CC BY
82
УДК 519.64; 538.945; 537.62
Н. Д. Кузьмичев, А. А. Федченко
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА НАМАГНИЧИВАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СВЕРХПРОВОДНИКА В МОДЕЛИ БИНА
Аннотация. Смоделирован процесс намагничивания жестких сверхпроводников второго рода в форме цилиндров конечной длины, находящихся в критическом состоянии, в рамках приближения Бина с учетом искривления линий магнитного поля. На основе найденной модели рассчитаны полная напряженность магнитного поля, петля гистерезиса намагниченности и распределение экранирующего сверхтока для образцов вышеуказанной формы в разных случаях.
Ключевые слова: жесткий сверхпроводник второго рода, критическое состояние, модель Бина, интегральные уравнения, задача оптимизации, распределение экранирующего сверхтока, гистерезис намагниченности.
Abstract. The authors have modeled magnetization process for hard type II superconductors in form of finite length cylinders in the critical state according to Bean approximation and taking into account curvature of magnetic field lines. On the basis of this model the researchers have calculated total magnetic field intensity, hys-teretic loops and distribution of screening supercurrent in different cases.
Key words: hard type II superconductor, critical state, Bean model, integral equation, optimization problem, distribution of screening supercurrent, magnetization hysteresis.
Введение
Магнитные свойства высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) важны для применения в электро- и радиоизмерительной технике. В связи с этим важно знать отклик различной геометрической формы сверхпроводников на переменное и постоянное магнитные поля. Для этого необходимо иметь карту распределения экранирующего сверхпроводящего тока (сверхтока) и намагниченность образца. Работы по вышеотмеченной тематике ведутся давно как в отечественной, так и зарубежной литературе [1-7]. В простейших расчетах намагниченности жестких сверхпроводников второго рода, находящихся в критическом состоянии, принимается полная экранировка внешнего поля в центре образца или на его оси, например цилиндра или пластины. В этом случае задача одномерная и описывается дифференциальным уравнением.
Точное решение задачи распределения сверхтока для бесконечно тонких дисков найдено Михеенко и Кузовлевым в работе [3]. В работах Брандта (например в [5]) численным методом решения интегрального уравнения второго рода получены численные распределения сверхтока в цилиндрах любой длины (двумерный случай). Для этого интегральное уравнение первого рода было сведено к уравнению второго рода путем задания явного вида вольт-амперной характеристики сверхпроводника с помощью уравнений электродинамики, описывающих сверхпроводник. Имеются и другие работы, но мы отметили наиболее значимые.
Численные зависимости не всегда удобны, и их нахождение для конкретных случаев требует на каждом этапе численных решений интегральных уравнений. В связи с этим возникает необходимость иметь в своем арсенале аналитическое выражение распределения экранирующего сверхтока в сверхпроводнике, имеющем форму, например, цилиндра любой длины.
В настоящей работе найдено приближенное аналитическое решение интегрального уравнения, описывающего распределение экранирующего сверхтока, и численно смоделирован процесс проникновения магнитного поля в короткий цилиндр жесткого сверхпроводника второго рода, находящегося в критическом состоянии в рамках модели Бина [1] с учетом искривления силовых линий магнитного поля (двумерный случай). Магнитное поле в такие сверхпроводники проникает в виде потока, образованного нитями Абрикосова, и распространяется фронтом внутрь сверхпроводника, преодолевая силу пиннинга. Силовые линии магнитного поля как внутри такого сверхпроводника, так и вне его искривлены. Изменение магнитного потока внутри указанного сверхпроводника вызывает в области проникновения нитей Абрикосова электрическое поле, которое, в свою очередь, мгновенно создает экранирующий сверхток с критической плотностью Зс. В модели Бина величина Зс не зависит от локальной плотности магнитного потока.
Полное магнитное поле (сумма внешнего аксиально-направленного поля и поля, созданного экранирующим сверхтоком сверхпроводящего цилиндра) определяется следующими линейными интегральными уравнениями первого рода, записанными в цилиндрической системе координат [2, 8]. Аксиальная составляющая напряженности Иг полного магнитного поля определяется выражением
1. Постановка задачи и модель расчета
Б+
(1)
Здесь
02 (г,г,г',г')
и
к2
4гг'
Г г' + г )2 +Г - г ')2
Радиальная составляющая Нг полного поля есть
Нг Гг, г)= ^ |Г Ог (г,г,г', г')(г', г')ёг'ё/,
В+
(2)
где Ог Гг,г,г',г')
Здесь Н0 - напряженность внешнего аксиально-направленного магнитного поля; J(r, z) - экранирующий сверхток, заполняющий область сверхпроводника D+, который направлен в силу симметрии вдоль орта ф и не зависит от полярного угла ф;
п/2 ----------- п/2 -------------
K(k)= J d0/у1 -(ksin0)2 и E(k)= J -(ksin0)2d0 -
полные эллиптические интегралы.
