CC BY
19
УДК 536.48
САМОСОГЛАСОВАННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ И СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ КРАЕВЫЕ СОСТОЯНИЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Г. Ф. Жарков, В. Г. Жарков, А. Ю. Цветков
С использованием численных методов подробно исследованы самосогласованные решения системы нелинейных уравнений Гинзбурга-Ландау, описывающие поведение параметра порядка гр и магнитного поля В в сверхпроводящем цилиндре радиусом Я, находящемся во внешнем магнитном поле Н, при наличии вихревой линии на оси цилиндра, несущей т квантов магнитного потока. Изучены особые "краевые" состояния, которые могут возникать в сверхпроводнике второго рода с ростом поля Н. При переходе в такое состояние параметр порядка гр скачком уменьшается почти до нуля вблизи края цилиндра, однако сверхпроводимость сохраняется в глубине цилиндра, на некотором расстоянии от его оси. Кратко обсуждена возможность наблюдения краевых состояний на опыте.
Поведение сверхпроводников конечных размеров в магнитном поле изучалось на основе системы нелинейных уравнений Гинзбурга-Ландау [1] во многих теоретиче ских работах (см., например, [2-6]). Полученные в [2-6] результаты применялись, в частности, для объяснения некоторых аномалий, которые были наблюдены в ряде недавних экспериментов со сверхпроводниками малых размеров, помещенных в магнитное поле [7-13].
В [14] с помощью численных методов изучались самосогласованные решения нелинейных уравнений Гинзбурга-Ландау для сверхпроводящего цилиндра (в отсутствие вихрей, т = 0) во внешнем аксиальном магнитном поле Н. Было обнаружено, что цилиндр, сделанный из сверхпроводника второго рода и находящийся в мейсснеровском
(безвихревом) состоянии, с ростом поля Н может скачком перейти в особое (также безвихревое) "краевое" состояние, в котором параметр порядка ф сильно подавлен (практически до нуля) вблизи поверхности цилиндра, однако сверхпроводимость сохраняется вблизи центра образца, где ф конечно. Такие "краевые" состояния ранее [1-6] не изучались.
Кроме безвихревых (т = 0) мейсснеровских решений существуют более общие од номерные решения, отвечающие вихревой линии, расположенной на оси цилиндра и несущей т = 1,2,3... квантов потока. Считалось, что структура такого вихря плавно меняется с изменением магнитного поля Н. Однако, как показано в настоящей работе, в цилиндре конечного радиуса вихрь (с т > 0) становится неустойчивым, когда поле Н превышает некоторое критическое значение Н\(т, к, R). Здесь к - параметр теории Гинзбурга-Ландау. После этого вихрь скачком изменяет свою форму и переходит в "краевое подавленное" состояние (edge-suppressed state, или е-состояние), сохраняя число т. В таком состоянии параметр порядка ф сильно подавлен вблизи границы цилиндра (аналогично состояниям с т = 0, изученным в [14]). При дальнейшем увеличении поля краевое е-состояние плавно (фазовым переходом второго рода) переходит в нормальное состояние в поле Нъ^т, к, R). Ранее такие модификации гигантских (т > 1) вихревых состояний в литературе не изучались (хотя некоторые свидетельства о наличии е-состояний можно найти также в [2, 3, 5]).
Переход сверхпроводящего образца в краевое состояние может сопровождаться скь ками на зависимостях от поля Н таких величин, как магнитный момент (или намагниченность образца, —4тгМ), полный захваченный поток (Фя), свободная энергия системы (G), а также другими особенностями в поведении величин, характеризующих сверхпроводящее состояние. Эти вопросы подробно освещены ниже. (В данной статье используются результаты нашей неопубликованной работы [15].)
