CC BY
9
/. Л. ОБОЗНЕНКО
Р03С1ЯННЯ ПЛ0СК01 ЗВУКОВОГ ХВИЛ1 НА НЕСК1НЧЕННОМУ КРУГОВОМУ ЦИЛ1НДР1 ПРИ ЗМ1ШАНИХ ГРАНИЧНИХ УМОВАХ НА ИОГО ПОВЕРХН1
Нехай плоска звукова хвиля, яка поширюеться в напрял« позитивно! осп х, падав'перпендикулярно до осп нескшченного кругового цилшдра рад!уса г = а. Частину поверхш цилшдра, обме-жену двома тв1рними, вважатимемо жорсткою, а останню частину — м'якою. Питания зводиться до розв'язання задач! розаяния плоско? звуково1 хвши на кол! при змшаних крайових умовах на його поверхш.
При падшш плоско! хвил! на нескшченний цилшдр в области зовшшиш вЦносно кола рад!уса а, а < г < + виникае така розаяна хвиля, що на м'яшй поверхш цилшдра сума потенщгшв падаючо! Фп (а, 6) та розаяно! Фр (а, 0) хвиль повинна дор1вню-вати нулю, а на жорстшй частиш цилшдра сума нормальних по-х1дних дих хвиль повинна перетворитися до нуля. Таш граничш умови можна зобразити у вигляд1
Ф (а, в) = — Фп(а, в), Ь<в<с;
(1)
дФ
_р
дг
дФ |
с < 0 < й, е < 0 < й,
г дг I г=а де г, б — полярш координати;
Ь — а — т; с = а + т; й — а + я; е = а — я;
а — кут повороту цилшдра вдаосно напряму поширення плоскоТ хвил! (рис. 1).
Через те що на поверхш цилшдра задан! граничш умови (1), розияна хвиля матиме р!зну форму при падшш плоско! хеши на р1зш частини поверхш цилшдра. Тому плоска хвиля не змшюе свого напряму падшня, а граничш умови (1) змшюються ¡з зм1ною кута а, тобто цилшдр може повертатися на кут а вщносно ос! х.
При в1дсутноеп цилшдра потенщал плоскоТ звуковсн хвил» можна зобразити у вигляд1
Фп(г, 6) = Ве1кгсо&*, (2)
де В — деяка константа; , со
я —--хвильове число.
с
У припущенш, що функщя Фп (г, 0), яка вщтворюе паралельш хвши, не симетрична вцносно 6, зобразимо 11 у вигляд1 суми ци-лшдричних хвиль, розкладаючи Фп(/", б) у комплексний ряд Фур'е,
ФПС. 6) = В £
<?=—оо
(3)
де 3ч (кг) — функщя Бесселя 17-го порядку.
Наша задача полягае у зна-ходженш наближеного розв'яз-ку хвильового р1вняння гармо-шчних коливань
АФ +й2Ф =0, (4)
р р 4 '
яке задовольняе граничш умови (1) 5 додатков1 потреби, щоб функщя була поширювальною хвилею.
Очевидно, що хвиля, яка поширюеться, може бути зображена у вигляд1 суми, яка складаеться з функцш Ганкеля першого роду
Фр(^.9)= X ЛтНт(кг)е^, (5)
т=—со
де Ат — дшсш або комплексш коефщ1енти; Нт (кг)— функщя Ганкеля перщого роду.
Для визначення коефщ1ент1в Ат використаемо вар1ацшний метод наближеного розв'язання змшаноК задач}, розвинуто1 в [1, 2, 3, 5] для випадку задач! випромшювання. Наближений розв'язок хвильового р1вняння (4) шукатимемо у вигляд1 узагаль-неного полшома порядку N
N
%АГ' е) = ^ А°тНт(кг)е**, N = 0, 1,2,..., (6>
. т=-ЛГ
I
де А , т = О, ±1, ±2,..., ±Л/— таш коефщденти, що задо-вольняються граничш умови (1), якщо мшм1зуеться функщонал
(7)
А±1,.. А±ы)^к* ^ | Фп (а, 6) + Фрдг(а,6) +
ь
а \
дФ
п
~дГ
дФ
дг
¿го
дФ дФ
_П _______рЛ*
дг
дг
Необхщшсть введения в функщонал константа ц. = /г2 пояснюе-ться у [2, 3].
