Первые интегралы уравнений Гинзбурга-Ландау для сверхпроводников со смешанным параметром порядка Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ ДЛЯ СВЕРХПРОВОДНИКОВ СО СМЕШАННЫМ ПАРАМЕТРОМ

ПОРЯДКА.

К.И. Кугель (1), В.В. Погосов ([email protected]) (2), А.Л. Рахманов (1). (1) Институт теоретической и прикладной электродинамики РАН, (2) Московский физико-технический институт.

В работе найдены первые интегралы уравнений Гинзбурга-Ландау для безвихревого состояния сверхпроводников, обладающих различными смешанными симметриями параметра порядка. Получены общие граничные условия для параметра порядка на идеальной границе сверхпроводника с вакуумом. С помощью первых интегралов и граничных условий исследованы критерии стабильности безвихревого состояния в сверхпроводнике во внешнем магнитном поле. Показано, что поле н*, при котором разрушается безвихревое состояние, больше или равно термодинамическому критическому полю нс для всех рассмотренных типов смешанных симметрий.

1. Введение

В настоящее время активно исследуется симметрия параметра порядка (1111) в высокотемпературных сверхпроводниках [1,2]. Известно, что симметрия 1111 зависит от симметрии кристаллической решетки сверхпроводника, а именно, сверхпроводящие состояния классифицируются согласно неприводимым представлениям группы точечной симметрии решетки [3]. Многие ВТСП имеют тетрагональную кристаллическую структуру. Группа точечной симметрии этой решетки Д^ содержит

четыре одномерных неприводимых представления, которые обозначаются как ёх2 _у2 (или ё ), (х 2 _ у 2) (или ёху ), ^ и 8ху, а также - одно двумерное .

Ряд экспериментов свидетельствует в пользу того, что 1111 в ВТСП имеет ё -симметрию, но в то же время некоторые результаты могут быть объяснены только существованием дополнительной по отношению к ё - компоненты 1111 (см. обзоры [4,5]). В работах [6,7] было показано, что такая компонента всегда появляется при наличии слабого орторомбического искажения тетрагональной кристаллической решетки. Кроме того, любая неоднородность в ё сверхпроводнике (например, поверхность) является источником дополнительной компоненты. До сих пор до конца невыясненным остается вопрос, какова симметрия добавочной компоненты. В разных статьях рассматриваются возможности реализации в ВТСП различных вариантов симметрии ПП. В соответствии с этим смешанные состояния обозначаются ё + й^у,

* + ё и ё + S ху .

В данной работе найдены первые интегралы уравнений Гинзбурга-Ландау (ГЛ) для всех вышеперечисленных состояний со смешанной симметрией. Также из общих, по сути, симметрийных соображений получены граничные условия для ПП на идеальной границе сверхпроводника с вакуумом. В качестве примера применения первых интегралов и граничных условий к решению конкретных задач, исследованы критерии стабильности безвихревого состояния в сверхпроводнике при увеличении внешнего магнитного поля.

Согласно [8,9], вихри начинают проникать в изотропный сверхпроводник второго рода с идеальной поверхностью, когда внешнее магнитное поле Не близко к термодинамическому критическому полю Нс (барьер Бина-Ливингстона). В экспериментах обычно наблюдается сильное подавление барьера Бина-Ливингстона в ВТСП [10]. Поле проникновения Н5 оказывается намного меньше, чем Нс и по

порядку величины совпадает с первым критическим полем Нс1 . Представляет интерес

нахождение поля проникновения вихря в сверхпроводник с нетривиальной симметрией 1111, что и было сделано с помощью первых интегралов уравнений ГЛ и граничных условий для 1111. В работе показано, что для идеальной поверхности во всех случаях поле Н5 оказывается большим или равным термодинамическому критическому полю

Нс . Таким образом, нетривиальная симметрия 11 не может являться причиной

подавления барьера Бина-Ливингстона в ВТС1 .

2. Первые интегралы уравнений ГЛ

Рассмотрим сверхпроводник в безвихревом состоянии, к которому приложено внешнее магнитное поле Не, параллельное поверхности. В этом случае магнитное поле, сверхпроводящий ток и плотность сверхпроводящих электронов меняются только вдоль направления нормали к поверхности. Однако задача не является одномерной, так как магнитное поле может вращаться при затухании вглубь анизотропного сверхпроводника, что существенно усложняет решение. В работе рассматривается наиболее общий случай, когда углы между вектором Не и кристаллографическими осями произвольны.

