CC BY
66
УДК 519.6/538.945
Н. Д. Кузьмичев, М. В. Чугунов
МАГНИТНОПОЛЕВЫЕ И ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ГАРМОНИК НАМАГНИЧЕННОСТИ ТОНКОГО СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО ДИСКА В МОДЕЛИ КРИТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ С КРИТИЧЕСКОЙ ПЛОТНОСТЬЮ ТОКА, ЗАВИСЯЩЕЙ ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНО КВАДРАТУ НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯ
Аннотация.
Актуальность и цели. Исследование магнитных свойств критического состояния жестких сверхпроводников второго рода, в частности высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП), важны из-за их практических приложений в электро- и радиоизмерительной технике. Для этого необходимо знать отклик различной структуры и геометрической формы ВТСП на переменное и постоянное магнитные поля. Целью данной работы является математическое моделирование гармоник намагниченности жесткого сверхпроводника второго рода в виде тонкого диска в приближении экранировки поля в центре образца в рамках модели критического состояния с зависимостью критической плотности тока от напряженности магнитного поля вида Зс ~ у/Н2. Указанная зависимость использовалась для описания критического состояния сверхпроводников при большой плотности вихрей Абрикосова и для описания магнитных свойств керамических ВТСП.
Материалы и методы. Начальная кривая и ветви петли гистерезиса намагниченности критического состояния тонкого сверхпроводящего диска вычислены аналитически. Вычисления магнитнополевых и температурных зависимостей первой и высших гармоник намагниченности проводились численно в системе MathCad.
Результаты. В настоящей работе рассчитаны гистерезисные кривые намагниченности и ряд зависимостей действительной и мнимой частей первой и высших гармоник намагниченности от величин напряженностей переменного и постоянного магнитных полей, а также от температуры. Получено, что на зависимости амплитуд гармоник намагниченности сильно влияет амплитуда переменного магнитного поля, качественно меняя указанные зависимости от постоянного поля для малых и больших амплитуд переменного поля. Результаты данной работы сравниваются с экспериментальными данными, полученными для поликристаллических высокотемпературных сверхпроводников другой работы.
Выводы. Полученные кривые первой и третьей гармоник намагниченности качественно совпадают с экспериментальными данными работы одного из авторов настоящей работы, в которой исследовались гармоники сигнала отклика пропорциональных гармоникам намагниченности поликристаллических дисков в слабых магнитных полях и оценивался параметр модели у.
Ключевые слова: высокотемпературный сверхпроводник, жесткий сверхпроводник II рода, критическое состояние, тонкий диск, критическая плотность тока, петля гистерезиса намагниченности, гармоники намагниченности.
N. D. Kuz'michev, M. V. Chugunov
MAGNETIC AND TEMPERATURE DEPENDENCIES OF MAGNETIZATION HARMONICS OF A THIN SUPERCONDUCTING DISK IN THE MODEL OF CRITICAL STATE WITH CRITICAL CURRENT DENSITY, INVERSELY PROPORTIONAL TO FIELD STENGTH SQUARED
Abstract.
Background. Research of the magnetic properties of critical state of the hard superconductors of the II type, in particular high-temperature superconductors (HTSC) is important because of their practical application in electro- and radio measuring equipment. For this purpose it is necessary to know a response of various structures and HTSC geometrical forms to ac and dc magnetic fields. The purpose of this work is mathematical modeling of magnetization harmonics of a hard superconductor of the II type in the form of a thin disk in approximation of field shielding in the sample center within the model of critical state with dependence of critical density of current on intensity of the magnetic field of Jc ~ 1/H2 type. The specified dependence was used to describe the critical state of superconductors at the large density of Abrikosov vortex and to describe the magnetic properties of ceramic HTSC.
Materials and methods. The initial curve and branches of the hysteresis loop of magnetization of critical state of a thin superconducting disk were calculated analytically. Calculations of the magnetic field and temperature dependencies of the first and the highest harmonics of magnetization were carried out numerically in MathCad system.
