CC BY
13
УДК 538.013
КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛА С ДИСЛОКАЦИЕЙ ПАЙЕРЛСА И.Л. Батаронов, Т.А. Надеина
В статье на основе самосогласованной динамической теории малых колебаний дислокационных скоплений лагранжев подход обобщен на скопление непрерывно распределенных дислокаций. В качестве примера этого скопления рассмотрено построение уравнения колебаний пайерлсовской дислокации (ПД).
В рамках модели Пайерлса распределение дислокаций в плоскости скольжения определяется введением в лагранжиан энергии несовпадения. Преобразование его к квадратичной по динамическим переменным форме с последующим использованием принципа стационарного действия позволило получить уравнения колебаний кристалла, которое для прямолинейной дислокации преобразуется к интегральному уравнению колебаний дислокации. Для синусоидальной формы аппроксимации пайерлсовского рельефа это уравнение удается свести к дифференциальному уравнению второго порядка. Появляющаяся здесь функция совпадает с обратной обобщенной восприимчивостью двойниковой границы.
На основе численного решения полученного уравнения были исследованы спектры собственных колебаний ПД. Так, для краевой дислокации найдено, что в коротковолновом пределе фазовая скорость колебаний приближается к скорости поперечного звука, а сами колебания приобретают антифазный характер, т.е. края ПД колеблются в проти-вофазе с ее центральной частью. Аналогичные результаты получены и для локальной частоты винтовой дислокации, но в этом случае фазовая скорость слегка уменьшается. Результаты расчета для промежуточной (смешанной) дислокации показывают, что в длинноволновой асимптотике ПД смещается как целое. Анализ зависимости фазовой скорости от изменения доли составляющих показывает увеличение фазовой скорости с увеличением волнового числа.
Найдено явное выражение обобщенной восприимчивости ПД в длинноволновом приближении. Полученные результаты хорошо согласуются с аналогичным выражением для линейной дислокации, но отличаются от него корректным определением параметра, соответствующего радиусу ядра, и формой высокочастотных зависимостей аргументов логарифмических множителей
Ключевые слова: дислокация Пайерлса, обобщенная восприимчивость
Введение. Анализ колебаний кристалла с дислокацией в пайерлсовском рельефе представляет интерес для многих приложений, в частности, для задач рассеяния в физической кинетике, для описания элементарных актов пластической деформации, неупругих явлений и механизмов дислокационного внутреннего трения. Отдельная дислокация в модели Пай-ерлса рассматривается как ансамбль сильно-взаимодействующих непрерывно распределенных микродислокаций. В этом смысле пай-ерлсовскую дислокацию (ПД) можно рассматривать как дислокационное скопление и распространить уравнения малых колебаний [1] на случай колебаний кристалла с Пайерлсов-ской дислокацией.
Постановка задачи. В рамках полумикроскопической модели Пайерлса связанная с дислокацией пластическая дисторсия записывается в виде:
^ = пгЬк8( )в( х, у), где п - вектор нормали к плоскости скольжения, Ь - вектор Бюргерса, а в изменяется от 1 в некоторой плоскости XOY до 0 в другой ее части. Локализация изменения функции в в некоторой зоне, рассматриваемой как ПД,
Батаронов Игорь Леонидович - ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: [email protected]
Надеина Татьяна Анатольевна - ВГТУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, e-mail: [email protected]
обеспечивается введением в функцию Лагран-жа так называемую энергию несовпадения. Рассматривая малые смещения £( х, у )элемен-тов ПД и записывая функцию Лагранжа в квадратичном по динамическим переменным виде, на основе принципа стационарного действия, получим систему уравнений, описывающих малые колебания кристалла с ПД:
дЦ „ д2и д
Рти=f
at axkaxl axk v '
K(y)-к Ok
ax.
(1)
= 0
2=00
здесь р - плотность среды, АШт - тензор модулей упругости, А?к = АШтп{Ьт , и - вектор смещения точек среды из положения равновесия, К(у) - функция, определяемая статическим полем смещений вокруг ПД.
Система (1) приведена к интегральному уравнению, в результате решения которого приводит к явному выражению обратной обобщенной восприимчивости ПД:
ёСк) = р2[Ь^(х,©о/®)"Ь2Л(х,©о/©)], (2)
8Л
где д - волновой вектор, Ь6, и Ье - винтовая и краевая составляющие вектора Бюргерса, с и с1 - скорости поперечного и продольного звука, х = с , 6)02 = 4с2/А2, А = Аес , С=0,577 - постоянная Эйлера,
FS = -(1 - 3х2 + 4 х4
Ц/
' х2 -1
+
„ 2/ 2 м (®0/
+ 4х (х - х)1п 2
х - 7
+ (5 - 47)х 2 -1;
К = (х4 -
(х4 -1)1-ЩЩ-(х2 -ЩЩ
х2 -1
х2 -1
- +
+ (1 - у)х2 +1/2(1 - г2), 7 = с2/с2 .
Собственные колебания ПД являются
решениями однородного уравнения:
2
5 Щ + а - а-
Э
Щ =
(3)
дЧу а° + аа здесь - Фурье-образ смещения дислокационной линии, явные выражения для а° и аэ в случае изотропной среды имеют вид:
а
0 = ^ 1Ь^ +(1 - 7% ],
(р х д±) - э2/с2 4(1 - 7)(Дд1)2
^ +
где л - модуль сдвига, %2а = ^х -®2/са ,
р = Ь/Ь .
Решения дифференциального уравнения (3) представлены с помощью графиков.
