Моделирование сегнетоэластиков в двумерном случае Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE. 2018. No. 4

УДК 539.5 DOI 10.23683/0321-3005-2018-4-40-48

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕГНЕТОЭЛАСТИКОВ В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ*

© 2018 г. А.С. Скалиух1, Т.Е. Герасименко1

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия

MODELING OF FERROELASTICS IN THE TWO-DIMENSIONAL CASE

A.S. Skaliukh1, T.E. Gerasimenko1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

Скалиух Александр Сергеевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического моделирования, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: a.s.skaliukh@gmail.com

Герасименко Татьяна Евгеньевна -ассистент, кафедра математического моделирования, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: tanyapol@inbox.ru

Alexander S. Skaliukh - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Mathematical Modeling, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: a.s.skali-ukh@gmail. com

Tatiana E. Gerasimenko - Assistant, Department of Mathematical Modeling, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: tanyapol@inbox. ru

Предложена математическая модель, описывающая сегнетоэластический отклик материала на воздействие механических напряжений в двумерном случае. В основе моделирования лежит понятие «сегнетоэластический элемент», подобно тому как в теории пластичности вводится элемент сухого трения Сен-Венана. Такой элемент описывает поведение сегнетоэластиче-ского домена и под действием сжимающих напряжений может переключиться из одного состояния в другое. Многочисленные переключения всех элементов порождают пластические деформации. Для описания необратимых процессов деформирования приводятся энергетические оценки, связанные с работой механических напряжений и энергией механизмов закрепления доменов. Устанавливается энергетический баланс при переключениях доменов. Выводятся уравнения в дифференциалах, связывающие приращения остаточных деформаций и механических напряжений, которые представляют собой определяющие соотношения. Для выбора параметров модели сравниваются результаты численных экспериментов с опубликованными в литературе данными. С этой целью вводятся упругие составляющие деформаций и описывается метод численного решения полученных уравнений. Проведены численные эксперименты. Показано, что при определенном выборе параметров модели можно добиться не только качественного, но и количественного совпадения с экспериментальными данными и данными других моделей. Отмечено принципиальное отличие данной модели от моделей теории пластичности. Результаты работы могут быть использованы при конечно-элементном моделировании необратимых процессов в поликристаллических сегнетоэластиках.

Ключевые слова: сегнетоэластик, домен, переключение домена, моделирование, необратимый процесс, определяющие соотношения, пластичность, поликристаллический материал, гистерезис.

A mathematical model describing the response ofa ferroelastic material to the effect of mechanical stresses in the two-dimensional case is proposed. In the basis of modeling is laid the concept of a "ferroelastic element", just as in the theory ofplasticity the element of dry friction of Saint-Venant is introduced. Such an element describes the behavior of the ferroelastic domain, and under the action of compressive stresses it can switch from one state to another. Numerous switching of all elements generates plastic deformations. To describe irreversible deformation processes, energy estimates are given, related to the work of mechanical stresses and the energy of the mechanisms of domain fixing. The energy balance is established at domain switching, and equations in differentials connecting increments of residual deformations and mechanical stresses are derived. The constructed differential operator of hysteresis type is the constitutive relations. To determine the parameters of the model, the results of numerical experiments are compared with published data. To this end, elastic components of deformations are introduced, and a method for the numerical solution of the equations is described. Numerical experiments have been carried out, and it is shown that for a certain choice of model parameters, it is possible to achieve not only qualitative, but also quantitative coincidence with experimental data and data from other models. The principal difference between this model and the models of plasticity theory is noted. The results of the work can be used for finite-element modeling of irreversible processes in polycrystalline ferroelastics.

* Работа выполнена при поддержке фонда РФФИ (грант № 17-08-00860-а).

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 4

Keywords: ferroelastic, domain, domain switching, modeling, irreversible process, constitutive relationships, plasticity, polycrys-talline material, hysteresis.

Основные обозначения и операции тензорной ал-I: векторы основного базиса {етв декартовой системе координат {1т}3т=1; тензорное произведение: а 0 Ь = аЬ = атЪпетеп; полное умножение тензоров 2-го ранга: £: о = ^тпатп; простое

_т

умножение тензора на вектор: о • ек = 0^ ет.

