |g(p)| > e.
vn(g(m) G A), A G B(C),
converges weakly to a certain probability measure P on (C, B(C)),P({0}) = 1, as n ^ to, if and only if the following two hypotheses hold:
10 The series
y^ vg(p) y^ vg(P)
p ’ ^ p
p p
converge;
20 Either, for all m G N and aU t G R,
1 — Re wm(p)p-it
> ------------------= +oo,
p
p
or there exists at least one m G N such that the series
1 — um(p)
£
p
p
converges.
The joint distribution of real multiplicative functions was discussed in [7], We will state the result for two real multiplicative functions g1(m) and g2(m). In [7] limit theorems are stated in terms of distribution functions, however, it is not difficult to
Pn P
measures on (R2, B(R2)), We say that Pn converges m-weakly to P as n ^ ж, if Pn P
lim Pn(R x {0}) = P(R x {0}),
n—
lim Pn({0} x R) = P({0} x R),
n—^
lim Pn({0} x {0}) = P({0} x {0}).
n—^
Теорема 5. ([7]). Let g1(m) and g2(m) be real 'multiplicative functions. Then the probability measure
Vn((g1(m), g2(m)) G A), A G B(R2),
converges 'm-weakly to a certain probability measure P on (R2, B(R2)),P(R x A) = Pa(A), P(A x R) = Pb(A), A G B(R2), for every a, b G R, as n ^ ж, if and only if the series
y^ l°g \gjip)\ j = i 2 1 bg2 \gj[jp)\ y^ y^ 1
9№> P ’ ’ ’ идШ0Р1+1о^\9М\’ UgfcuP
I log 1gj(p)ll<1 converge.
A twodimensional limit theorem for complex-valued multiplicative function was proved in [9],
The aim of this paper is to prove a twodimensional limit theorem for a real and a complex-valued multiplicative functions. Let, for brevity, X = R x C. Let Pn and P be probability measures on (X, B(X)). We say that Pn converges m-weakly in the sense of X to P as n ^ ж if Pn converges weaklv to P as n ^ ж, and
lim Pn(R x {0}) = P(R x {0}),
n—<^
lim Pn({0} x C) = P({0} x C),
n—<^
lim Pn({0} x {0}) = P({0} x {0}).
n—^
Define Pr(A) = P(A x C), A G B(R), and Pc(A) = P(R x A), A G B(C).
Теорема 6. . Let g1(m) be a real andg2(m) be a complex-valued multiplicative functions such that the series
- and Y^ -pp gl(p)>0 gl(p)<0
do not diverge simultaneously. Then the probability measure
Pn(A) = Vn((g1(m),g2(m)) G A), A G B(X),
X
(X, B(X)), PR = Pa for every a G R and PC({0}) = 1, as n ^ ж, if and only if the following hypotheses are satisfied:
10
£
gl(p)=0 I log |gi(p)||<1
converge;
20 The series
log|gi(p)|
V
£
gi(p)=o
E
p
i log2 \giip) I
P1 + log2 \gi(p)[
VQ2 (p) ^ p
E
gi(p)=o
p
converge;
30 Either, for all k G N and a 11 u G
+ж,
or there exists at least one k G N such that the series
1 P)
p
converges.
1
Characteristic transforms. For the proof of Theorem 6 we will apply the method of eharaeteristie transforms. Therefore, we will recall definitions of characteristic transforms of probability measures on (R, 0(R)), (C, 0(C)) and (X, 0(X)) as well as the correspondence between probability measures and their characteristic transforms.
Let P be a probability measure on (R, 0(R)), The functions
vj(t) = J Ix^sgn^xdP, t G R, l = 0,1,
R\{0}
PP
by its characteristic transforms,
JIemma 1. . Let Pn be a probability meas ure on (R, 0(R)) with its characteristic transforms v1n(t), l = 0,1. Suppose that
lim vto(t) = vi(t), t G R,1 = 0,1,
n—<^
where the functions vj(t), l = 0,1, are continuous at t = 0. Then on (R, 0(R)) there exists a probability measure P such, that Pn converges m-weakly to P as n ^ to. In this case, vj(t),/ = 0,1, are the characteristic transforms of the measure P.
Now, conversely, suppose that the probability measure Pn converges m-weakly to some probability measure P on (R, B(R)) as n ^ to. Then
lim vi„(t) = vi(t), t G R, l = 0,1,
n—
where vj(t), / = 0,1, are the characteristic transforms of the measure P.
Proof of the lemma is given in [11],
Now let Pn and P be probability measures on (C, 0(C)), The function v(t,k)= J |z|VfcargzdP, t G R, k G Z,
C\{0}
PP
by its characteristic transform,
JIemma 2. . Let Pn be a probability measu,re on (C, 0(C)) with, its characteristic transform wn(t, k). Suppose that
lim wn(t, k) = w(t, k), t G R, k G Z,
n—^
where the function v(t, 0) is continuous at t=0. Then on (C, 0(C)) ttere a
Pn C
n ^ to. In this case, v(t, k) is tte characteristic transform of the measure P.
If Pn converges weakly in the sense of C to some probability measure P on (C, B(C)) as n ^ to, then
where v(t,k) is the characteristic transform of P.
Proof of the lemma is given in [8], see also [10],
Finally, let P be a probability measure on (X, B(X)), Then the functions
where the last integrand is zero if x = 0 or r = 0, are called the characteristic P
Лемма 3. . A probability measure P on (X, B(X)) is uniquely determined by its characteristic transforms (^(t), v(t, k), vm(ti, t2, k), l = 0,1,m = 0,1).
Лемма 4. . Let Pn be a probability measu,re on (X, B(X)) with its characteristic transforms (vln(t), vn(t, k), vmn(t1, t2, k), l = 0,1, m =0,1), n G N. Suppose that
where the functions v(t),l = 0,1,v(t, 0),vm(0,t2, 0) and vm(ti, 0, 0),m = 0,1, are continuous at t = 0,t2 = 0 and t1 = 0, respectively. Then on (X, B(X)) ttere ercisfc a probability measure P such, that Pn converges m-weakly in the sense of X to P as n —> to. In this case, (v^(t), v(t, k), vm(t1, t2, k), I = 0,1,m = 0,1) are tte characteristic transforms of the measure P.
lim vn(t, k) = v(t, k), t G R, k G Z,
and
vm(ti,t2,k) =
x|it^nmxrit2eifc^dP, t1,t2 G R, k G Z, m = 0,1
X
lim vln(t) = v^(t), l = 0,1, t G R,
n—
lim vn(t, k) = v(t, k), t G R, k G Z
n—^
and
lim vmn(ti,t2,k) = vm(ti,t2,k), m = 0,1, ti,t2 G R, k G Z,
n—^
JIemma 5. . Let Pn and (vln(t), vn(t, k), vmn(ti, t2, k), l = 0,1,m = 0,1) be the
Pn X
probability measure P on (X, B(X)) as n ^ to. Then
lim vln(t) = vj(t), l = 0,1, t G R,
n—^
lim vn(t, k) = v(t, k), t G R, k G Z,
n—^
and
lim vmn(ti,t2,k) = vm(ti,t2,k), m = 0,1, ti,t2 G R, k G Z,
n—^
where (vj(t), v(t, k), vm(ti, t2, k), l = 0,1, m = 0,1) are Йе characteristic transforms of the measure P.
Proofs of Lemmas 3-5 are given in [12].
Mean values of multiplicative functions. Let g(m) be a multiplicative function. We say that the function g(m) has the mean value M(g) if
lim — g(m) = M(g). x—^ x 1'
m<x
In this section, we will recall some known results on mean values of multiplicative functions.
Лемма 6. . In order that the mean value of the 'multiplicative function g(m), |g(m)| < 1, exist and be zero, it is necessary and sufficient that one of the following hypotheses should be satisfied:
10 For every u G R,
1 — R eg(p)p-
,-ги
1 - ney\JJ)p _
^ p 00’
p
20 There exists a number u0 G R such that the series
1 — Reg(p)p~vao ^ p °°
converges, and 2 rm°g(2r) = — 1 for a 11 r G N.
The lemma is a corollary of the result of [4], see also [5]
JIemma 7. . Let g(m) = g(m; t1,..., tr) be a multiplicative function, |g(m)| < 1. Suppose that there exists a function a(t1, ...,tr) such that the series
y-v 1 — Reg{jp)e т(*ь-,ir)
p
converges uniformly in t,, | < T, j = 1,r. Then, as x ^ to,
1 ^ xia(t1 V^r)
- _ 1 + m(t1,...,tr)x
m<x
p<x V V a=1 ^ 7
uniformly in t,, |t,| < T, j = 1,..., r.
The assertion of the lemma is a particular case of a result from [13],
Proof of Theorem 6. Sufficiency. We suppose, for convenience, that 0z = 0 for all z e C,
Denote by (vln(t), vn(t, k), vmn(t1, t2, k), l = 0,1,m = 0,1) the characteristic transforms of the measure Pn in Theorem 6, Then we have that
1 n
vin(t) = - V] |gi(m)|rtsgn^i(m), i G R, I = 0,1,
m=1 1 n
vn(t,k) = -V |g2(m)|Vfcargfl2(m), t Gl, fcGZ, n
m=1
and
Vm(tl,t2,k) = ~ V tl,t2 G R’ fc f Z’
n ' r = 0,1.
m=1
Clearly, it suffices to consider wrn(t1, t2, k) for k e N0.
In view of Theorem 3 we have that the probability measure
Vn(g1(m) e A), A e B(R),
converges m-weakly to a certain probability measure P on (R, B(R)),P = Pa for every a e R, as n ^ to, Therefore, bv the second part of Lemma 1, we obtain that
lim vin(t) = vz(t), t e R, l = 0,1, (3)
n—
where vz (t), l = 0,1, are the characteristic transforms of P. Since the characteristic transforms are continuous functions, vz(t), l = 0,1, are continuous at t = 0, Similarly, in view of Theorem 4 we have that the probability measure
Vn(g2(m) e A), A e B(C),
converges weakly to a certain probability measure P on (C, B(C)),P({0}) = 1, as n ^ to. Therefore, by the second part of Lemma 2 we have that
lim vn(t,k) = v(t,k), t e R, k e Z, (4)
n
n
where w(t, k) is the characteristic transform of the limit measure P. Moreover, the function v(t, 0) is continuous at t = 0,
It remains to consider the function vrn(ti, t2, k).
From the hypothesis of the theorem we have that
5] I < °°- (5)
gl(p)g2(p)=0
Let, for brevity, means that the summation runs over those p for which
p
g1(p)g2(p) = 0. Consider the series
I^*11 ^ (P) I**2 argg2 (p)
P
O ^ * n */ V-'l-Re Sgn’-flTiO?) IflT! (p) |iAl |^2(p) |it2ei Sr{ti,t2,k) = 2_^ -----------------------------------------------------------------
p
First we study the case r = 0. The hypotheses 10 and 20 show that the series y^/ 1 - Re\gj(p)\itj = y^/ 1 - cos (tj log | (p) |) = sm2{{tj/2)log\gj{p)\)
p p p
p p p
(6)
converges uniformly in tj, |tj| < t0, for every fixed t0 > 0, j = 1, 2, Therefore, in virtue of the inequality
1 — Rez1z2 < 2(1 — Rez1) + 2(1 — Rez2) (7)
valid for |zj | < 1, j = 1, 2, see [2], we have that the series S0(t1,t2, 0) converges uniformly in tj, |tj| < t0. This, (7) and Lemma 7 show that uniformly in tj, |tj| < t0, as n —— to,
0,0) = n K) 0+E lgl(p°)'^(p°)l‘fa) +*)• 0)
p<n ' p/ V a=1 P 7
Now suppose that there exists k G N such that the series
(9)
pp
20
prove that there exists q G N such that the series (9) converges if and only if q|k. Then, for q|k, in view of (6), (7) and convergence of series (9) we obtain that the series S0(t1, t2, k) converges uniformlv in tj, |tj | < t0. Thus, bv Lemma 7, uniformly in tj, |tj| < t0, as n — to,
/ \/ ~ |g1(pa) 1**1 |o2(Pa) 1**2eikargg2(pa)\
Von(ti,t2, k) = ( 1- > 1 Pj ( 1+^------------------—------------J +0(1). (10)
p<n ' ' ' a=1 P 7
Now let g \ k, Then the method of [3] allows to prove that, for all u G R,
(p)p-‘- = +co (11)
pp
It is not difficult to see that in view of the identity
1 — Z1Z2Z3 = 1 — Z1 + ^1(1 — Z2) + ^1^2(1 — Z3)
we have that by (11) and (4)
. ^ 1 - Re |(p) ||(p) Ieifc argS2
p ~
p<n
Y^/l-R eeifcargfl2(p)p-iM 1 - Re^i^)!^1 1 - Re^Op)^2
— z_^ p z_^ p z_^ p
p<n p<n p<n
1 — Re|g1(p)|itl \1/2/^ / 1 — Re|g2(p)|it2 \ 1/2
pp p<n ' x p<n
1 - Re|fl,i(p)litiy/2/^/ 1 - Reeifcargfl2^p_i“^1/2
pp p<n 7 v p<n
/ ^2' 1 - Re\g2{p)\it2\1/2 1 - Reeifcargfl2(-P')p_i“\ 1/2 +oo
pp p<n ' x p<n 7
as n — to uniformly in tj, |tj | < t0, and all u G R. Therefore, bv (5)
x ^ 1 - Re | (/1 (p) |Ul | g2 ip) |it2 eik arg fl2 _
p
t1, t2, u G R
lim V0ra(t1,t2,k) = 0. (12)
n—<^
kGN ^ 1 — Reu! (p)p-iu
> -----------------------= +°°,
p
p
k G N, u G R, and, similarly to the case q { k, we obtain that, for all k G N, t1, t2 G R,
lim V0„(t1,t2,k) = 0. (13)
n—
Clearly,
1 ^f1 + £ |^i(pa)|itl|^2(pa)|it2eifcargfl2(p“)
_1 k(p)r%2(p)r^fcargfl2(p) (14)
P2 VP2/
uniformly in tj,j = 1, 2, We clearly have seen that the series S0(t1; t2, k), for q|k, converges uniformly in tj, |tj| < t0, j = 1, 2, So, in view of (12), for the convergence of w0n(t1, t2, k), q|k, it remains to consider the series
CV, , M def ^'Im\gi(p)\^\g2(p)\^e^92^
s(t i,t2,k) = 2^-----------------------------------•
p
Denote bv '' the summation in ' over those primes p for which at least one of pp inequalities | log |g1(p)|| > 1 or | log |g2(p)|| > 1 is satisfied, and 1 et J2'" mean the
p
summation in over primes p satisfying | log |g1(p)|| < 1 and | log |g2(p)|| < 1.
p
Then we have that
Sihhk) = Y” lm\9i(p)\Ul\92(p)\lt2elkaTg92{p) |
’ ’ ^ p
p
y. - /// Im | gi (p) |ltl Re | g2 (p) |%t2 Re e%k arg 92 ^
^ p
p
x - /// Re | gi (p) |%tl Im | g2 (p) |%t2 Im elk arg 92 ^
^ p
p
x - in Re | gi (p) |ltl Re | g2 (p) |%t2 lme%k arg 92 ^
^ p
p\ y-v iii Im|gi(p)|rtlIm|g2(p)|rt2Imetfcargs'2(^)^ def
pp p
5
def
j.
j=1 1
The hypothesis of theorem imply the uniform convergence in tj ,j = 1, 2, for the
1 q| k
2=
p
— £
'''(t 1 log1 g1 (p) 1 + O(t3 fog21 g1 (p) 1 ))(1 + O(t2 log21 g2 (p) 1))
p
''' to |g1(p) |**^Re |g2(p)|it2 (1 — Re eik arg g2(p))
p
p
converges uniformly in tj, |tj| < t0, j = 1, 2, Similarly, we find that the series in (1 + O(t2 log2 |g1(p)|))((t2log |g2(p)| + O(t3 log2 |g1(p)|))
3=
p
Re \giijp)\%tllm |<72(_p)I**2(1 — Re etfcargfl2^) p '
p
x - Im etfcargfl2(p) (1 — Re | <7i (p) |rtl )Re |g2(p)|rt2Im etfcargfl2(p)
Z^4 p p
pp
,„ (1 _ Re Iflr2(p)|it2)lm eifcargfl2(p)
pp p
y-v y~v»> (1 — Re 2|,i(p)|-)1/2(l — Re 2|,2(p)|-)1/2lm
<
p
< 2 / ^ /// 1-Re 1/2 / ^ /// 1-Re |g2(p)|if2\ 1/2
p p p p for q|k, converge uniformly in tj, |tj| < t0, j = 1, 2, Therefore, from this, (8), (10)
q| k
lim V0n(t1,t2, k) = V0(t1,t2, k),
n—<^
where
]\ / |g1(p“)|i*l |g2(p“)|**2e*kargg2(p“)
V0l
(ii, t2, k) — J^[ ( 1---------------) ( 1 + ^
Hence, and from (12) and (13) we have that
lim v0n(t1,t2,k) = V0(t1,t2,k), t1,t2 G R, k G Z,
n—<^
and the functions v0(0,t2, 0^d v0(t1, 0, 0) are continuous at t2 = 0 and t1 = 0, respectively.
