CC BY
25
УДК 536.48
ОДНОМЕРНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ ДЛЯ СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО ЦИЛИНДРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Г. Ф. Жарков, В. Г. Жарков, А. Ю. Цветков
Найдены самосогласованные решения системы нелинейных уравнений Гинзбурга-Ландау для сверхпроводников 1-рода, отвечающие состояниям с разным числом т вихрей внутри бесконечно длинного цилиндра, помещенного во внешнее аксиальное магнитное поле Н. Найдены критические значения поля Кс{т), при которых сверхпроводящее состояние разрушается фазовым переходом первого рода, т.е. скачком в нормальное состояние. Определено значение радиуса цилиндра Я, при котором фазовый переход первого рода (характерный для сверхпроводников 1-рода) сменяется фазовым переходом второго рода.
При изучении поведения сверхпроводников в магнитном поле широко используется макроскопическая теория сверхпроводимости Гинзбурга-Ландау [1]. В наших работах [2 - 4] с помощью численных методов находились одномерные решения нелинейных уравнений Гинзбурга-Ландау для сверхпроводящего цилиндра во внешнем аксиальном магнитном поле Н. Было обнаружено, что цилиндр, сделанный из сверхпроводника II-рода, с ростом поля Н может скачком перейти в особое "краевое" состояние, в котором параметр порядка ■ф сильно подавлен (практически до нуля) вблизи поверхности цилиндра, однако сверхпроводимость сохраняется вблизи центра образца, где ф конечно. При дальнейшем увеличении поля параметр порядка плавно уменьшается и сверхпроводник окончательно переходит в нормальное состояние фазовым переходом второго рода. (В цилиндрах большого радиуса краевое состояние в сверхпроводниках Н-рода становится неустойчивым и разбивается на отдельные вихри.)
В настоящей работе исследованы одномерные решения в случае сверхпроводников 1-рода (с достаточно малыми значениями параметра Г-Л ас). Показано, что с ростом поля переход сверхпроводника в нормальное состояние происходит скачком, без предварительного образования краевого состояния, характерного для сверхпроводников Н-рода. Найдено, что в сверхпроводящих цилиндрах 1-рода могут существовать вихри, причем разрушение сверхпроводимости магнитным полем происходит фазовым переходом пер вого рода (скачком), если радиус цилиндра достаточно велик. Если же радиус цилиндра Я достаточно мал, то сверхпроводимость разрушается фазовым переходом второго рода. (В данной статье частично использованы результаты нашей неопубликованной работы
И-)
При проведении расчетов использованы уравнения для параметра порядка ф и магнитного поля 6, приведенные в безразмерном виде, например, в [4] (там же введены необходимые обозначения). Результаты проведенного нами исследования представлены ниже в виде ряда графиков, иллюстрирующих разные аспекты изучаемой многопара метрической задачи.
Рис. 1. (а) - Фазовые кривые Ьс(т) для сверхпроводника 1-рода (к = 0.5) в состояниях с т --0,1,2 (т - число вихрей на оси цилиндра). Буквы в- и п- отмечают области существования сверхпроводящих и нормальных состояний. Стрелкой и буквой йд обозначены точки, где фазовые переходы первого и второго рода становятся неотличимыми друг от друга (см. текст).