Введение

Предметом исследования являются полные сегне-тоэлектрики - сегнетоэластики типа перовскита, из которых изготовлены поликристаллические сегнето-эластичные материалы или керамики. По своей природе такие материалы содержат огромное количество кристаллитов, в которых также имеется большое количество доменов, положение которых в начальном состоянии произвольно. При неизменной температуре в материале возможна смена ориентации доменов, образующихся в низкосимметричной фазе при наложении внешнего механического напряжения определенной величины и пространственного положения, что приводит к изменению структуры материала и фазовым превращениям представительного объема типа твердое тело - твердое тело. Другими словами, механическими напряжениями можно переключать ориентационные состояния кристалла или управлять положением доменных границ. Это свойство для прозрачных керамик используется в оптике [1, 2]. При жестком воздействии на сегнето-эластический образец, например, твердым телом, моделирование осуществляется решением интегральных уравнений [3], при мягком воздействии напряжения могут считаться известными. Именно этот случай будет рассмотрен в дальнейшем.

Моделирование необратимых процессов осуществляется на основе простых одноосных экспериментов. Так были построены одномерные и пространственные математические модели с использованием различных вспомогательных гипотез и предположений подобно теории пластичности [4-6]. В [7] описана одномерная модель для поликристаллического сегнетоэластика на основе метода Джилса -Атертона. В настоящей работе предложено развитие двумерной модели сегнетоэластиков путем учета внутренней структуры материала. Установлено [7], что необратимые процессы в таких материалах приводят к разному отклику при нагрузке и разгрузке, и в рамках квазистатического процесса моделирова-

ние можно осуществить с помощью уравнений равновесия; уравнений, связывающих деформацию и перемещения, а также определяющих соотношений напряжения - деформация. Именно определяющие соотношения и вызывают основные трудности в силу неоднозначного поведения материала и описываются нелинейными операторами. Подобные задачи возникают в теории пластичности, намагничивания, концентрации вещества и в некоторых других явлениях.

Целью настоящего исследования является построение определяющих соотношений для сегнето-эластических сред с привлечением физических основ перестройки внутренней структуры в двумерном случае (2D). Очевидно, что перестройка структуры неизменно связана с трехмерной размерностью, но специальные условия на тензор напряжений, о чем будет далее подробно сказано, позволяют рассматривать задачу в двумерном случае.

Постановка задачи

Прежде всего, опишем вкратце структуру материала, элементы которой изображены на рис. 1. С точки зрения двухуровневой среды под частицей

уровня и 1 будем понимать малый по сравнению с реальным образцом объем, содержащий в себе огромное количество кристаллитов.

Каждый кристаллит содержит большое количество доменов, которые, в свою очередь, состоят из элементарных ячеек. При структурном переходе каждая ячейка из кубической (более симметричной) переходит в тетрагональную (менее симметричную) фазу, как это показано на рис. 2.

Рис. 1. Частицы первого и второго уровней / Fig. 1. Particles of the first and second levels

а / а

б / b

Рис. 2. Высокотемпературная и низкотемпературная фазы: а - кубическая; б - тетрагональная / Fig. 2. High-temperature and low-temperature phases: a - cubic; b - tetragonal

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Совокупность ячеек с одинаковыми главными осями образуют домены. Элементарную ячейку, равно как и отдельный домен, можно рассматривать

как частицу уровня U 2.

В низкосимметричной фазе элементарная ячейка приобретает спонтанную деформацию, которая удовлетворяет условию несжимаемости материала и может быть представлена в виде

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 4

-

£s = (2a ® a - b ® b - c ® c) . s 2

(1)

где а, Ь, с - ортогональные граням орты локальной системы координат. В данном исследовании рассматриваемый материал - полный сегнетоэлектрик - се-гнетоэластик, поэтому наравне со спонтанной деформацией присутствует спонтанная поляризация, вектор которой изображен на рис. 2б. При приложении механических напряжений можно изменить деформацию ячейки, но не произвольно, а только в строгом соответствии с кристаллографическими осями. Фактически при этом оси ячейки меняются местами, но никаких поворотов ячейки быть не может, причем класс симметрии остается неизменным, что можно видеть на рис. 3. Поэтому часто говорят о переключении ячейки или домена.