It remains to study the characteristic transform w1n(t1, t2, k). We begin with w1n(t1,t2, 0), First suppose that
Y, I<oc- (16)
s(p)<0
Then, similarly to the case r = 0, we obtain that the series S1(t1,t2, 0) converges uniformly in tj, |tj| < t0, j = 1, 2, and thus, bv Lemma 7,
m*,*, *>=n(i--)(i+f: lgi(p“)|i,lsgngiip°)lg2(p°)r‘2)+o(D
uniformly in tj, |tj| < t0, j = 1, 2, as n — to. From this, using the above arguments, we obtain that
lim V1n(t1,t2, 0) = V1(t1,t2, 0), (17)
n—^
where
1 \ ^ I g1 (pa) Irtl sgng1 (pa) | g2 (pa) | **2
V1(
p/\ — pa
p v v a=1
and the functions v1(0,t2, 0^d v1(t1, 0, 0) are continuous at t2 = 0 and t1 = 0, respectively.
Now let
I= +oc (18)
gl(p)<0
This case is more complicated. We consider the series
/ 1 - sgn gi(p)Re \gi(p)\ui\g2(p)\it2p~iu u(_R
p
u=0
y^/ 1 - sgn ffi(p)Re \gi(p)\Ul\g2(p)\it2 > y^' 1 - sgn ffi(p)Re \gi(p)\Ul
1 - Re \g2(p)\it2 J ^2' 1 - sgn gi(p)Re \gi(p)\Ul\1/2
pp
p< n p< n
X
x| y^'1-R.c te(p)l‘ay/2_ y*' 2 — (1 - Re |gl(p)|*) : e(1)
p< n p p< n p
gl(\)<0
(19)
p< n p
g2(p)<0
as n — to.
Now suppose that u = 0, Then, taking into account (6), we find that, for a > 1,
/ 1 — sgn #i(p)Re \gi(p)\Ul\g2(p)\it2p iu
pf
p
^ / 1 - sgn ffi(p)Re \gi(p)\Ulp iu , Qf ^2> 1 - Re \g2i:p)\it2
pCT \ *■—' p
+
+0/ / J2' 1 ~s&n9i(p)Re \9i(p)\UiP iu\1/2 / 1 - Re \g2(p)\it2^ 1/2
£'
1 — sgn g^p)Re |g1(p)|itlp pa
+Q ^ ' 1 ~Sgn gi^Re \9i(p)\itlrP iu^j 1/2^j + (20)
It is not difficult to see that, for g1(p) = 0,
1 — sgng1(p)Re |g1(p)|itlp-iu =
= 1 — sgn g1(p)Re p-iu + sgn g1(p)Re (p-iu — |g1(p)|rtlp-iu) =
= 1 — sgn g1(p) cos(ulogp) + sgn g1(p) cos(ulogp)(1 — cos(t1 log |g1(p)|))+ +sgn g1(p) sin(ulogp) cos(t1 log |g1 (p)|).
Therefore, in virtue of (6)
1 — sgn g^p)Re |g1(p)|itlp-iu v-^i 1 — sgn g1(p) cos(u logp)
y-v> 1 — sgn gi(p)Ke \gi(p)rLp
pCT pff
1 /2
+0i ^2'1 - cos(^iIog|ffi(p)IA + o(Yj^ /1 _sgn£i(-P)cos(Mlog-PA
p / V V pa /
pp
1 /2
x 1 - cos(tj log \gi(p)|) \ 7 \ = y^1 1 — sgn gx(p) cos(ulogp)
Z^ p J J Z^ pa
pp +°((£' 1 ~ Sg“ 9l(^COS(Ml°gp))‘/2) +0(1). (21)
Now let e > 0 is a small fixed number, and a = areeos(l — e) < 2yje. Then in view of (5)
' 1 — sgn g1 (p) cos(u logp) ' 1 — cos(m logp)
Z^ p<T Z_/ pa
p gl(p)>0
^—T 1 1 + cos(u log p) ^—T 1 ^—T 1
+ >------------------£ > -------------£ > — >
pa pa po-
gl(p)<0 gl(p)>0 gl(p)<0
1—cos(u log p)<£ 1+cos(u log p)<£
^_ 1 ^ ______________ 1
Sf£^-f£ £ 7 s
P 1=0 eXp{^}<p<exp{^}
- -C£3/2) log ^ +°° (22) as a — 1 + 0. Thus, (19)-(22) and (5) show that, for all t1, t2, u G R,
^ 1 — sgn g1(p)Re |g1(p)|itl |g2 (p) |it2p—iu
>----------------------------------> + OO
pa
as a — 1+0. Moreover, the last sum monotonically increases as a — 1+0. Therefore,
t1, t2, u G R
^ 1 — sgn g1(p)Re g1(p)Re Ig^p)^ |g2(p)|it2p—
> = +oo.
p
p
Therefore, by Lemma 6
lim v1(t1,t2, 0) = 0. (23)
n—<^
Now suppose that there exists at least one k G N such that the series (9) converges. If (16) is true, then similarly to the cases r = 0 and w1n(t1,t2, 0) we find that, for q|k, the series S1(t1,t2, k) converges uniformly in tj, |tj| < t0, j = 1, 2, and from this we deduce that
lim V1n(t1,t2, k) = V1(t1,t2, k), (24)
n—^
where
1 ^ |g1(p“)|it^ng1(pa)|g2(pa)|it2eikargg2(pa)'
V1(
(ti,t2,k) = n 1 - - 1 + Y1
p/\ --------- p
p N 7 N a=1
Now suppose that (18) is valid. Then, the convergence of the series (9) shows q| k
1 — sgn g^p)Re eikargg2(p) ^i 1 — Re eikargg2(p)
p T7<0 p
f gl(p)<0
v^i 2 — (1 — Re eikargg2(p)) . ,
+ £ -----------------------------1 = +°°- (25)
gl(p)>0
Now let u = 0, Then, for q|k and a > 1, bv (22)
1 — sgn g^p)Re eikargg2(pa)p—.^i 1 — sgn g1(p) cos(u logp)
y-y/ I — sgn gi{p)ixe >p /
+ ^ / 1 - cos(k argg2(p))\ +o(Yj^/ 1 -sgn ^i(p)cos(m1°SP)\1/2
p / V V pa /
' p / \ \ p /
' 1 — cos(k a,Tgg2(p)) \ ' 1 — sSn S'i(p) cos(M logp)
x| p J J = <L ^ +
pp
X
+o( £'
pa
p
+
as a — 1+0. Now this, (5), (25) and convergence of the series (6) allow to prove
t1, t2, u G R q|k
1 — sgn g1(p)|g1(p)|itl |g2(p)|it2eikargg2(p)p—
>----------------------------------------------------------> +oo
pa
as a — 1 + 0, Hence, we have that, for all t1, t2, u G R,
1 — sgn g1(p)|g1(p)|itl |g2(p)|it2 eik arg g2(p)p—
/ --------------------------------------------------------= +°°)
p
p
q| k
lim v1(t1, t2, k) = 0. (26)
n—<^
If q f k, then, for all u G R,
1 — Re eik arg g2(p)p—
p
+to. (27)
Therefore, in the ease of (16), for q f u G R,
1 — Re eik arg g2(p)p—
£'
+.
p
gl(p)>0
Hence, for q f ^d u G R,
1 - sgn g1{p)E£eikarg92(-p')p-iu _ 1 - Reeikaig32^p-iu
pp
pp
1 + Reeifc arg g2(p)p—
> = +oo.
p p
gfk
lim v1(t1, t2, k) = 0. (28)
n—^
Now suppose that (18) and (27) take place. Then we have that
y i<oo.
p
gl(p)>0
u G R
1 — Reeifc arg g2(p)p—
> ----------------------------= +00.
p
gl(p)<0
u G R
1 - sgn £i(p)Reeifcargfl2(p)p-™ _ 1 - Reeifcargfl2^p_i“
P , P
p gl(p)>0
v-^i 2 — (1 — Reeifc argg2(p )p—iu)
+ > ----------- ------------------- —- = +00.
p
gl(p)<0
qfk
lim v1(t1, t2, k) = 0. (29)
n—<^
If, for all k G N and u G R,
^ 1 — Reu! (p)p—
/ ---------------------= +°°)
p
p
q fk k G N
lim v1(t1, t2, k) = 0. (30)
n—<^
Now (3), (4), (15), (17), (23), (24), (26), (28)-(30) and Lemma 4 complete the proof of the sufficiency.
Necessity. Suppose that the measure Pn converges m-weaklv in the sense of
X to a certain probability measure P on (X, B(X)), PR = Pa for everv a G R and
PC({0}) = 1, as n — to. Hence we find that the probability measure
Vn(g1(m) G A), A G B(R),
converges m-weaklv to a certain measure P on (R, B(R)), P = Pa for eve rv a G R,
as n — to. Therefore, by Theorem 3 we obtain hypothesis 10 of the theorem. Similarly, we have that the probability measure
Vn(g2(m) G A), A G B(C),
converges weakly to a certain measure P on (C,B(C)),P({0}) = 1, as n — to. Hence, bv Theorem 4, we obtain hypotheses 20 and 30 of the theorem.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Bakstvs A, On limit distribution laws for arithmetical multiplicative functions // Liet, matem, rink, 1968, No 8, P. 5-20 (in Russian),
[2] Delange H, A remark on multiplicative functions // Bull, London Math, Soc, 1970. No 2. P. 183-185.
[3] Delange H. On the distribution modulo 1 of additive functions // J. Indian Math. Soc. 1970. No 34. P. 215-235.
[4] Delange H. Sur la distribution des valeurs des fonctions multiplicative complexes // C. R. Acad. Sc. Paris. 1973. No 276. Serie A. P. 161-164.
[5] Elliott P. D, T, A, Probabilistic Number Theory I // Springer-Verlang, 1979,
[6] Erdos P. Some remarks about additive and multiplicative functions // Bull, Amer. Math. Soc. 1946. No 52. P. 527-537.
[7] Laurincikas A. The multidimensional distribution of values of multiplicative functions // Liet. mat. rink. 1975. 25 No 2. P. 13-24 (in Russian).
[8] Laurincikas A. On the distribution of values of complex functions // Liet. matem. rink. 1975. 15 No 2. P. 25-39.
[9] Laurincikas A. On the distribution of complex-valued multiplicative functions // J. Theorie Nombres Bordeaux. 1996. No 8. P. 183-203.
[10] Laurincikas A. Limit Theorems for the Riemann Zeta - Function, Kluwer, Dordrecht. 1996.
[11] Laurincikas A. The characteristic transforms of probability measures // Siauliai, Math. J. (to appear).
[12] Laurincikas A., Maeaitiene R, The characteristic transforms on RxC // Integral Transforms and Special Functions (to appear).
[13] Levin В. V., Timofeev N. M. Analytic method in probabilistic theory // Uch. zap. Vladim, gos. ped. inst. 1971. No 57 (2). P. 57-150 (In Russian).
[14] Levin В. V., Timofeev N. М., Tuliaganov S. T. Distribution of values of multiplicative functions // Liet. matem. rink. 1973. No 13 (1). P. 87-100 (In Russian).
Department of Mathematics and Informatics
Vilnius University
Naugarduko 24
03225 Vilnius
Lithuania
E- mail: antanas.laurincikas@maf.vu.lt
Получено 13.05.2008
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 10 Выпуск 1 (2009)
О ПРЕДЕЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НА ОКРУЖНОСТИ
Ф. М. Малышев, В. Л. Мигунов (г. Москва)
Будем рассматривать распределения вероятностей на конечном отрезке, совпадающие в крайних точках; для удобства будем считать, что длина этого отрезка равна 2п, При отождествлении крайних точек можно интерпретировать отрезок как окружность единичного радиуса. Таким образом, мы будем исследовать поведение некоторых распределений вероятностей на окружности единичного радиуса. Заметим, что если задана случайная величина X на прямой, то она индуцирует случайную величину X на окружности при отождествлении точек прямой вида, х + 2пк, к € Ъ.
Если X имеет плотность <^(х), то плотность вели чины X будет
^(х) = £ <^(х + 2пк), х € [—п,п]. (1)
к=—<^
Периодическую функцию <£(х) будем рассматривать на всей прямой,
” ” ” , ч 1 _ *2
В случае нормального распределение с плотностью /а{х) = ._ е ^ ин-
\j2na
дуцируемая таким путём плотность вероятностей на окружности будет задаваться функцией:
k=-<^
Функция /о (x) является чётной и периодической с периодом 2п.
За корректностью задания функции / (x), правомерностью используемых ниже дифференцирования по параметру и подынтегральных предельных переходов, а также всех других утверждений, касающихся рядов Фурье, мы отсылаем к учебнику [1].
При небольших значениях о, о << 2п, функция /(x) будет мало отличаться от /о(x), x G [—п,п], но с увеличением о, график функции /(x) всё больше и больше напоминает график функции A cos х + для некоторого, зависящего от о, коэффициента A Поразительная точность этого совпадения (10-11)
о
поведение не случайно ввиду следующей теоремы.
Теорема 1. Функция /о (x) при о ^ то равномерно сходится к постоянной
равномерно сходится к функции cos x.
функции, равной ^ при этом _2]_
Доказательство. Утверждение теоремы следует из представления /(х) рядом Фурье:
1
СЮ
1 ._____________, -2 2
1 X ^ i СТ
/о-(ж) = — + — > е 2 . COS IX.
2п
п
i=1
(2)
В самом деле,
1 _ 1
—е 2 cos х Н—е п п
fa(x) J ; 2тг
СЮ <r2 ^—"\ 2 i=2 i2_i)ff2 _
2 COS IX
1 .2 1 ^ -е~ ^ пп
СЮ
- — \ " --е 2
i=2
i2-l)CT2
2
Откуда lim
=0.
Аналогично проверяется вторая часть теоремы, поскольку:
_ {г 1)сг ф
f , ч 1 cos ж + > е 2 cos гх fAx) - 27г = i=2
Л(0) - А "
cos x
~ _ а2-1)°2 1 + Ее 2 i=2
1
= cos x.
Для полноты доказательства теоремы 1 приведём вывод формулы (2). Пусть
есть разложение Фурье /o(x)
«о (g)
+ Е аг(о) cos ix для функции /о(x); где
i=1
+_
i = 0,1, 2,....
Последний интеграл с помощью замены переменной t = ix сводится к инте-
+_ 2
гралу вида, S(c) = f e- ct cos tdt, c > 0. Этот интеграл вычисляется аналити--_
чески. Действительно, применим дважды интегрирование по частям:
+ _
+_
+_
S(c) = f e ct costdt = / e ct dsint = 2c / te ct sintdt =
_ _ _
+_ 2 +_ 2
= —2c/ te - ct d cos t = 2cS — 4c2 / t2e - ct cos tdt.
-_ -_
+_ 2
Теперь заметим, что интеграл — f t2e- ct cos tdt получается при дифферен-
-_
+_ 2
цнрованни S(c) по параметру с, т.е. SC(c) = — f t2e-ct cos tdt.
o—^oo
a
— oo
Подставляя это в предыдущее соотношение, получим следующее дифференциальное уравнение S = 2cS + 4с2S'. Откуда S(c) = Для определения
+ю 2
коэффициента 9 нужно в равенстве f e— 1 cos atdt =
— СЮ
-- 2
1 У
= a I е cos У^У =@ ' е °4 устремить параметр а к нулю и получить: в
—ю
+сю
J е~г dt = у/тг. Или,окончательно: S(c) = J е~ ct cos tdt =
—ю — ю
Используя полученную формулу, имеем:
7Г х2 +00 у2
аЛа) = - Г J- е~ 2^2 cog ixdx = — f J- e~ n2*2 Cos ydy =
n ' 7Г J V27TO- тгг J V27TO- y y
— П — ю
Н-Ю y2 .2 2
1 1 n _ У j 1 ___ г a .
= — • -7=- e 2i2CT2 cosydy =-e 2 г =1,2,...,
пг л/2по J & & п 5 ill
— ю
ю {2 а2
т.е. /о-(ж) = ^ ^ Е е ^ ’ cosix, что дает разложение (2).
г= 1
Теорема 1 полностью доказана.
Вопрос о поведении, при о ^ то, отношения
(3)
можно ставить для более широкого класса неотрицательных (не обязательно чётных) функций вида, <ра(х) = сг > 0, для которых интеграл по всей
прямой равен единице. Проще поведение отношения (3) охарактеризовать в случае увеличения а по целочисленным значениям, что мы в дальнейшем и предполагаем.
Теорема 1 (по крайней мере при а Є М) справедлива для достаточно широкого класса распределений ^(х), а не только для fl(x). В то же время, имеются распределения <^(х), для которых теорема 1 подтверждается только частично, но в целом отношение (1) ведёт себя при а ^ то совершенно иначе. Справедлива даже следующая теорема.
Теорема 2. Для, любого подмножества K С N, содержащего единицу, можно указать плотность p(x) распределения, вероятностей на, прям,ой такую, что для, любого k Є K имеется стремящаяся, к бесконечности, натуральная последовательность {oi},i ^ 1, для, которой
Фа-(х) — тг lim ^ г ------у- = cos kx,
г^оо ^.(0) - ^
Прежде чем доказывать эту теорему сделаем несколько замечаний. Любая чётная (для определённости) неотрицательная функция ■ф(х) на окружности (или, иначе, 2п - периодическая), совпадающая с суммой своего ряда Фурье
может быть реализована в виде ф(х) = <р(х + 2пг), для некоторой плотно-
стп ф(х) распределения вероятностей на прямой, ■ф(х) = ф(х), х Е К, Достаточно для этого рассмотреть неотрицательную последовательность с ^ 0 г Е Z,
Е С = 1 и положить ф(х) = с^(х), для х Е (2пг-п, 2пг+п), г Е а в точках
х = 2пг + п положить '-р(х) равной полусумме левого и правого пределов.
