CC BY
27
УДК 548.4
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-3-1188-1190
УРАВНЕНИЕ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ ВИНТОВОЙ ДИСЛОКАЦИИ В СЕГНЕТОЭЛАСТИКЕ ВБЛИЗИ ТОЧКИ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА
© В.Н. Нечаев1*, В.В. Дежин2)
1) Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина, г. Воронеж, Российская Федерация, e-mail: wladnic@mail.ru 2) Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Российская Федерация,
e-mail: viktor.dezhin@mail.ru
На основе полной системы уравнений, описывающих колебания кристалла с дислокацией вблизи точки структурного фазового перехода, записана система уравнений для динамики прямолинейной винтовой дислокации в линейном по смещению дислокации приближении. Получено уравнение для силы Пича-Келера, действующей на дислокацию.
Ключевые слова: винтовая дислокация; изгибные колебания; структурный фазовый переход; параметр порядка.
Интерес к исследованию окрестности точки структурного фазового перехода обусловлен тем, что система в этой области очень податлива к внешним возмущениям, затрагивающих параметр порядка "Л . В работе [1] приведено точное, в рамках линейной теории упругости и феменологической теории Ландау о фазовых переходах [2], решение задачи о нахождении обобщенной восприимчивости краевой дислокации в кристалле с мягкой модой. В настоящей работе рассмотрены малые изгибные колебания винтовой дислокации в окрестности структурного фазового перехода. Наличие дислокаций приводит к появлению добавки г (г, г) к термодинамически равновесному значению параметра порядка г , зависящей, в общем случае, как от координат, так и от времени. Запишем полную систему уравнений (1)-(4), описывающих колебания сегнето-эластического кристалла с дислокацией [1]:
fi = eikl Xk Vlmbm = 0
(1)
на линии дислокации, где f - сила Пича-Келера;
е.
символ Леви-Чивита; х
т - символ леви-тиви1Я; ^ - вектор касательной к
линии дислокации; ат - тензор напряжений; Ь - вектор Бюргерса. В дальнейшем удобно использовать проекцию этой силы на плоскость скольжения / = п!а1тЬт , где п - вектор нормали к плоскости скольжения дислокации.
Л ¿Vi + М.
d 2 p
dt2
1 + v dx, dx,
_ 2^(П -V)(b ТЦ) =
2 dV -
= _pb — s© _ 2mh Tik ■ dt
(2)
Здесь - скорость поперечных звуковых волн; V -коэффициент Пуассона; р = — аи/3 - гидростатическое давление; ц - модуль сдвига; g - постоянный стрикционный коэффициент; р - плотность вещества кристалла; V - скорость линии дислокации в данной ее точке; 5(^) - двумерная 8 -функция; ^ - двумерный радиус-вектор, отсчитываемый от оси дислокации в плоскости, перпендикулярной вектору х ,
Tik = ekjn
_d_ dx,-
1 -
(x,bn _ ^ xbS,n)S©
- тензор несовместности деформаций [3].
1 d2 p , 4 1+v c2 dt2 3 1 _ v
2 1 + v
= —Tll
3 1 _ v
1 d2 c? dt2
(3)
где cl - скорость продольных звуковых волн.
п(7, г) = — 3г^|х(г — г — г')р(?',. (4)
Здесь % = %(г, г) - функция отклика параметра порядка на гидростатическое давление р .
Рассмотрим винтовую дислокацию, лежащую вдоль оси 02 с единичным вектором касательной к линии дислокации х0 = (0,0, — 1) , вектором Бюргерса
Ь = (0,0, Ь) и единичным вектором нормали к плоско-
c
2016. Т. 21, вып. 3. Физика
сти скольжения п = (0,1,0) . Ограничимся случаем малых колебаний дислокации вблизи положения равновесия. Тогда в линейном по смещению дислокации и = ы(2,/) приближении, учитывая заданную ориентацию винтовой дислокации, получим
х = (-ди/&,0,-1) ,
8© = 8(х - и)8(у) * (5(х) - 8'(х)и)б(у),
5 \
(n -V)(b • Л1) = ^b
dydz
n,bk4lk = ¿^23 = 1 b 2 [8'(x)8(y) - u5"(x)5(y)],
Яи
щ = -b — 5( x)5'( y).