это делается в теории пластичности. Вспомним, что реологическим элементом пластичности является элемент сухого трения Сен-Венана, который в трехмерном случае обобщается до поверхности нагру-жения. Дополнительно вводится ассоциированный закон, позволяющий находить приращения пластических деформаций. При моделировании сегнето-эластиков вводится по аналогии сегнетоэластичный элемент и формулируются условия его переключения. Затем проводится операция усреднения. Строятся уравнения в виде дифференциалов, о чем подробно будет описано в следующем разделе. Так как рассмотрена задача в двумерной постановке, то необходимо описать упрощения, принятые в данном исследовании.

Рассмотрим образец из поликристаллического сегнетоэластичного материала, который выполнен в виде прямого параллелепипеда и отнесен к системе осей 0ху2, как показано на рис. 4а. Пусть две противоположные торцевые грани зажаты гладкими жест-

кими плитами напряжением о0 так, что о0

= 0,

Рис. 3. Изменение деформации напряжениями / Fig. 3. Change of strain by stresses

Пластической деформацией частицы уровня U считается усредненное значение всех спонтанных деформаций входящих в нее ячеек. При хаотическом расположении доменов такая деформация рана нулю. Это состояние принимается за начальное. Механические напряжения, меняя спонтанные деформации элементарных ячеек, изменяют пластическую деформацию частицы уровня Ul. Очевидно, что с ростом напряжений пластические деформации не могут расти до бесконечности. Они будут стремиться к некоторому предельному состоянию (состоянию насыщения). В этом заключается принципиальное отличие сегнетоэластиков от пластических материалов.

Основной частью моделирования сегнетоэласти-ков является математическое моделирование отклика напряжения - деформация, т.е. построение определяющих соотношений. С этой целью можно воспользоваться реологическими элементами, как

к = 1,2 . К остальным граням приложены векторы напряжения р , вызывающие добавочные напряжения о *. Тогда о» • 13 = 0 . Сжатие образца плитами большим напряжением о0 приводит к тому, что спонтанная деформация всех ячеек может переключаться только в плоскости плит. Не нарушая общности, можно принять направление по нормали к плитам, совпадающим с осью с . Рассматривается необратимый процесс деформирования при постоянных напряжениях о0. В образце возникают как упругие, так и пластические деформации, но жесткие плиты при достаточно больших напряжениях о0 не позволяют образцу деформироваться пластически в направлении оси 02. Кроме того, считается, что граничные условия неизменны вдоль направления 02. Все это позволяет проводить исследования в рамках модели плоской деформации (2Б). Двумерная область с одним из способов нагружения показана на рис. 4б.

а/ а

б / b

Рис. 4. Граничные условия и двумерное приближение: а - 3Б-геометрия; б - 2Б-приближение / Fig. 4. Boundary conditions and two-dimensional approximation: a - 3D geometry; b - 2D approximation

k

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Основной задачей является моделирование упругого отклика в частице континуума уровня U х для напряжений любой интенсивности, при этом будем считать, что механические напряжения для всех частиц континуума уровня U 2 будут одинаковыми.

Основы моделирования

Энергетический критерий переключения доменов. Для построения оператора нелинейного отклика необратимых процессов деформирования предлагаются следующие элементы реологии. Вводится энергетический критерий переключения доменов под действием заданного напряжения. Пренебрегая взаимным влиянием соседних доменов на процесс переключения, найдем результирующую деформацию частицы уровня и путем простого усреднения деформаций частиц уровня и2. Далее модель дополняется условиями влияния соседних доменов на процесс переключения. С этой целью рассматриваются энергетические соотношения, включающие в себя энергию, необходимую для слома механизмов закрепления доменных стенок; работу механических напряжений в идеальном случае и в реальном процессе деформирования. Все это позволяет вывести балансное энергетическое соотношение. Из него выводятся уравнения в дифференциалах, которые являются искомыми.

Спонтанная деформация (1) частицы уровня и 2 может изменяться при приложении напряжения о, путем поворота осей а, Ь, с. Вместо внешних напряжений будем рассматривать эффективное поле на уровне элементарной ячейки, которое вводится по аналогии с полем Вейсса, принятым в моделировании полярных диэлектриков [8]:

(2)

где о» = о + о0 - напряжение в частице уровня и2; £0 - необратимая деформация в частице уровня и (представительного объема); а - некоторая константа, подлежащая в дальнейшем определению.

