CC BY
20
УДК 536.48
СВЕРХПРОВОДЯЩАЯ ПЛАСТИНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
А. Ю. Цветков, Г. Ф. Жарков, В. Г. Жарков
Найдены самосогласованные решения системы нелинейных уравнений Гинзбурга-Ландау для сверхпроводящей пластины толщиной И в магнитном поле Н. Найдены критическое значение поля Н\(к), при котором безвихревое состояние в сверхпроводнике 11-рода становится неустойчивым и сверхпроводник скачком переходит в особое (также безвихревое) состояние с подавленным вблизи границы значением параметра порядка. При дальнейшем увеличении поля такое приграничное состояние фазовым переходом второго рода переходит (в поле Н^к)) в нормальное состояние. В сверхпроводнике 1-рода приграничное состояние не образуется, однако существует некоторое значение Б, при котором фазовый переход первого рода в нормальное состояние (характерный для сверхпроводников 1-рода) сменяется фазовым переходом второго рода.
Макроскопическая теория сверхпроводимости Гинзбурга-Ландау (Г-Л) [1] широко применяется для описания поведения сверхпроводников конечных размеров в магнитном поле. В частности, в работах [2 - 4], используя численные методы, были изучены самосогласованные решения системы нелинейных уравнений Г-Л для бесконечно длинного цилиндра радиусом Н, помещенного в аксиальное магнитное поле Н. Было найдено, что цилиндр, сделанный из сверхпроводника Н-рода и находящийся в безвихревом мейсснеровском состоянии, с ростом поля Н может скачком перейти в особое (также безвихревое) "краевое" е-состояние [2]. В этом состоянии параметр порядка хр сильно подавлен в некотором слое вблизи поверхности цилиндра, а магнитное поле В в
этом слое не экранируется и практически равно внешнему полю Я. В сверхпроводниках 1-рода такое е-состояние не образуется [3, 4].
В настоящей работе рассмотрен случай бесконечной плоскопараллельной пластины толщиной 27}, находящейся в параллельном ее поверхности поле Я. Нами показано, что в сверхпроводящей пластине Н-рода также могут возникать аналогичные безвихревые "приграничные" состояния, причем в сверхпроводниках 1-рода такие состояния отсутствуют.
Уравнения. В случае пластины систему уравнений Г-Л [1] можно записать в следующем безразмерном виде:
= 0. 0)
^ + «'(У- - ф3) + - ф>) - а'ф = 0. (2)
Вместо размерных потенциала А(ж'), поля В(х'), тока и координаты ж' здесь вве-
дены безразмерные величины а(ж),6(ж) и ¿(х), где
л о и и •( \ ■ I сФо /2 х> /о\
= м = = * = д (3)
(ж = ж'/А - безразмерная координата, —Д\ < ж < Д\, = -О/А, А = - длина
когерентности, к - параметр теории Г-Л, фо = /гс/2е - квант потока).
Мы будем рассматривать безвихревое состояние. В этом случае параметр порядка ф(ж) есть четная вещественная функция, а потенциал а(ж) (и ток у(х)) - нечетная функ ция координаты: а(ж) = — а(—ж), т.е. а(0) = 0. Поэтому граничные условия к уравнению (1) можно записать для интервала 0 < ж < И у.
da
а\х=а — 0, -
= Ад, (4)
x=Dx
где К = Я/Ял, ЯА = фо/(27гА2).
Что касается уравнения (2), то на внешней поверхности мы примем обычное граничное условие [1] ¿ф/¿х\х-г)х = 0. В центре сверхпроводника параметр порядка максимален, поэтому уравнению (2) отвечают граничные условия
¿■ф dx
-«•г
п
х=0
= 0. (5)
x=Dx
Магнитный момент (или намагниченность) пластины, отнесенный к единице объема, равен
К = I [ В~Н d = Bav~H
V ~ V J 4тг V ~ 4тг
, В„ = ± J B(r)dv = 1ф(ДЛ) = ^A(D),
где Bav - среднее значение поля в сверхпроводнике, S - площадь сечения пластины в плоскости (х,у). В нормировке (3), обозначив b = Bav/H\, М\ = М/Н\, находим:
4тгМА = b — h\, b = aA = a(Z>A), =
L>\ Л
(6)
Разность свободных энергий системы в сверхпроводящем и нормальном состояниях, АС? = — Сп, выражается через ее магнитный момент:
AG = - ^МЯ, ^о = ^ /
ф4 - 2ф2 +
Vdx'y
(7)
где Гл отвечает энергии конденсации сверхпроводника, Нс = ф0/(2тгл/2\£) - термодинамическое критическое поле. Используя (3), найдем из (7) нормированное выражение
9о
8тг M\h\ 1
^90=D;JdX
ф'-Ф + Мт
к1 \ ах
(8)
Выражения (6) - (8) используются при построении соответствующих величин.