Для того чтобы найти J(г, г), необходимо иметь хотя бы приближенные левые части интегральных уравнений (1) и (2) [9, 10]. Задачи такого рода относятся к классу некорректных задач математической физики (см. например, [9]). Исходя из физических соображений, имеем следующие сведения. Подынтегральные выражения (ядра) уравнений (1) и (2) описывают напряженность магнитного поля, создаваемого бесконечно тонким кольцом радиуса г', несущим силу тока, равную Jdr'dz', и являются точными решениями уравнений Максвелла [8]. В силу симметрии осевая Нг (1) и радиальная Нг (2) составляющие напряженности полного магнитного поля не зависят от угла ф. При г ^ ^ и (или) г ^ го составляющие поля Нг ^ Н0 и Нг ^ 0. В области сверхпроводника, где сверхток отсутствует (экранированная область), т.е. J (г, г) = 0, величины Нг = 0 и Нг = 0. Кроме того, имеется точное решение J (г) для одномерного случая [3], т.е. распределение тока в бесконечно тонком диске.
Следуя вышеприведенным предпосылкам, в настоящей работе определили приближенная аналитическая зависимость экранирующего сверхтока J (г, г) в модели Бина для двумерного случая в цилиндрической геометрии. Найденное выражение имеет следующий вид (рис. 1):
J(г,z) =
\Jc =-| Jc| = const при г, z є D+ ;l І 0 при г, z є D-.
(3)
Область П+ проникновения вихрей в цилиндр от области П~, в которой вихри отсутствуют (т.е. область, в которой J(r, г) = 0), отделяется поверхностью, заданной уравнением
:(г) = b
1 — arctg п
1- і )2
1- г Í
p(c
(4)
Здесь Я - радиус и d = 2Ь - длина (толщина) цилиндра (диска); а - радиус проникновения поля при г = 0 (рис. 1). Показатель степени р(а) меняется в пределах 0 < р(а) < 2 и зависит также от отношения Ь/Я (при Ь ^ 0 величина р ^ 1 и не зависит от значения а, а при Ь ^ го следует, что р ^ 0).
В качестве критерия уклонения р(г, г) приближенного г от точного решения [9, 10] строилась целевая функция S, которая выбиралась следую-
щим образом. Как было отмечено выше, сверхток и магнитное поле в экранированной области сверхпроводника отсутствуют. То есть в области В- мы знаем точное решение. Учитывая, что в области В- выполняются равенства Иг = 0 и Нг = 0, параметр р можно определить из условия минимума целевой функции:
Hz,г (,,р)
Н0
<£ .
(5)
Рис. 1. Сечение четверти диска. В закрашенной области В+ течет сверхток Зс. В области В- сверхток отсутствует. Области отделены поверхностью, заданной уравнением 2(г)
Здесь N есть число выбранных точек в области В-, а величина е определяет точность найденного решения интегральных уравнений (1) и (2). В нашем случае она составляла менее 0,01 (1 %). В случае точных решений - = 0.
2. Алгоритм и структура программы
Для расчета величины р(а) была разработана специальная программа на языке С#. Она позволяет достаточно быстро и с заданной точностью произвести расчет параметра р и карты распределения аксиальной (1) и радиальной (2) составляющих напряженности магнитного поля, а также намагниченности образца в целом с учетом найденных 3(т, z) и z(г).
При вычислении использовалась сетка ЬхК, в частности, на приведенных ниже рисунках сетка размером 100x50 (100 шагов вдоль радиуса г и 50 вдоль оси z). Разработанная программа позволят использовать сетки больших размеров. Для каждого узла этой сетки рассчитываются соответствую-
щие ей величины Нг и Нг при заданной величине напряженности Н0 внешнего магнитного поля и найденном значении р. При этом важно было подобрать верный численный метод для решения этой части задачи, обладающий устойчивостью [10, 11]. Также важной частью решаемой задачи было вычисление оптимальной величины параметра р, определяемого выражением (5). Для его нахождения при помощи программы была решена отдельная задача оптимизации. Применен численный метод поиска экстремума функции, известный как метод «золотого сечения» [11, 12], модифицированный для нашей задачи с учетом особенностей ядер интегральных уравнений (1) и (2).