Results. The authors calculated the hysteresis curves of magnetization and a number of dependencies of the real and imaginary parts of the first and the highest harmonics of magnetization from sizes taking into account intensity of ac and dc magnetic field, and temperature. It is discovered that the dependencies of amplitudes of harmonics of magnetization are influenced strongly by the amplitude of the ac magnetic field, qualitatively changing the specified dependencies of the dc field for small and large amplitudes of the ac field. The results of this work are compared to the experimental data obtained for polycrystalline high-temperature superconductors from another work.
Conclusions. The received curves of the first and third harmonics of magnetization qualitatively coincide with experimental data of the work by one of the authors of the present work, in which the author researched the response signal harmonics proportional to harmonics of magnetization of polycrystalline disks in weak magnetic fields and estimated a у model parameters.
Key words: high-temperature superconductor, hard superconductor of II type, critical state, thin disk, critical current density, hysteretic loop of magnetization, harmonics magnetization.
Введение
Магнитные свойства различной структуры высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) важны из-за их практических приложений в электро- и радиоизмерительной технике. Для этого необходимо знать отклик различной структуры и геометрической формы ВТСП на переменное и постоянное магнитные поля. Имеется много работ как в отечественной, так и зарубежной литературе, посвященных данной теме [1-13] и др.
Известно, что при воздействии внешнего магнитного поля на ВТСП образец откликается сигналом сложной формы и намагниченность сверхпро-
водника зависит от предыстории его состояния, т.е. обнаруживает гистерезис. Такое поведение сверхпроводника описывается в основном различными моделями, которые базируются на модели критического состояния, предложенной Ч. Бином в работе [1] для жестких сверхпроводников второго (II) рода.
Магнитное поле в сверхпроводники II рода проникает в виде потока, образованного нитями Абрикосова и распространяется фронтом внутрь сверхпроводника, преодолевая силу пиннинга (силу закрепления вихря на неоднородности). Слабые магнитные поля в керамические ВТСП проникают в виде вихрей Джозефсона или гипервихрей. Изменение магнитного потока внутри сверхпроводника вызывает в области проникновения вихрей электрическое поле, которое в свою очередь мгновенно создает экранирующий сверхпроводящий ток (сверхток) с критической плотностью Jc. Величина Зс зависит от локальной плотности магнитного потока (концентрации вихрей -средней индукции поля В или напряженности поля Н) т.е. Зс = Jc(B) [2]. Указанная зависимость обусловлена силой пиннинга и силой отталкивания между вихрями. Расчет сверхтока и магнитного поля внутри сверхпроводника, а также намагниченности и восприимчивости сверхпроводника представляет собой непростую задачу [3-13].
1. Модель
В настоящей работе рассмотрен процесс проникновения магнитного поля в диск жесткого сверхпроводника II рода в приближении полной экранировки внешнего магнитного поля в центре образца. Использовалась следующая зависимость критической плотности тока от магнитного поля: Jc(H) = у/Н2. Это выражение приближенно описывает ситуацию при высокой плотности проникших в образец вихрей и для керамических сверхпроводников [12]. В этом случае уравнение критического состояния для очень тонкого диска радиуса Я и полутолщины Ь (Я >> Ь) [13] в аксиальном внешнем поле имеет вид
£-±-*-. (1)
^Г Н2Г
Здесь г есть текущий радиус цилиндра, Н(г) представляет собой осевую составляющую напряженности магнитного поля. Знак правой части уравнения (1) определяется знаком производной по времени от вешнего поля, т.е. знаком йН/&. Вышеуказанная зависимость Jc(H) рядом авторов использовалось для описания критического состояния гранулярных поликристалличе-ских высокотемпературных сверхпроводников (например, [12]).
Уравнение (1) решается с граничным условием Н(Я) = Не, где Не -напряженность внешнего магнитного поля. Знак (+) в уравнении (1) соответствует растущему во времени магнитному полю, а знак (-) - убывающему полю. Решение (1) для растущего поля имеет вид
Н(г)= Не3 -3уЬ • 1п^— а для убывающего решение уравнения (1) есть
(2)
H (r ) =
Н3 + 3yb - ln I R
(3)
Магнитное поле в тонкий диск проникает на глубину (Я - р), а радиус р определяется из условия Н(р) = 0:
p(He ) = R - exP
3yb
(4)
В данной модели, как следует из выражения (4), р ^ 0 при Не ^ ^.