Рассматривается длинный сверхпроводящий цилиндр радиусом R в магнитном поле Н, параллельном оси цилиндра. В цилиндрической системе координат (г, z) с осью z, направленной вдоль образующей цилиндра (когда векторный потенциал имеет лишь (^-компоненту, А = е^А(г)), систему уравнений ГЛ можно записать в следующем безразмерном виде [14]:
cPU ldU
dp2 р dp
- ф2и = 0, (1)
Вместо размерных потенциала А, поля В = г хв,{гА)/(1г и тока ]3 здесь введены безразмерные величины £/(/>), Ь(р) и р):
А =
Фо
\<ш
Фо и + т фо 1 аи . /
Ь=~РТр' " Р> " А
СФо ,2и Г /п\ = -Ф —, Р = г- (3)
Здесь Л - лондоновская глубина проникновения поля, £ - длина когерентности, А = Поле В в (3) нормировано на //л = 0о/(27гА2), причем Ь = В/Н\, фо = Лс/2е - квант потока; вместо Яд можно нормировать на величину Я^ = ф0/(2тт£2) = Нс2 [16-18], или на термодинамическое критическое поле сверхпроводника, Нс = кН\/\/2. При этом коэффициенты в выражениях (1)-(3) несколько изменяются.
Магнитный поток, заключенный в контуре радиусом г, равен
ф = I = £ А(й = ф0(и + т), и = и{р),
Таким образом, потенциал £/(/>) в принятой нами нормировке связан с потоком Ф(р) простой формулой ф = Ф/0о = 1/(р) + т.
Поскольку магнитный поток через контур нулевого радиуса равен нулю, а поле В\Т-ц — Я, то уравнению (1) отвечают следующие граничные условия:
^ и=-
т.
¿р
=
(4)
р=Я*
где ДА = Л/А, ЛА = Я/Ял, Ял = &>/(2тгА2).
Что касается уравнения (2), то на внешней поверхности цилиндра мы примем обычное граничное условие [1] ¿ф/(1р\р-цх = 0. В центре сверхпроводника параметр порядка либо максимален (при т — 0), либо (при т > 0) равен нулю на оси вихря [16-18], поэтому уравнению (2) отвечают граничные условия:
Лф ¿р
= 0,
р=о
Ф\р=0 = 0,
¿ф ¿р ¿р
= 0, (т = 0),
Р=Ях
= 0, (т > 0).
(5)
(6)
Р=Н д
Магнитный момент (или намагниченность) цилиндра, отнесенный к единице объема, равен:
М 1 г В-Н
М 1 [В-Н Ваь-Н 1 г 1
(7) 37
где Ва„ - среднее значение поля в сверхпроводнике, Фя = Ф(Лл), = -кВ.2. В нормировке (3), обозначив 6 = Вау/Н\, М\ = М/Н\, находим из (7):
2 фп /?
4тгМл = 6-Лл, + = ^ = + = ¿/(Да), Яд = у. (8)
Для разности свободных энергий системы в сверхпроводящем и нормальном состояниях, А(7 = С?, — удобно использовать точное выражение
А в = \МН + ^т(Я(0) - Я),
2 07Г
(9)
где
.5. Г 8тг 7
«о
¿и, Яс =
М - магнитный момент цилиндра, £ - его длина, тп - тагнитное квантовое число, В(0) - значение магнитного поля на оси цилиндра, Н - внешнее поле. Выражение (9) следует из общей формулы, полученной в [19] для свободной энергии полого сверхпроводяще го цилиндра, при устремлении радиуса полости к нулю. Используя нормировку (3), а также (8), запишем выражение (9) в нормированном виде:
8тгМа . 4тп Ь(0) - /1Л -л л + г
(10)
Формулы (3), (8), (10) используются далее при вычислении соответствующих величин.
Напомним, что лондоновская длина А и длина когерентности £ — А/л зависят от температуры. Поэтому приведенные выражения являются неявными функциями темпе ратуры и формально справедливы при любой Т. (Впрочем, сами уравнения Гинзбурга Ландау применимы лишь в пределе Т —> Тс [20], когда для длины когерентности можно использовать выражение £(Т) = — Т/Тс.)