Геометрически удобно вместо параллелепипеда се-гнетоэластичного элемента изобразить вектор а , направление которого совпадает с главной осью спонтанной деформации растяжения (при этом возможны два диаметрально противоположных направления оси при одной и той же спонтанной деформации). Для оценки деформации частицы уровня и надо установить расположение главных осей спонтанной деформации всех частиц уровня и2 при заданных напряже-

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 4

ef

oJ = о* +as0,

ниях и провести операцию усреднения. Воспользуемся приемом, предложенным в [8], согласно которому выбирается точка приведения и все векторы а сводятся в эту точку (рис. 5).

Рис. 5. Возможные направления одной из главных осей спонтанных деформаций ячеек / Fig. 5. Possible directions of one of the main axes of spontaneous strains of cells

Если переключаются домены, то начинается необратимый процесс деформирования. Переключение каждого домена происходит таким образом, что в новом положении его энергия в поле механических напряжений будет минимальна. Сформулируем критерий переключения элементарной ячейки с энергетической точки зрения. Пусть напряжения в текущем

ef

состоянии принимают некоторое значение о и ячейка имеет спонтанную деформацию £s. Энергия ячейки в текущем поле напряжений определяется как Uсгк = -£s : oefV, где V - ее объем, который при переключениях не изменяется. Но спонтанная деформация может принимать и другие значения для данной ячейки. Всего имеем 6 возможных направлений вектора a (соответственно, 3 возможных значения тензора спонтанной деформации (ss )k ), для которых вычислим возможные значения энергии ячейки для

этого же поля напряжений: и = _(£ \ : оеУ . Выбрав из этих значений минимальное и , определим направление осей ячейки. При этом возможны ситуации, в которых минимальную энергию ячейка может иметь для нескольких направлений главных осей. Оценим разность между текущим и минимальным значениями энергии. Если эта разность больше порогового (коэрцитивного) значения ис, то происходит переключение, причем в такое положение, где энергия ячейки минимальна. Другими словами, если исиг — ит^ > ис , то происходит переключение и спонтанная деформация меняет оси. В случае, когда по минимальному значению оси определяются неоднозначно, они выбираются датчиком случайных чисел. При каждом изменении текущего значения напряжения этот критерий применяется снова.

Итак, пусть вначале приложено напряжение большой интенсивности о0 , не изменяющееся в

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 4

(3)

дальнейшем, такое, что все возможные переключения ячеек произошли. Не внося больших погрешностей, можем считать, что оси a всех ячеек расположились в плоскости, параллельной сжимающим плитам, причем c = i3 . Это состояние считаем начальным. Прикладывая дополнительные напряжения о такие, что о • i3 = 0, имеем переключения только в плоскости Oxy, и пластические деформации удовлетворяют условию в0 • i3 = 0. Тогда £0 : о0 = 0 и в энергетический критерий будут входить лишь о и £0. Именно эти напряжения будут заданными, а деформации - искомыми.

Предельная деформация. Определим предельную деформацию в частице уровня U следующим образом. Пусть в частице N элементарных ячеек (не нарушая общности, вместо ячеек можно рассматривать домены). И пусть о - тензор напряжения текущего состояния. Определим остаточную деформацию при переходе из начального в текущее состояние путем усреднения, которое проведем после применения энергетического критерия переключений:

£ = - £ (в)

N к=\

Построенная по этому правилу функция максимально возможной деформации называется предельной, а так как она строится путем сравнения начального и текущего состояний и начальное состояние остается неизменным, то является однозначной функцией текущего напряжения, несмотря на то что в критерий переключений входит тензор

пластической деформации в 0.

Энергетическая оценка механизмов запирания доменных стенок. Пластические деформации появляются за счет переключения доменов, когда движутся доменные стенки. Однако существуют механизмы, закрепляющие их и препятствующие их движению. Чтобы сломать эти механизмы, механические напряжения должны достичь пороговых значений (аналог явления сухого трения). Приведем простейшие оценки для подсчета энергии, необходимой для слома механизмов закрепления доменных стенок. Пусть напряжения текущего состояния oef получают приращение doef. Если ячейка переключи-

1 old new

лась, то ее спонтанная деформация £ s стала в s , изменившись за счет добавочной энергии, плотность которой можно представить в виде

AU = (ef — Cw): d oef.