В качестве целевой функции при решении данной задачи оптимизации была выбрана сумма отклонений (5) для области (Ы = 200 точек), в которой отсутствует магнитное поле (область В_на рис. 1).
Для каждой составляющей Н и Нг оптимальное значение параметра р было рассчитано отдельно. Однако можно отметить, что параметры для радиальной рг и аксиальной рг составляющих поля (рис. 2) несколько отличаются при проникновении поля на достаточно большую величину. Данное расхождение обусловлено приближенным характером выражения (4).
а/Я
Рис. 2. Зависимости показателей степени от глубины проникновения поля
3. Результаты расчета магнитного поля и петли гистерезиса намагниченности
Полученный в итоге двумерный массив представляет собой распределение напряженности магнитного поля в одной четверти фронтального сечения сверхпроводящего образца.
Трехмерный график, демонстрирующий это распределение поля Н2(г, г) для цилиндра с а/2Я = 0,25, представлен на рис. 3. При этом принималось, что внешнее поле проникло на глубину, определяемую значением радиуса а: а = 0,5Я.
На рисунках величина поля представлена в единицах поля полного проникновения Нр, т.е. минимальной напряженности внешнего поля Н0, при которой весь объем сверхпроводника будет занят экранирующим сверхтоком. Величина Нр определяется численно или ее можно рассчитать по формуле
Н р = 3СЬ ■ 1п
Рис. 3. Распределение аксиального поля Н^, г). Значение поля приведено в процентах от поля полного проникновения Нр
Данная формула легко получается из решения дифференциального уравнения критического состояния в модели Бина в одномерном приближении для короткого цилиндра радиуса Я и полутолщины Ь:
Шг = Зс Н2 (Я)= Но. (6)
ёг
І
Отметим, что при Н0 = Нр задачи в постановках (1)-(2) и (6) приводят к одинаковым результатам, так как экранированная область сверхпроводника стягивается в точку, находящуюся в центре на оси цилиндра.
Из рис. 3 видно, что внутренняя область образца П~, не затронутая магнитным полем, образует почти ровную поверхность, контур которой определяется уравнением (4). В то же время в остальной области напряженность поля отлична от нуля, а на границе сверхпроводника наблюдается значительный острый «излом» напряженности. При удалении от образца значение поля стремится к величине внешнего поля Н0, как было отмечено в разд. 1.
Аналогичные графики для другой составляющей - Нг(г, г), представлены на рис. 4 (а = 0,5Я). Вне объема сверхпроводника вдали от него напря-
женность радиальной составляющей близится к нулю, так как вектор напряженности внешнего магнитного поля направлен вдоль оси вращения образца.
Рис. 4. Распределение радиального поля Нг(г, г). Значение поля приведено в процентах от поля полного проникновения Нр
Начальная кривая и петля гистерезиса намагниченности приведены на рис. 5. Расчет производился по найденному распределению экранирующего сверхтока.
Намагниченность М цилиндрического сверхпроводника вычисляли согласно формуле, используемой для определения магнитного момента системы токов [8], учитывая, что экранирующий сверхток в силу цилиндрической симметрии является азимутальным:
1 г
М = — \ [г, Jc]<&, (7)
Б+
где V - объем сверхпроводника; 0+ - область внутренней части цилиндра, занятая сверхтоком.
Интеграл (7) разбивается на сумму нескольких интегралов с противоположно текущими сверхтоками. На рис. 5 приведены кривые намагниченности для разных величин максимальных полей циклов намагничивания. По оси абсцисс отложена напряженность магнитного поля в единицах поля полного проникновения Нр. По оси ординат отложена намагниченность цилиндра в единицах намагниченности насыщения М(Нр) = М0 = ЗсЯ/3, которая получается из решения уравнения (6).