Применялась следующая итерационная процедура нахождения самосогласованных решений системы уравнений (1)-(6). Первоначально мы задавали некоторую пробную функцию ф(р) и находили решение уравнений (1), (4) для функции и(р). Найденная Ц(р) подставлялась затем в уравнение (2) и с учетом граничных условий (5), (б) находилась новая функция ф(р). Далее вновь решалось уравнение (1) и вся процедура повторялась, пока функции £/(/>) и ф(р) не переставали меняться и, таким образом, представляли
собой самосогласованное решение системы. Очевидно, что найденное таким методом решение устойчиво, поскольку оно не зависит от наложения малых возмущений (см. подробнее [21]).
Результаты проведенных нами вычислений приведены ниже для случая сверхпроводников II рода ( с к > 1) и представлены ниже в виде ряда графиков, иллюстрирующих разные аспекты изучаемой многопараметрической задачи. (Некоторые из графиков аналогичны содержащимся в работах [2-6], однако для целостности картины мы воспроизвели их своим методом для других значений параметров.)
Рис. 1. Фазовые кривые И,2 = П2(т,к, Д)/Яс2 для сверхпроводника II рода (к = 2). Числа на кривых - значения магнитного квантового числа т. Значение = 1 соответствует критическому полю Нс2 = ф0/(2ж£7). Значение = 1.69 соответствует критическому полю Нсз = Н2(т,к, Я), в котором еще возможна поверхностная сверхпроводимость в массивных образцах (Н2(т,к,Я) —у 1.69 Нс2 при Д > А и 1).
Очевидно, что при больших значениях внешнего поля Н сверхпроводящее состояние разрушается и происходит переход в нормальное состояние. На рис. 1 изображена фазовая диаграмма, разделяющая сверхпроводящее и нормальное состояния на плоскости переменных Яд = Л/А 0 ^ = Н/Н^ (при к = 2 и разных т). Фазовая диаграмма представляет собой многолистную поверхность, каждый лист которой отвечает определенному значению магнитного квантового числа т. Лист с т = 0 лежит ниже всех других (в порядке роста т), над ним лежит лист т = 1, еще выше - лист т — 2, и т.д.
4 1
О
-3-2-10123
(Мы ограничимся рассмотрением значений т > 0, поскольку результаты для т < О легко воспроизводятся с учетом симметрии (m, Н) (—т, —Н).)
На каждом из т-листов фазовой поверхности расположена критическая кривая /i2 = Я2(т, /с, R)/Hограничивающая область значений (R\, h{), где существуют сверхпроводящие решения задачи с ф > 0 (вне этой области возможно лишь нормальное состояние с ф = 0). В случае массивного цилиндра (R\ ^>1) граница сверхпроводящего состояния (для сверхпроводника II рода с к > 1) лежит при = Я/Я^ = 1, т.е. при Н — Нс2 = </>о/(27г£2) [16-18] (Яс2 = ЯКак видно из рис. 1, при малых R\ сверхпроводящие состояния (с различными значениями m > 0) возможны в полях, превышающих критическое поле Нсi (т.е. при h^ > 1). При фиксированных R\ и т существует максимальное значение h^, выше которого сверхпроводящее состояние невозможно. Максимальное значение поля, при котором еще возможно сверхпроводящее состояние в образцах конечного (но большого) радиуса, равно h^ = 1.69 (т.е. Н = Нсз, где Нсз = 1.69Яс2 - поле, при котором в макроскопических образцах реализуется поверхностная сверхпроводимость [22, 23]). Как видно из рис. 1, при малых R\ сверхпроводимость возможна и в полях, превышающих h^ = 1.69.