dz
Таким образом, уравнения (2) и (3) примут вид
1 02f± 3b d2p d2^1
c 2 or2
--А/± +
1 +v dydz
dydz
= -pb •
d 2u
0r2
5( x)5( y) - |b2 [5"(x)5( y) - u5"( x)5( y)]
(5)
1 d2p Л 4 1 +v
ттг -aP +7I1—
с/ dt2 3 1 -v
2 1 + v du
= -|--5(x)5 (y)
3 1 - v oz
1 0 2Л1
dt2
"Ал:
(6)
2 2 / 2 ~ 3b ~ ~
(q " ю /cr )f± —-4y4zp + Л =
1 + v
= -|ib2(q2 -ю2/ct2)p -г'(2л)2|b2qx5(qz)5(ю)
(8)
(q2 - ®V ci')p
4 1 + v 2 2/ 2Л~ (q -ю /ct )Л1:
3 1-v
2 1 + v p
—qyqzu
3 1 -v
(9)
Здесь д - волновой вектор, га - частота, /± (д, га) , р(д,ю) , ю) , ~(д, га), %(д,ю) - Фурье-образы. Исключая из системы (7)-(9) р и г^, для проекции силы Пича-Келера находим
f±=-
т2- ib 2q 2yqZ I1+2(1+v)i, 2л?р Iй
1 -v
2
1- v
2
ю
q
ct r / V
,2 ^
2
ci2
Л +v 2 2
- 4--2л2
1 -v
(
2 Ю
,2 ^
-^2 qX -юУct2 p _ -_(2^)2|b2qx5(qz)5(ю)
2 2/2 q2 -ю2/ct2
2 2/2 q -ю2/ct2
(10)
Учет граничного условия (1) позволяет привести уравнение (10) к искомому виду /±=а-)1(д2, га)~ , где ап (дг, га) - функция линейного отклика дислокации на внешнюю силу. В связи с громоздким выражением не представляется возможным записать эту функцию в настоящем сообщении.
Уравнения (4)-(6) с граничным условием (1) представляют полную систему уравнений, описывающих колебания кристалла с винтовой дислокацией вблизи точки структурного фазового перехода. Для решения этой системы совершаем преобразование Фурье
Л = РР =
(7)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дежин В.В., Нечаев В.Н., Рощупкин А.М. Обобщенная восприимчивость дислокации в кристалле с мягкой модой // ФТТ. 1990. Т. 32. № 3. С. 810-817.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. 1. М.: Наука, 1976. 584 с.
3. Де Вит Р. Континуальная теория дисклинаций. М.: Мир, 1977. 208 с.
Поступила в редакцию 10 апреля 2016 г.
2
q
2
c
2
c
UDC 548.4
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-3-1188-1190
THE BENDING VIBRATIONS EQUATION OF A SCREW DISLOCATION IN FERROELASTIC NEAR THE PHASE TRANSITION POINT
© V.N. Nechaev1), V.V. Dezhin2)
1) Air Force Academy named after professor N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin, Voronezh, Russian Federation, e-mail: wladnic@mail.ru 2) Voronezh State Technical University, Voronezh, Russian Federation, e-mail: viktor.dezhin@mail.ru
Based on the full set of equations describing the vibrations of a crystal with a dislocation near the structural phase transition, written equations for the dynamics of linear screw dislocations in the linear approximation
of the dislocation displacement. An equation for the force Peach-Koehler, acting on the dislocation, is obtained.
Key words: screw dislocation; bending vibrations; structural phase transition; order parameter.
REFERENCES
1. Dezhin V.V., Nechaev V.N., Roshchupkin A.M. Obobshchennaya vospriimchivost' dislokatsii v kristalle s myagkoy moody. Fizika tverdogo tela - Physics of the Solid State, 1990, vol. 32, no. 3, pp. 810-817.
2. Landau L.D., Lifshits E.M. Statisticheskayafizika. Ch. 1. Moscow, Nauka Publ., 1976. 584 p.
3. De Vit R. Kontinual'naya teoriya disklinatsiy. Moscow, Mir Publ., 1977. 208 p.
Received 10 April 2016
Нечаев Владимир Николаевич, Военный учебно--научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», г. Воронеж, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математики, e-mail: wladnic@mail.ru
Nechaev Vladimir Nikolaevich, Military Educational-Research Centre of Air Force "Air Force Academy named after professor N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin", Voronezh, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Professor of Mathematics Department, e-mail: wladnic@mail.ru
Дежин Виктор Владимирович, Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и физико-математического моделирования, e-mail: viktor.dezhin@mail.ru
Dezhin Viktor Vladimirovich, Voronezh State Technical University, Voronezh, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics and Physics and Mathematical Modeling Department, e-mail: viktor.dezhin@mail.ru