Намагниченность М(Не) сверхпроводника в виде тонкого диска вычислялась согласно формуле, используемой для определения магнитного момента системы токов [13, 14], учитывая, что экранирующий ток в силу цилиндрической симметрии является азимутальным:
1 я
М (Не ) = ^ Л [г, Л1К (5)
Здесь V - объем сверхпроводника; р - радиус внутренней части цилиндра, куда поле не проникло.
Начальная кривая намагниченности для возрастающего внешнего поля от 0 до Не, следуя (5), вычисляется по формуле
M,-,
1 R
(He ) = —т Л Jc (H)r2dr = -M0-exp R2 „Гтт Ч
p(He
yb
Hlhib
f e3zdz (6)
J Z. (6)
Здесь Мо =(уЯ3/ (ь2 |) . Интеграл в выражении (6) не выражается
через элементарные функции.
В переменном магнитном поле (Не(0 = Н0 + И со8(ю0) сверхпроводник разбивается на области с противоположно текущими экранирующими сверхтоками (рис. 1). Это приводит к гистерезису в намагничивании жесткого сверхпроводника. Уравнения кривых, которые определяют петлю гистерезиса намагниченности, будут выражаться следующими интегралами:
M+ (H 0, h) = -
R 2
1
\ Z R
Л Jc (H)r2dr - Л Jc (H)r2dr + Л Jc (H)
Z
r 2 dr
M_ (H 0, h) = _ — R2
R
Л Jc (H)r2dr _ Л Jc (H)r2dr P %
(7)
где М+(Н0, И) - ветвь петли в возрастающем поле, а М_(Н0, И) - ветвь петли для убывающего внешнего магнитного поля; р - радиус центральной части диска, куда возрастающее поле до величины Н0 + И еще не проникло; X - внутренний радиус кольцевого слоя диска с противоположно текущим
экранирующим сверхтоком в убывающем поле до значения (Н0 - И) и £ -внешний радиус этого же кольцевого слоя диска. Величина £ является внутренним радиусом кольцевого слоя в убывающем поле от значения Н0 + И до текущего значения Н(0 (см. рис. 1).
а)
Рис. 1. Разбиение сверхпроводника в постоянном и переменном аксиальных магнитных полях на области с противоположно текущими сверхтоками: а - возрастающее поле проникло на глубину (Я - р), убывающее - на глубину (Я - X) и снова возрастающее на (Я - £) (ветвь петли гистерезиса в растущем поле - М+); б - возрастающее поле проникло на глубину (Я - р), убывающее - на глубину (Я - £) (ветвь петли гистерезиса в убывающем поле - М-)
Аналитический расчет по формулам (7) для М_ и М+ приводит к следующим выражениям:
M-(о, h, He )=-Mо
ехр
(H0 + h)3 I л[(hо +h)3 + He3 ]/6Yb e3zdz
yb
+
+ехр
yb I- Л[(Но+h)3 + He3 ]/6Yb z2/3
He3/3Yb
(8)
M+ (о,h,He ) = -Mо
ехр
(H0 + h)3 "I j[(H+h)3+(Но-h)3j^yb e3zdz
yb
+
+ехр
(H0 - h)3 " j[He3+(0-h)3 ]/6Yb
+ехр
yb J J[(Но +h)3 +(Hо-h)3 у6Yb z2/3
He3/3Yb
+
I H3
- He I f _______
yb I j[(Но-h)3 + He3 ]/6Yb z2/3
(9)
На практике важны гармоники намагниченности, так как экспериментально их достаточно легко измерить. В работе [7] показано, что вклад в синфазные (действительные) части гармоник дает средняя кривая намагниченно-
сти М(Яо,И,Не), а в квадратурные (мнимые) составляющие вклад дает разностная кривая намагниченности ДМ (Но, И, Не). Указанные кривые определяются следующим образом [7]:
М (Яо, И, я. ) = М-Яо-*• Не )- М+Яо-И Не- (,0)
ДМ(Но,И,Не) = М-(Яо,И,Не)-М+(Яо,И,Не). (11)
На рис. 2 построены графики зависимостей М]№ М+ и М_ от внешнего магнитного поля с использованием формул (6), (8) и (9).