Внутри каждой сверхпроводящей области на рис. 1 имеются особенные линии hi, которые для ясности показаны на отдельных фазовых т-листах (рис. 2). На рис. 2а изображен фазовый лист m = 0 (отвечающий значению параметра к = 2). Сплошная линия /г2 соответствует границе сверхпроводящего состояния. Буквой s отмечена область, где существует сверхпроводящее состояние (ф ф 0), буква п означает нормальное состояние (ф = 0). Центральная часть рисунка (лежащая вблизи h^ ~ 0) соответствует сверхпроводящему мейсснеровскому состоянию. Здесь параметр порядка ф ~ 1, а внешнее магнитное поле Я почти полностью экранируется и не проникает в глубь сверхпроводника (конкретные зависимости параметра порядка ф и магнитного поля В в сверхпроводнике от пространственной координаты г показаны ниже на рис. 5). Точечная линия hi на рис. 2а, лежащая внутри сверхпроводящей области, отмечает границу, при пересечении которой изображающей точкой (R\, мейсснеровские решения (с ростом поля) становятся неустойчивыми и перестраиваются, причем происходит переход скачком в новое устойчивое сверхпроводящее состояние (см. точки 5, 6 на рис. За), которое можно назвать "краевым" (или "rim-suppressed" [14]). В этом состоянии параметр порядка ф(г) оказывается сильно подавленным в некотором слое, лежащем вблизи границы сверхпроводника, причем магнитное поле в краевом слое практически не экранируется и свободно в него проникает [14]. При этом величина параметра
порядка ф0 в центре сверхпроводника сохраняет конечное значение. По мере приближения изображающей точки (Яд, /г^) к критической линии значение ф0 уменьшается. На самой критической линии параметр порядка равен нулю всюду, ф(г) = 0, а магнитное поле полностью проникает в образец (В(г) = Н), что соответствует переходу в нормальное состояние.
Краевое "состояние
б
Рис. 2. а - случай т = 0, к = 2. Фазовая кривая /г2 разделяет сверхпроводящие (в) и нормальные (п) состояния цилиндра. При пересечении изображающей точкой (Я\,И() линии (точечная кривая) возникает краевое состояние, с подавленным значением фЛ (рис. 5). При Ях < Яш краевое состояние не возникает. При Я\ = Дд исчезает скачок намагниченности. Точки 5,6 на рис. За сливаются в точку 4 на рис. 3(г), где дМх/дкх = оо. (Ь) - аналогично для случая т — 1, к = 2. При Ях < Яо поле > 0 стимулирует сверхпроводящее состояние, и возможна возвратная сверхпроводимость; (в, г) - аналогичные кривые для к = 1, 1.5, 3.
Ширина области на рис. 2а, где реализуется краевое состояние с т = 0, уменьшается при уменьшении радиуса цилиндра Яд — В./А. Одновременно уменьшается величина скачка и при Яд = Яд скачок исчезает. При дальнейшем уменьшении Яд исчезает также и область существования краевого состояния, ю = /г2 — (ги = 0 при Яд - Я^.).
Очевидно, что картина, представленная на рис. 2а, симметрична относительно оси h{ = 0.
Более сложная картина возникает на фазовом листе т = 1, рис. 26. Здесь критп ческая кривая h2 (сплошная линия) расположена асимметрично [2] относительно оси
= 0, причем область, где существует состояние краевого типа, имеется лишь при
> 0, и отсутствует при h(_ < 0. Этот факт можно интерпретировать следующим образом, используя наглядную физическую терминологию.
Фазовый лист т = 1 описывает ситуацию, когда в центре сверхпроводящего цилиндра расположен одиночный вихрь, поле которого имеет положительный знак, а значение параметра порядка на оси вихря равно нулю: фо = 0. При наложении внешнего поля того же знака, h$ > 0, происходит дополнительная накачка поля в образец. Когда поле достигает критического значения hi, сверхпроводимость частично разрушается (при этом значение параметра порядка на поверхности цилиндра, ipR, скачком уменьшается, рис. 4в, 5а), и образуется новое состояние краевого типа с параметром порядка, сильно подавленным вблизи поверхности образца. Это состояние существует вплоть до значения h£ = /4+' (правая ветвь h2 > 0), когда параметр порядка обращается в ноль во всех точках. Таким образом, при приближении к линии действует механизм подавления параметра порядка внешним полем.
Если же внешнее поле имеет другой знак (h^ < 0), происходит постепенная откачка поля из вихря (m = 1). Когда внешнее поле достигает значения = h2 ' < 0 (левая ветвь h2 < 0), магнитное поле вихря полностью откачивается из сверхпроводника (рис. 5б). При этом поле на оси вихря скачком уменьшается до нуля; исчезает так же и параметр порядка в состоянии т = 1. Поэтому при < h2 ^ сверхпроводящие решения уравнений ст = 1 становятся невозможны и происходит переход либо в нормальное состояние [ф = 0), либо в безвихревое состояние с m = 0. Таким образом, при приближении к линии действует механизм откачки поля из центра вихря. Этим обстоятельством и объясняется асимметричное поведение кривых h2~^ и
на рис. 26.