Если озаботиться сохранением за <^>(х) того же уровня гладкости, что и у ф(х), то можно, например, положить c-i = ci> 0 г Е Z, а последовательность Ci, г ^ 0, взять строго монотонно убывающей, удовлетворяющей равенствам ci-1 — ci = ci — ci+i при всех нечетных г. Поме этого для х Е [2пг — п, 2пг + п] полагаем <р(х) = Ciip(x), в случае чётных г Е Z, и <р(х) = с^1)(х)+тСг^1~Сг+1 cos | в случае нечетных г Е Z, Здесь m = min ф(х), причём предполагаем, что минимум
достигается в точках х = п + 2пг, г Е Z, В этом нет ограничения общности для самого факта построения ф(х).
Сделаем ещё одно очень важное замечание, относящееся к целым а > О,
Пусть фа(х) = 2^ + ai(a) cos ix разложение в ряд Фурье функции фа(х).
(4)
i=1
те
i=1
Тогда
те
те
те
7Г
7Г
І
— П
— П
7Г
І
J ф(і) cos iatdt = a,
— П
Таким образом, мы получили соотношение:
ai(a) = aia, i,a ^ 1,
(5)
где коэффициенты aia берутся из равенства (4),
В силу сделанных замечаний, для получения примеров плотностей распределения р(х), для которых предел отношения (3) по целым а равен cos х, как в тереме 1, достаточно в разложении (4) взять положительные коэффициенты ai; г ^ 1, для которых
Иш + + а4<т + -• = 0. (6)
аст
Следует также отметить, что в качестве предела отношения (3), кроме cos кх, как в теоремах 1 и 2, могут быть и другие функции. Для примера
положим в (4) cii = ^, г ^ 1, а > 1,
Тогда отношение:
фа(х) — аа COS Ж + (12a cos 2х + йЗа cos Зх + ....
фа( 0) — а<т + 0>2 а + ^Зсг + ....
cos х + ^ cos 2х + ^ cos Зх + ....
1 + — + — +
I 2a I 3а I • • •
даже не зависит от а Е Z, а > 0, и имеет довольно общую природу.
Доказательство, (теоремы 2) Рассмотрим вначале последовательность ai > 0 г ^ 1, состоящую го коэффициентов Фурье функции /1(х).
Далее, пусть К = {1 = к1, к2,...}, к1 < к2 < ....Обозначим через к1, к2, к3,... последовательность вида,:
к1; к1) к2; к1) к2, к3; k1J к2, к3, к4; ...; к1) к2j ...J кг; к1, к2, -., ^+1;
При |К | < то нужно повторять неограниченное число раз самый длинный отрезок в этой последовательности - к1,к2,..., к\к\. Из последовательности а1,а2, ...,а,1,... сформируем новую последовательность а1, а'2,..., ai,... путём замены некоторых ai, г ^ 1, нулями,
г1
a'i1 = 0j a2i1 = 0j ...j a(K1-1)i1 = 0j aK1i1 = aK!h; г2 = к1г1 + 1;
ai2 = 0j a2i2 = 0j ...j a(K2-1 )i2 = 0j aK2i2 = aK2i2; г3 = К2г2 + 1;
ai. 0,a2ij 0,...,a(Kj — 1 )ij 0, aKj ij aKj ij ; ij+l Kj ij + 1;
i j
Если г Е {^i |s Е {1, 2,..., Kj — 1}, j = 1, 2, 3,...}, тогда ai = ai.
Для доказательства теоремы остаётся рассмотреть функцию ф(х) = ^ +
те
Е ai cos гх, по ней построить соответствующую плотность ф(х) = фК(х) рас-
І=1
пределенпя вероятностей на прямой (такую, что ф(х) = ф(х), х Є К), затем для конкретного к Є К в качестве подходящей последовательноети {аі},і ^ 1, рассмотреть монотонную последовательность {іу Ц Є N : Ку = к} и воспользоваться равенством (5), Теорема 2 доказана.
Замечание, Нетрудно видеть, что для используемого в доказательстве теоремы 2 распределения ф(х) предельными функциями в отношении (3) будут, наряду с прочими, функции cos кх для всех делителей к чисел к Е К.
Настоящая статья возникла по инициативе второго автора, заметившего близость графиков функций f (х), а Е [п, 2п], к синусоидам и взявшего на себя труд технического оформления. Формулировки обеих теорем и их доказательства принадлежат первому автору,
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Архипов Г.И., Садовничий В,А,, Чубариков В,Н, Лекции по математическому анализу, М, Высшая школа, 1999 г,
malvshevf@yandex.ru.
Получено 15.12.2008
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 10 Выпуск 1 (2009)
АЛГОРИТМ ДОБРОВОЛЬСКОЙ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПРАВИЛОМ ОСТАНОВКИ 1
Е. Д. Ребров (г. Тула)
Аннотация
В работе рассматриваются вопросы численного интегрирования периодических функций многих переменных по системе квадратурных формул с парралелепипедальными сетками, построенных по алгоритму Л. П. Добровольской.
Введение
В 1957 - 1960 годах ([7] — [9]) при создании теоретико-числового метода в приближенном анализе Н. М. Коробов ввёл в рассмотрение широкий класс периодических функций Еа (а > 1) с быстро убывающими коэффициентами Фурье, состоящий из функций f (х\, ..., х3), имеющих по каждой из переменных Х\,... ,х3 период, равный единице, и для которых их ряды Фурье
удовлетворяют условиям
где константа С те зависит от ш\,..., ш3, и для веществе иных т полагаем т = тах(1, |т|). Ясно, что такие ряды Фурье сходятся абсолютно, а поэтому для любого (а > 1) они представляют непрерывные функции.
Относительно нормы
пространство Еа является несепарабельным банаховым пространством изоморфным пространству — всех ограниченных комплексно значных последовательностей (см. [5]).
те
||/(жі,... ,ж5)||е? = вир\С(т)\(ті. ..т3)а
1Работа выполнена по гранту РФФИ 08-01-00790
Усеченной нормой называется величина q{x) х\ ... где для вещественного х обозначаем х = тах(1, |ж|). Тогда усеченной норменной поверхностью с параметром t называется множество N(t) = {xlq(x) = t}. Для натурального
t на усеченной норменной поверхности имеется r*(t) целых ненулевых точек, 2
ГДР
Ts(t) = ^ 1 (3)
m €N (t)
— число представлений натурального числа t в виде t = тГ... т,J.
Используя новые обозначения, можно написать другое выражение для нормы функции Ilf (X)||Ea, Справедливо равенство
||f(x)||Ea = supta max |C(m)|.
s t^i m&N (t)
Через Ef(C) обозначается множество функций из ESa с нормой, не превосходящей C, то есть шар в банаховом пространстве ESa радиус a C с центром в нуле.
Нетрудно видеть, что произвольная периодическая функция f (X) из E^(C) по модулю ограничена величиной C (1 + 2((a))s, при этом данная оценка достижима на функции
°° с
f(x)= V т=----------- _ч e2m(tn’g)
^ (mi ■ ■ ms)a
m =—оо
в точке x = 0. Здесь и далее, как обычно, ((а) — дзета-функция Римана.
Очевидно, что Ea(C) С Ee(C) при а ^ в- Для любой периодической функции f (x) Є E<a(C) С Ee(C) справедливо неравенство для норм
llf (x)IIEа > llf (x)IIEe .
Равенство достигается только для конечных тригонометрических многочленов вида,
f (x)= c(m) e2m(m’g).
m gN (l)
Рассмотрим квадратурную формулу с весам,и
11 N
\ \ f(xi,...,x8)dx1...dx8 = -^^PkfiCiik),... ,£s(k)] - RN[f]- (4)
N
о о к=1
Здесь через Ям ] обозначена погрешность, получающаяся при замене интеграла
1 1
!-!!
оо
23десь и далее ^7 означает суммирование по системам (mi,..., ms) = (0,..., 0).
средним взвешенным значением функции f (х... ,х3), вычисленным в точках
Мк = (Ш,---,Ш) (к =1 ...м).
Совокупность М точек Мк называется сеткой М, а сами точки — узлами квадратурной формулы. Величины рк = р(Мк) называются весами квадратурной формулы. В этой работе будем везде предполагать, что все веса вещественнозначные.
Для произвольных целых ш1,...,ш8 сумм ы Бм,р(т1,.. .,т3), определённые равенством
N
Бм,Р<т1,.. .т) = ^ Рке2п^(к)+-+т^(к)\ (5)
к=1
называются тригонометрическим,и суммами сетки с весам,и.
Будем, также, рассматривать нормированные тригонометрические суммы сетки с весам,и
3М,р(тЬ- • •’т«) = (тЬ- •
N
Положим р(М) = Е |р^ |; тогда для всех нормированных тригонометриче-
3 = 1
ских сумм сетки с весами справедлива тривиальная оценка
|5^й)| < ^Р(М).
Если все веса равны 1, то будем говорить просто тригонометрическая сумма сетки и писать Бм (т) и нормированная тригонометрическая сумма сетки
Б*м(т).
Обобщая работу [6], дадим следующее определение.
Определение 1. Дзета,-функцией сетки М с весам,и р и параметром р ^ 1 назовем, функцию ((а,р1М, р) заданную в правой полуплоскости а = а + й (а > 1) рядом Дирихле
Ш1,...,Шв = — ^ п=1
где
3"(р,М,р,и)= £ |5Х,,дт)|>'. (7)
т (п)
Непосредственно из определения следует неравенство
с(ра,р1М,р) ^ Ср(а,11М,р). (8)
1М параметром р и писать ((а,р1М) ,
Справедливы следующие две обобщенные теоремы Коробова о погрешности квадратурных формул.
Теорема 1. Пусть ряд Фурье функции / (х) сходится абсолютно, С(т) — ее коэффициенты Фурье и Бр(т) — тригонометрические суммы сетки с весами, тогда справедливо равенство
/ \ ^
Як [/] = С(0) ( ^,,„(6) - 1) + 1 С(т)Ям,Дт) =
' ' т-1 т_ — — с-*-',
т1,...,тв = -х сю
= С(0) (3-Мр(0) - 1) + С(т)31,р(,п)
Ш1,...,Шв = — Ю
(9)
и при N ^ то погрешность Ям [/] будет стрем,и,ться, к нулю тогда, и только тогда, когда, взвещенные узлы квадратурной формулы равномерно распределены в единичном в-мерном, кубе.
Теорема 2. Если, /(хг,... ,х3) е Е<а(С), то для погрешности квадратурной формулы справедлива, оценка
\Ям[/]\< С
0) -1
с
N
£'
\>$м,р(т )\
С
Ш1,...,Ше= — Ю
Я*мЛ0) - 1 + С ■ С (а, 1\М,р)
(т 1... т3)с
(10)
где сумма Бм,з(т) определена, равенством, (5). На, классе Е<а(С) эту оценку нельзя, улучшить.
Модифицированной сеткой М (в) будем называть сетку, состоящую из модифицированных узлов
Мк 0) = ({Ш + вг},..., {&к) + в,}) (к =1 ..^).
Линейный функционал погрешности приближенного интегрирования периодической функции / (х) го маееа Е^ то квадратурной формуле с весами р и модифицированной сеткой М (3) будем обозначать через Ям(3) р[/ (х)], а его
Я„
норму — через
ьм (3), р
В новых обозначениях утверждение (10) формулируется: для нормы линейного функционала погрешности приближенного интегрирования функций, принадлежащих классу Еа то квадратурной формуле с весами р и модифицированной сеткой М (в) выполняется равенство
Я
м (3), 3
Еа
~^Бм,р(0) - 1
1
+ N
£'
I Бм,р(т1’ ■■■ ,тз (тГ... Тп1)а
(н)
Из этого равенства следует, что для всех модифицированных сеток М (в)
М
ции. Это просто объяснить через понятие граничной функции класса, которое впервые встречается в работе Н. М. Коробова [11], а более подробно в его монографии [12] (см. также [1]).
Функции /(х) с единичной нормой, для которых абсолютная погрешность приближенного интегрирования равна норме линейного функционала погрешности, следуя Коробову, будем называть граничными функциями класса, Е^. Легко видеть, что граничной функцией класса Е^ для сетки М с весами р будет функция с коэффициентами Фурье
Ясно, что если при некоторых значениях ш1; ,,,, ш3 тригонометрическая сумма Бм,р(ш) = 0, то граничная функция класса сеткой определена неоднозначно.
Нетрудно видеть, что если f (х) — граничная функция класса Еа для сетки
Так как граничная функция класса зависит от вектора модификации сетки, то приближенное интегрирование одной и той же функции по модифицированным сеткам для разных векторов модификации приводит к появлению дополнительной информации о приближенном значении искомого интеграла. Такая ситуация естественно возникает при использовании произведения сеток, если соответствующим образом организовать суммирование в квадратурной формуле, как будет видно из дальнейшего.
Цель данной работы — программа, реализующая алгоритм численного интегрирования с правилом остановки для периодических функций многих переменных по системе квадратурных формул с парралелепипедальными сетками. Предполагается, что система сеток является концентрической совокупностью параллелепипедальных подееток параллелепипедальной сетки Б, вычисленной по алгоритму Добровольской.
Вопросы численного интегрирования с правилом остановки рассмотрены в работе [3]. Следуя этой работе дадим частное определение мультипликативной дискретной дисперсии для случая произведения двух параллелепипедальных сеток с равными весами.
М
дением, двух параллелепипедальных сеток 3
при Бм, р(ш) = 0, при Бм,р(ш) = 0.
(12)
М, то д(х) = f (х — 3) — граничная функция класса Еа для модифицированной сетки М (33),
М = Мі ■ М2 = {{х + у}\х Є Мі, у Є М2} ,
3Для любого г Є Мя полагаем {г} = ({^і},..., {^я}) Є [0; 1)я.
то мультипликативной дискретной дисперсией погрешности приближенного
М
риодической функции / (х) из пространства, Еа будем называть величину 0*м м [/(ж)], заданную равенством
Из определения видно, что, вообще говоря, 0*м м [/(х)] = Б*М2.м1 [/(х)],
В качестве правила остановки можно брать величину мультипликативной дискретной дисперсией погрешности приближенного интегрирования, так как
1 Программная реализация алгоритма численного интегрирования с правилом остановки
В этом разделе мы рассмотрим программную реализацию алгоритмов численного интегрирования периодических функций многих переменных. Как показали И, И, Чепцов и И, Ф, Шарыгин вопрос об интегрировании произвольных функций с помощью периодизации задачи сводится к случаю периодических функций. Поэтому, для простоты изложения мы рассматриваем только классический случай теоретико-числового метода Коробова, то есть интегрирование периодических функций многих переменных.
Система компьютерной математики МаЛсас114 выбрана по нескольким причинам.
Во-первых, язык программирования для этой системы имеет очень простые и лаконичные средства, а графический интерфейс весьма выразительный. Поэтому, для широкого класса вычислительных задач этот язык пригоден как средство записи алгоритмов для публикации.
Во-вторых, хотя мы имеем дело с интерпретатором, но простота алгоритмов, их эффективность в сочетании с современными возможностями серийных персональных компьютеров, позволяют реально использовать написанные программы при проведении численных экспериментов и исследовательской работы в области численного интегрирования функций многих переменных,
1.1 Алгоритм Коробова вычисления оптимальных коэффициентов
Следующая программа вычисляет по заданному модулю р и набору коэффициентов а = (а0, аг,..., а3)Т значение функции Н(р,а), которая является количественным критерием качества набора коэффициентов с точки зрения
2 2
при \М\ ^ то будем иметь 0*м м [/(х)] ^ 0,
применимости для использования в квадратурных формулах с параллелепп-педальными сетками.
HT(p, a) :=
p
p-i s s
E 1—2
k=0 j=0
a,j - к P
a,j - к P
Например, при p = 101 и a = (1,19, 85)T получим
HT (p,a) = 1.1030731532962952.
Ясно, что трудоемкость вычисления по этой программе равна O (s • p) элементарных арифметических операций.
При реализации произведения двух параллелепипедальных сеток естественно иметь программу вычисления точек сетки в виде двумерного массива, что и делает программа Setka(p, а).
Setka(p, а) := s •*— length(a) — 1, S'p-i,. for к £ 0..p — 1 forj £ 0..s
Sktj - ^ ~ floor (^)
S'
Эта программа также требует для формирования двумерного массива координат точек сетки O (s • p) элементарных арифметических операций.
При наличии массива координат точек параллелепипедальной сетки есте-
H
HS(S)
HS(S) :=
р
p-i s 2
E П (1 — 2 • Sk,j)
k=0 j=0
R
Переходя к вопросу о вычислении оптимальных коэффициентов по модулю р, прежде всего рассмотрим покоординатный алгоритм вычисления, который требует для своей реализации О (в2 • р2) элементарных арифметических операций.