На рис. 1 сплошной жирной линией Ъс показана критическая фазовая кривая (в координатах Яд = Я/А, где — Н/Н^, Н^ — ф0/(27г£2), ф0 = Не/2е - квант потока, £ - длина когерентности) для сверхпроводника 1-рода (с к = 0.5), внутри которой (в ^-области) существуют решения задачи [2-4] (с ф ф 0), отвечающие безвихревому мейсснеровскому состоянию (т = 0, где т - число вихрей внутри сверхпроводника). Вне этой кривой (в п-области) существуют только решения, отвечающие нормальному состоянию (0 = 0). Стрелкой и буквой Яд показано критическое значение радиуса Яд: если изображающая точка (Яд,/^) пересекает фазовую кривую /гс выше точки Яд, то сверхпроводящее состояние разрушается полем путем фазового перехода первого рода (скачком в п-состояние, ф = 0). Если же кривая Лс пересекается ниже точки Яд, то сверхпроводимость разрушается путем фазового перехода второго рода (постепенно, ф{К() —» 0). В отличие от аналогичных кривых для сверхпроводников П-рода ([4], рис. 1 и 2), в сверхпроводниках 1-рода отсутствуют краевые состояния. [Критическое значение параметра /с, разделяющее сверхпроводники I- и 11-рода, является сложной функцией от радиуса цилиндра, кс(Яд), которая не совпадает с простым значением кс = 1/\/2, справедливым в случае контакта двух полубесконечных систем, см. подробнее [5]].
На рис. 1 приведены также критические кривые кс(т) для сверхпроводящих состояний с числом вихрей на оси цилиндра т = 1,2. Эти кривые асимметричны относительно оси = 0. Стрелками и буквой Яд на кривых отмечены точки, где амплитуда скач ка обращается в ноль и фазовые переходы первого рода становятся неотличимыми от фазовых переходов второго рода. [Заметим, что значения поля Нс(т, к, Яд), лежащие на рис. 1 выше точек Яд, нельзя найти с помощью линеаризованной теории [6], поскольку в этих точках амплитуда скачка конечна.]
На рис. 2 показаны в зависимости от поля: максимальное значение параметра порядка (фтах), значение параметра порядка на поверхности цилиндра (фя), намагниченность (—47гМд), нормированная разность свободных энергий (Ад, [4]), для цилиндра с Яд = 5, к = 0.5 (т = 0 и т = 1). Видно, что разрушение сверхпроводимости полем происходит скачком 1-рода, без образования краевого состояния, характерного для сверхпроводников Н-рода [2 - 4]. На кривых ((1) и (Ь) для Ад(к^) имеются участки с Д</ > 0, где сверхпроводящее з-состояние (с т = 0 или т = 1) оказывается энергетически менее выгодным, чем нормальное п-состояние (с ф = 0), но, тем не менее, ^-состояние может существовать как метастабильное "перегретое" (при > 0) или "переохлажденное" (при < 0) состояние (см. также [7]). Буквы eq на кривых (<1) и (Ь) отвечают точке равновесного перехода между состояниями т = 0 и т = 1. Буква п обозначает
Рис. 2. (а) - максимальное значение параметра порядка (фтах), (Ь) - значение параметра порядка на поверхности цилиндра (фл), (с) - намагниченность (—4тгМ\) и (d) - свободная энергия (Ад, [4]) в состояниях m = 0 и тп = 1 (для R\ = R/X = 4, к = 0.5) как функции поля hç = H/Hç [Hç = фо1(2ж£2), Н\ = ф0/(2тг\2), Мх = М/Нх]. (e)-(h): me же величины в случае Дл = 5, к = 0.5.
нормальное состояние (ф = 0).