Розв'язуючи задачу под1бно до [1, 3, 5], приходимо до системи р1внянь
2 А°тСт, = Ы \-hKWa) + У.Щ^Щ)}, V = о, ± 1, ± 2,. .± N.
т=-Ы
(В)
Тут введен! таш позначення:
С„ = 2&{г\Нч(ка)\' + (п-т\Н'у(ка)\*\, V = О, ±1, ±2,...,'±ЛГ;
(9)
= Ж [П1П (ка) Н^ка) - Н'т (ка) Н^ка)] • х
тф\;
X е^т—ч)а\
оо
Í'VJV (ка) х + ^ ¿"^ (ка) • хе1''^"
2кВ
<7=—ОО —ЦФЧ
(10)
2кВ
л
¿V; (ко) (я — т) — У ¿^ (/га) X
<7=—оо —
эт (<7 4- V) г ,,„,„>„
X___" --'-____
Я + V
Коеф1щенти Сту визначаються зпдно з [5], а коефвденти [ 'Vv е вщповщно коеф1щентами Фур'е («зр1заних» функцш) Фп(а, 6) дФ
та при г — а. Сшд зауважити, що
с
Сту = J_v (ка) = (- (ка)-, (ка) = (- 1 уНу (ка).
Покладаючи В — 1, середньоквадратичну помилку Ь2М наближен-ня граничних умов (1) можна зобразити подобно до [5] у вигляд1
Ч, 1
N
"" * + оз2а-1 ^ А^т(ка) +
ш=-N
+ ЧтН'тЩ (И)
де коефщенти Рт та ут обчислюються за виразом (10).
Розглянемо деяк] окрем1 випадки граничних умов (1). Покладемо т = 0, що вщповщае жорсткому цшпндру. В цьому випадку коеф1-шенти системи (8) набирають вигляду
= 0; = - 2кВМт (ка); Стч = 0; Стт = | Н'т (ка)\\
{ розв'язок системи (8) е
^~Ыт1Г^а) ; = 1)тЛ- т = ± 11 ± 2'""±
(12)
що в1дпов1дае вщомому випадку розаяння плоско! хвши на жорсткому цилшдр1 [4].
Якщо т — л', що вщпов1дае м'якому цилшдру, коефщенти системи (8) мають вигляд
Ут = Р т = -2кВМт(кау, = 0;
Стт^2к>п\Нт(ка)\\
а розв'язок системи
' =--(-1УЧ,. * - 0. ±1, ±2,...,±ЛЛ
(13)
Це е задача про розаяння плоско1 хвил1 на м'якому цилшдрь Для обох цих випадюв граничних умов вираз середньоквадратичноК помилки наближення задач1 розаяння зб1гаеться з виразом помилки для задач1 випромшювання [5].
При численному розв'язку задач1 розаяння необхщно, задаючи вщповщну величину середньоквадратично1 помилки (11), для да-
9—323 129
ного ка та т обчислити коефшенти Фур'е (10) 1 коеф1щенти СтЧ (9) при р1зних значениях числа N 1 кута повороту а. Пот1м необхщно розв'язати систему ./V р1внянь (8) \ обчислити помилку (11). Якщо для даного N помилка наближення перевищуе задану перед цим величину, то необх1дно збктынувати число члешв узагальненого полшома (6) I розв'язати систему N п (п = 1,2,...) р1внянь (8), поки не одержимо задано! величини середньоквадратично! помилки. ГПсля цього розв'язок системи (8) шдставляеться у вираз (6) для потенщалу розаяно! хвшп. В тих випадках, коли шукаеться наближений розв'язок задач 1 розс1яння для середшх 1 високих частот (&а > 1), число члешв розкладу полшома (6) перевищуе N > 4.
