Сегнетоэластический фазовый переход в тонкой пластине Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.764:539.313

СЕГНЕТОЭЛАСТИЧЕСКИЙ ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД В ТОНКОЙ ПЛАСТИНЕ В.Н. Нечаев, А.В. Висковатых

В рамках термодинамической теории найдена зависимость температуры фазового перехода сегнетоэластической пластины от её толщины с учетом нелинейных эффектов и градиентных членов свободной энергии. Показано, что при сегнетоэластическом фазовом переходе существенно учет изменения формы образца

Ключевые слова: сегнетоэластик, нанокомпозит, неопределенные множители Лагранжа, конфигурационная сила

Влияние размерных эффектов на фазовые переходы подробно изучалось на примере сег-нетоэлектриков [1-7]. Ясно, что отмеченные в этих работах особенности фазовых переходов в малых образцах такие как, существенно неоднородное распределение параметра порядка, важная роль дальнодействующих полей, сопряженных параметру порядка, и т. д. будут иметь место и в сегнетоэластических образцах. Помимо этого в сегнетоэластиках, как показано в этой работе, определяющее значение имеет учет изменения формы образца при фазовом переходе. Задачи подобного типа называются в механике сплошной среды задачами со свободной границей. В этих задачах граница области (или ее часть), в которой ищется решение, неизвестна и определятся в процессе самого решения. Классическим примером таких задач являются задача Стефано[8]в теории теплопроводности или течение жидкости в канале с неровным дном и неизвестной границей раздела жидкость - атмосфера [9]. Целью настоящего исследования является изучение влияние геометрических размеров и формы сегнетоэласти-ческой пластины на температуру фазового перехода.

Пусть при сегнетоэластическом фазовом переходе появляется чисто сдвиговая пластическая деформация. Для определенности можно считать, что отлична от нуля только компонента тензора пластической деформациии13, как в тригидроселените калияКН3(8е03)2 .

Термодинамический потенциал сегнетоэластической пластины Фпредставляет собой сумму трех слагаемых: упругого потенциала Ф1, вклада в термодинамический потенциал Ф2, связанного с параметром порядка ^, и слагаемого учитывающего взаимодействие параметра порядка с упругими напряжениями Ф3.

Нечаев Владимир Николаевич - ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (473) 246-42-22, e-mail: wladnic@mail.ru. Висковатых Алексей Васильевич - ВГТУ, аспирант, тел. (473) 246-42-22, e-mail: ostrogvisk@mail.ru.

Ф- — S Vi(r)dV — f ^siklmaikalmdv,(1)

ф2 = J Pi(r)dV —

— S ^¡x(Vq)2 — ^2ar]2 + + pil4)dV,(2)

Фз = S V3(f)dV = - f r^i^dV. (3)

В формулах (1)-(3) использованы следующие обозначения.

Siklm - тензор упругих податливостей, имеющий в изотропной упругой среде вид: i

siklm 2 #Si$ik$lm + s2($il$km + $im$kL)1,

где две независимые компоненты s-^ s2 выражаются через модуль Юнга Еи коэффициент Пуассона v:

V i+v

s1 —---, s2 — ----.

1 E 2 E

Oik - тензор упругих напряжений.

a,fi - коэффициенты в разложении Ландау термодинамического потенциала вблизи температуры фазового перехода.

я - корреляционная постоянная.

Кроме того, при записи выражений (1)-(3) предположено, что в результате фазового перехода в материале возникает спонтанная (пла-

(*)

стическая) сдвиговая деформация и13 — г, принимаемая за параметр порядка г. Это допущение объясняет вид выражения для Ф3.

Уравнения, описывающие распределение параметра порядка п и упругих напряжений Oik в образце, равно как и граничные условия к ним, получаются из условия равенства нулю первой вариации термодинамического потенциала

8Ф — 5Ф1 + 5Ф2 + 5Ф3 — 0.

При варьировании термодинамического потенциалаФ необходимо учитывать, что переменные Oik, от которых он зависит, не являются независимыми. Они связаны друг с другом дифференциальными соотношениями:

даік дх/

= 0,

(4)

которые являются уравнениями упругого равновесия. Другими словами, интересующая нас задача есть задача о нахождении условного экстремума функционала [10]. Учет этого обстоятельства, также как и статических граничных условий на поверхности пластины:

аікпк = Рі , (4’)

где Р - внешняя сила, приложенная к единице площади поверхности тела, П- единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности, может быть сделан стандартным методом неопределенных множителей Лагранжа. Тогда, в соответствии с этим методом, задача сводится к варьированию функционалаФ.