М
1 | ^ ■з ДМ м-
М+-— -2 . Ч. 1 1 "V/ N. 0.5 Мщ— /
Рис. 2. Начальная кривая намагниченности Міп, ветвь петли гистерезиса в возрастающем поле М+ , ветвь петли гистерезиса в убывающем поле М_,
средняя М и разностная ДМ кривые. Здесь Н - текущее магнитное поле. Кривые построены с использованием формул (6), (8)-(11). Магнитное поле Н выражено в единицах Нр = (уй)1/3, а намагниченность в единицах М0 (6)
В эксперименте при изучении магнитных свойств сверхпроводников часто измеряется напряжение сигнала отклика сверхпроводника на переменное магнитное поле в присутствии постоянного поля [6, 7, 11, 12, 15]. Указанное напряжение возникает на концах приемной катушки, внутри которой помещен сверхпроводник. Напряжение сигнала отклика будет периодической негармонической функцией времени, имеющей в своем составе большое количество синфазных (действительных) и квадратурных (мнимых) составляющих гармоник. Гармоники напряжения пропорциональны соответствующим
I и I н
гармоникам намагниченности или восприимчивости: Пп х М^. Здесь п =1, 2, 3,... - номер гармоники.
Действительные М'п и мнимые МП составляющие гармоник намагниченности вычислялись согласно формулам, приведенным в работе [7]:
1 2п
МП (Но,И)= - Г М(Но,И,Не (т)) — (пш)(ют); (12)
п ■*
о
1 п
МП (Но, И ) = - Г ДМ (Но, И, Не (т )) (пют ) (ют). (13)
п
о
Модули гармоник намагниченности определяются формулой
Мп (Но, И )=^(МП (Но, И ))2 +(п (Н о, И ) . (14)
Заметим, что (см. например, [7])
М1 = — (£ ШМ = 2 , (15)
пИ ^ п^о^И
здесь 2 - энергия потерь на перемагничивание за цикл; Цо - магнитная постоянная; V - объем сверхпроводника.
Аналитические вычисления гармоник намагниченности приводят к чрезвычайной громоздкости функций, выраженных через интегралы и неудобных для дальнейшего анализа и сравнения с экспериментом, поэтому их вычисления впоследствии проводились численно в системе МаШСа^
2. Результаты расчета магнитополевых зависимостей гармоник намагниченности
На рис. 3-5 приведены расчеты амплитуд 1, 3 и 5 гармоник намагниченности в зависимости от величины амплитуды И напряженности внешнего переменного магнитного поля (Но = о). Из рисунков видно, что гармоники имеют максимумы, положения которых зависят от номера гармоники. С ростом п максимум смещается в сторону роста И. Максимумы обусловлены конкуренцией двух механизмов - увеличением объема сверхпроводника занятого сверхтоком и подавлением величины Зс с ростом поля.
Учитывая формулу (15) и рис. 3 (кривая 2), получим, что максимум потерь на перемагничивание сверхпроводника приходится на величину Ит ~ 1,7НР. Величина равна Нр = (уЬ)1/3. Мнимая часть пятой гармоники (рис. 5) намагниченности М5 меняет знак при И ~ Ит, т.е. фазу. Отметим, что при И > 3НР в сверхпроводнике происходят в основном потери на перемагничивание (см. рис. 3).
На рис. 6-8 представлены расчеты амплитуд 1 и 3 гармоник намагниченности в зависимости от величины напряженности внешнего постоянного магнитного поля Но при двух значения амплитуды модуляции И = о,25НР и НР. Для И = о,25НР из рис. 6 видно, что потери с ростом возрастают и достигают максимума при Но ~ 2 НР. При И = НР и Но = о потери максимальны (рис. 7). Третья гармоника намагниченности имеет сложную зависимость с переменой знака как в действительной части, так и в мнимой части для И = НР (рис. 8). Пятая гармоника имеет еще более сложную зависимость с большим числом максимумов и минимумов.