Результаты расчетов. Самосогласованные решения уравнений (1), (2) для функций а(х) и ф(х) находились с помощью итерационной процедуры, описанной в [5]. На рис. 1 приведены (как функции от намагниченность (—47гМА), значения параметра порядка в центре (ф0) и на краю пластины {фэ) [все для толщин = 5; 2.5; 1 при значениях к = 0.5; 1; 2].
Прежде всего, обратим внимание на рис. 1(а), где сплошной кривой показана зависимость намагниченности сверхпроводника Н-рода (к = 2, = 5) от поля Лд = Н/Н\ (здесь /ц = Нх/Н\, /г2 = Н2/Н\). Начальный линейный участок этой кривой отвечает эффекту Мейсснера (т.е. выталкиванию поля из образца). При достижении полем кри тического значения (к) мейсснеровская ветвь решения становится неустойчивой относительно малых пространственных возмущений и при Лд > /гг решение перестраивается и переходит на новую устойчивую ветвь (нижняя часть сплошной кривой; пунктир от вечает скачку между ветвями). При дальнейшем увеличении поля намагниченность
плавно уменьшается, окончательно исчезая в поле ^(к), что отвечает фазовому переходу второго рода в нормальное состояние (0 = 0).
(■ф0) и на краю пластины (фо) пРи разных толщинах пенки (D\ — 5;2.5;1) и разных параметрах к = 0.5; 1; 2. Пунктир отвечает скачку из мейсснеровского состояния в приграничное состояние (в сверхпроводниках II-рода, к = 1; 2), или в нормальное состояние (в сверхпроводниках I-рода, к = 0.5). С уменьшением толщины Dx вместо скачка намагниченности на кривых к — 2 остается точка перегиба i (см. рис. 1(д)).
Наличие скачка в поле hi и плавный переход в n-состояние в поле h^ видны также на кривых фо(Ь\) и [рис. 1 (Ь, с), /с = 2]. Резкое уменьшение параметра поряд-
ка вблизи края пластины по сравнению с его значением в центре свидетельствует о переходе сверхпроводника в приграничное подавленное состояние.
На рис. 1(а, Ь, с) приведены также аналогичные кривые при к = 1 и к = 0.5. Видно, что с уменьшением к ширина области полей A h = h2 — hi, где существует приграничное состояние, уменьшается. В сверхпроводниках I-рода (/с = 0.5) переход из s- в n-состояние происходит скачком в поле hi(ic), без предварительного образования
приграничного состояния, характерного для сверхпроводников П-рода. Однако с уменьшением толщины пластины амплитуда скачка в сверхпроводниках 1-рода уменьшается [см. кривые к = 0.5 на рис. 1], а при некотором ~ 1 скачки исчезают и разрушение сверхпроводящего состояния магнитным полем идет постепенно, путем фазового перехода второго рода, также как в сверхпроводниках Н-рода (к = 2 и к = 1). Таким образом, при достаточно малой толщине пластины все сверхпроводники (независимо от значения к) фактически становятся сверхпроводниками П-рода [6].
Рис. 2. Зависимость от координаты х: параметра порядка ф, магнитного поля b и плотности тока j в пленках из сверхпроводника Н-рода (к = 2) для разных толщин (Dx = 5; 2.5; 1). Кривые 0 везде отвечают случаю hx — 0 (ф = 1), а кривые 4 - случаю hx = h7 (Ф = 0> см-рис. 1(а)). Кривые 1 построены в поле hx = hlt непосредственно предшествующему скачку в приграничное состояние {hx = 1.6052 для Dx = 5; hi = 1.7000 для Dx = 2.5). Приграничные состояния 2 возникают из состояний 1 при увеличении поля hx на 1 • Ю-4. Кривые 3 отвечают полю hx, при котором ф0 яз 0.2. Кривые 1' (при Dx = 1) отвечают максимуму намагниченности (см. кривую к = 2 на рис. l(g)), а кривые 2'- точке перегиба г.
Обратим также внимание, что в сверхпроводниках II-рода скачок намагниченности
(связанный с переходом образца в приграничное состояние) уменьшается с уменьшением
[см. кривые к = 2 на рис. 1(а, с1, g)] и при ~ 1 на кривой М\(к\) вместо скачка возникает точка перегиба г. Такую особенность поведения намагниченности тонкой пленки можно, вероятно, увидеть на эксперименте.
Вышесказанное дополнительно иллюстрируют рис. 2 и 3, где приведены решения для ф(х), Ь(х) и ](х) как функции координаты (для — 5; 2.5; 1ик = 2; 0.5), найденные при разных значениях поля Видно, что в сверхпроводнике И-рода (к = 2, рис. 2) в поле /ц происходит скачок из мейсснеровского в приграничное состояние (сравните кривые 1 и 2 на рис. 2(а, (1)). С уменьшением толщины пластины скачок становится менее заметным (рис. 2(Ь, е)) и сменяется плавным фазовым переходом второго рода (рис. 2(с, {)).
В сверхпроводнике 1-рода (/с = 0.5, рис. 3) в поле /гг происходит скачок из мейсснеровского в нормальное состояние (сравните кривые 1 и 4 на рис. 3(а, с!)). С уменьшением толщины пластины скачок уменьшается (рис. 3(Ь, е)) и сменяется фазовым переходом второго рода (рис. 3(с, £)).