Асимметрия кривых h2~^ и h2+^ проявляется также в том, что эти кривые подходят к оси h^ = 0 с разными производными (точка излома кривых при = 0 отмечена светлым кружком на рис. 26; ей отвечает значение Ro на оси R\).
Отметим еще одну особенность кривых, изображенных на рис. 26. В случае малых радиусов (при R\ < Rq и ш = 1) существует интервал полей, когда сверхпроводящее состояние, невозможное при малых h^ ¡=з 0, вновь становится возможным при увеличен.: и h{. Здесь проявляется частный случай так называемой "возвратной" (или "re-entry
сверхпроводимости. В цилиндре очень малого радиуса (Да < До) магнитное поле, связанное с вихрем (т = 1), не может удержаться внутри сверхпроводника и диссипиру-ет наружу через его поверхность. Однако, наложение конечного внешнего магнитного поля предотвращает диссипацию поля вихря и стабилизирует сверхпроводящее состояние. При дальнейшем увеличении внешнего поля сверхпроводящее состояние все же разрушается. Поэтому на нижней части кривой /г2 на рис. 26 имеется минимум при Да - ДЛты, отмеченный светлым кружком.
При увеличении параметра к кривые и /г2 ведут себя аналогично тому, что изображено на рис. 2а, б. Если же к уменьшается (рис. 2в, г), то точка, где кривые и /г2 сливаются друг с другом, поднимается в сторону больших Да, а ширина области, где существует краевое состояние, уменьшается. При к < 1 ширина этой области обращается в ноль, а кривые /ц и /г2 сливаются в единую кривую. При к < 1 краевые состояния отсутствуют.
Вернемся вновь к рис. 2а, где каждой точке, лежащей внутри ¿-области, соответствует некоторое решение системы уравнений (1)-(6) для функций ф и С/. При движении изображающей точки (Да, это состояние меняется. Проследим, что происходит с этим состоянием, если параметр Да = Д/А(Т) остается постоянным (т.е. температура образца не меняется), а меняется только параметр = И/Н^(Т) (или параметр Лд = Я/Яд = кЧ{).
На рис. За, б, в изображены как функции от Лд: (а) магнитный момент системы, (—47гМд); (б) - максимальное значение параметра порядка в сверхпроводнике, фтах', (в) - значение параметра порядка на поверхности цилиндра, фр,. (Все для случая т — О, к = 2; сверхпроводящая область з на рис. 2а проходится по линии Дд = 5.) По оси абсцисс отложена величина /гд = Я/Яд. Светлыми кружками отмечены точки, которые заслуживают особого комментария.
Как видно из рис. За, величина магнитного момента линейно возрастает при малых /гд > 0 (Лд = 0 в точке 4)- Этот начальный линейный участок отвечает эффекту Мейс-нера, т.е. выталкиванию внешнего поля из образца. При дальнейшем увеличении поля магнитный момент возрастает вплоть до точки 5, где намагниченность скачком уменьшается и принимает значение, отмеченное точкой 6. Здесь цилиндр переходит в краевое подавленное состояние (ео). В точке 7 происходит окончательный переход в нормальное состояние (ф = О, В = Я).
Аналогичные скачки имеются и в поведении величин, изображенных на рис. 3б, в. Особенно сильно меняется значение параметра порядка на поверхности цилиндра фи.
Рис. 3. Кривые намагниченности (—4жМ\), фтах и -фл как функций от h\ для т = 0, к = 2 при разных R\. Безвихревое мейсснеровское состояние обозначено буквой г>0. Краевое состояние обозначено буквой е0. (Профиль решений в случае т = О, R\ = 5 показан в [Ц]-)
(рис. Зв): в точке 5 грл — 0.706 при h\ = 1.6837; в точке 6 ipR = 0.087 при h\ = 1.6838.