Рис. 3. Амплитуды действительной М[ (1), мнимой М{ (2) частей и модуля М1 (3) первой гармоники намагниченности в зависимости от амплитуды И переменного магнитного поля (Но = о). Магнитное поле выражено в единицах НР = (уй)13, амплитуды гармоник намагниченности - в единицах Мо (6)
Рис. 4. Амплитуды действительной М3 (1 ), мнимой М3 (2) частей и модуля М3 (3) третьей гармоники намагниченности в зависимости от амплитуды И переменного магнитного поля (Но = о). Магнитное поле выражено в единицах НР = (уй)1/3, амплитуды гармоник намагниченности - в единицах Мо
3. Температурные зависимости гармоник намагниченности
Температурные зависимости гармоник намагниченности определяются температурной зависимостью единственного параметра у уравнения (1) т.е. у(7). Данная зависимость определяется температурной зависимостью крити-
ческой плотности тока Jc(T) ^ у(Т) (см. разд. 1). Была выбрана следующая температурная зависимость:
п2
( Л 2
у(т)=Уо 1 - |т] . (16)
т
К С у
Ms ■
Щ ■ м5
0.4
0.2
0
-0.2
Рис. 5. Амплитуды действительной М5 (1), мнимой М5 (2) частей и модуля М 5 (3) пятой гармоники намагниченности в зависимости от амплитуды И переменного магнитного поля (Но = о). Магнитное поле выражено в единицах НР = (уй)1/3, амплитуды гармоник намагниченности - в единицах Мо
■ -------------1-----------1-----------1-----------
-0.2
-0.4
6. Зависимости действительной М[ (1), мнимой М" (2) частей и модуля
М1 (3) первой гармоники намагниченности от постоянного поля Но
= о,25НР. Напряженность магнитного поля выражена в единицах НР = (уй)1/3, а амплитуды гармоник намагниченности - в единицах Мо (6)
Рис.
для к -
Рис. 7. Зависимости действительной М1 (1 ), мнимой М1 (2) частей и модуля М1 (3) первой гармоники намагниченности от постоянного поля Но для И = НР. Напряженность магнитного поля выражена в единицах НР = (уй)1/3, а амплитуды гармоник намагниченности - в единицах Мо (6)
Рис. 8. Амплитуды действительной М3 (1), мнимой М3 (2) частей и модуля М3 (3) третьей гармоники намагниченности в зависимости от постоянного магнитного поля Но для И = НР. Магнитное поле выражено в единицах НР = (уй)13, амплитуды гармоник намагниченности - в единицах Мо
Для удобства сравнения с экспериментом критическая температура Тс была выбрана равной 92 К, так как эта температура является критической для широко распространенного ВТСП УВа2Си307_х. Результаты расчета приведены на рис. 9-11. Из рисунков видно, что мнимая часть первой гармоники и высшие гармоники намагниченности имеют максимум вблизи Тс. Данный максимум,
как показывают расчеты, с ростом амплитуды модуляции Н уширяется и смещается в область низких температур. Максимум обусловлен конкуренцией следующих процессов: уменьшением Зс с ростом температуры, что приводит к большему объему сверхпроводника, занятому сверхтоком, росту намагниченности и росту потерь на перемагничивание (15). Показатели степени в формуле (16) качественно не влияют на температурные зависимости гармоник.
МІ
М"
м.
0.4
0.2
-0.2
-0.4
1 1 і і з I
- 2 У
1 60 70 80 /т, к
- 1 У -
1 і I I I
Рис. 9. Температурные зависимости амплитуд первой гармоники намагниченности (М* - 1, М* - 2 и М1 - 3) для Н = 0,25НР (Н0 = 0). Амплитуды гармоник намагниченности выражены в единицах М0
Рис. 10. Температурные зависимости амплитуд третьей гармоники намагниченности (М3 - 1, М3 - 2 и М3 - 3) для И = 0,25НР (Н0 = 0). Амплитуды гармоник намагниченности выражены в единицах М0
Обсуждение
Полученные результаты качественно совпадают с результатами экспериментальной работы [16], в которой исследовались гармоники намагниченности поликристаллических дисков в слабых магнитных полях.
Рис. 11. Температурные зависимости амплитуд пятой гармоники намагниченности (М5 - 1, М5 - 2 и М5 - 3) для Н = 0,25НР (Н0 = 0).