HT 1(p,s) :=
as-i ^ 1, b0 ^ 1, a0 ^ 1 forj Є 1..s — 1 R <- 3J+1 for c Є 1 ..p — 1 bj <- с
~ , 3i+1
p-i j
E П
k=0 .1=0
-i 2‘
bi-k
P
bi-k
P
2
p
a
Необходимо отметить, что первоначально Н, М. Коробов свой алгоритм обосновал только для простых модулей. Позднее он его модифицировал для составных модулей равных произведению двух простых, что позволило сократить трудоемкость алгоритма вычисления оптимальных коэффициентов с О (М2) до
О Хотя в литературе не встречается обоснование этого алгоритма для
произвольного составного модуля, но не трудно понять, что такое обоснование, но без оценок качества, нетрудно дать. Действительно, из результатов разных авторов следует существование оптимальных коэффициентов по любому составному модулю. Кроме того, известно, что ^-мерный набор оптимальных коэффициентов всегда можно дополнить до 5 + 1-мерного набора. Поэтому, если среди всех 5 + 1-мерных наборов с фиксированными первыми 5 коэффициентами взять набор с минимальным значением функции Н — количественной меры качества оптимальных коэффициентов, то этот набор и будет оптимальным.
1.2 Алгоритм Добровольской вычисления оптимальных коэффициентов по составному модулю
Алгоритм Л, П, Добровольской [2] основан на двух идеях.
Во-первых, этот алгоритм предназначен для поиска оптимальных коэффициентов по составному модулю и параллелепипедальная сетка рассматривается как произведение двух параллелепипедальных сеток по взаино простым модулям, Определение произведения сеток и его свойства даны в работе [4].
Во-вторых, хотя алгоритм работает для любого составного модуля, но своих оптимальных характеристик он достигает, когда модуль является произведением специальной последовательности простых чисел.
Следующая программа по заданной сетке Б из Р точек, представленной двумерным массивом, находит оптимальную параллелепипедальную сетку из р точек, такую, что их произведение будет оптимальной параллелепипедальной сеткой из Р ■ р точек.
HTS(S,p,s) :=
as—i — 1, bo — 1, ao — 1, P — rows(S) for j £ 1..s — 1 3J+1 for c £ 1..p — 1
bj <- с
oi+1 г <— p-P P—1 p—1 E E n = 0 k = 0 Д [l - 2 (sn,i + ~ floor (sn>1 + ^))] 2'
aj — c, R « — r if r < R
°j aj SP-p — 1,s-1 — 0
for k £ 1..p — 1
forn £ 0..P — 1 for j £ 0..s — 1
Sp.k+nJ <- SnJ + ^ - floor (snJ +
S
Нетрудно видеть, что программа HTS(S,p,s) требует для своего выполнения память объёмом O (s ■ P ■ p) и O (s2 ■ P ■ p2) элементарных арифметических
операций.
Важной особенностью данной программной реализацией является тот факт,
р
. гы 1**1 из которых суть модифицированная исходная параллелепипедальная сетка. Эта особенность потом будет использована при реализации алгоритма численного интегрирования с правилом остановки.
Перейдем к описанию второй составляющей алгоритма Добровольской. р
простое ЧИСЛО непревосходящее 100, Будем говорить, ЧТО Р1,Р2, • • • ,Рк ~ допустимая последовательность простых чисел первого типа длины к для простого р
р
существует допустимая последовательность простых чисел первого типа прок
Заметим, что р2 ^ 5, поэтому любая допустимая последовательность простых р1, р2,... ,рк первого типа строго монотонно возрастает.
Непосредственными вычислениями, используя таблицу простых, нетрудно проверить, что для простого р = 3 допустимой последовательностью простых первого типа длиной 5 будет последовательность 3, 5,11, 61,1847, которая определяет модуль N = 18582667.
р р1, р2, • • • , рк к
последовательность р1,р2, • • • ,рк и одну макспмальную р1 ,р2,,рк, которые обладают свойством
р1, р2, • • • , рк
и тем же р. Тем самым определяется минимальный модуль Мрк = р1 ■ р2 ■ • • • ■ рк
вого типа длины 5 будет последовательность 3, 5,11, 43, 919, а максимальной
- 3,5,13,97, 4463. Соответственно, М 5 = 3 ■ 5 ■ 11 ■ 43 ■ 919 = 6704105 и М;5 = 3 ■ 5 ■ 13 ■ 97 ■ 4463 = 84701370.
Пусть р > 3 — фиксированное нечетное простое число, например, любое нечетное простое число отличное от 3 и непревосходящее 100. Будем говорить, р1, р2, • • • , рк кр выполнены условия
(2 в 3 в к).
(14)
Рі < Рі <р'і (3 в 3 в к)
(15)
р
существует допустимая последовательность простых чисел второго типа прок
Следующая программа НТБ 1(рр, 5) то заданному вектору рр = (р0, • • • ,рк)т, где р0, ..., рк допустимая последовательность простых первого или второго типа, строит оптимальную параллелепипедальную сетку из Р = р0 ■ • • • ■ рк точек,
НТБ1(рр, в) := к *— 1епдШ(рр) — 1
а ^ НТ 1(ррй, в), Б ^ БвЬка(рри, а)
] ог з € к — 1, к — 2..0 Б ^ НТБ(Б,рр^ ,в)
Б
Нетрудно видеть, что количество операций требуемых для выполнения этой программы для последовательности простых первого типа есть
О ш+рк ■ р\-1 + • • • +Рк ■ рк-1 ■ ••• ■ р1 ■ рЪ)) = к
O
У^ + Р-рА ] = О (s'2 ■ (Р ■ (4 + р„)) .
j=1
2j
1.3 Алгоритм интегрирования с правилом остановки
Следующая ниже программа реализует алгоритм численного интегрирования с правилом остановки. Предполагается, что сетка Б вычислена по алгоритму Бочаровой, Тогда пользуясь тем, что двумерный массив, задающий сетку, специально организован, данная программа вычисляет приближенное значение интеграла от функции f (х), наращивая количество точек от пер вой сетки из рк
Р
IntPo(pp, S, f, s) :=
s — cols(S) — 1, k — length(pp) — 1 x — submatrix(S, 0, 0,0, s)T, M — f (x), m — forn £ 0..ppk — 1
x 4— submatrix(S, n, n, 0, s)^, r f(x)
M — r if r > M m — r if r < m otherwise Int — Int + r Int <— D <— 2 • e, j <— к — 1, P <— рр^
PPk k
while (D > e) ■ (j > 0)
D <— Int2 for l £ 1..ppj — 1 ' In-0 forn £ 0..ppk — 1
Pn — P • l + n,x ■
M, Int 0
submatrix(S, Pn, Pn, 0,s)T ,r — f (x)
Ir
(Int
Int
D
M
m— Ir _ Ir_
P
r if r > M r if r < m otherwise - Ir + r
D — D + Ir2, Int — Int + Ir
_ 1 nt j-y
ppj >
m M)
-2- -Int2,P ■ ppj
P • ppj ,j — j — 1
Программа в качестве результата выдает приближенное значение интеграла, величину мультипликативной дисперсии, а также минимальное и максимальное
значения функции на сетке.
В качестве тестирующей предлагается функция
__ 0^+1
которая реализуется программой
Ї(х) :=
П(1 — 2
3=0
Ц {1 — 2 ■ хз)
.3=0
СПИСОК ЦИТИРОВАННОИ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Бочарова (Добровольская) Л. П. О граничных функциях некоторых классов // Наукоемкое образование. Традиции. Иновации, Перспективы. Сборник межвузовских научных статей. Тула, АНОВО "ТИНО 2006. С. 198 - 202
[2] Бочарова (Добровольская) Л. П. Алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов // Чебышевекий сборник 2007 Т. 8. Вып. 1(21). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 4 — 109.
[3] Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам / / Чебышевекий сборник 2008 Т. 9. Вып. 1(25). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 185 - 223.
[4] Добровольский М. Н,, Добровольский Н. М., Киселева О. В. О произведении обобщенных параллелепипедальных сеток целочисленных решёток // Чебышевекий сборник 2002 Т. 3. Вып. 2(4). Тула, Из-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого. С. 43 — 59.
[5] Добровольский Н. М., Манохин Е. В. Банаховы пространства периодических функций // Изв, ТулГУ, Сер. Механика. Математика. Информатика. Т. 4. Вып. 3. Тула, 1998. С. 56-67.
[6] Добровольский Н. М., Манохин Е. В., Реброва И. Ю,, Рощеня А. Л. О непрерывности дзета-функции сетки с весами // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 7. Вып. 1. Тула, 2001. С. 82-86.
[7] Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957. N 6. С. 1062 - 1065.
2
[8] Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. N 4. С. 19 — 25.
[9] Коробов Н, М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124, N 6. С. 1207 - 1210.
[10] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.
[11] Коробов Н. М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические заметки. 1994. Т. 55. Вып. 2. С. 83 — 90.
[12] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.
Тульский государственный университет Получено 10.04.2009
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 10 Выпуск 1 (2009)
ЦЕПНЫЕ ДРОБИ ДЛЯ КВАДРАТИЧЕСКИХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ ИЗ ПОЛЯ О^)1
В работе изучаются неполные частные цепных дробей для квадратических иррациональностей из поля <0>(\/5).
1 Введение
Как известно, любое иррациональное число представляется в виде бесконечной цепной дроби. По теореме Лагранжа в периодические цепные дроби раскладываются только квадратичные иррациональности и всякая периодическая цепная дробь задает квадратическую иррациональность. Разложение алгебраических иррациональностей более высоких степеней не известно, хотя еще Л. Эйлер нашел разложение трансцендентного числа е в цепную дробь. Имеются отдельные работы, в которых приводятся результаты вычисления значительного количества неполных частных в разложении в цепную дробь различных алгебраических иррациональностей [1]. Обычно речь идет о вычислении цепных дробей корней степени не менее 3 из натуральных чисел. В нашей работе приводятся алгоритмы и результаты вычисления неполных частных для алгебраических иррациональностей, принадлежащих квадратичному алгебраическому полю <Ц>(л/5)-
Интерес именно к этим иррациональностям объясняется тем обстоятельством, что этому полю принадлежат числа
которые раскладываются в самые простые периодические цепные дроби:
Е. В. Триколич, Е. И. Юшина (г. Тула)
Аннотация
у/5 - 1 2
1
1
1
1
1 +
1 +
1 +
1Работа выполнена по гранту РФФИ 08-01-00790
С этими цепными дробями тесно связана расширенная последовательность Фибоначчи Г-2 = 1 Г-х = 0 Го = 1 Г = 1 Г2 = 2, ..., К = Гп-х + Гп-2,-.., через которую выражаются подходящие дроби к этим цепным дробям:
1
к
п—
п— і
1 +
к
п
1
к
п+і
1 +
к
п
(3)
1 +
1
1 +
1
1
1 + Т
1
1 + т
Возникает естественный вопрос, как раскладываются в цепные дроби другие квадратические иррациональности из этого поля?
По теореме Лагранжа каждое число а Е <0>(л/5) раскладывается в периодическую цепную дробь вида,
а
а0 +
1
0-1 +
+
Оп +
Ьі
[О0) ■ ■ ■ ) ап) (рі) ■ ■ ■ ) Ьт')])
(4)
где ао', а\,..., ап — предпериод, а Ь\,..., Ьт — период бесконечной периодической дроби. Таким образом, число а Е <0>(л/5) имеет вил
а
Рп(а) ■ (3 + Рп-і(а) Рп(а) ' Р Яп-і(а)
(З — bl^
Ьо.
а0 +
1
аі +
1
1
+ — ап
[(Ьі; Ь2, ■ ■ ■,Ьт)],
(5)
где
Рп(а) Рп-і(а)
Ьі
подходящие дроби к числу а а число в ~ квадратическая
Яп(а) Яп-і(а')
иррациональность, разлагающаяся в бесконечную чисто периодическую цепную
1
1
Ь
і
1
1
дробь и удовлетворяющая квадратному уравнению
р Рщ—Рт—2 (/-^) д ^2 | с> /Р I п //'Л
,3 = &ГЖ^Те^)' А',?+в',3 + с = 0' (6)
где
Рт-х(в) Рт-2(в)
подходящие дроби к числу в,
Ят-1(в Г Ят-2(в )
А = Ят-х(в), В = Ят-2(в) - Рт-х(в) И С = — Рт-2(в). (?)
в
веденной квадратической иррациональностью, то есть, если в и в' ~ корни квадратного уравнения (6) и в > в' > т0
в> 1, — 1 < в' < 0. (8)
Из (5) — (8) следует, что неполные частные предпериода цепной дроби для квадратичной иррациональности а могут быть произвольные натуральные числа.
Поэтому цель нашей работы — описать все возможные варианты для неполных частных разложения в цепную чисто периодическую дробь приведенной квадратичной иррациональности (3 € <Ц> (л/5),
Из теоремы Галуа следует, что существенную роль в описании законов разложения в цепную дробь произвольной квадратической иррациональности играет её сопряженная квадратическая иррациональность. Поэтому нам потребуются двумерная решётка Л (л/б) всех пар сопряженных целых алгебраических чисел из поля (Ц) (л/5) и множество Р (л/5) = {(а, с/)И £ О (л/5) } всех пар сопряженных чисел этого поля. Очевидно, что все рациональные точки множества Р (л/б) образуют множество рациональных точек прямой х = у.
2 Необходимые сведения из арифметики кольца целых алгебраических чисел поля 0(л/5)
Напомним некоторые определения применительно к полю <0>(л/5).
^ I ^
Алгебраические числи а поля <Ц>(-\/5) имеют вил а = -----, где а,Ь € Ъ,
с
с £ N. Если (а,Ь,с) = 1, то такое представление единственное. Сопряженное
а — Ьл/ 5
число а' = ---------, Эти числа являются корнями уравнения с целыми коэф-
с
фициентами
с2х2 — 2асх + а2 — 5Ь2 = 0.
Многочлен f (х) = с2х2 — 2асх + а2 — 5Ь2 неприводим над п олем есл и Ь = 0
и (а, Ь, с) = 1.
Квадратичная иррациональность а называется целым алгебраическим числом, если а является корнем квадратного уравнения
х2 + Ах + В = 0, где А, В е Z.
Ясно, что целое алгебраическое число в поле <Ц>(-\/5) имеет вид или а = а +
Ъ\/5, а,!) £ 2, или а = а + Ъ\/Ь Н-----т0 есть а = а + Ъ\/Ь + е—
(е = 0; 1), Для простоты обозначений будем кольцо целых алгебраических чисел поля <Ц>(-\/5) обозначать через Z[^/5] вместо более точного обозначения Z Через и (-\/5) будем обозначать группу алгебраических единиц кольца Z
1+л/5
2
Ш-
Целое алгебраическое число а называется алгебраической единицей, если оно является корнем уравнения с целыми коэффициентами вида,
х2 + Ах ± 1 = 0, А Є Z.
По теореме Дирихле о строении группы алгебраических единиц поля алгебраических чисел имеем: а — алгебраическая единица поля <Ц>(-\/5) тогда и
, Л + л/бУ , _ я , , (1-^~ък
только тогда, когда а = ± I —-— I , к Є А Ясно, что а = ±
Единица —^называется основной единицей поля <Ц>(-\/5)-
В кольце целых алгебраических чисел Z[v/5] справедлива основная теорема арифметики об однозначном разложении чисел на простые множители.
Простые числа из кольца Z вида, р = т2 — Ъп2 в кольце Z[v/5] являются составными р = (га, — п\/Ъ)(т + п\/Ь). При этом, если р = 5, то р = р2, где р = л/5 — простое число. Если р = га2 — Ъп2 ф 5, то р = р\ -р2, где р\ = т + пл/5, р2 = га — п\/5 и рі, р2 — простые числа в Z[v/5],
По основной теореме арифметики для поля (Ц) (л/б) и теореме Дирихле о строении группы алгебраических единиц имеем описание всех решений дио-фантового уравнения х2 + 4 = 5у2 в целых неотрицательных х и у. А именно:
х — ул/ 5 \ ( х + ул/ 5 ,
— 1
и
х,-у,УЕ = (г-'Л]21+1 п + шЛ = /і + У5ч 21+1
2 I 2 ) ’ 2 I 2
Отсюда следует, что
**=22гЕ г« = 22гЕ Фі1^*
к=0 к=0
Нетрудно найти рекуррентные соотношения:
хо = 1, Уо = 1;
х1+1
XI + '
1 + \/ь
XI
+ У1У/5 (З + Уь" 2 12
3 XI + 5 у1 2
+
хг + 3 у1 2
у/Ъ
Поэтому
хг+\
У1+1
3 XI + Ъуг
2
+ 3 уг
2
Получаем следующую последовательность
1 0 1 2 3 4 5
Х1 1 4 11 29 76
VI 1 2 5 13 34
Из этой таблицы видно, что
хг+\ = 3хг — хг-1, У1+1 = 3Уг — Уг-1,
Действительно, х1+1 = 3хг — х1-1 = 3
3хг-\ + 5у1-\\ 3х\-2 + 5уь-2
2
2
3хг-х — х\-2 3у1-1 — уг-2
3 ----------Ь 5---------------
У1+1 = 3У1 — У1-1 = 3
х1-1 + 3У1-\\ х1—2 + 3У1-2
2
2
3x1-1 - х1-2 3 З^/г-1 ~ У1-2 _ Х1 + 3у1
Нетрудно видеть, что хг = Е2г—1 + Е2г+1 и у1 = Е2г. Действительно,
х1+1 = 3х1 — х1—1 = 3 (Е21—1 + Е21+1) — (Е21-3 + ^21— 1) = 3Е21+1 + 2Е21—1 — Е21—3 = 3Е21+1 + Е21— 1 + Е21—2 = 3Е21+1 + Е21 = 2Е21+1 + Е21+2 = Е21+1 + Е21+3';
Уг+1 = 3Уг — Уг—1 = 3Е2г — Е21—2 = 2Е2г + Е21—1 = Е2 + Е21+1 = Е21+2.
