CC BY
46
УДК 537.226.4
ОСОБЕННОСТИ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА В ДВУМЕРНЫХ СЕГНЕТОЭЛАСТИКАХ
В.Н. Нечаев, А.В. Шуба
Исходя из принципов классической теории упругости и феноменологической теории Ландау, выведена система дифференциальных уравнений для распределения спонтанной деформации в длинном тонком стержне прямоугольного сечения. Решение этой системы методом Фурье позволило определить температуру фазового перехода в сегнетоэ-ластическое состояние как функцию размера, формы сечения и величины S, характеризующей свойства поверхности сегнетоэластика. Рассчитаны критические размеры сечения, ниже которых невозможен переход в низкосимметричную фазу, в зависимости от степени закрепления параметра порядка на границе сегнетоэластика
Ключевые слова: тонкий сегнетоэластический стержень, размерные эффекты, спонтанная деформация, свободная энергия, температура фазового перехода
Установление особенностей фазового перехода наноразмерных сегнетоэластиков является перспективным направлением современного материаловедения по причине постоянно расширяющихся возможностей их практического использования в устройствах оперативной памяти, оптических затворах, модуляторах [1-3]. Влияние корреляционных и поверхностных эффектов для образцов сверхмалых размеров существенно сказывается на температуре фазового перехода и в некоторых случаях может полностью «задавить» упорядоченное состояние, что неоднократно наблюдалось на практике [4, 5].
Цель настоящей работы - изучение размерных эффектов в тонком сегнетоэластиче-ском стержне. Выбор объекта исследования обусловлен тем, что в этом случае можно ограничиться приближением плоской деформации, что значительно упрощает математические выкладки.
Рассмотрим тонкий сегнетоэластический стержень прямоугольного сечения а х Ь, параллельного плоскости х0у, неограниченный вдоль координатной оси 02. Считая, что сегнетоэла-стик претерпевает фазовый переход второго рода, запишем вклад в свободную энергию [6], связанный с параметром порядка г\(х, У), являющимся спонтанной (пластической) деформацией сдвига иру:
^ =1 i V J
a 2 ß 4 к, \2
7h2 + Jh4 + -(Vh) -
(e) s h
xy l
dS +
1 i 2 i d g,
gJ 2 5
(1)
где а = а0 (Тс - Т), Р - коэффициенты в разло-
жении Ландау свободной энергии, Тс - темпе-
Нечаев Владимир Николаевич - ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (473) 246-42-22
Шуба Андрей Витальевич - ВГТУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, e-mail: shandvit@rambler.ru
ратура Кюри неограниченного, химически однородного сегнетоэластика, к - корреляционная
постоянная, а
(e)
компонента тензора напря-
жений, сопряженная параметру порядка, -площадь сечения, 5 - величина, обратно пропорциональная степени закрепления параметра порядка на границе у сечения стержня. Для определения температуры фазового перехода целесообразно разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена:
7 * + 2
=1 i
SJ
rh2 +-(Vh)2
(e)
-SXy h
dS+1 iк — dy, (2)
gy 2 5
Варьируя функционал (2), в линейном по ^(х, у) приближении получаем уравнение равновесия
(3)
к Dh + ah + аХУ = 0
и граничное условие к нему
= 0,
h + d h
dn
(4)
где п - внешняя нормаль к границе у.
Задачу (3), (4) необходимо решать совместно с уравнениями упругого равновесия
dal
.(e)
ЙХ,.
= 0, i, j = 1,2,
где ст(.е) - тензор упругих напряжений. Используя закон Гука [7], выражаем напряжения ст^1 через упругие деформации
,(e) •
а
.(e)
= 1ijklUkl
(e)
где 1 ук1 - тензор упругих модулей. Далее вектор
перемещения и (и1, и2) разбиваем на сумму
упругой ие и пластической и(р составляющих. Тогда уравнения упругого равновесия (3) примут вид
l
ijkl
du, du
2« (P) ö
dx, dx.
V l i
dx dx
l j
= 0.
(5)
5
У
+
Представляя тензор пластической дисторсии
ди,, ~ (p)
W = -
дх.
в виде суммы симметричного ыы и
( p )
антисимметричного юи
д ( р)
дым
ддх.
= 0,
запишем уравнения (5) в виде
(р) ö
ди к1 дх,.
ijkl
д ик
дх1 дх1
= 0.
(6)
Учитывая, что тензор упругих модулей - в изотропном случае имеет вид
=18,8« +т(8,к 8 ц +8Дк), (7) где 1 и |т - коэффициенты Ламэ, 8, - символ Кронекера, уравнения (6) перепишем в виде
ч д2и,
(i+m) k
д и,
+ m 2
дхкдх t дх2
- - 2m-
ди
(p)
дх
= 0.