Естественно принять, что часть энергии пошла на слом механизмов закрепления стенок домена, т.е. ее можно выразить в виде

AU„

ргп С* ")■ d (4)

где С — коэффициент пропорциональности, который может зависеть от интенсивности напряжений. Дабы не усложнять задачу, можно воспользоваться наиболее простым случаем, когда сжимающие напряжения и поворачивают домен на 90°. В таком случае оси ячейки а, Ь меняются местами, и в то же время они являются главными осями тензора напряжений.

А =

= Се.

aa-1 bb |-f bb -1 aa

2 M 2

: (d oef aa + d of bb )=

= 3 C*es (d of - d of).

Полагая, что подобные соотношения справедливы для любой ячейки, определяем

2и„А

* = 3е, (d о? - d о ? ) . (5)

Заметим, что здесь учтено правило для главных значений:

d of > d of

т.е. d of — d of > 0 . В

противном случае необходимо взять | d of—d of |. В дальнейшем будем оперировать усредненными значениями по объему G) частицы уровня U . Заметим, что напряжение о постоянно в объеме частицы уровня U . Остаточная деформация в0, согласно (3), есть интегральная характеристика и не зависит от координат объема частицы. Поэтому

т.е. эффективные напряжения (2) совпадают с усредненными. Обозначим приращение

" 1 old new rp

спонтанной деформации в^ — в^ = ass . Тогда, учитывая (5) и операцию усреднения, получим

2U„,dвп:doef

Оef) = О f ,

(AU„e^ =

1

mes(a)

\AUpi^ =

3е

d

ef

- d o

f.

II )

Поликристаллическая среда - это гомогенная система. Поэтому для произвольного объема О можно принять, что полученная энергетическая оценка будет справедлива в любой точке этой области с некоторой плотностью распределения п . Энергию, необходимую для слома механизмов закрепления доменов в области О, можно представить в виде

Аи = = | Ы<Г .

О

2ил/

к = п-^.

3г„

■¡d of—d of,

ii

ю

i

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Оценка работы механических напряжений. Механические напряжения в необратимом процессе поляризации совершают работу, в результате которой появляются упругие и пластические деформации s = Se + S0. Оценим эту работу для необратимого деформационного процесса

АЛ = J о : dsdQ. (7)

п

Приращение тензора напряжений можно выразить через приращения упругих деформаций с помощью закона Гука, в котором тензор упругих модулей в общем случае зависит от текущего значения пластических деформаций: dо = C(s0) : dse.

Проведя несложные преобразования, подробно описанные в [6], для подынтегральной функции получим соотношения

о: ds = d(о: s) -—d(se: C(s0): se)-

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 4

2

-

2

+

1 а

— J(se: dC(s0): se )dП+— d J s0: s0dП-

АЛ5 = — J s0 : oefdn.

расположения остальных доменов. Для подсчета потерь ААм в этой ситуации достаточно в предыдущем выражении сделать замену тензора остаточной деформации на деформацию предельного случая. Тогда

АА = —J s „ : d о efd П .

(9)

Проведенный анализ позволяет вывести формулу энергетического баланса, в которой учитываются все энергетические потери (6), (8), (9) - реальные энергетические потери в процессе деформации складываются из потерь идеального случая плюс энергетические затраты на слом механизмов запирания стенок доменов: АЛ = ААШ + Аи.

Учитывая произвольность объема О и приращения тензора напряжения й ое, поручаем уравнение в дифференциалах относительно остаточной дефор-

+ — (se: dC(s0): se)+ads0: s0 — : s0.

Тогда (7) представляется в виде суммы из пяти слагаемых:

АЛ = d J о : s dП — — d J se: C(s0): sedП +

мации: s 0 = s „ — k

d sn

, которое для числен-

ii

(10)

— | £0 : й о □.

а

Пусть рассматривается циклический процесс, когда полные и пластические деформации циклически повторяются:

А = {АЛ = ^АА + ^А^2 + {АЛ3 + ^ АЛ4 + {АЛ5 .