При цьому проведемо ортогонал1защю системи функцш
¥т(г, в) --= Нт(кг)е»», т = 0, ± 1, ± 2..... ± N. (14)
на основ1 яко! будуеться наближений розв'язок потеншалу роз-аяння (6). В цьому випадку розв'язання лшшних р1внянь (8) значно спрощуеться 1 не потребуе застосування складно! обчис-лювально! електронно! техшки [5].
Побудуемо лшйну комбшащю функцш Чт{г, б), т — 0, ±1, ¿2.....± N у вигляд1
т—1
ит<Г' е> - ^„(г, е) + £ ^.(г. е)> т > 0- (15>
5=0
т+1 5=0
де ит(г, 6) — ортогональш функцп;
%т5 — комплексш чи д1йсн! коефЫенти, яш знаходяться ¡3 умови
( 0 при т Ф V,
Ш, С/„) = (16)
т У |||£/т||*==Атприт = У
для вах т, V =• 0, ±1, ±2,..., ±ЛЛ Тут кругл! дужки озна-чають скалярний добуток функцш II т (г, б) та иу(г, 6) у тш же форм1, що 1 для функцш Чт(г, 9) та xVv(г, б) в [5]. 1з виразу (16) одержуемо
т— 1
К = К = (»7)
5—0
де
к.
К
Г«-1
г=О 5+1
г= О
, т> О,
, ш < О,
а коефщенти Стл1 обчислюються за допомогою формули (9).
Розв'язуючи задачу гощбно до [5], приходимо до виразу для коефщен'пв Ат0
4
то Ь
,т = 0, ±1, ±2,...,
Тут
т—1
Л = а 11,т>0;
'т я 1 и вт '
5=0
т+1_
г) а + у А, Т1, т < 0;
'т т 1 — як ч' '
5=0
(19)
(20)
= + т = 0, ±1, ±2,..., ±N.
(21)
Середньоквадратична помилка наближення для ортогонально'; системи функцш мае вигляд
N
Л2
Я я
Л + Т—5'п2т соз2а
1
У
ю2
л
(22)
т=—N
а наближене значения потенщалу розаяння
*р»<г. е)= I Атйит{г, е),
т=~АГ
де Ут(г, в) даеться формулою (15).
(23)
Л1ТЕРАТУРА
1. КарновскийМ. И., ЛозовикВ. Г. Акустическое поле бесконечного кругового цилиндрического излучателя при смешанных граничных условиях на его поверхности.— Акуст. ж., 1964, 10, 3, 313—317.
2. КарновскийМ. И., ЛозовикВ. Г. Акустическое поле
9*
131
внешности сферы при смешанных граничных условиях на сфере.— Акуст. ж., 1965, 11, 2, 176—180.
3. ОбозненкоИ. Л. О скалярном поле цилиндрического излучателя при смешанных граничных условиях на его поверхности.— Сборник трудов Киевского политехнического института. Серия радиоэлектроники, в. 2, 1965, 59 —64.
4. Морс Ф. М., Ф е ш б а х Г. М. Методы теоретической физики. Т. 2. М., ИЛ, 1960.
5. ОбозненкоИ. Л. Об одной смешанной задаче для уравнения Гельмгольца во внешности цилиндра. ДАН УССР, 9, 1965.
И. Л. 0Б03НЕНК0
РАССЕЯНИЕ ПЛОСКОЙ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ НА БЕСКОНЕЧНОМ КРУГОВОМ ЦИЛИНДРЕ ПРИ СМЕШАННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ НА ЕГО ПОВЕРХНОСТИ
Краткое содержание
Рассмотрен вопрос о рассеянии плоской волны на бесконечном круговом цилиндре, когда часть его поверхности, ограниченная двумя образующими, жесткая, а остальная поверхность мягкая.
I. L. OBOZNENKO
THE PLANE SOUND WAVE DIFFUSING UPON INFINITE CIRCULAR CYLINDER WITH COMPLEX BOUNDARY CONDITIONS ON ITS SURFACE
Summary
The problem of the plane sound wave diffusing upon infinite circular cylinder, when part of its surface bounded by two liner parallel to the axis, is hard and the remaining surface of the cylinder is elastic, is examined.