Амплитуды гармоник намагниченности выражены в единицах М0
Приведем результаты для первой и третьей гармоник сигнала отклика на рис. 12, 13. Из рис. 12 видно, что зависимость модуля напряжения первой гармоники качественно совпадает с кривой 3 на рис. 7. Количественное сравнение указанных кривых приводит к следующему экспериментальному значению у для поликристалла УВа2Си307.х: у ~ 1,1 • 1015 Л3/ш4. Данные рис. 8 также качественно совпадают с экспериментальными данными, приведенными на рис. 13.
smV
60 -
40 -
20
h = 40 Oe
\ s, mV
\ 70
\ 60
20 40 H, Oe
400 800 Н, Ое
Рис. 12. Зависимость модуля напряжения первой гармоники дискообразного поликристалла от постоянного магнитного поля для амплитуды модуляции Н = 40 0е [16]
10 20 ЗО Н, Ое
Рис. 13. Зависимость модуля напряжения третьей гармоники дискообразного поликристалла от постоянного магнитного поля для амплитуды модуляции h = 10 и 20 Oe [16]
Список литературы
1. Bean, C. P. Magnetization of hard superconductors / C. P. Bean // Phys. Rev. Lett. -1962. - Vol. 8. - P. 250-251.
2. Kim, Y. B. Critical persistent currents in hard superconductors / Y. B. Kim,
C. F. Heampstead, A. R. Strnad // Phys. Rev. Lett. - 1962. - Vol. 9. - P. 306-309.
3. Frankel, D. Critical-state model for the determination of critical currents in diskshaped superconductors / D. Frankel // J. Appl. Phys. - 1979. - Vol. 50. - P. 54024849.
4. Anderson, P. W. Hard superconductivity: Theory of the motion of Abricosov flux line / P. W. Anderson, Y. B. Kim // Rev. Mod. Phys. - 1964. - Vol. 36. - P. 39-46.
5. Daumling, M. Critical state in disk-shaped superconductors / M. Daumling,
D. C. Larbalestier // Phys. Rev. B. - 1989. - Vol. 40. - P. 9350-9353.
6. Mikheenko, P. N. Inductance measurements of HTSC films with high critical currents / P. N. Mikheenko, Yu. E. Kuzovlev // Physica C. - 1993. - P. 229-236.
7. Кузьмичев Н. Д. Гистерезисная намагниченность и генерация гармоник магнитными материалами: Анализ спектра гармоник намагниченности на примере высокотемпературных сверхпроводников / Н. Д. Кузьмичев // Журнал технической физики. - 1994. - Т. 64, № 12. - С. 63-74.
8. Clem, J. R. Hysteretic ac losses and susceptibility of thin superconducting disks / J. R. Clem, Alvaro Sanchez // Phys. Rev. B. - 1994. - Vol. 50. - P. 9355-9362.
9. Brandt, E. H. Superconductor disks and cylinders in an axial magnetic field. I. Flux penetration and magnetization curves / E. H. Brandt // Phys. Rev. B. - 1998. - Vol. 58. -P. 6506-6522.
10. Brandt, E. H. Superconductor disks and cylinders in an axial magnetic field.
II. Nonlinear and linear ac susceptibilities / E. H. Brandt // Phys. Rev. B. - 1998. -Vol. 58. - P. 6523-6533.
11. Кузьмичев, Н. Д. Гармоники намагниченности текстурированных поликристаллов YBa2Cu3O7-x выше температуры перехода в сверхпроводящее состояние /
Н. Д. Кузьмичев, В. В. Славкин // Физика твердого тела. - 2007. - Т. 49. -С. 1549-1553.
12. Lam, Q. H. Nonlinear electrodynamics in granular YBa2Cu3O7: Measurements and models of complex permeability / Q. H. Lam, Y. Kim, and C. D. Jeffries // Phys. Rev. B. - 1990. - Vol. 42. - P. 4846-4849.
13. Кузьмичев, Н. Д. Математическое моделирование нелинейного отклика короткого цилиндра из жесткого сверхпроводника / Н. Д. Кузьмичев, А. А. Федчен-ко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 3 (19). - С. 110-119.
14. Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -М. : Наука, 1982. - 620 с.
15. Кузьмичев, Н . Д . Генерация гармоник поликристаллическими YBa2Cu3O7-x в сильных переменных магнитных полях / Н. Д. Кузьмичев, В. В. Славкин // Письма в Журнал технической физики. - 1992. - Т. 18, № 8. - С. 11-15.