Уравнения ГЛ могут быть получены варьированием функционала свободной энергии по 1111 и векторному потенциалу [11]. Подобным образом можно получить и граничные условия для 11 на идеальной поверхности сверхпроводника с вакуумом, если учесть дополнительную свободную энергию, связанную с поверхностью. Лри таком рассмотрении функционал свободной энергии будет состоять из двух слагаемых, представляющих собой объемный и поверхностный вклады [11-13]: Ф = | ЕёУ + | (1)

Здесь ¥- плотность свободной энергии в объеме сверхпроводника, а / - плотность свободной энергии на его поверхности.

Ловерхностные и объемные части свободной энергии зависят от симметрии сверхпроводящего состояния, поэтому и вид граничных условий различается для разных типов смешанных симметрий. В [11] аналогичный метод был использован для получения граничных условий в случаях однокомпонентного анизотропного 11 и двухкомпонентного 11 , преобразующегося согласно двумерному неприводимому представлению .

Рассмотрим сначала состояние d + dxy и на этом примере опишем способ получения первых интегралов уравнений ГЛ. В этом случае 11 имеет две изменяющиеся в пространстве комплексные компоненты Пк, (к = 1, 2), а выражение

для плотности свободной энергии может быть представлено в виде [14]:

' =1

3

а1 М2 М4 + Х:гт\дМ

\

=12ш1

к=1

Н 2

++

/

МЛ

+ (дп )* (¿2^2) - (дП )* (д\П2 ) + к.е) + У П ^ + 8 (шПГ + с-с) ,

8п \2\ |2

(2)

Здесь ху (/=1,2,3) кристаллографические оси, Х3

ось четвертого порядка,

д ,■ = -й у д

д

2еА/ ( А - векторный потенциал), а к, в к, к, 8, у - вещественные

коэффициенты, а ту (/=1,2) - тензоры масс для обеих компонент 1111 в системе координат ху . Уравнения ГЛ получаются из условия равенства нулю объемного вклада в вариацию свободной энергии (1) и имеют вид:

акПк + РкПк \Пк |2 +г|пз - к\2Пк + 28 Пз2- кПк + 1~1тд )пк +

у=12тк

л+1

+ 2е IП к п3-к (-1)^ Н3 = 0, к = 1,2.

УхУх А 4п

= 1 = 11

к=1,2./=1

еЬ

т,

П д Пк п д Пк* Лк^--Лк'

д

х,

д

х,

2|„ |2 Ау

4е 2 П

х

т

к

+

(3)

(4)

+ 4к Ух (х 31тп1П2),

где ¡- мнимая единица, Н 3 - компонента магнитного поля, параллельная оси четвертого порядка Х3, а ху - единичные векторы в направлении осей ху. Как было показано в

[11, 13], дополнительная свободная энергия, связанная с поверхностью может быть представлена в виде:

/

М^! |2 , |2

+

|%| + Ь(п)(П1%+ПП2).

(5)

22

Здесь п - нормаль к поверхности сверхпроводника. Функции Ь^п), ¿2(п), Ь(п) зависят от углов между направлением нормали к поверхности и кристаллографическими осями и должны быть инвариантны относительно преобразований из группы Б4 . Граничные

условия получаются из условия равенства нулю поверхностных вкладов в вариацию

*

свободной энергии (1) по 1111. Вариация от поверхностной энергии по П1 равна:

§ ( ¿1 (п)П1 + Ь(п)П2) dS .

Поверхностный интеграл, возникающий при варьировании объемной части свободной

*

энергии по П1, можно представить в виде:

§

п

¡к

)

2т

1 дуП1 + ¡кП ( П2^1^2 - щд 2П2)

с18

ху=1 -"V

Приравнивая нулю сумму этих двух интегралов и производя аналогичные операции со вторым 11 , получаем граничные условия

х

х

2д]Пк + (-1)к+1( ^дПз^ -П^Пз-к) =

V-1 2mi „ ч

] -1 7 (6)