2
2
2
2
2
Для аналогичного диофантова уравнения х2 — 4 = 5у2 в целых х и у имеем
х — у\Д>\ ( х + у\/5
2
2
1
х,
-у; л/5 А-л/б'
2,
22
Отсюда следует, что
х
2
2Й
,
х,
2,
к у!
2
2Й
,1
^С|‘+15‘;
к=0 к=0
хо = 2, Уо = 0;
х
,+1
+ У+
х;
+ уГл/5 А + л/б'
2
2
х
2
2
2
х
_ зж; + 5у;
1+1 2 х; + 3у;
У1+1
Получим следующую последовательность
1 0 1 2 3 4 5
/у.* Х1 2 3 7 18 47 123
У*1 0 1 3 8 21 55
которая задается рекуррентными уравнениями второго порядка
х; — 3х; __ х;
х,+1 = 3х, — х,—1,
у+ = 3у; — у— (I > 1).
Нетрудно видеть, что х; = Е2,—2 + Е2, и у; = Е2,—1. Действительно,
х*;+\_ = 3х1 — х1—1 = 3 (Е2,—2 + Е21) — (Е21—4 + Е21—2) = 3Е21 + 2Е21—2 — Е21—4 = = 3Е21 + Е21—2 + Е21—3 = 3Е21 + Е21—1 = 2Е21 + Е21+1 = Е21 + Е21+2';
У;+1 = 3У; — У;—1 = 3Е21—1 — Е21—3 = 2Е21— 1 + Е21—2 = Е21—1 + Е21 = Е21+1■
2
2
2
2
2
(9)
Таким образом, при I ^ 0 справедлива единая формула
1 ~ 2 + ^ А + ^_2 + ^ + ^_!л/5
2 у _ 2 \ 2
из которой следуют три равенства для чисел Фибоначчи:
, ш , ш
«+«-*о*. « = ?Е с^'5*
к=0 к=0
(Е, + Е,—2)2 — 5Е,2_1 = (—1)4. (10)
3 Области Галуа и мультипликативный моноид Галуа
Прежде всего установим соотношение между множеством Р (л/б) и М2, Теорема 1. Множество Р (л/5) всюду плотно в Е2.
Доказательство. Пусть е > 0 и (х, у) — произвольная точка из Е2, Рассмотрим систему уравнений
£ + ил/Ъ = х , ,
Ь-иу/5 = у,
решением которой будет пара Ь = и = Положим N
5
~ 1+л/5
2 10
*0 I МО . [ _
N т у ^ ^ N N
1 + л/5
*о = [ЛГ • *] и «о = [ЛГ • и]. Тогда для а = Щ и а' = ^ — ^тл/5 имеем:
(а, а') Е Р > тах (1ж ~ а\ Ау ~ а’\) ^ (12)
что и доказывает утверждение теоремы.
Определение 3. Основной областью Галуа назовем множество С, заданное равенством
С = Со = {(х,у)1х > 1, —1 <у < 0} ,
а, сопряженной основной областью С' —
С = С0 = {(х,У)1 — 1 <х < 0,У> 1} ■
Таким образом, по теореме Галуа квадратичная иррациональность а разлагается в чисто периодическую цепную дробь тогда и только тогда, когда (а, а') Е С. Аналогично, сопряженная квадратичная иррациональность а' разлагается в чисто периодическую дробь тогда и только тогда, когда (а, а') Е С'.
Если пара (а, а') Е С и С', то разложения в цепную дробь и для квадрати-
а
а'
Определение 4. Для, любого целого и Е Z и-ой областью Галуа, назовем множество Сп, заданное равенством
Сп = С + (и, и) = {(х + и, у + п)1х > 1, —1 < у < 0} ,
п
С'п = С + (и, и) = {(х + и, у + и)I — 1 < х < 0,у > 1} .
Ясно, что для
(а, а') Е Сп
п=0
а
1
( а, а ' ) Е С 'п
п=0
длина предпериода разложения в периодическую цепную дробь будет единич-
а'
Для рассмотрения мультипликативных свойств квадратических иррациональностей областей Галуа недостаточно, так как произведение двух произвольных квадратических иррациональностей может и не быть квадратической иррациональностью, а является, вообще говоря, биквадратической иррациональностью, разложение которой в цепную дробь уже не будет периодическим.
Определение 5. Мультипликативным моноидом Галуа назовем, множество С (л/5), заданное равенством
С (^/^) = | с/) Е Р а ^ 1, \а'\ ^ 1|,
а сопряженным мультипликативным моноидом Галуа С (л/5) —
С = | (ск, с/) ^ Р о! ^ 1, | ск | ^ 1|.
Мультипликативная замкнутость обоих моноидов очевидна, Единицой и в
(1, 1)
пара в этих множествах.
Моноид Галуа С (л/б) содержит подмоноид
С+ ("\/5^ = | (а, а') Е Р ("\/5^ а^1,0<О!/^1|
и является объединением двух множеств: С (л/5) = С+ (л/5) и С~ (л/5), где
С~ = | (а, а') Е Р о. > 1, — 1 < о1 < о|.
а
периодическим разложением в цепную дробь полностью описываются множе-
ством С (л/5) - Подмоноид С+ (л/5) = ^ (л/5) У (С (л/5) + (1,1)) , где
Непосредственно из определения множеств С+ (л/б) и С (л/б) следуют следующие свойства:
• множество С~ (л/б) инвариантно относительно умножения на квадратичные иррациональности из подмоноида С+ (л/б);
• если произведение двух иррациональностей с чисто периодическими цепными дробями больше 2, то оно есть квадратическая иррациональность с
1
• произведение нечетного числа квадратических иррациональностей с чисто периодическими цепными дробями есть квадратическая иррациональность с чисто периодической цепной дробью;
• все квадратические иррациональности из (л/б) имеют предпериод раз-
1
4 Подходящие дроби для сопряженных алгебраических чисел
Покажем, что теорема 1 справедлива для более общей ситуации.
Пусть Л — произвольная решетка с базисом Л^,,, ,Л8 в Е8, Через Р (Л) будем обозначать множество
— рациональное 5—мерное векторное пространство над полем рациональных чисел Q.
Теорема 2. Множество Р (Л) всюду плот но в Е8.
е > 0
и! = (г1}..., г8) Е Е8 — произвольная то чка из Е8,
Рассмотрим систему уравнений
&о (У^) = {(«, «О € Р(У^) 1 ^ а < 2,0 < а' ^ 1}.
t1А11 + • • • + t8А8l = %1
tlАl8 + ... + 18А88 = ^8 ,
которая имеет единственное решение, так как для решетки Л с базис ом Ао (А.д,..., Ао^ (и = 1,..., в) определитель решетки
Ли .
А
и
Аs1
Аss
= 0.
Обозначим это решение через = (110,... ,Ь&).
Пусть А = тах |Лг7-|.
Положим N = [^] + 1, = [Л^ • ^о] и <х,- = {]У • ^о} Ц = 1, • • •, «)■
Тогда у = ГП1Х1 + ... + т3Х3 £ А ъ х = -у = (х\,..., х3) £ Р (Л). Имеем:
г=1
г=1
а1 л
г=1
вА
1,...,в), (14)
что и доказывает утверждение теоремы.
Пусть в > 1 и ^ — чисто вещественное алгебраическое поле степени в над полем рациональных чисел Таким образом, имеется в изоморфных веще-
ственных полей Ре = Р1
(1)
0), рде примитивные элементы в(1\... ,9(^ — алгебраические сопряженные числа.
Рассмотрим в изоморфных колец целых алгебраичееких чисел Ъ (1), ...,
Г в
Ъ (В) и максимальную решетку, повторяющуюся умножением,
Г в
Л (Р.) = { (в(1\в(’)) | е(о) £ жР,я и = 1,..., .2
Таким образом, согласно теореме 2 рациональное векторное пространство Р (Л (Р,)) над полем рациональных чисел О будет всюду плотно в М'5, Отсюда, пользуясь достаточным условием подходящей дроби3, можно доказать следующую теорему о сопряженных числах с заданной системой подходящих дробей.
Теорема 3. Пусть ... ,£г — произвольная система несократимых
VI Цв
дробей, тогда найдется алгебраическое число а из чисто вещественного алгебраического поля Р3 степени в над полем рациональных чисел, О такое, что
р.
для любого ? = 1,..., 5 дробь будет подходящей дробью к алгебраически
Цз
сопряженому числу а(• £ Р3^.
Доказательство. Положим е = тт тогда по теореме 2 найдется
алгебраическое число а £ Рs такое, что для точки (а(1),..., а^) € Р (Л(Р8)) будут выполняться неравенства
- Рз
< £ С
(и = 1,...,в),
что доказывает утверждение теоремы в силу указанного выше достаточного условия подходящей дроби.
23десь и далее через 0(1),..., 0(я) обозначаются алгебраически сопряженные числа.
3См. [5] стр. 43, теорема 19.
Приведенные квадратичные иррациональности поля 0(75)
Как известно, каждая квадратичная иррациональность эквивалентна приведенной квадратичной иррациональности, которые и описывают все виды бесконечных чисто периодических дробей. Поэтому для описания видов периодических бесконечных цепных дробей для чисел а из поля (Ц)(-\/5) необходимо описать все приведенные иррациональности из этого поля.
Теорема 4. Квадратическая иррациональность (3 из поля <Ц>(-\/5) разлагается в чисто периодическую цепную дробь тогда и только тогда, когда она и её сопряженная квадратическая, иррациональность в' имеют вид:
п Рк-2 + -Рг + Рг-1\/5 Я' , ,
,} =---------ад-----------о' (15)
(16)
где неотрицательные взаимно простые целые числа Я > 0 Я' ^ 0 удовлетворяют условиям:
Я>Я', Я + Я' < + (17)
Рк-2 + Рг _ Гк_х\/Ъ ! Рк_2 + Рк — Рк_х\/Ъ ,
------------------ < V < V Н------------2---------’ ' '
Я1 {(-1)к-1 + (Рк-2 + Рк - Я')Я') (19)
для, некоторого к ^ 1.
Доказательство. Итак, если в раскладывается в чисто периодическую дробь с периодом длины п ^ 1:
,3 = 6,+-------------1------------= + ■ (20)
Яи-1(в)в + Яп-2(в) ’
+
1
Ьп н —
Ъг +----------------
Ь2 + ' '
ТО, полагая Р = Рп-1(в), Р' = Рп-2(в), Я = Яп-Лв), Я' = Яп-2(в) и применяя теорему Э, Галуа, получим
РЯ' - Р'Я =(-1)п, (21)
ь
1
/3 = (Р ~ С/> + у/(Р ~ Я')2 + 4<?Р' > 1, (22)
2Я
п, (р - я') - л/(р - да + 4яр' , ^
-1 <(3' = --—-УУ -— < 0, (23)
2Я
Из (22) и условия /3 € <Ц>(л/5) находим
(Р - Я')2 + 4ЯР' = 5т2, т е N. (24)
Воспользовавшись равенством (21), получим
(Р - Я')2 + 4ЯР' =(Р - Я')2 + 4(РЯ' - (-1)п) = (Р + Я')2 - 4(-1)п = 5т2.
^ (Р + Я' + тл/ь\ (р + Я'-т\/ь\
Отсюда следует, что I -------------------- I I -------------------- I = (— 1) , Из равен-
ства (9) (стр. 83) вытекает, что
Р + Я' = Рк-2 + Рк, т = Рк-1, к ^ 1, к = п (шоё 2). (25)
вв
Р - Я' = Р + Я' - 2Я' = Рк-2 + Рк - 2Я',
в=(Р-Я’) + л/(Р - яО2 + 4ЯР' = Рк-2 + Рс + ^_1л/5 Я' ^
р 2 Я 2 Я Я }
л а, (Р - Я') - л/(р - ЯГ + 4ЯР' ^-2 + ^-^-1л/5 Я' п
ад - ад д •= °-
Отсюда следуют неравенства (17) и (18). Так как
4ЯР' = 5Р2-1 - (Р - Я')2 = 5Р2-1 - (Рк-2 + Рк - 2Я')2 =
= 5Р2-1 - (Рк-2 + Рк)2 + (Рк-2 + Рк)4Я' - 4Я'2 =
= (-1)к-14 + 4(Рк-2 + Рк - Я')Я',
то (19) выполнено, а поэтому утверждение теоремы в одну сторону (необходимость) доказано.
Перейдем к доказательству достаточности. Пусть неотрицательные, взаимно ЯЯ
к ^ 1. Положим
,/ (- 1)к 1 + (Рк-2 + Рк - Я')Я
Р — Рк-2 + Рк ~ Я') Р Q
П _ Рк-2 + Рк + Рк- 1л/5 Я' л
13 - ад я>1'
Аналогично, из (18) следует
„ д/ _ Fk-2 + рк - Ffc_ 1л/5 Q' ^ п
“1</3 “ ад о
Поэтому по теореме Э, Галуа квадратичная иррациональность /3 из поля Q(-\/5) разлагается в чисто периодическую цепную дробь.
Таким образом,
g = (р - у)+ V(p - Q')!±igp: = (р - у) + е q(V5)- (26)
2Q 2Q
а дроби
P P
су Q <27>
— подходящие дроби к квадратичной иррациональности в-, и теорема полностью доказана.
Заметим, что число в удовлетворяет не только уравнению (20), но и бесконечному числу уравнений вида,
П_ Pkn-l(P) /3 + Ркп-2(Р)
Qkn-l(P)P + Qkn-2Ф)
Нетрудно получить рекуррентные формулы
P
Ры-М _ + P(t-4n-2(tV
з)’
Pkn-i(в) = P(k-\)n-l(e)P + P(k-\)n-2(e)Q,
Qkn—l(e) Q(k-l)n—l(e )P + Q(k—l)n—2(e')Q;
Pkn-2(в) = \Q1,Q2, • • • ,qn, • • • ,qi,• • • ,Qn,qi, •• • , 9n-i] =
4------------------------v-------------'
k-1
= P(k-1)n-1(e)P> + P(k-1)n-2(e)Q> ,
Q kn-2 (в~) = \q2, •••,qn, qi,...,qn,...,qi,...,qn,Qi,.. •,qn-i] =
4----------V-----------/
k-2
= Q(k-i)n-i(e)p/ + Q(k-i)n-2(e)Q/ •
Например, при k = 2 получим:
P2n-i(e) = P2 + PQ, P2n-2(e) = PP + PQ',
Q2n-i(e) = QP + Q'Q, Q2n-2(e) = QP + (Q')2;
(р2 + р'я - яр1 - т2) + л/(р2 - (Я')2)2 +4(яр+яшрр' + р’Я’) =
^ 2Я(Р + Я>)
(.р + д')СР - <50 + (Р + Я')л/(Р ~ Я')2 + 4ЯР' 2Я(Р + Я')
= Р-Я' + У(Р - Я')2 + 4ЯР'
~ 2 я
и мы видим, что, действительно, уравнение, фактически не меняется.
Эти выкладки легко объяснить, если перейти к матричной форме записи рекуррентных соотношений для подходящих дробей.
Рассмотрим матрицу Ак вида,
А = [ Рк Рк-1 \ = ( Рк-1% + Рк-2 Рк-1 \ = (Рк-1 Рк-2 \ (% 1
\Як Я к-1 у \Я к-10_к + Як-2 Як-1у \Я к-1 Я к-2) \ 1 0
Таким образом,
Ак = Ак- (? О = П (? 0
\ / у=0 \
при этом последняя формула остается верной и при к = 0, если положить
А-1 =(^ ^ , Р-1 = Я-2 = 1, Р-2 = Я-1 = 0.
Говорят, что иррациональное число а раскладывается в бесконечное матричное произведение
“ = П (? I) • <28)
з=о 4
если справедливы равенства
Равенство
р.
Ит = а. (29)
з^ж Яз
Рк(п+1)-1 Рк(п+1)-2\ __ (Ркп-1 Ркп-2\ (Р Р
Як(п+1)-1 Як(и+1)-2 / \Якп—1 Якп-2 у \Я Я
для периодических цепных дробей становится простым следствием ассоциативности матричного умножения.
Из равенства
о_ РР + Р> р я/3 + я>
для квадратической иррациональности в с чисто периодической цепной дробью получаем, что вектора
> _ (в) • в _ (',
являются собственными векторами матрицы Ап-1\
Р Р'\ (в в'\ = (Рв + Р' Рв' + Р'\ = (вх в'х'\ = (в в'\ (х 0
Я Я') V! 1) \Яв + Я' Яв' + Я') V х х' ) ^1 1)\0 х'
с сопряженными собственными значениями: А = <5/3 + и А; = Я(3' + £/ из поля
(Рв + Р')(Яв' + Я') - (Рв' + Р')(Яв + Я') =
= вв'(РЯ - РЯ) + в(РЯ' - Р'Я) + в'(Р'Я - РЯ') + (Р'Я' - Р'Я') =
= (в - в')(-1)п-1
6 Некоторые частные случаи
В этом разделе рассмотрим некоторые частные случаи квадратичных иррациональностей из поля с чисто периодической цепной дробью,
6.1 Период единичной длины
Рассмотрим приведенные квадратичные иррациональности в (т) вида
л, \ 1 г/ м т + Ут2 + 4
(3(т) =т+-------------= [{т)\ =------------.