Легко видеть, что первый, второй и четвертый интегралы обратятся в нуль. Третий интеграл отличен от нуля только для разномодульных материалов. Для рассматриваемых керамик упругие модули при сжатии и при растяжении равны, следовательно, и этот интеграл равен нулю. В результате остается отличным от нуля только пятый интеграл. Именно он и отвечает за энергетические потери в циклическом процессе:

(8)

Вывод энергетического соотношения. Если бы не приходилось затрачивать работу на преодоление механизмов запирания доменов, то энергетические потери в системе были бы значительно меньше и определялись бы идеальным (или предельным) случаем, в котором поворот механическим напряжением отдельного домена не зависит от влияния и

ного решения удобно переписать в виде

й £о = |(£ш — £о)( й ае/—й а$ ).

к

Это уравнение является искомым. Оно позволяет определить приращения остаточных деформаций по приращению механических напряжений. Интересно отметить аналогию между моделями сегнетоэласти-ков и пластичности: и здесь, и там необратимые (пластические) деформации определяются в приращениях, но здесь уравнение получено из энергетического баланса потерь, а там - на основе ассоциированного закона.

Численное решение полученного уравнения

Пусть квазистатический процесс деформирования проходит в течение времени ^ е [0, Т]. Представим его в виде последовательности N +1 равновесных состояний С, 1 = 0,..., N , каждое из которых наступает в момент времени ^ : ?0 = 0,..., ^ = Т . В начальном состоянии все функции известны. Задача заключается в определении приращения искомой функции при переходе от состояния С к См . В частности, для определения приращения остаточной деформации воспользуемся уравнением (10). Сложность этой операции заключается в том, что оно содержит параметры ис, 8!, ,а, к , которые необходимо определить из условия совпадения численных решений с результатами экспериментов. Экспериментальные данные, как правило, приводятся в виде деформационных петель гистерезиса для отдельных компонент тензорных величин в виде зависимости

п

п

п

п

п

п

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 4

полные деформации - механические напряжения. В связи с этим нам необходимо доопределить модель функциональными соотношениями, связывающими упругие составляющие деформации £е с механическими напряжениями о . Оставляя в стороне сложную задачу определения этого закона для общего случая, воспользуемся простым линейным законом:

£е =Ро . (11)

Имеем пять скалярных параметров: ис, еш,а,к, ¡3, которые находятся из условия совпадения гистерезисных кривых, полученных в экспериментах, и кривых, вычисленных с помощью описанной модели.

Определим квазистатический процесс и укажем численный метод решения уравнения (10) для построения деформационной петли гистерезиса. С этой целью задаем три функции: с11 = ), с22 = р2(:),

ст12 = Рз ) , по которым определяем приращения каждой из компонент тензора напряжения при переходе от состояния С к С . Сложность численного решения (10) заключается в том, что остаточная деформация £0 входит неявным образом в слагаемые

правой части (£ ш и ое). Поэтому предлагается использовать итерационный процесс

As

1 (s. (sjö,)) — s0t) )(d vf (sjö,)) — d 4 (sjö,))),

(i) _ 0(m) ^

Ji) _ J>)

= s^ + As

(i)

й0(т+1) = £0 +А£0(т) , (12)

в котором, как видно из второй формулы, для определения остаточной деформации m-го приближения

(О

используется неизменное значение £0 предыдущего состояния. Эта ситуация важна, так как гисте-резисные кривые в одной и той же точке имеют два разных приращения для возрастающих и убывающих значений напряжения. Предложенный подход исключает перескоки с одной ветви на другую и хорошо описывает монотонные части ветвей. После итерационного цикла находятся остаточные части

деформации £0'()т+1): по (11) - упругие части, опре-

(г) <° С) т-

деляется полная деформация £() = £е + £0 . Графическое изображение петель осуществляется по найденным приращениям с помощью любого графического пакета.

Еще одной особенностью задачи является выбор параметров ис, е5,а,к, 3 задачи. Как показали численные эксперименты, каждый из перечисленных параметров определенным образом влияет на форму и наклон петли. Оказалось, что их можно подобрать методом проб и ошибок путем сравнения с результатами работ других авторов.