Ьк(п)п , Ь(п)_

Пк к, к -1,2

1 1

Для упрощения дальнейших вычислений произведем калибровочное преобразование, в результате которого фаза одного из ПП, например П1, будет постоянна во всем образце. Нам удобно выбрать эту фазу равной нулю. Заметим, что такое преобразование возможно в любом односвязном сверхпроводнике, когда в нем отсутствуют вихри. Введем систему координат с осью 2, параллельной внешнему полю, осями х и у направленными перпендикулярно и параллельно поверхности сверхпроводника соответственно. Уравнения Гинзбурга-Ландау для обоих ПП являются комплексными и их можно представить в виде четырех уравнений для вещественных величин

з " '2 ' АтП V 2 АV ~ '

а/П/ + Р/Л/ - кхщ + к/Пф/ - 2еЬц1ф1 + 2е П/ 2 / - 2еПкПз-[(А2 Щ -

V-1 т} V=1 т}

А1 +7П/Пз-/ + 28ГЦЩ-1 00*2^ -0; / = 1,2 (7)

- к/ф/ П/ - 2к/П/ ф/ + 2

]=1

тт V 7 у

+ ейщ 2

]-1

/

А]П]

т ] V 7 у

(8)

- 2(-1)7еЙкПз-/ ( А2 Щ - А1 П2 ) оозф - 2(-1)8П/Пз-/ - 0,

здесь ф/ - фазы ПП, причем в силу выбранной калибровки ^=0, "штрих" означает дифференцирование по х, а

л«]■2

к/-±г2

/ = 1,2.

2 ^ /

2 ]-1т]

Преобразуя уравнение (4), получаем, что компоненты векторного потенциала

А] (] = 1,2,з) удовлетворяют следующим уравнениям:

- А] + П]( У А) - 8л: вНф2 -16л 2

]

1 -1,2

/ Л

2 2 А ]

]

т

+16~( П1П2 81П ф2 ) Р], (9)

где Р] - (П2,-П1,0) . Умножим (8) на П1 при / = 1 и на П2 при / = 2. Сумма двух получившихся уравнений может быть представлена в виде /\ - 0, где

3 П]П2 2

11 - 2-^ГП22 ]-1 2т2

/ . \ дт2 - 2*А,

д X] к ]

3 П]П2 2 2е ,

2 ~2тг п т А ].

]-1 2т ]

(10)

Таким образом, /^ является первым интегралом уравнений ГЛ.

Для того, чтобы получить следующий первый интеграл, нам понадобится выражение

- (н2

8п \

8п

2А1 А1 + 2 А2 А2 + 2 А3 А3 -

(ё1у А)2

(11).

Это выражение можно преобразовать путем подстановки А,- из (9). Умножим (7) на

П\ при I = 1 и на П2 при I = 2, а (8) на ( ~П2^2 ) при I = 2. Складывая эти уравнения, а также учитывая (11), можно найти выражение для следующего первого интеграла 12 :

' 2 =1

I=1,2

а, М 2 |4 -I

3 ^ Й2 д п, „ 2 2 а2 ^ --^ - 2в2щ ^г

-=1

2т- д х]

т

+

//

(12)

+

гП12 |П212 + ¿(П?П22 + П1П2) - н

2

8п

Метод получения первых интегралов и граничных условий для 5 + ё, ё +

симметрий совпадает со случаем ё + ёХу. Для каждого из перечисленных состояний

ниже приведены выражения для первых интегралов и граничных условий. а) 5 + ё.

Разложение свободной энергии отличается от случая ё + ёХу видом

перекрестных градиентных слагаемых (то есть множителей в скобках при к в выражении для свободной энергии (2)), которые имеют вид [14]:

~( ( )* (д|2 ) - дт)* (д2П2 ) + к.с.

Граничные условия:

1

п

- 0 к -=1 2т-

Первые интегралы:

3 п Й2

11=1 пА ~ -=12т-

д-Пк + к( П1д1П3-к - П2д2П3-к ) = Пк + 7П3-к , к = 1,2.

П22

Г _ Л

д 92 - 2еА.

д х. Й -

]

V- п-п2 2 2е .

-I.- П1 — А-1 2т1 й

+

+ 2 ( П2(¿21 -П1*д2П2) -Щ^д^-Пх*д1П2))

(13)

(14)

12 = I

I=1,2

а,М2 + в14 -I 2 -=1

й2 д т

2т, д х-

. А2

- 2е2 2 А-

+ 4кв 2 ((2 + к.с) + Й 2 ~

д д |2 д д |2

I |2| |2 е 2 *2 12 2

Г о *2

д Х1 д Х1 д Х2 д Х2

н

+ к.с.