т Н--------
т
2
Квадратичная иррациональность /3(т) € тогда и только тогда, когда т
2 ^ I т - Ь\/Ь \ ( т + Ь\/Ь ,
4 = Ы . Следовательно ------- ---- ----- --- = — 1 и т = XI, Ь = у1 для
некоторого I ^ 0, Таким образом, в(т) £ Оу 5 только для т гада т = Р2г-1 + Р21+1.; где I — произвольное натуральное число. То есть
в (р21-1 + Р21+1 ) = [(Р21-1 + Р21+1)]
Р21—1 + 1 + ^2 г\/5 (1 + \Д)
21+1
2
— нечетная степень основной единицы поля <Ц>-\/5 ,
6.2 Периоды вида [(т, 1)] и [(1,т)]
Пусть теперь квадратическая иррациональность в1 = в1(т) = [(т, 1)], то есть
1
(Зг = А (га) = т Н-------—,
1 +
в1(т)
тогда
А
А +1 ’
ф п п а т + Ут2 + 4га
р1-тр1-т = 0; /Л =---------------------;
т2 + 4т = 5*2; (т + 2)2 - 5*2 = 4,
т + 2 — ^ л/5 Л (т + 2 + £л/5 ,
т + 2 = хг\ * = У?, в1
2
х*1-2 + у*1УЪ
2
Таким образом, /3\(т) € <Ц>л/5 только для га вида га = Ргг-2 + Ргг _ 2, где I — произвольное натуральное число. То есть
в1 (р21-2 + Р21 - 2) = [(Р21-2 + Р21 - 2, 1)] =
_ Р21-1 + Ргг+1 + Рггл/б _ /1 + л/5\
- 2 ”
— четная степень основной единицы поля <Ц>-\/5, уменьшенная на 1,
Согласно Э, Галуа (см, [2] стр.59) союзное число /32 = —у имеет период [(1, т)]
/5г = 14 —; /?2 = 1 + ^ '
1 тв2 + 1
т + Ж
тв1 + в2 = тв2 + 1 + в2; тв2 - тв2 - 1 = 0
то
га + V га2 + 4га 2 1
в2
2га га — \/т? + 4т (3[
в1 в2
6.3 Периоды с произвольными началами и концами
Пусть д0, д1., ... 1<1п — произвольная последовательность натуральных чисел. Рассмотрим несократимую дробь
£=*+-4- (зо)
«1 + —Г
Яп
По теореме 3 (стр. 86) для любого натурального Q и для любого натурального Р с (<ЗСЭп,Р) = 1 найдется квадратичная иррациональность а Е Ол/б такая, что
а —
Р
1 П
Qn
<
1
Р
QQn
<
1
2(QQn)2
Действительно, положим
Рпя - р ЮЯх
PnQ - Р
а =
+
(РпЯ + Р)^гЯЯг.
5
л/5
а
6(QQn)2
(РпЯ + Р)^гЯЯг.
5
л/5
2QQn
6(QQn)2
Тогда для в =
(ад + р)^<эа
3
л/5
справедливо неравенство 0 < в < 1 и
а=
3\/5
Рп(^ — Р (ад + Р) р. <5<5гал/5
2QQn
6(QQn)2
а =
3\/5
рп(^) — р {РпЯ + Р) р. <5<5пл/5
2QQn
6(QQn)2
2(QQn)2
2(QQn)2
Р
п
Qn
2(QQn)2’
Р
QQn 2(QQn)2
Отсюда следует, что для любой пары натуральных чисел ^ ^ таких, что (QQn, Р) = 1 и 1 ^ Р< QQn квадратическая иррацион альность а будет приведенной квадратической иррациональностью, разлагающуюся в чисто периодическую цепную дробь, у которой период начинается с натуральных до, ?ъ ■ ■ ■ > 0п. Так как для разных пар Р и Q соответствующие алгебраические иррациональности различные, то таких цепных дробей будет бесконечно много. Если рассмотреть союзное число [3 = —Л, то для него период будет заканчиваться последовательностью дп, д„_1, ..., до-
Таким образом, в квадратичном поле Ол/б встречаются квадратичные иррациональности с периодами сколь угодно длинными и в этих периодах могут встречаться сколь угодно большие неполные частные.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Александров А, Г, Исследование на ЭВМ непрерывных дробей // Сб. "Алгоритмические исследования в комбинаторике" М., Из-во Наука, 1978 г, С. 142 - 161.
[2] Венков Б. А. Элементарная теория чисел. М. - Л., Главная ред. общетих-нической и технологической литературы 1937 г.
[3] Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М.; Л.: Гостехиздат, 1940.
[4] Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. М.: І Із-г,о Наука, 1965 г.
[5] Хинчин А. Я. Цепные дроби. М.; Л.: Гостехиздат, 1949.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстова Получено 10.04.2009
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 10 Выпуск 1 (2009)
О СВЯЗНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ДИСТАНЦИОННЫХ ГРАФОВ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
А. Р. Ярмухаметов (г. Москва)
1 Введение.
В данной работе рассматриваются вопросы связности для некоторой серии случайных дистанционных графов, В параграфе 1,1 мы дадим мотивировку дальнейших действий. Параграф 1,2 мы посвятим постановке нашей основной задачи,
1.1 Случайный граф в модели Эрдёша — Реньи.
В 1959 году П, Эрдёш и А, Реньи предложили следующую модель случайного графа (см, [1], [2]): рассматривается вероятностное пространств
С(Ж,р) = (Пм > FN, рм,Р),
где Пм - множество всех графов О = (V, Е) па N вершинах без петель, кратных ребер и ориентации (т.е. |Пм| = 2°2), = 2Пм,
Рм„(О)= р'Е'(1 - р)с'і-'Е', р е (0,1).
Иными словами, мы проводим то или иное ребро между вершинами случайного
р
Будем говорить, что случайный граф обладает некоторым свойством асимптотически почти наверное (кратко а.п.н.), если вероятностная мера множества графов, обладающих этим свойством, стремится к 1 при N ^ то, Отметим, что вероятность ребра р есть, вообще говоря, функция от N.
В работах Эрдёша и Реньи были получены следующие результаты:
1, Величина р* = является “пороговой вероятностью” для свойства связности случайного графа, то есть при р > ср* (где с > 1) случайный граф в пространстве О(^р) а.п.н, связен, а при р < ср* (где с < 1) случайный граф а.п.н. не связен;
2. Величина р\ = является “пороговой вероятностью” для существования “гигантской компоненты” в случайном графе, а именно: если /> < 'х (где с < 1), то а.п.н. случайный граф в пространстве О(^р) будет состоять
из компонент, количество вершин в каждой из которых равно 0(1п N); если же р > ^ (где с > 1), то случайный граф а.п.н. будет содержать “гигантскую компоненту” размера ) (при этом все остальные вершины будут содержаться в компонентах размера 0(1п N)),
По тематике случайных графов существует обширная литература - например, книги [1], [2], [3], [4].
1.2 Постановка основной задачи.
Введем новое пространство случайных графов, которое будем называть пространством случайных дистанционных графов. Для этого положим п = 4к, к € N N = СП и рассмотрим полный дистанционный граф 0м = (Ум, Ем) У которого
Ум = {х = (хг,... ,хп) : х1 € {0,1} , хх + ... + хп = 2к = ^| ,
Ем = |{х,у} € Ум х Ум : (х,у) = к = ^| .
Таким образом, вершины полного дистанционного графа являются точками из {0,1}п и этих вершин ровно N. При этом ребра графа Ом суть пары его вершин, удаленные друг от друга на расстояние . Именно этим и обусловлено название графа. Рассмотрение подобных графов глубоко мотивировано задачами комбинаторной геометрии (см, [5], [6]),
Определим новое вероятностное пространство
Г>dist ( ът _ /("\dist ^гdгst ^тidгst\
0 (^р) = (Пм , ^м , Р м,р )7
где ПM^st — множество всех остовных подграфов О = (Ум; Е) полного дистанционного графа 0м, FMiSt = 2П^8 ,
^м?(о) = Р|Е|(1 - р)|£"Не|, р € (0,1).
Несмотря на близость модели, рассматриваемой в данной работе, и классической модели Эрдёша—Реньи случайных графов, между ними имеются существенные различия,
В следующем разделе мы сформулируем результаты для графа 0*^(^р)
о “пороговой вероятности связности” и о нижней границе “наличия гигантской компоненты”,
2 Формулировки результатов.
Следующая теорема говорит о “пороговой вероятности” связности для дистанционного случайного графа в пространстве 0*^(^р).
Теорема 1. Пусть р* = 2^Ы2 (1п^)3/2. Тогда:
а) при р > ср*, где с > 1, случайный граф в пространстве 0*^(^р) а.п.н. связен;
б) при р < ср*, где с < 1, случайный граф в пространстве 0*^(^р) а.п.н. не связен.
Доказательству теоремы 1 посвящен раздел 3,
Теорема 2. Пусть р** = дт ' ' -^ог^° Р — СР**> г^е с < ^ СЛУ~
чайный граф в пространстве 0*^(^р) а.п.н. будет состоять из компонент, количество вершин в каждой из которых не превышает 0(1п N).
Теорема 2 будет доказана в разделе 4,
3 Доказательство теоремы 1.
В параграфе 3,1 будут приведены некоторые предварительные выкладки, В параграфе 3,2 будет доказан пункт б) теоремы 1, В параграфе 3,3 будет приведена схема доказательства пункта а) теоремы 1, В параграфе 3,4 будут доказаны утверждения, используемые в доказательстве пункта а).
3.1 Некоторые предварительные выкладки.
Определим случайную величину Хм па вероятностном пространстве О^(^р) следующим образом:
{0, если случайный граф О Є П*8* связен, к, где к > 2 - число компонент связности случайного графа О Є есди обозначенный граф не связен.
Строго говоря, мы всюду ниже будем работать с вероятностными мерами, которые мы обозначали РМ>- Всякий раз, когда это не будет приводить к путанице, для краткости будем писать Р вместо РМ>-
В соответствии с формулой Стирлинга общее число вершин в графе Ом есть
« /2 2™
N = Сп = \ — • --!=■ • (1 + 8і(п)),
V п
1п N
п=--(1+62(Ю),
где ^і(и) = о(1) И ) = о(1).
Число ребер, выходящих из одной вершины графа Ом, обозначим N1. В соответствии с формулой Стирлинга
Мг = (с!)' =
V 2 7 ^ V^v
где <*з(#) = о(1).
3.2 Доказательство пункта б теоремы 1.
Нам нужно показать, что Р(Х^ = 0) ^ 0 при N ^ то, Введем вспомогательные случайные величины:
Х^, - число г-элементных компонент связности случайного графа в пространстве 0 *5*(^р),
„ ] 1, если множество (і, ]) образует компоненту связности,
Х^г? = „
| 0, иначе.
Здесь (г, ]) - обозначение для ^'-го то счету г-элементного множества вершин рассматриваемого случайного графа.
Всюду далее ЕХМ,г и ЕХМ,у - математическое ожидание случайных величин ХМ,г И ХМ,у соответственно.
При фиксированных р и п выполнено: ЕХМ>1 > 0. В соответствии с неравенством Чебышева имеем:
р(Хм = 0) < Р(Хм,1 = 0) = Р(Хм,1 < 0) = Р(-(Хм,1 - ЕХмд) > ЕХмд) <
^ Е{ХМЛ - ЕХМЛ)2 _ ЕХ2М1 - (ЕХМД)2 ~ (ЕХМ;1)2 (ЕХМ;1)2 '
Посчитаем асимптотику второго момента случайной величины ХМ>1:
(М \ 2 N N N
£ ХмдИ = £ ЕХМ,1. + £ 52 Е (Хм,и ■ Хм.ц ),
г=1 / г=1 г=1 ^=1
N \ 2 N NN
‘-МДг I = 7 , (ЕХМ,1г)2 ^7,7, (ЕХМ,1г ■ ЕХМ,:
(ЕХМ>1)2 = Е Хм,1 г = ^ (ЕХ^н)2 + ^ (ЕХ^.ії ■ ).
\ і=1 / і=1 і=1 ^=1
і=і
Таким образом, имеем:
N
ЕХ2.1 - (ЕХ^і)2 = ^ (ЕХ^іі - (ЕХ^н)2) +
і=1
N N
+££ (Е (Х^ 1і ■ Х^1?) — ЕХ^ 1і ■ ЕХ^1І) <
і=1 і=і І=і
N NN
<£ ЕХ2 ,іі + ££ (Е (Х^ 1і ■ Х^1? ) — ЕХ^ 1і ■ ЕХ^1.7 ) •
і= 1 і= 1 і=1
І=і
Так как случайные величины ХМ,у могут принимать значения 0 или 1, то
N N
Х2,1г = Хм,1г ^ ^ ЕХ2,1г = ^ ЕХм,1г = ЕХм,1.
г=1 г=1
Если г-я и ^'-я вершины не соединены ребром в полном дистанционном графе £м, то
Е (ХМ, 1г ■ ХМ,У) = ЕХМ, 1г ■ ЕХМ,У •
Если г-я и ^'-я вершины соединены ребром в графе £М, то
Е (ХМ, 1г ■ ХМ,1^') — ЕХМ, 1г ■ ЕХМ,1^' =
= (1 - р)2М1-1 - (1 - р)М1 ■ (1 - р)М1 = р ■ (1 - р)2М1-1 •
Далее имеем:
ЕХ2,1 - (ЕХм,1)2 < ЕХм,1 + N ■ N1 ■ р ■ (1 - р)2М1-1,
ЕХм,1 = N ■ (1 - р)М1 •
Можно продолжить цепочку неравенств:
ЕХ2 1 - (ЕХМ1)2 Р{ХМ = 0) < Р(Хт = 0) < ---------^ 1 ; <
(ЕХМ,1)
1 , X- Хх -р- (1 -р)2"1-1 _ 1 , р-Ыг
ЕХм,1 N2 ■ (1 - р)2М1 ЕХм,1 (1 - р) ■ N'
В то же время
ЕХМ1>и(\-с ^/^(1пЖ)М = Же-с(1+г4(м))1пм
’ V 2л/21п 2 х У
где 54^) = о(1).
Поскольку с < 1, то при достаточно больших N имеем: с(1 + $4^)) < С < 1, Значит, ^-е(1+Й4(М)) 1пМ > N1-с ^ то при N ^ то, следовательно,
—> 0 при N —сю.
ЕХм,1
Кроме того,
р. Я, < 2^2ЬГ2.Ср, (1+Дз(я))<
(1-р)-ЛГ 0г\/1пх( 1 - ср*)
1п N
< (1 + ^б(х)) —► 0 при N —► то,
где £5^) = о(1).
Из вышесказанного следует, что
Р(ХМ = 0) ^ 0 при N ^ то.
Пункт б теоремы 1 доказан.
3.3 Схема доказательства пункта а теоремы 1.
Утверждение 1. Если ЕХм ^ 0 при N ^ то, то случайный граф в пространстве Яа.п.н. связен.
Доказательство. Имеем Р(Хм = 0) > 1 — ЕХм, и все доказано. Существенно более нетривиальным является следующее утверждение.
Утверждение 2. Число общих соседних вершин для двух любых различных вершин графа, при достаточно больших N не меньше, чем
Но = 10“4- м
1п N
Утверждение 2 будет доказано в пункте 3,4,1 параграфа 3,4,
Обозначим через f (г, N — г) минимальное число ребер между подмножеством множества вершин графа из г элементов и его дополнением из N — г эле-
г
вершин графа Ям-Тогда
N — 1 N— 1
ЕХм < X] СМ(1 — р)/(і>м—г) = ^ (1 — р)/(і>м—г) +
І=1 і=1
шіп(і,М—і)<аМі
£ см (1 — р)№л—і)+
<тт(г,М—г)<в^1
N —1
+ £ СМ (1 — р)' (^—•) = £ 1 + £ 2 + £ 3,
г= 1
тт(г,М—г)>ДМ.
где 0 < а < 1 <в~ любые фиксированные константы.
Далее будем оценивать каждую из этих сумм.
Утверждение 3. Если р > ср\, где р\ = (1п^03/2 2^2Х^1_а)2, с > 1, то ^1 ^ 0 щи п ^ то.
Утверждение 3 будет доказано в пункте 3,4,2 параграфа 3,4,
Сформулируем следующее вспомогательное утверждение, которое будет использоваться при оценке 5^2 И Ез-
Утверждение 4. Для любого і при достаточно больших N имеет место
Ъ.
з
неравенство /(г, N — і) > тій (г, N — і) ^
Утверждение 4 будет доказано в пункте 3,4,3 параграфа 3,4,
Утверждение 5. Пусть р* = (1п^)3/2 • Тогда при р > ср*, где о 1,
имеем ^ 0 при N ^ то при фиксирова,иных 0 < а < 1 < в-
Утверждение 6. При р > ср*, где с > 1, и, при, в > 105 имеем ^ 0 при N ^ то.
Утверждения 5 и 6 будут доказаны в пунктах 3,4,4 и 3,4,5 параграфа 3,4,
Таким образом, пункт а теоремы следует из утверждений 1, 3, 5, и 6, Достаточно положить
3.4 Доказательство утверждений 2,3,4,5,6.
3.4.1 Доказательство утверждения 2.
Пусть х и у — две различные вершины графа Ям, такие, что скалярное произведение (х, у) = 8, где 0 < 5 < 2к =
ху
^ (С*)2 2 > гДе ^ = тіп(в 2к - в)-
*=0
Далее будем обозначать это число Д(к, в).