Обсуждение полученных результатов

Основной, но и наиболее простой случай - это оценка зависимости между растягивающим (сжимающими) напряжениями и продольными деформациями. Оценим влияние параметров модели на вид и

наклон гистерезисной кривой. Параметр и , входящий в предельную зависимость, фактически определяет начало необратимого процесса деформирования. Поэтому с его ростом увеличиваются линейная часть и площадь петли по оси напряжений. А так как этот параметр часто выбирается из условия ис = 2сс , то он связан с коэрцитивным значением напряжения, аналогом которого в теории пластичности выступает напряжение текучести. Поэтому для твердых керамик эти значения значительно больше, чем для мягких. Параметр входит в коэффициент пропорциональности к , поэтому оказывает влияние на растяжение петли по оси напряжений. Следующий параметр а входит в

определение напряжений Вейсса ое = о» + а £0 , которые, по нашему предположению, учитывают влияние соседних доменов на процесс их переключения. Предполагалось, что, переключаясь, домены начинают деформироваться и стеснять друг друга, что должно приводить к добавочным напряжениям а £0. Однако основное напряженное состояние в частице создают напряжения о», поэтому добавочные напряжения составляют лишь часть основных и тем более не могут их превышать. Это же показали и численные эксперименты: параметр а очень слабо влияет на общую кривую, приводя к малозаметным сдвигам по оси деформаций. Его можно обнулить, не внося больших погрешностей. Следующий параметр к пропорционально связан с энергией поворота домена на прямой угол и обратно пропорционален разности главных значений приращения тензора напряжений. Если приращения тензора напряжений образуют шаровой тензор, то никаких переключений не будет (обнулится энергия поворота), и остается только упругая деформация. Как следствие, увеличение коэффициента к приводит к уменьшению площади петли. Кроме того, так как этот коэффициент входит в уравнение (10) обратно пропорционально приращениям остаточной деформации, то он также оказывает существенное влияние и на наклон петли. Оставшийся коэффициент 3 , который входит в линейную зависимость для упругих деформаций, оказывает влияние на наклон кривой на начальной стадии, когда переключения еще не начались, и на конечном этапе, когда достигнуто состояние насыщения.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 4

При подборе параметров мы руководствовались результатами работ [9, 10] и сравнивали наши результаты с результатами этих работ. В частности, при е,=0,002, я=3,6 106 Н/м2, ^=3,9106 Н/м2, р=1,6109 Н/м2 на рис. 6 слева показаны рассчитанные нами гистере-зисные петли продольной деформации в зависимости от продольных напряжений растяжения-сжатия при

различных значениях коэрцитивного напряжения ас. Для сравнения справа показаны результаты работы [9] при тех же значениях коэрцитивного напряжения для керамики PLZT. Максимальные напряжения для каждого из случаев указаны на рис. 6, из которого видно, что наблюдается хорошее не только качественное, но и количественное совпадение.

200

100

-100

-200

a22 77 :

"А 8 22 i

-0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50

200

100

0

-100

-200

-0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50

а / а

150 100 50 0

-50 •1 00 -1 50

a22

/ i 8 22 i

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

-1 50

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

б / b

150 100 50 0

-50 -100

-1 50

cj22 sif

8 22 i

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.4

в / с

Рис. 6. Большие петли деформационного гистерезиса при различных коэрцитивных напряжениях: a - ас = 120МПа,

er~ov = 200-106Н/м2; б - ст = 50МПа, ст

max c max = 150-106h/m2 ; b - ac = 35 Mna , amax = 150-106h/m2

/ Fig. 6. Large loops of strain hysteresis at different coercive stresses: a - ac = 120MPa, amax = 200- 106N/m2; b - a c = 50MPa, CTmax = 150- 106N/m2; c - ac = 35MPa, amax = 150- 106N/m2

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 4

Заключение

В настоящей работе предложена двумерная модель для необратимого процесса деформирования поликристаллических сегнетоэластиков. Построены определяющие соотношения в виде уравнений в дифференциалах. Предложена схема их решения, основанная на методе последовательных приближений. Описано влияние параметров модели на вид и поведение гистерезисных кривых. Отмечено, что параметры легко подбираются, если есть возможность сравнивать результаты численного эксперимента с известными результатами. Предложенная модель существенно отличается от известных моделей теории пластичности. В отличие от постулирования условий сухого трения и ассоциированного закона здесь рассмотрены энергетические подходы при оценке разрушения механизмов закрепления доменов. Упругие деформации связаны с напряжениями линейными соотношениями, а необратимые (пластические) - в виде приращений. Результаты работы данной модели могут быть имплантированы в конечно-элементную программу, которая позволит проводить конечно-элементное моделирование необратимых процессов в сегнетоэластиках различной формы.