т

+

+

22

8п

б) Л + ^.

Особенностью этого состояния является отсутствие перекрестных градиентных слагаемых в разложении свободной энергии [14]. Таким образом, этот случай сводится к случаю Л + Лху или ^ + Л при условии равенства нулю параметра к .

3. Поверхностный барьер

Как известно, вихри Абрикосова взаимодействуют с поверхностью и в результате этого взаимодействия возникает барьер Бина-Ливингстона, препятствующий свободному входу и выходу вихрей из образца [8]. Так, при увеличении внешнего поля от нуля, вихри начинают проникать в сверхпроводник, когда внешнее поле равно определенному значению Н5, отличающемуся от первого критического поля Ис\. Де Жен получил, что в рамках теории ГЛ поле проникновения вихрей в сверхпроводник с идеальной поверхностью должно быть равно термодинамическому критическому полю Нс [9] при значениях параметра ГЛ к >> 1.

В данной работе на основе уравнений ГЛ анализируются критерии стабильности безвихревого состояния во внешнем магнитном поле. Мы рассматриваем случаи всех нетривиальных симметрий ПП, для которых ранее нами были найдены первые интегралы и граничные условия. Сначала предлагаемый метод иллюстрируется на примере обычного изотропного сверхпроводника. Подобный результат был получен де Женом для сверхпроводников с параметром к >> 1 [9]. При этом считалось, что 1111 подчиняется стандартному в теории ГЛ граничному условию П - 0. В данной статье несколько модифицируется метод де Жена, в том числе учитывается более общий вид граничного условия, а также рассматриваются произвольные значения к .

3.1. Изотропное состояние

Рассмотрим полубесконечный сверхпроводник, помещенный во внешнее магнитное поле Не, параллельное его поверхности. Для удобства перейдем к безразмерным переменным, в которых расстояния нормированы на лондоновскую глубину проникновения магнитного поля, ПП на свое равновесное значение, а

магнитное поле на Нс / л/2. В этих переменных выражение для первого интеграла и граничное условие для ПП могут быть представлены в виде: г 14 2 1 /2 22,2

/2 -~П -П--2П + а2П2 - Н2 (16)

2 к

П'(0) -П(0)/ /, (17)

где к -параметр Гинзбурга-Ландау, который равен отношению лондоновской длины проникновения магнитного поля к длине когерентности, а и Н- безразмерные векторный потенциал и магнитное поле, а / носит название "длина экстраполяции". На бесконечном расстоянии от поверхности сверхпроводящие токи и магнитное поле равны нулю, поэтому выполняются граничные условия П(^) -1, а(<*>) - 0. Из этих условий определяется значение первого интеграла /2 - -1/2.

Используя (16) и (17), можно получить следующее уравнение, связывающее значения внешнего поля Ке и 1111 на границе П (0):

К2 -2 = 2П(0)4-П(0)2-|у + а(0)2п(0)2-П2(0). (18)

2 2 к2[2

По определению, 1111 может меняться лишь в пределах от нуля до своего равновесного

значения 1. Таким образом, наибольшее внешнее поле , которое не разрушает

безвихревое состояние (однородное в плоскости у£), может быть определено как

максимальное поле Ке, удовлетворяющее (18) при условии, что П(0) меняется от нуля

до единицы. Из (18) непосредственно следует, что внешнее поле равно 1/л/2 когда П(0)=0. Следовательно, мы имеем к5 > 1/-/2 или Н8 > Кс .

Рассмотрим случай к >> 1, который обычно реализуется в ВТСП. Уравнение ГЛ для 11 имеет вид

—2 „ з 2

-к ц + п — П + а П = 0. (19)

—2 »

Так как к >> 1, то можно пренебречь —к Ц в (19) и подставить выражение для 2

а (0) из этого уравнения в первый интеграл (16). В этом случае зависимость 1111 П(0) от внешнего поля определяется следующим соотношением:

К2 — К2 = — 2п(0)4-т2-^ . (20)

2 /2к2

Из (20) следует, что максимальное значение поля Не равно Нс, и оно достигается при 11 равном нулю на поверхности.

Таким образом, в изотропном случае безвихревое состояние в изотропном сверхпроводнике с идеальной поверхностью может существовать, если внешнее поле Не меньше, чем определенное значение Н5, которое больше либо равно

термодинамическому критическому полю, а при к >> 1 Н5 = Нс . Удобный подход может быть использован и в случаях более сложных симметрий 11. Знание первых интегралов существенно облегчает решение.