Ф

= I (Г2Х (Уг)'‘

+

+ 2#81^2 + 282(а11 + а22 + а33 + 2а12 +

+2а?з + 2о2з)] + -

-1 <?\о1кпк - р^аБ,

где - неопределенные множители

Лагранжа, введенные с целью учета условий (4) и (4’), и введено обозначениеД= о11 + о22 + о33. Варьирование следует производить по независимым переменным ц, а1к,<^>\ Приравнивая к нулю первую вариацию$Ф, получаем искомую систему уравнений:

—кАг — аг + Рг3 — о13 = о, s1A + 2s2011-dX-i = 0,

SiA + 2S2022 —^^=0,

дЕ3

s1 А + 2s2o33 --— = 0

дх3

. ІґдЛ-L , дЛ2\ п

4s2‘’i2 — -2(jr1 + ji) = 0’

. 1 (дХ2 , дА3\ _

4s2°23—-2(jr3+ji) = 0

. 1 (дЛ1 , дЛЛ п

4s2‘’i3—-2(j:r3+jX;) — 4 = 0-

д.її д.21 да31

+

+

дх1 ' дх2 ' дх3 0,

да12 . да22 . да32

+

+

дх1 дх2 дх3

да13 + д .23 + да33 = 0

дх1 дх2 дх3

= 0,

(5)

(6)

(7)

(8) (9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

и граничные условия к ним на поверхности образца I:

Tjr = ° (15)

(16)

Равенства (6)-(11) позволяют установить, что множитель Лагранжа Я^имеет смысл вектора перемещений Й.

Для непрерывности векторного поля и необходимо выполнение условий совместности деформаций [11]:

е^п-!^=0, (17)

где вцт - тензор Леви-Чивиты.

Используя определяющие соотношения (6)-( 11), условия совместности можно записать через напряжения и далее, учитывая в них уравнения упругого равновесия (12)-(14), получаем:

1 ( д2Оц \

Ла,к + Т+и {д-дхкк - $‘кЛ'7") =

д2К I $

дгдх/

-2k + $ -2k

к3 дхдх/ І1 дхкдг

+(18)

+ S:

І3

д2К

дхкдх

($і1$к3 + $і3$к1)Аг $І

Ік

-2k)

дхдг).

В этой системе из шести уравнений в нашей ситуации существенными являются только два. Первое уравнение - это уравнение для компоненты тензора напряжений ст13, непосредственно связанной с параметром порядка ц:

Т°13+^(-%;) = -*Ф) . (.9)

Второе уравнение получается в результате свертки выражения (18) по индексам г и '.

— (Аои) = 2z(-f%-).

1+v 1 Удхдг/

(20)

Здесь Оц = о11 + о22 + о33 - след тензора

напряжений Пік.

Вводя затем в рассмотрение давление все-

1

стороннего сжатия р = —30ц, переписываем

систему уравнений теории упругости (19)-(20) в окончательном виде:

3 ( д2р\ (d2j\

Ар

= —111Щдк) .

3 1-у\дхд[)

(21)

(22)

Система уравнений (5), (21), (22) является полной, позволяющей решить поставленную задачу.

Рассмотрим тонкую сегнетоэластическую пластину толщиной С, длина и ширина которой I (рис.1). У - объем, занимаемый сегнетоэла-

стиком; Г = дУ - его внешняя граница; Г = Г1 и Г2, где Г1 - фиксированная часть границы сегнетоэластика, а Г2 - свободная ее часть. На границе Г1 задаем граничные условия:

ц1Г1 = °, а13 ^ = °.

На участке границы Г2 требовалось выполнение условия Неймана и равенство нулю нормальных производных от переменных ц,

а

13

дц

~к1Г = °, дп 2

да

13

дп

Кроме того, учитывалось, что участок границы Г2 будет располагаться таким образом, чтобы в каждой точке границы обращалась в нуль конфигурационная сила / (условие равновесия границы) [12]:

т = акУ-и? = °.

(23)

Равновесное положение границы (то есть учет условия (23)) в работе находилось путем вычисление термодинамического потенциала системы как функции угла ф, определяющего ее положение и последующей минимизации этой функции по углу.

Зависимость температуры фазового перехода второго рода пластины от толщины й представлена на рисунке 2. При уменьшении толщины пластины, как и следовало ожидать, температура фазового перехода понижается вследствие возрастающего влияния границы пластины с граничными условиями Дирихле для параметра порядка п и достигает минимального значения Тс=152,6К при толщине й=5нм. Дальнейшее уменьшение толщины пластины не оказывает существенного влияния на смещение температуры фазового перехода в связи с уже значительной величиной вклада, обусловленного термодинамическим потенциалом Ф2.

В данной работе проанализирована зависимость угла ф, образованного верхней либо нижней гранью пластины и боковой гранью в направлении которой происходит сдвиг, от толщины пластины при температуре фазового перехода. Данная зависимость приведена на рисунке 3. Из анализа данной зависимости следует, что при толщине пластины й=10нм значение угла ф выходит на насыщение и при больших значениях d существенно не изменяется. Такое поведение ф(й) указывает именно на то

факт, что существенный вклад в изменение формы образца при фазовом переходе и

А- г

Л Г1,

Г ^

7

I У)

Рис. 1 Модель сегнетоэластической пластины (I - размер пластины в направлении осей Ох и Оу, й-толщина пластины, ф - угол, характеризующий деформацию пластины, У - объем, занимаемый сегнетоэластиком, Г1 - фиксированная и Г2 - свободная ее часть границы сег-нетоэластика).