В точке р на рис. 2(с, g) метастабильный вихрь (m = 1) в отсутствие поля (h^ = 0) удерживается внутри сверхпроводника силой "поверхностного" пиннинга (за счет взан модействия вихря с поверхностью цилиндра). Заметим, что в точке р намагниченность системы положительна, M(h\) > 0, что отвечает парамагнетизму, обусловленному наличием вихря (m = 1). [Вообще говоря, в состоянии m = 1 намагниченность можно представить в виде M = хН, где магнитная восприимчивость х состоит из двух частей [8], Xdia + Храта, причем Xdia и Храта имеют противоположные знаки. Действительно, намагниченность системы, M = (В—Н)/47г (В - среднее магнитное поле в образце), можно записать в эквивалентном виде через магнитный момент токов: M = (1/2с)/[jr]cii>. В
Случае ТП — 1 ПОЛНЫЙ ТОК СОСТОИТ ИЗ ДВУХ КОМПОНеНТ, j = jdia + jpara, ГДе ТОКИ jdia
(экранирующие внешнее поле H) и токи jpara (экранирующие поле вихря) противопо-
ложно направлены (по и против часовой стрелки). Это и приводит к появлению двух составляющих ПОЛНОЙ восприимчивости, Х<На И Храга-]
г/А. Т/Х
Рис. 3. Зависимость решений (ф,Ь^) от координаты г/А для сверхпроводника 1-рода (к = 0.5, — А и — Ь) в состояниях тп = 0итп=1. В случае Я\ = 4 кривым 0-3 отвечают поля: кривые 0 - (ш = 0) ЛА = 0.5458; 1 - (т = 1) ЛА = 0.195 (МА = 0); 2 - (т = 1) ЛА = —0.1293; 3 - (т = 1) ЛА = 0.5086. В случае ДА = 5 кривым 0-3 отвечают поля: О (то = 0) ЛА = 0.5412; 1 - (т = 1) ЛА = 0.118 (МА = 0); 2 - (т = 1) ЛА = -0.3140; 5 - (т = 1) ЛА = 0.4998.
На рис. 3 (а, Ь, с) приведены значения параметра порядка магнитного поля Ь = В/Н\ и тока ] как функции радиальной координаты г/А для цилиндра с ЛА = 4, к = 0.5 и т = 0,1 при значениях внешнего поля /г^ = Н/Нлежащих вплотную около критических кривых /гс(т,/с, ЯА) на рис. 1. При увеличении |/г.£| на 1 • Ю-4 происходит скачок в нормальное состояние с ф = 0. Видно, что при переходах между сверхпроводящими состояниями, отвечающими кривым 0-3, и п-состоянием, краевые состояния [2 4] не образуются. Из кривых 1-3 на рис. 3(с) видно наличие двух разнонаправленных компонент тока, ] > 0 и ] < 0, приводящих к появлению двух составляющих магнит-
ной восприимчивости разного знака. В мейсснеровском состоянии (т = 0, кривая 0) ток чисто диамагнитен, а в состоянии, отвечающем кривой 2 - чисто парамагнитен. В
СОСТОЯНИИ 1 На рис. 3(с) МаГНИТНЫЙ МОМеНТ М = — 0, ПОСКОЛЬКУ X = Х^'а + Храга = 0.
Аналогичные зависимости представлены на рис. 3(с1, е, £) для цилиндра с В,\ = 5, к = 0.5 (т = 0 и т = 1).
Рис. 4. Критические поля /гс; (а) и (Ь) - в координатах (с) и (д) - в координатах
для состояний ст = 0 «т=1. Значения к указаны на рисунке.
Заметим, что при выборе удачной системы координат наглядно выявляются некоторые интересные особенности поведения решений. Так, на рис. 4(а, Ь) изображены (в координатах критические поля /гс для сверхпроводников 1-рода (с различными
значениями к < 1 [5]) при т = 0ит = 1. Аналогичные кривые (в координатах (Л^, )) изображены на рис. 4(с, (1), где показаны также критические поля Кс для сверхпровод ников II-рода (с к > 1 [5]). Заметим, что при т = 0 критическим полям Нс для всех сверхпроводников И-рода соответствует единая кривая (жирная линия на рис. 4(а, с)). Эта кривая (при Щ < 1) описывается законом Щ ~ 2.8/Л^, а при Щ » 1 она име-
ет асимптотику = 1. Критические поля Лс для сверхпроводников 1-рода зависят от к, однако при достаточно малых радиусах Щ критические поля сверхпроводников I- и П-рода совпадают.
В случае т — 1 (рис. 4(с1)) критические поля /гс для сверхпроводников I- и И-рода отличаются друг от друга, однако, видно, что для всех к существует единый мини мальный радиус, Щтгп ~ 1-3. При Щ < Лыы сверхпроводящее состояние с вихрем (т = 1) на оси цилиндра становится невозможным.