3.2. Двухкомпонентный ПП

Рассмотрим случай ё + ёуу симметрии 11. На бесконечном расстоянии от

поверхности сверхпроводящие токи и магнитное поле равны нулю, откуда можно найти значения первых интегралов (14) и (15) Н 2

11 = 0, /2 =— . (21) 8п

Используя выражение (12) для первого интеграла / 2 и учитывая (21), можно

получить уравнение, связывающее значение внешнего магнитного поля со значениями / /

Щ, П2, П1 и П2 на поверхности

/ о \

2 ВД4(0) + вп4(0) — ЗД/2(0) + 2е2П?(0)2 А (0) — Н

I=1,2

2 ]=1 ^^^

2

'2 Н 2

+ (0) + 7П12(0)П2(0) + 25 П12(0)П^(0)008 2^(0) = —

8п

8п

(22)

Связь между | (0), | (0), 92 (0) и 92 (0) определяется граничными условиями (6) и значением первого интеграла 11 (21). Связь между |^(0) и |2(0), вообще говоря, можно установить, решая систему уравнений ГЛ (7)-(9). Однако, аналогично тому, как

это делалось в изотропном случае, при к >> 1 можно пренебречь слагаемым к|1 в уравнении (3) при I = 1. Тогда из (7) следует, что %(0)=0 если |(0) = 0 . В этом случае мы имеем Не = Нс из (22). Таким образом, так как при некотором значении 1111 I на границе внешнее поле равно Нс, а поле Н5 определяется как максимальное внешнее поле, выполняется следующее соотношение Н5 > Нс .

Аналогично случаю ё + ёху симметрии, можно определить, что Н5 > Нс и для 5 + ё, ё + 5Ху симметрий.

4. Заключение

В работе найдены первые интегралы уравнений ГЛ практически для всех возможных сверхпроводящих состояний со смешанной симметрией параметра порядка, содержащих ё-компоненту. Были получены общие граничные условия для параметра порядка на идеальной границе сверхпроводника с вакуумом. В качестве примера первые интегралы и граничные условия применены для анализа критериев стабильности безвихревого состояния во внешнем магнитном поле. Было показано, что для всех рассмотренных состояний со смешанной симметрией поле проникновения вихря Н5 не меньше термодинамического критического поля Нс. Отсюда можно

сделать вывод, что нетривиальная симметрия параметра порядка не может являться причиной подавления барьера Бина- Ливингстона в ВТС1 .

Работа выполнена при финансовой поддержке Российской научно-технической программы "Актуальные проблемы физики конденсированного состояния", направление "Сверхпроводимость", а также программы ИНТАС-РФФИ, грант № ГО.-97-1394.

Литература

1. D.A. Wollmann, D.J. van Harlingen et al., Phys. Rev. Lett. 71, 2134 (1993).

2. J.RKitrtley, M.B. Ketchen and K.G. Stawiasz, Appl. Phys. Lett. 66, 1138 (1995).

3. J.F. Annett, Adv. Phys. 39, 83 (1990).

4. Г.Г. Сергеева, Ю.П. Степановский, А.В. Чечкин, ФНТ 24, 1029 (1998).

5. Ю.А. Изюмов, УФН 169, 225 (1999).

6. Heeb R. et al., Phys. Rev. B 54, 9385 (1996).

7. Г.Е. Воловик, Письма в ЖЭТФ 58, 457 (1993).

8. C.P. Bean and D.J. Livingston, Phys. Rev. Lett. 12, 14 (1964).

9. P.G. de Gennes, Solid State Commun. 3, 127, (1965).

10. D.-X. Chen, R.B. Goldfarb, R.W. Cross and A. Sunches, Phys. Rev. B 48, 6426 (1993).

11. В.П. Минеев и К.В. Самохин, Введение в теорию необычных сверхпроводников, М., (1996).

12. D.B. Bailey, M. Sigrist and R.B. Laughlin, Phys. Rev. B 55, 15239 (1997).

13. D.F. Agterberg, J. Phys. Cond. Matter 9, 7435 (1997).

14. M. Zapotocky, D. Maslov and P.M. Goldbart, Phys.Rev. B 55, 6599 (1997).