Очевидно, Д(к, в) = Д(к, 2к — в), поэтому без ограничения общности будем считать, что в < к. Тогда:
Я(к,5) = £ (С*)2 (С*--,) .
*=0
Если 8 < \[к ~ то в соответствии с неравенством Коши-Буняковекого
имеем:
жм = Е (<# (с^а)2 > ^
*=0 + \ *=0 / +
1 ( [2 2™/2 \2 4-\/21п2 ЛГ г
—----т=—і—+ ^б(^О) ^ N2,
5+1 у V 7Г л/п/2) у/ъ 1п X
где 5&(Ы) = о(1).
Всюду далее будем считать, что 5 > \'к (в этом случае важно, что 5 —> то при п ^ то), имеем:
8 2 я(М) = £(с*)2(сЬу2> V (с1'2+«-'2,)2 (с^24*-'/2)) >
t=0 5/2-^/5</:<«/2+^/«
> я (с:с^ (с1'/2'сг/21 )2 (^у)2 '
где V = [в/2 + ч/в].
Теперь оценим каждый из множителей по отдельности, используя формулу Стирлинга:
1)
С[б/2]
у/27г[з/2][з/2]^е-^у/2ф - [в/2])(в - [8/2])(М*/2])е-(М*/2])
ПЗ [з/2][б/2](з — /2])(в—[в/2])
( 8/2 8/2 \[5/2] / 8/2 \2{5/2} ™ ' (в/2)(-/2)(5/2)(-/2) \[3/2] (з - [8/2])) ' \^- [з/2\)
2 23 { 52/4 \['/2] /2 2
2 25
Г-^1
7Г V5 V «2/4 — {в/2}2 У V 7Г V5
Аналогичным образом получим, что
^ 22А:“5
С
[й-«/2]
7Г \/ 2 к — 8 Таким образом, имеем:
2 4 24к
г|б/2|^»[к-б/2] у2&—6
п2 з(2к — в)
2)
Г-^1
С[3/2] е~у л/Ъг(8~^У)(8 — У)(3~^е~(3~^
Л/27г[5/2][8/2][5/2]е_[5/21Л/27г(5 - [в/2])(5 - [5/2])(5“[5/2])е_(5_[5/21)
П336в"
л/2тг[5/2][5/2][5/2]л/2тг(5 - [в/2])(5 - [з/2])(5-[5/2]) \/2т\т'ю \]2т\^8 — у) (в — 'у)(-5_г') в/2 (5/2)(б/2)(5/2)(б/2)
^/2 +^)(в/2- (5/2 + ^)(5/2+^} • (*/2 - ^)(-/2-^)
(в/2 + ^)(«/2+^) - (в/2 — ^)(5/2_^)
•-----------------------------------------------------
[в/2 + 1/5] [•5/2+\/51 • (в — [в/2 + ^)(*-[-5/2+\/«])
82/4 \^2 [з/2 — ^/з\^ [у + {г»})^+^^(5 — V — {'у})('5_г,_М)
32/А—3) \з/2-\-у/з) —-у)6
Г'ч-'
в6
Г''-'
Г''-'
Г-^
з) \ з/2 + </Ъ) \ V ) \ з — у
У + М А{г,} 2 -4 М -ы (8/2 + Ф\^} -2
---------——- ~ е • е • е1 1 ■ е 1 1 • ;-■= ~ е .
s-v-{v}J \з/2-л/з/
3) Введем обозначение и = 2к—в Ясно, что и > Имеем очевидную цепочку неравенств
к — в/2 > к — V = к — [з/2 + ч/в] = к — в/2 — л/в + {е/2 + 1/!} > и/2 — л/й.
Если при этом и/2 —л/й е М, то имеем > Си2~^ = Су^2+Л^'. Если же и/2—
л/й ф М, то имеем к — V > и/2 — л/й + 1, а следовательно, > (]1иа/2-^+1 =
сК2+лЛ^ Таким образом, получили, что Са значит,
г<к—ь ^у[«/2+^/«|
С2к-б ^ С ^ -2('1 | с / \\
^л-в/г] - ^[«/2] -е (1 + ^0)),
где $7(и) = о( 1 ). В итоге при достаточно больших N имеем:
Ш,) >
2
I I с[-/21 / \ С['
'С 7 \С2й-«
4 24#с 4 24#с
- \ ’ е 8(! + М5)) > ’ , /^-е 8(1 + ^(«)) =
п2 в(2к — в) п2 2^к
16 2™ _8/1 г , ^ 8(1п2)-\/2 ЛГ ЛТ
~^'^/й6 ( + > 40 007гу/7г ‘ М > 2’
где ^в(в) = о(1).
Утверждение 2 доказано,
3.4.2 Доказательство утверждения 3.
Замечая, что f (і, N — і) = f (X — і, і), имеем
Е1 = 2 ■ Е с«(і—р)7(,'к-і)-
і<аМі
Пусть А - произвольное подмножество вер шин графа Ям, |А| = і < аХ1, Из каждой вершины множества А выходит N ребер. Так как любая вершина множества А соединена ребром не более чем с аХ1 элементами множества А, то каждая вершина множества А соединена те менее чем с (1 — а)Х1 вершинами множества А, отсюда имеем, что /(г, ІУ — г) > (1 — а)гіУі,
Используя полученную оценку, получаем, что при р, данном в условии утверждения, и при достаточно больших N
(1пЛ03/2 лД
V < 2 V СЪ 1 - -;---------- I <
^ 1 V N 2V2Ы2(l-aУ,
1<г<аМ ^ '
Утверждение 3 доказано,
3.4.3 Доказательство утверждения 4.
Пусть А - произвольное подмножество вер шин графа Ям-Без ограничения общности можно считать, что г = |А| < у. Если из каждой вершины множества А выходит по крайней мере Щ- ребер в множество А, то неравенство в утверждении 4 оказывается верным. Далее будем предполагать,
А
х), из которой в множество А выходит менее, чем ребер.
Пусть В = А, обозначим через В\ подмножество тех вершин множества В, которые соединены с вершиной х множества А Далее рассмотрим у € В\В1, У вершин х и у есть по крайней мере N общих соседних вершин, но так как из вершины х в множество В выходит менее, чем ребер, то по крайней мере
х у А
Таким образом, получается, что из любой вершины у € В\В1 в множество
А выходит не менее, чем Щ- ребер,
В итоге мы доказали, что при достаточно больших N неравенство из утвер-
ждения 4 оказывается верным в любом случае.
Утверждение 4 доказано,
3.4.4 Доказательство утверждения 5.
Имеем
2
аМ1<г<в^1
2 ^ СМ (1 - р)7 (г’м-г),
„2У-21п2 N {1+ёз[мШ1<^21г,2 ДМ+<Ь(М))
где ^3(^ = о(1). Оценим любое слагаемое из этой суммы, использую формулу Стирлинга и тот факт, что для любого г, входящего в эту сумму, существует 7 € 0,2^2^12(1 + £3(Х));/32л/^:п2( 1 + #з(А0) , такое, что г = 7Тогда при достаточно больших N1
см(1 - р)7(г>м-г) <
\Z27rN Мме~м . г /Д7ЧЧ/
< .---;-- =-------------;--------“(1 + 6д(М)) (1 — СО*) 3 <
у/Ыъ1 е~глУ2п(М — г) (К — г)(м_г) е~(м~г^
, 7 N 1п — 4 N лт
< / (1плг)3/2 ^ уда10 шлг ^ ^ хлг
г1 (ЛГ - *)<*"*) V N 2л/21п2/
' лг \ ,*у—. ^ т —47
Л (ьло3/2 А У
1 — с-
х/кГ/У
7-/У
< е-10-6С7М < е-10-6саМ
где ) = 0(1), $10^) = о(1), 6п(^ = о(1). Следовательно, при достаточно больших N1
^ < ^-10-6саМ ^ 0 при N ^ то.
Утверждение 5 доказано.
3.4.5 Доказательство утверждения 6.
Имеем
^3- £ см (1 - р)№Л-,) =
вМ1<г<М-ДМ
£ см (1 - р)7 (>-к-()
/31Т7ё1г(1+‘5з(^))<г<М-/31Т7^(1+(5з(М))
где А = ^р/?, 83(М) = 0(1). Далее, при достаточно больших N
£з < £ 1 -с
'3 ' « ^ У ~ N 2\]21п 2
/317Шу(1+<5з(м)^^м-/317Шу(1+<5з(м))
ш1п(г;^- г) N2
(1пХ)3/2 ^ 4 5
<
. 1 /91(1+«з(АГ))АГ 1п-4 М
< (Ш^ « “ -
N О./о 1л О ) ”
/317^(1+<5з(М))<г<М-/317^(1+,5з(М)) (1пА03/2 1/Э1(1+Дз(Аг))Аг1п-4 ЛГ „
< е м 2УТЬ2 3 1и 1плг . 2м < 2м ■ е~сМЫ2 _> о при N -> то.
'3 ' « ^ У ~ N 2\]21п 2
/?17ет(1+‘5з(^))<г<М-/317Д1?(1+(5з(М)) Х У
ш1п(г;^- г) N2
(1пХ)3/2 уД ^ 5
<
1 ^1(1+Дз(ЛГ))ЛГ 1Г|_4 N
< (\-с{ъы) £-Л' “ е а<
\ N Ол/9 1п 9 /
/91^(1+^з(^))<г<ЛГ-/91^=(1+г3(ЛГ))
(1пЛГ)3/2 1 /Э1(1+Дз(Аг))Аг1п-4 ЛГ ,п „
<е * 2УТЬ2 3 у1^пу 10 1плт . 2м < 2м ■ е~сМЫ2 -► 0 при N -► 00. Утверждение 6 доказано.
4 Доказательство теоремы 2.
4.1 Ветвящиеся процессы.
Здесь будет использована технология, впервые примененная Карпом в 1990 году (см, [1],[7]).
Теорема 2 будет доказана с использованием теории ветвящихся процессов, А именно, пусть неотрицательные, целочисленные случайные величины ^1,^2,... независимы. Определим величины Уо,!^... рекурсивно:
У = 1,
У = ^-1 + — 1
и пусть Т = шт (£ : У* = 0}, Если такого £, что У* = 0, не существует, то будем говорить, что Т = +то, Величины и ^ отражают ветвящийся процесс следующим образом, В каждый момент времени мы выбираем какой-то из живых организмов, он имеет ^ детей, а потом умирает. Тогда число живых организмов в момент времени г задается рекурсией. Процесс обрывается, когда У* = 0 (вырождение). Значение случайной величины Т обозначает общее число организмов, включая „предков“, в этом процессе,
4.2 Завершение доказательства теоремы 2.
Вернемся к случайным графам. Мы определим процедуру нахождения компоненты С(г>), содержащей заданную вершину V в заданном графе С € П*5*. В этой процедуре вершины будут трех видов: живые, мертвые и нейтральные. Первоначально вершина V является живой, а все остальные - нейтральные, время £ = 0 и Уо = 1- В каждую единицу времени £ мы берем живую вершину т и проверяем, принадлежат ли множеству ребер Е (С) граф а С все пар ы (т,т/}, где т' - нейтральна. Если (т,т/} € Е(С), то отмечаем т' как живую, в противном случае она остается нейтральной. После отыскания всех нейтральных мы отмечаем т как мертвую, а У* принимает значение, равное новому числу
живых вершин. Когда не остается ни одной живой вершины, процедура заканчивается, а С (V) является множеством мертвых вер шин. Пусть ^ - количество тех т', для шторых (т,т'} € Е(С), Таким образом,
У = 1,
*
У* = У*-1 + Zt — ^и У* = ^ ^ — £ + 1.
г=1
Каждая нейтральная вершина т', соединенная ребром с вершиной т в полном дистанционном графе Ям, независимо от остальных подобных и с вероятностью р становится живой. Здесь никакая пара (т, т'} не проверяется дважды, поэтому условная вероятность для (т,т'} € Е(С) всегда равняется р. Имеем
Zt ~ Втот^м,р],
где Х1>4 - последовательность случайных величин, обозначающих число нейтральных вершин, соедененных с выбранной живой вершиной т на шаге с номером £, а Втот[Х, £] обозначает биномиальное распределение с параметрами N и £. Очевидно, что Х14 < Х1, Тогда имеем
Р(Т > £) < Р(У* > 0) = Р ^ > £
. г=1
Р I Втот
Х^М’Р
г=1
> £ <
<Р
где £12^) = о(1). Обозначим
гл^
> £ (1 + ^12^)),
Н = Втот
(ЛГ-ж
Приведем вспомогательное утверждение,
У
р = Е [У]. Для еслкого е > 0 выполнено соотношение
Р(|У — р| > ер) < 2е-с^, где величина с£ > 0 зависит толъко от е.
Н
ляетея суммой взаимно независимых индикаторов, Е[Н] = с£. Используя утверждение 7, имеем, что
*
Р(Н > £) = Р(Н — с£ > (1 — с)£) < Р(|Н — с£| > (1 — с)£) < 2е-7сС* = е-а*,
где а = a (c) = Ycc, Пусть в = в(с) удовлетворяет неравенству ав > 1- Тогда
P(T > вlnN) < N-ав = o(N-1).
Начальную вершину v можно выбрать N способами. Поэтому почти наверное все компоненты имеют размер O(ln N),
Теорема 2 доказана,
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Алон П.. Спенсер Дж,, Вероятностный метод, М, Бином, 2007,
[2] Erdos P., Renvi A,, On the evolution of random graphs, Magyar Tud, Akad, Mat, Kutato Int. Kozl, 5: 17-61, 1960,
[3] Bollobas B,, Random Graphs, Academic Press,, New York, 1985,
[4] Колчин В.Ф., Случайные графы, M, ФИЗМАТЛИТ, 2004,
[5] Райгородекий А,М., Линейно-алгебраический метод в комбинаторике, М, МЦНМО, 2007.
[6] Райгородекий А.М., “Проблема Борсука и хроматические числа некоторых метрических пространств”, УМН, 56: 1(337), (2001), 107-146,
[7] Karp R,, The transitive closure of a random digraph, Random structures and Algorithms 1: 73-94, 1990.
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Получено 10.12.2008
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 10 Выпуск 1 (2009)
УДК 511.29
ЮДИН АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ
10 июля 2008 года ушел из жизни ученый-математик, любимый студентами педагог, заботливый муж и отец Александр Александрович Юдин.
Александр Александрович - уроженец Саратовской земли, родился 6 сентября 1941 года в селе Кистендей, Ртищенского района. Его отец - Александр Матвеевич парторг совхоза, мать - Екатерина Григорьевна работала учителем начальных классов.
В 1958 году после окончания средней школы, Юдин А. А. поступил на физико-математический факультет Саратовского государственного педагогического института, отделение математики, жил в общежитии, хорошо учился, во время учебы женился на студентке отделения физики Нине.
После окончания вуза работал в г.Елабуга в педагогическом институте. В 1964 году поступил в аспирантуру при Математическом институте АН СССР им. Стеклова, под руководством профессора А.Г. Постникова. Годы учебы Александра Александровича были годы формирования его научных интересов, глубокого изучения работ ведущих отечественных и зарубежных математиков, активного участия в работе семинаров под руководством ведущих ученых того времени, и весьма скромного материального существования.
В 1967 году сразу после окончания аспирантуры Александр Александрович успешно защищает кандидатскую диссертацию и направляется в старинный русский город Владимир для работы во Владимирском педагогическом инети-
Тутб
Затем более 40 лет плодотворной работы во Владимирском государственном педагогическом университете. За эти годы Александр Александрович работал заместителем декана, заведующим кафедрой геометрии и методики преподавания математики, организовывал кафедру информатики, преподавал статистику во владимирском филиале ВЗФЭИ, сотрудничал с другими Вузами. Студенты многих поколений помнят его как прекрасного педагога, современного, глубоко интеллигентного, эрудированного человека.
А. А. Юдин активно участвовал в работе научного семинара по теории чисел ВГПУ, совместно работал с Г.А. Фрейманом, Д.А. Москвиным, Л.П. Постниковой , С. Лициным, Ж.-М. Дизуивье, Б.В. Левиным, Н.М. Тимофеевым, В.А. Юдиным (родным братом), Журавлевым В.Г., сотрудничал с московской, тульской, воронежской, а так же литовской, узбекской, таджикской, украинской, белорусской школами теории чисел, с ведущими специалистами Германии, Франции, Израиля. Участие в Российских и международных научных конференциях,
обширная научная переписка делают имя А,А, Юдина широко известным в научных кругах.
Долгое время А, А,Юдин был участником и руководителем творческого коллектива ВГПУ, состоявшего из специалистов по теории чисел, работавшего по грантам РФФИ, учуветвовал в совместном русско-французко- израильском научном проекте. Он неоднократно был оппонентом на защитах кандидатских диссертаций, с 2000 года руководил аспирантурой.
Научные работы Юдина А,А, (более 40 статей) относятся к классическому направлению теории чисел: аддитивной и мультипликативной теории чисел и ее вероятностным приложениям, В 60-е-70-е годы научные интересы А,А, Юдина были сосредоточены на вероятностной теории чисел: локальных предельных теоремах, тригонометрических суммах, оценках функции концентрации. Это нашло отражение более чем в 15 статьях, опубликованных в различных центральных математических журналах,
В 90-е годы вышел ряд статей А,А, Юдина в соавторстве с российскими и французскими коллегами: "Обратные проблемы аддитивной теории чисел и оценки для функций концентрации "О числе сумм и разностей "О границе для функций концентрации "и т.д.