16. Головашкин, А. И. Зависимость напряжения гармоник сигнала отклика керамических образцов YBa2Cu3O7-x от величины постоянного магнитного поля в зависимости от глубины модуляции поля / А. И. Головашкин, Н. Д. Кузьмичев, И. С. Левченко, Г. П. Мотулевич, В. В. Славкин. - М. : ФИАН, 1990. - 40 с. (Препринт 163).
References
1. Bean C. P. Phys. Rev. Lett. 1962, vol. 8, pp. 250-251.
2. Kim Y. B., Heampstead C. F., Strnad A. R. Phys. Rev. Lett. 1962, vol. 9, pp. 306-309.
3. Frankel D. J. Appl. Phys. 1979, vol. 50, pp. 5402-4849.
4. Anderson P. W., Kim Y. B. Rev. Mod. Phys. 1964, vol. 36, pp. 39-46.
5. Daumling M., Larbalestier D. C. Phys. Rev. B. 1989, vol. 40, pp. 9350-9353.
6. Mikheenko P. N., Kuzovlev Yu. E. Physica C. 1993, pp. 229-236.
7. Kuz'michev N. D. Zhurnal tekhnicheskoy fiziki [Journal of technical physics]. 1994, vol. 64, no. 12, pp. 63-74.
8. Clem J. R., Alvaro Sanchez Phys. Rev. B. 1994, vol. 50, pp. 9355-9362.
9. Brandt E. H. Phys. Rev. B. 1998, vol. 58, pp. 6506-6522.
10. Brandt E. H. Phys. Rev. B. 1998, vol. 58, pp. 6523-6533.
11. Kuz'michev N. D., Slavkin V. V. Fizika tverdogo tela [Solid state physics]. 2007, vol. 49, pp. 1549-1553.
12. Lam Q. H., Kim Y. and Jeffries C. D. Phys. Rev. B. 1990, vol. 42, pp. 4846-4849.
13. Kuz'michev N. D., Fedchenko A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzh-skiy region. Fiziko-mate-maticheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2011, no. 3 (19), pp. 110-119.
14. Landau L. D., Lifshits E. M. Elektrodinamika sploshnykh sred [Continuum electrodynamics]. Moscow: Nauka, 1982, 620 p.
15. Kuz'michev N. D., Slavkin V. V. Pis’ma v Zhurnal tekhnicheskoy fiziki [Letters to the journal of technical physics]. 1992, vol. 18, no. 8, pp. 11-15.
16. Golovashkin A. I., Kuz'michev N. D., Levchenko I. S., Motulevich G. P., Slavkin V. V. Zavisimost’ napryazheniya garmonik signala otklika keramicheskikh obraztsov YBa2Cu3O7-x ot velichiny postoyannogo magnitnogo polya v zavisimosti ot glubiny modulyatsii polya [Dependence of response signal harmonic voltage of YBa2Cu3O7-x ceramic sample on the value of a constant magnetic field depending on field’s modulation depth]. Moscow: FIAN, 1990, 40 p. (Preprint 163).
Кузьмичев Николай Дмитриевич
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой общенаучных дисциплин, Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева (Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, 68)
E-mail: kuzmichevnd@yandex.ru
Чугунов Михаил Владимирович
кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой общетехнических дисциплин, Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева (Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, 68)
E-mail: m.v.chugunov@mail.ru
Kuz'michev Nikolay Dmitrievich
Doctor of physical and mathematical sciences,
professor, head of sub-department
of general scientific disciplines, Ogarev
Mordovia State University
(68 Bolshevistskaya street, Penza, Russia)
Chugunov Michail Vladimirovich Candidate of engineering sciences, associate professor, head of sub-department of general technical disciplines, Ogarev Mordovia State University (68 Bolshevistskaya street, Penza, Russia)
УДК 519.6/538.945 Кузьмичев, Н. Д.
Магнитнополевые и температурные зависимости гармоник намагниченности тонкого сверхпроводящего диска в модели критического состояния с критической плотностью тока, зависящей обратно пропорционально квадрату напряженности поля / Н. Д. Кузьмичев, М. В. Чугунов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 1 (29). - С. 113-127.