а) б)
Рис. 1. Краевая ПД: а) амплитуды смещений элементов; б) спектр колебаний
Как видно из рис. 1 а), при дх = 0,01 (длинноволновый предел) амплитуды элементов ПД постоянны, что соответствует смещению ПД как целого под действием внешнего напряжения. С увеличением, д т.е. переходом в коротковолновую область, при приближении к краю ПД амплитуды элементов принимают отрицательные значения. Это означает, что края дислокации колеблются в противофазе с
ее центром массы. Фазовая скорость при этом приближается к скорости поперечного звука.
а) б)
Рис. 2. Локальные колебания винтовой ПД : а) амплитуды смещений элементов; б) спектр колебаний
Как следует из рис. 2 а), амплитуда колебаний края ПД больше амплитуды центра масс дислокации, сильно "размывая" границу ПД.
Из анализа спектра колебаний винтовых дислокаций следует, что в нем присутствует еще одна, квазилокальная мода.
0.5 1 1.5 2 у *А
0,1 0.2 03 0.4 ч
а) б)
Рис. 3. Квазилокальные колебания винтовой ПД: а) амплитуды смещений элементов; б) спектр колебаний
Характер зависимости амплитуд смещений квазилокальных колебаний винтовой ПД от у аналогичен изменению амплитуд локальных колебаний краевой ПД: в длинноволновой области винтовая ПД смещается как целое, в коротковолновой области края ПД и центр масс дислокации колеблются антифазно.
Рис. 4. а) Амплитуды смещений элементов смешанной ПД; б) Зависимость фазовой скорости от ориентации вектора Бюргерса ПД
Из рис. 4 видно, что в длинноволновом пределе смешанная ПД смещается "как целое".
2
Заключение. Найденное явное выражение обобщенной восприимчивости ПД в длинноволновом приближении хорошо согласуется с аналогичным выражением для линейной дислокации, но отличаются от него корректным определением параметра, соответствующего радиусу ядра, и формой высокочастотных зависимостей аргументов логарифмических слагаемых. При исследовании спектра собственных колебаний пайерлсовской дислокации установлено, что в длинноволновом пределе колебания дислокации происходят без взаимного смещения элементов с частотами, соответствующими линейной дислока-
ции, а в коротковолновом пределе колебания пайерлсовской дислокации имеют антифазный характер.
Литература
1. Батаронов И.Л. О линейном отклике дислокационного ансамбля на импульсное воздействие/ И.Л. Батаронов, Т.А. Бабенко, А.М. Рощупкин // Изв. АН, Сер. физ. - 1997. -Т.61.- №5. - С.877-885
2. Батаронов И.Л. Анализ обобщенной восприимчивости дислокационного ансамбля в рамках модели струны/ И.Л. Батаронов, Т.А. Надеина// Моделирование физических процессов в конденсированных средах и системах многих частиц: Междунар. семинар. Воронеж: ВГТУ, - 2005.- С.149-151
Воронежский государственный технический университет
CRYSTAL OSCILLATIONS CAUSED BY THE PIERLS STRESS I.L. Bataronov1, T.A. Nadeina2
'Full Doctor, Professor, Voronezh State Technical University, Voronezh, Russian Federation
email: [email protected]
2PhD, Associate Professor, Voronezh State Technical University, Voronezh, Russian Federation
email: [email protected]
Based on self-consistent dynamical theory of small oscillations of a dislocation clusters the "Lagrangian specifications" definition is extended to "the cluster of continuously distributed dislocations" in the paper presented. As a sample of this cluster the construction of the wave equation of the "Peierls Stress" (PS) is considered by the authors.
In the framework of the Peierls model the distribution of dislocations in a slip plane is determined by the energy mismatch insertion into the Lagrangian. As we convert it into quadratic in the dynamic variables of the form and then use the principle of stationary action it makes it possible to obtain the equation of oscillations of a crystal, which for a straight dislocation is converted to an integral equation of oscillations of a dislocation. For sinusoidal approximation of Peierls' relief it is possible to reduce this equation it to a differential equation of the second order. The function, which appears in this case is the same as the extended inverse susceptibility of a duplex border.
Based on the numerical solution of equation spectra of oscillations in PS was investigated. Hence, it was discovered that for an edge dislocation within the limits of the high frequency limit the phase velocity of the oscillations approaches the speed of transverse sound, and the oscillations themselves obtain the anti-phase features, i.e. the PS edges fluctuate in anti-phase with its central part. Similar results were obtained for a local frequency of a screw dislocation, but in this case, the phase velocity slightly decreases. The calculation results for intermediate (mixed) dislocations show that in the long-wave asymptotics the PS gets shifted as a whole. Analysis of the dependence of the phase velocity from the changes in the share components shows an increase in phase velocity with increasing wave number.
The explicit expression of the extended susceptibility of PS in the long wavelength approximation is determined. The results obtained correlate well with the similar expression for a linear dislocation, however their correct definition of the parameter corresponding to the radius of the nucleus and form a high-frequency dependencies of the arguments of the logarithmic multipliers are different
Key words: Peierls Stress (PS), generalized susceptibility
References
1. Bataronov I. L., Babenko T. A., Roshchupkin A. M. "A linear response of dislocation ensemble to pulse the effect", Russian Academy of Sciences News, Physics Series, 1997, vol. 61, no. 5, 877-885 pp.
2. Bataronov I.L., Nadeina Analysis T.A. "Analysis of extended susceptibility of a dislocation ensemble in the framework of a string model", International seminar on modeling ofphysical processes in condensed and multy-particle systems", Voronezh, 2005, 149-151pp.