Рис. 2 Зависимость температуры фазового перехода сегнетоэластической пластины Тс от толщины й.

Рис. 3 Зависимость величины угла ср, образованного верхней либо нижней гранью пластины и боковой гранью, в направлении которой происходит сдвиг, от толщины пластины й.

величину конфигурационной силы f оказывают напряжения и деформации в приповерхностных областях пластины.

Численные расчеты сделаны для кристалла KH3(SeO3)2 с параметрами T7C=211,6K, «0=90.9- 106H-m-2-K-1, р=22- 1012H-m-2,

Ju=1012H-m-2, и=0.3 в пакете прикладных программ ComSolMultiphysics [13,14]. Форма пластины в плоскости XOY была выбрана в форме квадрата с длиной ребра l = 30 nm.

Из анализа полученных результатов следует, что сегнетоэластический фазовый переход сопровождается возникновением существенных напряжений в образце, вызывающих значительное изменение формы последнего. Другими словами, учет эффекта свободной границы является принципиально важны в этих задачах.

Полученные результаты могут быть использованы для интерпретации и моделирования свойств нанокомпозитных систем различных типов.

Литература

1. Нечаев В.Н., Шуба А.В., Висковатых А.В. Роль размерных эффектов в формировании свойств гетерогенных сегнетоактивных систем// Известия РАН. Сер.физ., 2010, Т. 74, № 9, С.1273-1276.

2. Нечаев В.Н., Висковатых А.В. Моделирование диэлектрических свойств нанокомпозитных систем сегне-тоэлектрик-диэлектрик // Вестник ВГТУ, 2011,Т.7, №12.1, С.54-57.

3. Барышников С.В., Стукова Е.В., Чарная Е.В., ChengTien, M.K. Lee, W. Bohlmann, D. Michel. Диэлектрические иЯМР-исследования нанопористых матриц, заполненных нитритом натрия// ФТТ, 2006, т.48, №3, с.551-557.

4. Барышников С.В., Чарная Е.В., Стукова Е.В., Ми-линский А.Ю., ChengTien. Диэлектрические исследования нанопористых пленок оксида алюминия, заполненных сегнетовой солью// ФТТ, 2010, Т.52, №7, с.1347-1350.

5. Барышников С.В., Чарная Е.В., Шацкая Ю.А., Милинский А.Ю., Самойлович М.И., D. Michel, С. Tien. Влияние ограниченной геометрии на линейные и нелинейные диэлектрические свойства триглицинсульфата вблизи фазового перехода // ФТТ, 2011, Т.53, №6, с.1146-1149.

6. Трюхан Т.А., Стукова Е.В., Барышников С.В. Диэлектрические свойства триглицинсульфата в пористых матрицах.// Известия Самарского научного центра Российской академии наук, 2010, Т.12, №4, с.97-99

7. Нечаев В.Н., Шуба А.В., Висковатых А.В. Моделирование гетерогенных наноструктур // Физикоматематическое моделирование систем: Материалы VI Международного семинара. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2009, ч.1, с.38-45.

8. Мейрманов А.М. // Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986, 240с.

9. Фридман А. // Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968, 427с.

10. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. // Вариационное исчисление и оптимальное управление. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006, 487 с.

11. Хан X. // Теория упругости: Основы линейной теории и её применения: Пер. с нем. М.: Мир, 1988. 344с, ил.

12. Косилов А.Т., Перевозников А.М., Рощупкин А.М. Динамическая теория когерентных межфазных границ в кристаллах // Поверхность. Физика, химия, механика. 1983, № 10, с.36-51.

13. Гриднев С. А., Кудряш В.И., Шувалов Л. А. Петли механического гистерезиса в кристаллах KH3(SeO3)2// Изв. АНСССР, сер. Физ., 1979, Т.43, №8, с.1718-1722.

14. Смоленский Г.А, Боков В.А., Исупов В.А.// Сег-нетоэлектрики и антисегнетоэлектрики. Л.: Наука, 1971, 476с.

Воронежский государственный технический университет

FERROELASTIC PHASE TRANSITION IN THIN PLATE V.N. Nechaev, A.V. Viskovatykh

In the framework of the thermodynamic theory dependence of temperature of phase transition of ferroelastic plate on its thickness taking is foundinto account nonlinear effects and gradiyentny members in free energy. It is shown that the accounting of change of a form of a sample is essentially important upon ferroelastic phase transition

Key words: ferroelastic, nanocomposite, undetermined Lagrange multipliers, the power configuration