(8)
Напряжения сту, действующие на параметр порядка, в этом случае примут вид:
I ди, ди2 . „
= mI -т1 I-2mh.
, . . (9)
ду дх
Подставив выражение (9) в уравнение равновесия (3), и, расписав покомпонентно уравнения (8)с учётом равенства
-( р)
= h(Ö1id2j + Ö2iÖ1j ) ,
получим систему линейных уравнений относительно функций ы1, ы2, -:
( ды, ды \ кД-л+а/п + М-1 —- +—2 I-2|тп = 0,
^ ду дх )
/л ~ \ д2и, ,л ч д2и2 д2и, „ дп
(i+2m) -г-т+(i+m) д-д7+m 1 1
дх дхду
„ ч д2и2 ,л ч д2и,
(i+2m) —f+(i+m)^L+m
ду2
д2и
ду2
дхду дх
- 2m—- = 0, ду
2 - 2m^ = 0.
дх
(10)
Решение для функции п(х, у) удобно искать в виде разложения по собственным функциям V (х, у) = X (х)У (у) задачи Штурма-Лиувилля для прямоугольной области:
\ДV + ХУ = 0,
V + dV_ s dn
= 0,
(11)
где - собственные значения задачи (11). Вид функции п(х, у) запишем на основании известного решения (11):
п (x, у)=XX а (^Т1со5 ("Iм х)+^ ("Iм х))х
1=0 ]=0
х (s^Jn~¡c0s(Jn~¡y) + ¡¡Ц^у)), (12)
X, =М +п/, К/ = 0,l,•••,
где а, - коэффициенты разложения, а собственные значения находятся численно из решения трансцендентных уравнений:
v ,s '2-1
(13)
где -' = ^к / (а0Тс). Функции ы1 (х,у) и ы2 (х, у) будем искать в виде
ы1 (x, у) = XX Ъ (соя (Т1^) +Я1п (41х))х
1=0 /=0
х (^81п (^у)- с08 (&у)), (14)
ы2 (x, у)=XX °и (я1п иМх)- соя (^х))х
=0 ,=0
х (с08 (^у)+ 81п (Т^У)),
где Ъ, и с, - коэффициенты разложения. Подставляя функции (12), (14) в систему уравнений (10), и, используя свойство ортогональности собственных функций, получим систему относительно коэффициентов апт, Ъпт, спт :
[к(Мп +Пт) -а + 2|]апт -М&т -|/мПСпт = 0,
2М^т,апт -[(^ + 2|) Мп + МПт]Ъпт Ч^ + ^ИЛСт = 0,
2|/мПапт -(^ + М) л/ЙпПтЪпт -[(*■ + 2|) Пт + ММп]Спт = 0.
(15)
Однородная система линейных уравнений (15) будет иметь ненулевые решения только в том случае, когда её определитель равен нулю, откуда
к (Мп + Пт )-а0 (ТС - Т )+ 2М-
Пт [(^ + 2М)Пт -1Мп ] + Мп [(^ + 2М)Мп-1Пт ] =.
-2m-
= 0.
(1 + 2|)(|п +Пт )
По свойству собственных значений, с увеличением индексов п, т значения |мп, пт возрастают, поэтому минимальная температура Т, при которой появляется отличное от нуля решение, соответствующее минимальному ненулевому собственному значению Х11 = М1 +у1, будет являться температурой ТС фазового перехода:
T = T
1C 1C
1-
к
a0TC
(m1+v1 )-_^+m 8m1v12 a0Tc 2m(m1+v1)
. (16)
У
Для определённости будем рассматривать две ситуации. Первая соответствует случаю, ко-
гда все границы сегнетоэластика жестко закреплены («' = 0) и граничные условия на функции г),м1,м2 принимают вид
т|| = 0; и, I = 0; и А , = 0.
т'к
150 200 250 300 350
<2, А
100 150 200 250 300 350
Рис. 2. Зависимость температуры Т* фазового перехода от размера а квадратного сечения стержня, находящегося на подложке для разных л-'
Рис. 1. Зависимость температуры Т* фазового перехода от размера а квадратного сечения стержня для разных параметров 5'
Поведение температуры Т* рассмотрим на примере модельного сегнетоэластика тригид-роселенита калия КН3(8еОз)2 с параметрами: Тс= 211 К, а0 = 90.9 • 106 Н/(м2К), р = 22.1-1012 Н/м2, к = 10"7 Н [8]. На рис. 1 представлены зависимости температуры фазового перехода Т* от размера а для квадратного сечения стержня с различной степенью закрепления параметра порядка на его границе.