Литература

1. Алексеев А.Н., Злоказов М.В., Осипов И.В. Применение сегнетоэластиков // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1983. Т. 47, № 3. С. 465-475.

2. Гриднев С.А. Сегнетоэластические кристаллы: основные свойства, влияние дефектов // Природа. 2002. № 6. С. 22-29.

3. Скалиух А.С. О приближенном решении некоторых интегральных уравнений 1 -го рода, возникающих в динамических смешанных задачах теории упругости // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1983. № 4. С. 17-21.

4. Salten M., Schnaider G.A., Knoblauch V., McMeeking R.M. On the evolution of the linear materials properties of PZT during loading history - an experimental study // Int. J. of Solids and Structures. 2005. № 42. P.3953-3966.

5. Zhou D., Kamlah M. Dielectric and piezoelectric performance of soft PZT piezoceramics under simultaneous alternating electromechanical loading // J. of the European Ceramic Society. 2005. Vol. 25. P. 2415-2420.

6. Zhou D. Y., Kamlah M., Munz D. Uniaxial compressive stress dependence on the high-field dielectric and piezoelectric performance of soft PZT piezoceramics // J. Mater. Res. 2004. № 19 (3). P. 834-842.

7. Белоконь А.В., Скалиух А.С. Математическое моделирование необратимых процессов поляризации. М.: Физматлит, 2010. 328 с.

8. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1966. 624 с.

9. Hwang S.C., McMeeking R.M. A finite element model of ferroelastic polycrystals // Int. J. of Solid and Structures. 1999. Vol. 36. Р. 1541-1556.

10. Landis C.M. On the fracture tougness of ferroelastic materials // J. of the Mechanics and Physics of Solids. 2003. Vol. 51. Р. 1347-1369.

References

1. Alekseev A.N., Zlokazov M.V., Osipov I.V. Prime-nenie segnetoelastikov [Application of ferroelastics]. Izv. ANSSSR. Ser. fiz. 1983, vol. 47, No. 3, pp. 465-475.

2. Gridnev S.A. Segnetoelasticheskie kristally: osnov-nye svoistva, vliyanie defektov [Ferroelastic crystals: basic properties, influence of defects]. Priroda. 2002, No. 6, pp. 22-29.

3. Skaliukh A.S. O priblizhennom reshenii nekotor-ykh integral'nykh uravnenii 1-go roda, voznikayushchikh v dinamicheskikh smeshannykh zadachakh teorii uprugosti [On approximate solution of some integral equations of the 1st kind arising in dynamic mixed problems of elasticity theory]. Izv. SKNTs VSh. Estestv. nauki. 1983, No. 4, pp. 17-21.

4. Salten M., Schnaider G.A., Knoblauch V., McMeeking R.M. On the evolution of the linear materials properties of PZT during loading history - an experimental study. Int. J. of Solids and Structures. 2005, No. 42, pp. 3953-3966.

5. Zhou D., Kamlah M. Dielectric and piezoelectric performance of soft PZT piezoceramics under simultaneous alternating electromechanical loading. J. of the European Ceramic Society. 2005, vol. 25, pp. 2415-2420.

6. Zhou D.Y., Kamlah M., Munz D. Uniaxial com-pressive stress dependence on the high-field dielectric and piezoelectric performance of soft PZT piezoceramics. J. Mater. Res. 2004, No. 19 (3), pp. 834-842.

7. Belokon' A.V., Skaliukh A.S. Matematicheskoe modelirovanie neobratimykh protsessov polyarizatsii [Mathematical modeling of irreversible polarization processes]. Moscow: Fizmatlit, 2010, 328 p.

8. Tamm I.E. Osnovy teorii elektrichestva [Fundamentals of the theory of electricity]. Moscow: Nauka, 1966, 624 p.

9. Hwang S.C., McMeeking R.M. A finite element model of ferroelastic polycrystals. Int. J. of Solid and Structures. 1999, vol. 36, pp. 1541-1556.

10. Landis C.M. On the fracture tougness of ferroelastic materials. J. of the Mechanics and Physics of Solids. 2003, vol. 51, pp. 1347-1369.

Поступила в редакцию / Received

2 августа 2018 г. /August 2, 2018