И/Ир, %
Рис. 5. Начальная кривая намагниченности и петли гистерезиса намагниченности для разных значений максимальных полей цикла намагничивания. Значения поля указаны в процентах от Ир, а намагниченности - в единицах намагниченности насыщения М0
Заключение
Результатами работы являются карта распределения экранирующего сверхтока (3) в жестких сверхпроводниках второго рода, имеющих форму цилиндров конечной длины и дисков (таблеток) в рамках модели Бина, и простое уравнение (4) поверхности, отделяющей области цилиндра с током и без тока (см. рис. 2). Данные уравнения получены с учетом искривления силовых линий магнитного поля. Формула (4) включает единственный параметр р (показатель степени), который легко определяется нахождением минимума целевой функции (5). Целевая функция строится на экранированной области цилиндра и является по своей сути отклонением точного значения поля от приближенного. Расчеты радиальной и аксиальной составляющих поля показали правильность выбора методики. Разработанную методику можно применять и в случае полевой зависимости критической плотности тока [13]. В этом случае интегральные уравнения (1) и (2) будут нелинейными. В качестве начального приближения можно использовать полученные в работе выражения. Результаты работы можно использовать, например, при разработке магнитометра слабых магнитных полей [14] на основе ВТСП поликристаллов. Как было показано в работе [15], экранирующий сверхток в таких системах в слабых магнитных полях не зависит от величины поля.
Список литературы
1. Bean, C. P. Magnetization of hard superconductors / C. P. Bean // Phys. Rev. Lett. -1962. - V. 8. - P. 250-251.
2. Frankel, D. Critical-state model for the determination of critical currents in diskshaped superconductors / D. Frankel // J. Appl. Phys. - 1979. - V. 50. - P. 5402-4849.
3. Mikheenko, P. N. Inductance measurements of HTSC films with high critical currents / P. N. Mikheenko, Yu. E. Kuzovlev // Physica C. - 1993. - V. 204. - P. 229-236.
4. Clem, J. R. Hysteretic ac losses and susceptibility of thin superconducting disks / J. R. Clem, Alvaro Sanchez // Phys. Rev. B. - 1994. - V. 50. - P. 9355-9362.
5. Brandt, E. H. Superconductor disks and cylinders in an axial magnetic field. I. Flux penetration and magnetization curves / E. H. Brandt // Phys. Rev. B. - 1998. - V. 58. -P. 6506-6522.
6. Кузьмичев, Н. Д. Гистерезисная намагниченность и генерация гармоник магнитными материалами: Анализ спектра гармоник намагниченности на примере высокотемпературных сверхпроводников / Н. Д. Кузьмичев // ЖТФ. - 1994. -Т. 64, № 12. - С. 63-74.
7. Кузьмичев, Н. Д. Гармоники намагниченности текстурированных поликристаллов YBa2Cu3O7_x выше температуры перехода в сверхпроводящее состояние / Н. Д. Кузьмичев, В. В. Славкин // ФТТ. - 2007. - Т. 49. - С. 1549-1553.
8. Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -М. : Наука, 1982. - 620 с.
9. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. - М. : Наука, 1986. - 288 с.
10. Верлань А. Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. - Киев : Наукова думка, 1986. - 544 с.
11. Турчак, Л. И. Основы численных методов / Л. И. Турчак, П. В. Плотников. -М. : Физматлит, 2005. - 304 с.
12. Самарский, А. А. Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гулин. - М. : Наука, 1989. - 432 с.
13. Кузьмичев, Н. Д. Математическое моделирование нелинейного отклика короткого цилиндра из жесткого сверхпроводника / Н. Д. Кузьмичев, А. А. Фед-ченко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. - 2011. - № 3 (19). - С. 110-119.
14. Головашкин, А. И. Простое чувствительное устройство для измерения слабых магнитных полей на основе высокотемпературного сверхпроводящего ит-триевого купрата / А. И. Головашкин, Н. Д. Кузьмичев, В. В. Славкин // ЖТФ. -2006. - Т. 18, № 3. - С. 373-377.
15. Кузьмичев, Н . Д . Критическое состояние среды Джозефсона / Н. Д. Кузьмичев // Письма в ЖЭТФ. - 2001. - Т. 74, № 5. - С. 291-295.
Кузьмичев Николай Дмитриевич
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой общенаучных дисциплин, Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева (г. Саранск)
E-mail: [email protected]
Федченко Александр Андреевич аспирант, Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева (г. Саранск)
E-mail: [email protected]
Kuzmichev Nikolay Dmitrievich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of general scientific disciplines, Mordovia State University named after N. P. Ogaryov (Saransk)
Fedchenko Alexander Andreevich Postgraduate student, Mordovia State University named after N. P. Ogaryov (Saransk)
УДК 519.64; 538.945; 537.62 Кузьмичев, Н. Д.
Математическое моделирование процесса намагничивания цилиндрического сверхпроводника в модели Бина / Н. Д. Кузьмичев, А. А. Фед-ченко // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. - 2012. - № 1 (21). - С. 139-148.