На рис. 3(г, д, е) показано, что происходит при меньшем радиусе цилиндра (R\ = 3). На кривой намагниченности (рис. Зг) исчезают скачки, которые представлены пунктиром на рис. За. Однако на кривой намагниченности остаются точки перегиба (2 и 4), где кривая (—47гМд) имеет максимальную производную. Соответствующие точки отмечены на рис. 3(<?, е) теми же цифрами 2 и 4- Поведение тех же величин при R\ = 1 показано на рис. 3(ж, з, и). В случае R\ < 1 на кривых (—4л-М\) уже нет точки перегиба при hx >0.
Все кривые на рис. 3 (при m = 0) симметричны относительно точки h\ — 0.
Несколько иная картина возникает при движении изображающей точки в сверхпроводящей области s на рис. 2б (область s при наличии вихря (m = 1, к = 2) проходится по линии R\ = 5). Это видно из кривых, представленных на рис. 4(а,6", в). На этих кривых также имеются скачки, однако кривые асимметричны относительно h\ = 0. В
Рис. 4. То же, что на рис. 3, но для случая т = 1. Буква обозначает вихревое состояние мейсснеровского типа (с вихрем т = 1 на оси цилиндра). Буква ех означает краевое состояние при наличии вихря (т — 1) на оси цилиндра. (Профиль решений в случае т — 1, Да = 5 показан на рис. 5.)
частности, на кривой намагниченности (рис. 4а) при < 0 отсутствует "хвост", который имеется при /гд > 0 после точки 5. Эта асимметрия (как уже отмечалось выше), объясняется различием в механизмах разрушения сверхпроводящего состояния т -- 1 магнитным полем Н: при Н > 0 происходит дополнительная накачка поля в сверх проводник, с последующим подавлением параметра порядка и переходом в нормальное состояние; при Н < 0 поле откачивается из вихря и происходит переход в безвихревое состояние т = 0 (либо в нормальное состояние).
Аналогичная картина (при т = 1, к = 2) изображена на рис. 4г, д, е (Я\ = 3) и 4ж, з, и (Яд = 1).
В отличие от рис. 3 (т = 0), все кривые на рис. 4 (т = 1) при Лд < 0 (левее точек
2) не имеют плавного "хвоста", а оканчиваются резким скачком в точке 2, когда поле на оси вихря, Ь0 = 6(0), обращается в ноль.
Отметим, что на рис. 4(э/е) при положительных значениях h\ > 0, лежащих в ин тервале между точкой 3 (где h\ — 0) и точкой \ (где М\ — 0), намагниченность положи тельна (47тМ\ > 0), т.е. здесь имеется парамагнитная восприимчивость. В интервале полей между точками 4 и 5 намагниченность отрицательна (47гМд < 0), что соответ ствует диамагнетизму. Как видно из рис. 4з, в интервале между точками 3 и 4 внешнее поле облегчает сверхпроводимость (поскольку фтах возрастает, field enhancement). В интервале между точками 4 и 5 внешнее поле подавляет сверхпроводимость (поскольку Фтах уменьшается, field suppression). Заметим, что приведенные на рис. 4з и 4и кривые близки друг к другу, но не тождественны.
3 2-| 1 0
-14 -2
0
2 3
Г/А.
Рис. 5. Параметр порядка ф(г) и поле Ь{т) в состоянии с т = 1, к = 2, = 5 при разных значениях поля (указаны на рисунке). Кривые 4 отвечают состоянию мейсснеровского типа (ух), кривые 5 - краевое е^-состояние. Скачок из в ех-состояние происходит при изменении поля Дйд < 1 ■ Ю-4.