С ростом размера сечения вклад объёмной части свободной энергии (первое слагаемое функционала (2)) становится соизмеримым с корреляционной и упругой составляющими при более высоких температурах, что смещает точку фазового перехода Тс вверх по температурной шкале. Вместе с тем, рост параметра я' понижает влияние поверхности стержня, облегчая возникновение спонтанной деформации и повышая температуру Т* фазового перехода.
Во втором случае, когда параметр 5' принимает различные значения на разных гранях стержня, например, при задании ^ на нижней и 5' на остальных гранях, второе уравнение (13) на собственные значения примет вид
у/^-1
Например, нахождение бруска на подложке соответствует ситуации, когда 1/л;' > 0 только на одной грани, а остальные грани свободны -1/5' = 0 (рис. 2).
300 250 200 150 100 50
к
0 20 40 60
100 120 140
Рис. 3. Фазовые диаграммы для сегнетоэ-ластического стержня прямоугольного сечения с учётом различного контакта его граней с окружением
Из рис. 1, 2 видно, что с уменьшением размера а сечения температура Т* понижается и стремится к нулю, следовательно, существует конечный (критический) размер асг х Ьсг, ниже которого невозможно существование сегнетоэ-ластического состояния при отсутствии дополнительного воздействия на образец. Точки пересечения кривых Т* = /{а) с осью абсцисс при разных значениях параметра 5'на рис. 1, 2 определяют кривую, ниже которой невозможен переход в сегнетоэластическое состояние (рис.
3).
В заключение отметим, что полученные в данной работе результаты для температуры Т* фазового перехода в тонком сегнетоэластиче-ском стержне качественно согласуются с найденными численно-аналитически [9, 10] зависимостями для тонкой сегнетоэластической плёнки и экспериментальными [11] зависимостями. Представленную здесь модель можно обобщить для расчётов механических свойств композитных материалов с сегнетоэластиче-скими включениями и для объяснения экспериментальных данных.
Литература
1. Scott J.F. High-dielectric constant thin films for dynamic random access memories (DRAM) // Annu. Rev. Mater. Sci. 1998. V. 28. P. 79-100.
2. Scott J.F. Ferroelectric Memories. - Berlin: Springer. 2000. 245 P.
3. Meeks S.W. and Auld B.A. Optical and acoustic devices applications of ferroelastic crystals // Advances in electronics and electron physics. 1988. V. 71. P. 251-354.
4. Tybel Th., Ahn C.H., and Triscone J.-M. Ferroelec-tricity in thin perovskite films // Applied physics letters. 1999. V. 75. P. 856-858.
5. Chattopadhyay S., Ayyub P., Palkar V.R., and Multani M. Size-induced diffuse phase transition in the nanocrystalline ferroelctric PbTiO3 // Physical review B. 1995. V. 52. P. 1317713183.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.8: Электродинамика сплошных сред.- М.: Физматлит, 2003, 656 с.
7. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1990. 400 с.
8. Гриднев С.А., Кудряш В.И., Шувалов Л.А. Петли механического гистерезиса в кристаллах KH3(SeO3)2. Изв. АН СССР, Сер. Физ. 1979. Т. 43. № 8. С. 1718-1722.
9. Nechaev V.N. and Shuba A.V. Nonuniform states of ferroelastic film near the Curie temperature // Ferroelectrics. 2007. V. 359. P. 35-40.
10. Нечаев В.Н., Шуба А.В. О фазовом переходе в тонкой сегнетоэластической плёнке // Известия РАН. Серия физическая. 2007. Т. 71. № 10. С. 1403-1405.
11. Fuchs D., Schwartz T., Moran O., Schweiss P., and Schneider R. Finite size shift of the Curie temperature of ferromagnetic lanthanum cobaltite thin films // Phys. Rev. B. V. 2005. 71. P. 092406( 1 )-092406(4).
Воронежский государственный технический университет
FEATURES OF PHASE TRANSITION IN TWO-DIMENSIONAL FERROELASTICS
V.N. Nechaev, A.V. Shuba
In terms of principles of classical elasticity theory and phenomenological Landau theory the system of differential equations for distribution of spontaneous deformation in long thin rod with rectangular profile has been derived. The solution of this system with Fourier method has allowed to determinate the phase transition temperature in ferroelastic state as function of size, profile form and value of rod's contact with surrounding nonferroelastic materials. It is established the phase transition temperature has nonmonotonic dependence with reduction of contact, and the maximum is appeared on some size of profile, which reciprocally proportional to contact degree. The critical sizes of profile below that a phase transition in ferroelastic phase is impossible are calculated, which depend on degree of fixation of the order parameter on ferroelastic boundary
Key words: thin ferroelastic rod, size effects, spontaneous deformation, free energy, temperature of phase transition