В последние годы Александр Александрович особое внимание уделял проблемам теории сигналов и передачи данных, что отразилось в статьях "Метод понижения высоких пиков в теории сигналов "Дискретный и непрерывный максимум в многопакетной передаче данных "вышедших на английском языке.
Не только плодовитый ученый, но и блестящий методист, пользовавшийся неизменной любовью студентов, А,А, Юдин уделял много внимания формированию программ преподавания классических и специальных математических курсов на физико-математическом факультете ВГПУ, Он был председателем комиссии по разработке учебно-методических программ и учебных планов, членом совета университета, организатором математических олимпиад школьников,
В 2006 году назревает новый этап в жизни Александра Александровича: он принимает решение перейти на работу в ВЗФЭИ на кафедру статистики. Он с энтузиазмом взялся за новую работу, был полон энергии и планов на будущее. Коллективы ВУЗов, в которых работал А,А, Юдин, его коллеги и друзья глубоко скорбят о безвременной кончине выдающегося ученого, руководителя и организатора, доброго и отзывчивого человека и выражают глубокие соболезнования его семье и близким,
М.Б. Хрипунова, В.Г. Журавлев, А.А. Жукова, Е.П. Давлетярова (г. Владимир)
Библиография
1, Юдин А,А, об иррегулярности в распределении последовательностей, // Известия Академии Тадж.ССР, N2, 1966, 7-18,
2. Юдин А,А,, Фрейман Г.А. О спектре Маркова, // Литовский математический сборник, 4, N3, 1966, 443-447,
3. Юдин А,А, О числе целых точек в сдвинутых кругах, // Акта арифметика, 14, 1968, 141-152.
4. Юдин А,А, О неравенстве Эрдеша-Турана, // Литовский математический сборник, 4, N6, 1969, 443-455.
5. Юдин А.А., Москвин Д.А. О аналитическом методе оценки функции концентрации. // Вероятностные методы и кибернетика. Казанский университет, 130, N3, 1970, 41-51.
6. Юдин А.А., Постникова Л.П. О арифметическом методе в теории локальных предельных теорем для решетчатых распределений. // Теория вероятностей и ее применения, 15, N1, 1970, 86-96.
7. Юдин А.А., Фрейман Г.А. Общие принципы аддитивной теории чисел. // Калинин, гос. университете, Москва, 1973, 138-148.
8. Юдин А.А., Фрейман Г.А., Москвин Д.А. Обратные задачи аддитивной теории чисел и локальные предельные теоремы для решетчатых случайных величин. // Калинин, гос. университете, Москва, 1973, 148-162.
9. Юдин А.А. О мере больших значений тригонометрических сумм. // Калинин. гос. университете, Москва, 1973, 163-171.
10. Юдин А.А., Левин Б.В. Локальные предельные теоремы для аддитивных арифметических функций. // Акта Арифметика, 22, 1973, 233-247.
11. Юдин А.А., Фрейман Г.А., Москвин Д.А. Структурная теория сложения множетсв и локальные предельные теоремы для независимых решетчатых случайных величин. // Теория вероятностей и ее применения, 19, 1974, 52-62.
12. Юдин А.А. О плотности множества Рота. // МГУ, N3, 1974, 37-48
13. Юдин А.А., Постникова Л.П. О аналитическом методе оценки функции концентрации. // Труды математического института им. В.А.Стеклова, 143, 1977, 142-151.
14. Юдин А.А., Постникова Л.П. О функции концентрации. // Теория вероятностей и ее применения, 23, N2, 1977, 371-375.
15. Юдин А.А., Юдин В.А. Дискретные теоремы вложения и константы Лебега. // Математические заметки, 22, N3, 1977
16. Юдин А.А., Постникова Л.П. Аддитивная теория для сумм независимых случайных величин. // Вильнюс, 3, 1977, 33-35.
17. Юдин А.А., Постникова Л.П. Сильная форма неравенства для функции концентрации. // Теория вероятностей и ее применения, 23, N2, 1978, 376-379.
18. Юдин А.А., Постникова Л.П. О оценке функции концентрации. // Теория вероятностей и ее применения, 23, N3, 1978, 376-387.
19. Юдин А.А., Постников А.Г. Суммы одинаково распределенных двумерных независимых векторов. // Теория вероятностей и ее применения, 1, 1981, 156-160.
20. Юдин А.А., Юдин В.А. Многоугольные ядра Дирихле и рост констант Лебега. - Математические заметки, 37, 2, 1985 54-66.
21. Юдин А,А,, Постников А,Г, Оценка максимальной вероятности для суммы независимых векторов, // Теория вероятностей и ее применения, 2, 1987, 131-139.
22. Юдин А.А., Юдин В.А. О теореме Джексона в .12. // Математические заметки, 48, 4, 1990, 52-64.
23. Юдин А.А., Дизуивье Ж.-М., Фрейман Г.А. Обратные проблемы аддитивной теории чисел и оценки для функции концентрации. // Франция, Марсель, ЦИРМ, 7-11 июня 1993, 251-259.
24. Юдин А.А. О числе сумм и разностей. - Франция, Марсель, ЦИРМ, 7-11 июня 1993, 109-115.
25. Юдин А.А. Асимптотика ядра Дирихле для сферических средних. // Россия, Доклады Академии наук, 1995, 241(5).
26. Юдин А.А. О границе для функции концентрации. // Институт высших научных исследований, 91440-Бюреюр Иввет (Франция) М/195/37, 1995.
27. Юдин А.А. Обратные задачи аддитивной теории чисел и распределение значений гармонических многочленов. // Тезисы докладов 11-й международной конференции "Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные и функциональные методы в теории чисел Воронеж, 1995.
28. Юдин А.А., Дизуивье Ж.-М., Фрейман Г.А. Структурная теория сложения множеств. // Астерикс, 258, 1999.
29. Юдин А.А., Хенекарт Ф,, Роберт Г. О числе сумм и разностей. // Астерикс, 258, 1999, 173-177.
30. Юдин А.А., Дизуивье Ж.-М., Фрейман Г.А. Оценки для функции концентрации. // Астерикс, 258, 1999, 425-435.
31. Юдин А.А., Алсведе Р. Разбиение прямоугольника на прямоугольники. // Препринт 00-128, Университет Биелифельд ФРГ, 2000, 1-15.
32. Юдин А.А., Дизуивье Ж.-М., Фрейман Г.А. Приложения структурной теории множеств к вопросам эргодичеекой теории. // Необычные приложения теории чисел. Серия дискретной математики и теоретических компьютерных наук, том 64, 2000, 53-61.
33. Юдин А.А., Идан Алрод, Симон Лицин О большом среднем для М-последовательностей. // Конечные поля, том 23, № 7, 2004, 35-47.
34. Юдин А.А., Фрейман Г.А., Лицын С. Метод понижения высоких пиков в теории сигналов. // ШЕЕ Труды по теории связи, сентябрь 2004, том 52, номер
9, 1ЕСМВТ, (188Х 0090-6778), 1440-1444.
35. Юдин А.А., Лицин С. Дискретный и непрерывный максимум в многопакетной передаче данных. - ШЕЕ Труды по теории информации. Март 2005, том 51, номер 3, ШТТА\¥, (188N 0018-9448), 919-929.
36. Юдин А.А., Фрейман Г.А. Связь между теорией вероятностей и аддитивной теорией чисел (локальные предельные теоремы, структурная теория сложения множеств). / / Известия Американского математического общества, сери 2, том 217, 2006, 51-73.
37, Юдин А,А,, Хрипунова М.Б. Анализ поведения индексов Пааше и Лае-пейраса, // Владимир: Современные проблемы экономики и новые технологии исследований, 2006, т.1, 194-196,
38, Юдин А,А,, Давлетярова Е.П., Жукова А,А, О мощности подмножества дискретного тора, // Владимир: Современные проблемы экономики и новые технологии исследований, 2006, т.2, 212-228,
39, Юдин А,А,, Хрипунова М.Б. Оценка функции концентрации для одного класса аддитивных функций, // Математические заметки, 2007, том 82, вып.4, 598-605.
40, Yudin A,A,, Ahlswede Е. On Partition of a Rectangle into Rectangles with Restricted Number of Cross Section, // Information Transfer and Combinatorics, 2007, LNCS 4123, 941-958.
41, Юдин А.А., Жукова А.А., Давлетярова Е.П. Об оценке мощности разностного подмножества многомерного дискретного тора Z^. // Сборник трудов конференции памяти Гельфонда, 2007.
42, Юдин А.А., Жукова А.А., Давлетярова Е.П. Максимум модуля тригонометрической суммы на подмножестве кольца вычетов. // Владимир, ВГУ: Материалы межвузовской научно-практической конференции, 2008.
43, Юдин А.А., Хрипунова М.Б. Метод построения прогноза для таблиц сопряженности. // Владимир, ВГУ: Материалы межвузовской научно-практичее-кой конференции, 2008, 256-260.
44, Юдин А.А., Жукова А.А., Давлетярова Е.П. О максимальном множестве без параллелограммов. // Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия. 2009. Владимирский государственный гуманитарный университет
Поступило 5.03.2009
ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ РУКОПИСЕЙ
Журнал "Чебышевекий сборник” является общематематическим, В журнале публикуются оригинальные и обзорные работы по всем разделам современной математики и информатики на русском или английском языке.
Журнал “Чебышевекий сборник” выходит один раз в год в одном томе и четырех выпусках.
Редакция журнала “Чебышевекий сборник” предлагает авторам ознакомиться с данными правилами и придерживаться их при подготовке рукописей, направляемых в журнал,
1. Общие положения
1.1, Рукопись сопровождается краткой аннотацией на русском и английском языках размером не более 15 строк. Все материалы представляются в редакцию в двух экземплярах,
1.2, Текст статьи начинается с шифра УДК, затем следуют заглавие статьи, инициалы и фамилии авторов, с указанием в скобках города проживания, аннотация. На отдельной странице приводятся фамилии и инициалы авторов в латинской транскрипции и перевод на английский язык заглавия статьи и аннотации. Статья должна быть подписана на первой странице авторами с надписью “в печать”. Рукопись необходимо тщательно выверить, так как корректура авторам не высылается. Все страницы рукописи, включая таблицы, список литературы, рисунки и подписи к рисункам, следует пронумеровать. После списка литературы приводятся названия учреждений, в которых выполнена работа,
1.3, На отдельном листе указываются сведения о каждом из авторов: фамилия, имя, отчество- полностью, ученая степень, звание, должность, полное название учреждения, полный почтовый адрес, номер телефона с кодом города, адрес электронной почты (e-mail). Обязательно следует указать автора, ответственного за переписку и переговоры с редакцией,
1.4, Отклонения в оформлении рукописи от приведенных правил позволяют редколлегии принять решение о снятии с публикации статьи в текущем томе журнала (статья может быть опубликована в следующем томе).
2. Требования к оформлению рукописей
2.1, Редакция принимает к публикации статьи, подготовленные только в системе A/fS-ЬДЕХверсия не ранее 1,2); при этом в редакцию одновременно с распечаткой статьи представляются также соответствующие файлы. Статьи, подготовленные на компьютере в других текстовых редакторах, а также машинописный или рукописный варианты не принимаются,
2.2, При подготовке статьи в A^SLTEX’6 следует использовать класс article (см, пример в конце),
В статье запрещается переопределять стандартные команды и окружения. Пример подготовки статьи находится на Web-етраничке home.tula.net/gslie
2.3, Нумеруемые формулы необходимо выделять в отдельную строку. Номер формулы ставится у правого края страницы. Нумерация только арабскими цифрами в порядке возрастания с единицы. Нумеровать следует только те формулы, на которые в тексте имеются ссылки. Запрещаются прямые ссылки по номеру на формулы из других работ. Запрещается использовать в формулах буквы русского алфавита.
2.4, Все рисунки и таблицы должны иметь подпись. Файлы с рисунками необходимо представить в формате *,РСХ . Максимальный размер рисунка или таблицы вместе с подписью не должен превышать 80% размера А4, Не допускается заканчивать статью рисунком или таблицей,
2.5, Список литературы оформляется с в соответствии с требованиями журнала в порядке цитирования, с обязательным указанием следующих данных: для книг — фамилии и инициалы авторов, название книги, место издания, издательство, год издания; для статей — фамилии и инициалы авторов, название статьи, название журнала, год издания, том, номер (выпуск), страницы начала и конца статьи (для депонированных статей — обязательно номер регистрации),
3. Пример оформления литературы
[1] Боревич 3, П., Шафаревич И, Р, Теория чисел, М, Наука, 1985,
[2] Добровольский Н, М., Коробов Н, М, Оптимальные коэффициенты для комбинированных сеток // Чебышевекий сборник, 2001, Т, 2, С, 41-53,
[31 Воронин С, М., Карацуба А, А, Дзета-функция Римана, М, Физматлит, 1994.
[4] Archipov G, I,, Buriev К,, Chubarikov V, N, Exponential sums in some binary additive problems over prime parameters // Materials of international scientific workshop on analytic number theory and its applications, Moscow, M. S. U. 1997. P. 12-13.
[5] Голод E. С. Комплекс Шафаревича и его применения. Дисс. ... д. ф.-м. н. М.: МГУ, 1999.
4. Пример оформления статьи
\documentclass[12pt,]{article}
\usepackage[russian]{babel}
\textwidth=150mm \textheight=220mm \oddsidemargin=-5mm \topmargin=-10mm
\newtheorem{theorem}{\indent {\sc Теорема} \renewcommand{\thetheorem}{\rm \arabic{theorem}}} \newtheorem{lemm}{\indent {\sc Лемма}}
\renewcommand{\thelemm}{\rm \arabic{lemm}} \newtheorem{corollary}{\indent {\sc Следствие}} \renewcommand{\thecorollary}{\rm \arabic{corollary}} \newtheorem{note}{\indent {\sc Замечание}}
\renewcommand{\thenote}{\rm \arabic{note}}
\begin{document}
УДК 519.14
\begin{center}
{\large \bf 0 ГИПЕРБОЛИЧНОСТИ НЕКОТОРЫХ ГРУПП С
\medskip ОДНИМ ОПРЕДЕЛЯЮЩИМ СООТНОШЕНИЕМ} \footnote{Pa6oTa выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант $\cal N$
00-01-00767.}
\medskip
{\large В.~Н.~Безверхний, Н.~Б.~Безверхняя (г. Тула)}
\end{center}
\begin{abstract}
В работе доказывается гиперболичность некоторых классов групп с одним определяющим соотношением.
\end{abstract}
Пусть $С=\1а1^1е А; 11\га1^1е$~— конечно определенная группа с множеством образующих $А$ и множеством определяющих соотношений $11$. Слово ${ш\1п Р(А)}$, $Р(А)$~— свободная группа, равно единице в $й$ тогда и только тогда, когда
\begin-Cequation}
\labeHeql}
¥=\ргос!_{1=1>''п З.з.'ЧХуагервПоп.з.Н.з.'ЧХуагерБПоп }3_1'"{-\уагерз11оп_1>
\end{equation}
в свободной группе $Р(А)$, где $Б_1\1п Р(А)$, $\уагерз11оп_1=\рт 1$, $11_1\1п 11$, $1=\оуегИпе{1 ,п}$ .
{\sc Определение 1} {\it (\cite{Kap>). Пусть $G$~— конечнопорожденная группа, $Х$~— конечное множество ее образующих и $\е11 _х$~— словарная функция длины в $G$. Пусть $Н$~— конечно порожденная подгруппа группы $G$ и $Y$~— множество образующих группы $Н$ и $\е11 _у$~— словарная функция длины в $Н$. Будем говорить, что $Н$ квазивыпукла в $G$, если существует $с>0$ такое, что для любого $h\in Н$ имеем $1/с~\е11 _x(h)\leq \ell _y(h)\leq c\ell _x(h)$.>
\begin{lemm> (\cite{Bezv>). Пусть $F=\langle a_l, a_2,\ldots , a_n\rangle$~— свободная группа, $a_l, a_2,\ldots , a_n$~— ее свободные образующие. $H=\langle a_l,\ldots ,a_k, f(a_l,\ldots ,a_n)\rangle$~— собственная подгруппа группы $F$ такая, что $k<n$ и $f~*\notin Mangle a_l,\ldots ,a_k\rangle$, тогда, если $c$ минимален в $HcH$, $НсН\пе НН$ и $сНс~{-1>\сар Н\пе Е$, то $сНс~{-1}\сар Н$~— циклическая подгруппа.
\end{lemm>
\begin{thebibliography}-[99}
\bibitem{Kap}
Kapovich~I. A non-quasiconvexity embedding theorem for hyperbolic groups // Math. Proc. Comb. Phil. Soc. 1999.
V.\ 127. P.~461~--~486.
\bibitemiBezv}
Безверхний~В.~Н. Решение проблем сопряженности слов в одном классе групп // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп: Межвуз. сб. науч. тр. Тула, 1997. С.~4~--~38.
\ епсК"Ы1еЬ з.Ь11 ography}
\noindent Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н.Толстого.
\endidocument}
АДРЕС РЕДАКЦИИ ЖУРНАЛА ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Адрес редакции: г. Тула, пр. Ленина, 125, учебный корпус № 4,
ТГПУ им. Л.Н.Толстого, комната 316, кафедра алгебры, математического анализа и геометрии.
Электронные адреса (E-mail): dobrovolStspu.tula.ru, spikhtilkov@tula.net