Приведем примеры конкретных решений уравнений (1)-(6) как функций от координаты р = г/А (0 < г < К) при т — 1. (Решения, возникающие в безвихревом состоянии (т = 0), приведены в [14], рис. 2.) На рис. 5 показаны решения в случае Н\ = 5, т = 1 для ряда значений /гд, указанных на рисунке. Отметим, что кривая 3 на рис. 5 отвечает значению Дд = 0 и описывает метастабильное вихревое состояние У\ мейсснеровского
типа с т = 1. В этом состоянии вихрь удерживается внутри однородного сверхпроводника силой "внешнего" пиннинга, т.е. за счет неоднородности, обусловленной наличием границы цилиндра. (На рис. 4 этому состоянию отвечает точка
Кривая 4 на Рис- 5 отвечает точке 5 на рис. 4а, где h\ = 1.8254. Здесь оканчивается устойчивая ветвь решений v\, развивается неустойчивость и при h\ = 1.8255 решение Vi переходит в точке 6 на рис. 4 на новую устойчивую ветвь ei ("edge state" с m = 1). Кривая 5 на рис. 5 отвечает значению h\ = 1.8255 и описывает краевое состояние е^ с вихрем (m = 1) на оси цилиндра (при этом V>(0) = 0 и параметр порядка дополнительно резко подавлен вблизи края цилиндра, по сравнению с его максимальным значением).
Не исключено, что отмеченные особенности поведения намагниченности и параметра порядка можно обнаружить на эксперименте. Впрочем, для детального обсуждения связи с экспериментом (как и общей проблемы метастабильности и гистерезисных явлений) необходимо дополнительное рассмотрение.
Мы признательны В. J1. Гинзбургу за интерес к работе, обсуждение и полезные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Г и н з б у р г В. Л., Ландау Л. Д. ЖЭТФ, 10, 1064 (1950).
[2] Fink Н. J., Pres son A. G. Phys. Rev., 151, 219 (1966); 168, 319 (1968).
[3] D e la Cruz F., Fink H. J., L u z u r i a g a J. Phys. Rev. B, 20, 1947 (1979).
[4] M o s h с h a 1 k о v V. V., Q i u X. G., В r u y n d о n с x V. Phys. Rev. B, 55, 11793 (1997).
[5] S с h w e i g e r t V. A., P e e t e r s F. M., et al. Phys. Rev. Lett., 79, 4653 (1997); 81, 2783 (1998); Phys. Rev. B, 57, 13817 (1998); 59, 6039 (1999).
[6] P a 1 а с i o s J. J. Phys. Rev. B, 58, R5948 (1998); Phys. Rev. Lett., 84, 1796 (2000).
[7] D о 1 a n G. J. Low Temp. Phys., 15, 133 (1974).
[8] В u i s s o n 0. et al. Phys. Lett. A, 150, 36 (1990).
[9] M о s h с h a 1 k о v V. V. et al. Nature (London), 373, 319 (1995).
[10] G e i m A. K. et al. Nature (London), 390, 259 (1997); 396, 144 (1998).
[И] В e z r y a d i n A., Pannetier В. J. of Low Temp. Phys., 102, 73 (1996).
[12] В e n o i s t R., Z w e г g e r W. Z. Phys. B, 103, 377 (1997).
[13] Bolle С. A. et. al. Nature, 399, 43 (1999).
[14] Z h а г к о v G. F., Zharkov V. G., Zvetkov A. Yu. Phys. Rev. В, 61, 12293 (2000).
[15] Жарков Г. Ф., Жарков В. Г., Цветков А. Ю. cond-mat/0008217 (2000).
[16] De Gennes P. G. Superconductivity of Metals and Alloys (Addison-Wesley, New York, 1989).
[17] T i n k h a m M. Introduction to Superconductivity (McGraw Hill, New York, 1975).
[18] Abrikosov A. A. Fundamentals of the Theory of Metals (North-Holland, Amsterdam, 1988).
[19] Арутюнян P.M., Гинзбург В. Л., Жарков Г. Ф. ЖЭТФ, 111, 2175 (1997).
[20] Горькое Л. П. ЖЭТФ, 37, 1918 (1969).
[21] Zharkov G. F., Zharkov V. G. Physica Scripta, 57, 664 (1998).
[22] Saint-James D., De Gennes P. Phys. Lett., 7, 306 (1963).
[23] Saint-James D. Phys. Lett., 15, 13 (1965).
Поступила в редакцию 14 декабря 2001 г.