На рис. 4 показаны как функции толщины Яд: (а) - значение поля Л.1 (к)//с, (Ь) поле к2(к)/к2 и (с) - разность полей А/г — Ь2[к) — /^(/с), найденные для различных значений параметра к (указаны на рисунке). Из рис. 4(Ь) видно, что для сверхпроводников П-рода (при /с > 1 и > 1) значение к2/к2 = 1, в согласии с линеаризованной теорией [7, 8]. Однако, для сверхпроводников 1-рода (при к < 1) результаты, следующие из самосогласованного подхода и линеаризованного приближения, существенно различаются (см. также [9]).
Сделаем здесь несколько замечаний.
Обычный механизм разрушения сверхпроводящего состояния в возрастающем поле Н состоит в том, что при достижении критического значения Н = Яс1 [10], вблизи поверхности массивного сверхпроводника П-рода образуются локализованные квантованные вихри, которые постепенно оттесняются в глубь сверхпроводника, образуя там все более плотную вихревую решетку. Когда поле достигает значения Н = Нс2 = <^о/(27г£2), нормальные сердцевины вихрей перекрываются и происходит переход в нормальное состояние [10].
В настоящей работе показано, что с ростом Н магнитное поле может начать проникать в сверхпроводящую пластину путем образования вблизи поверхности сверхпроводника слоя конечной толщины, в котором параметр порядка сильно подавлен, а поле В(х) практически не отличается от Н. Этот приграничный слой начинает образовываться в
к=0.5 0=2.5
к=0.5
аор^—--дд---0.1
-0.2 V
-0.3 8 ^
О 1 2 3 4 X 0.0 1.0 2.0 х 0.0 0.4 0.8 х
Рис. 3. Аналогичен рис. 2, но для сверхпроводника 1-рода (к = 0.5). Кривые V отвечают максимуму намагниченности (см. рис. 1), кривые 1 - полю = 0.5378 для = 5; /I] —
0.5240 для Бх = 2.5). В случае = 1 кривой 3 отвечает = 0.87 (при этом ф0 и 0.2). Видно, что скачок первого рода из в-состояния 1 в п-состояние 4 исчезает при уменьшении толщины и сменяется фазовым переходом второго рода, при этом параметр порядка плавно убывает с ростом поля, начиная от состояния 0 (ф = 1) и кончая состоянием 4 (ф = 0) (см. кривые с £>а = 1).
некотором поле Н\(к) (при условии, что внутри сверхпроводника И-рода вихрей нет), причем с ростом поля ширина слоя возрастает, а при Н — Н2(к) сверхпроводимость полностью подавляется и металл переходит в нормальное состояние. В этом отношении сверхпроводящая пластина не отличается от сверхпроводящего цилиндра, где также возможно образование аналогичного приграничного слоя [2, 3].
Таким образом, в образцах достаточно малых размеров (в случае сверхпроводников Н-рода) могут существовать два конкурирующие механизма разрушения сверхпроводи мости магнитным полем: путем образования квантованных вихрей внутри пластины, либо путем образования плоского слоя с подавленным значением параметра порядка.
h,/k ЬД2
Рис. 4. Значения: (а) - поля кх/к, (Ь) - поля к2/к2 и (с) - разности полей Ак = /г2 — к^, в зависимости от толщины пластины Их, при разных значениях к, (указаны на рисунке).
Заметим, впрочем, что в настоящей работе не сравнивались свободные энергии конку рирующих состояний (пластина с вихрями и без вихрей). Такие вычисления требуют решения уравнений в частных производных и в данной работе не проводились.
Мы признательны В. Л. Гинзбургу за интерес к работе, обсуждение и полезные замечания.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 02-02-16285.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Г и н з б у р г В. Л., Л а н д а у Л. Д. ЖЭТФ, 10, 1064 (1950).
[2] Z h а г к о v G. F., Z h а г к о v V. G., and Z v e t к о v A. Yu. Phys. Rev., B, 12293 (2000).
[3] Ж a p к о в Г. Ф., Жарков В. Г., Цветков А. Ю. Краткие сообщения по физике ФИАН, N И, 35 (2001).
[4] Ж а р к о в Г. Ф., Жарков В. Г., Цветков А. Ю. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 12, 31 (2001).
[5] Z h а г к о v G. F. and Z h а г к о v V. G. Physica Scripta, 57, 664 (1998).
[6] Г и н з б у р г В. Л. ЖЭТФ, 34, 113 (1958).
[7] Saint-James D. and de Gennes P. Phys. Lett., 7, 306 (1963).
[8] S a i n t - J a m e s D. Phys. Lett., 15, 13 (1965).
[9] Z h а г к о v G. F. cond-mat/0109451 (2001).
[10] Абрикосов А. А. Основы теории металлов, M., Наука, 1987.
Поступила в редакцию 4 февраля 2002 г.