1.0- к=0.707
0.8 к=0.1
0.6 1
0.4 1 /I у j ш=0
0.2 Яд=1.64 \: Кд-1.82
00 V < . , . , ■
Рис. 5. Амплитуда параметра порядка ф^ах 6 точке скачка из s- в п-состояние для сверхпроводников I-рода (к = 0.1 и к = 0.707; т = 0) как функция радиуса R\. При Rx = Яд амплитуда скачка ф^ах = поэтому фазовый переход первого рода становится здесь неотличимым от фазового перехода второго рода.
На рис. 4(с) стрелкой и буквой /2д показано также значение радиуса = R/£ (для сверхпроводника I-рода с к = 0.5), при котором амплитуда скачка из s- в п-состояние обращается в ноль и фазовый переход первого рода становится неотличимым от фазо вого перехода второго рода. Амплитуда скачка ф*тах (т.е. максимальное значение параметра порядка в поле, непосредственно предшествующем переходу из s- в п-состояние) изображена на рис. 5 для к — 0.1 и к — 0.707 (в случае m = 0). Видно, что амплитуда скачка быстро убывает с уменьшением радиуса цилиндра, причем минимальное значение радиуса, Ra (при котором фазовые переходы первого и второго рода не отличимы друг от друга), зависит от к. [Если радиус цилиндра R измерять в единицах Л, то Яд (/с = 0.1) = 1.64, Дд(к = 0.5) = 1.79, Яд(к = 0.707) = 1.82.]
В данной работе изучены одномерные самосогласованные решения уравнений Гинзбурга-Ландау для цилиндрического сверхпроводника I-рода, находящегося в маг-
нитном поле Н. Показано, что внутри сверхпроводника I-рода (при к < 1) могут существовать вихри, несущие т квантов потока. В отсутствие внешнего поля (II = 0) вихрь удерживается внутри однородного сверхпроводника силой "поверхностного" пиннинга, за счет взаимодействия с поверхностью цилиндра. С ростом поля Н сверхпроводящее состояние разрушается фазовым переходом первого рода (скачком в нормальное состояние, ф = 0), без предварительного перехода в "краевое" состояние, которое характерно для сверхпроводников И-рода. Найдено критическое значение поля Нс(т1 к, R), при ко тором происходит скачкообразный переход из s- в n-состояние. При уменьшении радиуса цилиндра R амплитуда скачка уменьшается и при некотором R = Яд(к) величина скачка обращается в ноль (при этом исчезает различие между фазовым переходом первого и второго рода). При R < Дд разрушение сверхпроводимости в цилиндрах 1-рода происходит постепенно, путем фазового перехода второго рода.
Вероятно, отмеченные особенности поведения одномерных решений для сверхпроводников I- и И-рода могут проявляться в экспериментах с мезоскопическими образца ми, однако для подробного сравнения с опытом необходимо провести дополнительное исследование, в частности, изучить более общие двумерные решения, зависящие от радиуса г и полярного угла (р.
Мы признательны В. JI. Гинзбургу за интерес к работе, обсуждение и полезные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Г и н з б у р г В. Л., Ландау Л. Д. ЖЭТФ, 10, 1064 (1950).
[2] Z h а г к о V G. F., Zharkov V. G., Т s v е t к о v A. Yu. Phys. Rev. В, 61, 12293 (2000).
[3] Z h a t к о v G. F., Zharkov V. G., T s v e t к о v A. Yu. cond-mat/0008217 (2000).
[4] Ж a p к о в Г. Ф., Жарков В. Г., Цветков А. Ю. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 11, 35 (2001).
[5] Z h а г к о V G. F. Phys. Rev. В, 63, 224513 (2001).
[6] S a i n t - J a m е s D. Phys. Lett., 15, 13 (1965).
[7] Fink H. J., Pres son A. G. Phys. Rev., 151, 219 (1966).
[8] Z h a г к о v G. F. Phys. Rev. B, 63, 214502 (2001).
Поступила в редакцию 9 января 2002 г.
