CC BY
12
М.В. Андреев, В.Ф. Борулько, О.О. Дробахт, Д.Ю. Салтыков: СПРОЩЕН1 П1ДХОДИ ДРОБОВО-РАЦЮНАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕННЯ В СПЕКТРАЛЬНО-СПОЛУЧЕН1Й ОБЛАСТ1 ДЛЯ ВИЗНАЧЕННЯ
5 CONCLUSION
The finite-difference time-domain method with Mur's first-order absorbing boundary conditions has been applied to the analysis of a microstrip open end and a microstrip gap. Both time-domain and frequency-domain numerical results have been obtained and discussed for the microstrip discontinuities under consideration. Frequency-dependent characteristics for scattering matrix elements have been compared with other available data showing good agreement.
REFERENCES
1. Horng T.S., Alexopulos N.G., Wu S.C., Yang H.Y. Full-wave spectral domain analysis for open microstrip discontinuities of arbitrary shape including radiation and surface-wave losses // Int. J. of MIMICAE, 1992, vol. 2, No. 4, pp. 24240.
2. Hill A., Tripathi V.K. An efficient algorithm for the three-dimensional analysis of passive microstrip components and discontinuities for millimeter-wave integrated circuits // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1991, vol. MTT-39, No. 1, pp. 83-91.
3. Uzunoglu N.K., Capsalis C.N., Chronopoulos C.P. Frequency-dependent analysis of a shielded microstrip step discontinuity using an efficient mode-matching technique / / IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1988, vol. MTT-36, No. 6, pp. 976-984.
4. Yakovlev A.B., Gnilenko A.B. Analysis of microstrip discontinuities using the method of integral equations for overlapping regions // IEE Proc.-Microw. Antennas Propag., 1997, vol. 144, No. 6, pp. 449-457.
5. Yee K.S. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media //
IEEE Trans. Antennas Propagat., 1966, vol. AP-14, No. 5, pp. 302-307.
6. Zhang X., Mei K.K. Time-domain finite difference approach to the calculation of the frequency-dependent characteristics of microstrip discontinuities // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1988, vol. MTT-36, No. 12, pp.1775-1787.
7. Sheen D.M., Ali S. M., Abouzahra M.D., Kong J.A. Application of the three-dimensional finite-difference time-domain method to the analysis of planar microstrip circuits // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1990, vol. MTT-38, No. 7, pp.849-857.
8. Mur G. Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagnetic-field equation // IEEE Trans. Electromagn. Compat., 1981, vol. EMC-23, No. 4, pp. 377-382.
Надшшла 16.10.2003
Представлен анализ открытого конца и разрыва микрополос ковой линии методом конечных разностей во временной области с поглощающими условиями Мура первого порядка. На основе дискретизации уравнений Максвелла построены вычислительные алгоритмы для моделирования дифракции гауссова импульса на неоднородностях. Получены результаты во временной области, качественно иллюстрирующие процессы дифракции. Проведено сравнение дисперсионных характеристик элементов матриц рассеяния с данными других авторов.
Проведено анал1з в1дкритого ктця та розриву мжро-смужково1 лгни методом скгнченних ргзниць у часовш областг з поглинаючими умовами Мура першого порядку. На тдстав1 дискретизацИ р1внянь Максвела побудовано обчислювальш алгоритми для моделювання дифракцп гаусова гмпульсу на неодноргдностях. Одержано якгсш результати у часовт област1, що iлюструють процеси дифракцИ. Зроблено порiвняння дисперстних характеристик елементiв матриць розсiяння з iншими даними.
УДК 537.8:620.179:621.391:621.396
М.В. Андреев, В.Ф. Борулько, 0.0. Дробахш, Д.Ю. Салтиков
СПР0ЩЕН1 П1ДХ0ДИ ДРОБОВО-РАЩОНАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В СПЕКТРАЛЬНО-СПОЛУЧЕН1Й ОБЛАСТ1 ДЛЯ ВИЗНАЧЕННЯ ПАРАМЕТРА В1ДБИВАЛЬНИХ СТРУКТУР
Розглянута можливгсть застосування лгтйних nidxodie для апроксимацп спектральных даних однополюсною функ-щею i використання дробово-рацюнальноЧ ттерполяцп спектральних даних з метою прискорення процедури визначення nараметрiв адитивно'г експоненщально'г моделi. Проаналiзованi точтст характеристики запропонованих методiв i проведене ïхне nорiвняння з аналогiчними характеристиками тших методiв даного класу.
ВСТУП
В багатьох задачах прикладно'' радюф1зики виникае проблема визначення параметр1в адитивно!' експонен-щально!' модель Як показуе досвщ практичного використання, застосування адитивно!' експоненщально!' модел1 дае змогу 1м1тувати р1зш властивосп вщбиваль-
них об'екпв [1-3]. Зокрема, така модель може бути використана для розгляду вщбиття в багато-шарових д1електричних структурах [4].
На попередньому етат дослщжень вщбивальних структур позитивш результати вим1рювань були досягнут! за рахунок використання метод1в цифрового спектрального анал1зу результапв вим1рювань в частотнш област1 [3]. Такий шдхщ потребуе розгляду моделей високого порядку, що веде до нестшкосп результапв. Необхщшсть використання моделей високого порядку обумовлено тим фактом, що в експериментальних даних, отриманих, наприклад, при дослщженш д1електричних структур, присутня шформащя про вс1 розсшвач1, яю були опромшеш зондом, а не т1льки про неоднор1дност1 структури, що безпосередньо дослщжуються. Альтер-
РАДЮФ13ИКА
нативним е використання дробово-пол1ном1ально! апроксимаци фрагменту часового сигналу, який безпосе-редньо описуе структуру, яку треба вивчити. Розгляд фрагменту, що безпосередньо описуе досл1джувану структуру, дозволяе суттево понизити вим1рн1сть математич-но! задач1.
Але дробово-рац1ональна апроксимац1я в спектрально сполученш област1 припускае м1н1м1зац1ю нел1н1йно! ц1льово! функц1!, що являе собою складну нел1н1йну обчислювальну задачу 1 що вимагае значних обчислюва-льних ресурс1в. Тому, бажано було б звести задачу визначення параметр1в адитивно! експоненц1ально! модел1 до посл1довного розв'язку набору простих, по можливост1, л1н1йних задач.
ц1льово! функц1! (4) не вс1 N в1дл1к1в, а т1льки обмеже-не 1'х число, тобто т1льки т1, що мають максимальну ампл1туду. Субоптимальний метод оптим1зац1! по час-тин! спектральних точок повинний дозволити значно зменшити витрати часу на одержання кваз1розв'язку [3] при незначному попршенш погр1шност1.
Введемо в розгляд множину 1ндекс1в I={к0, к^, ...,кК для К в1дл1к1в, у яких ампл1туда спектрально сполуче-ного сигналу О к максимальна. Використання т1льки цих в1дл1к1в визначае, що в ц1льов1й функц1! (4) скалярний
добуток мае вигляд (х,У\ = хкУк , а сама ц1льова
ке1
функц1я може бути записана як
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ!
Використання адитивно! експоненц1ально! модел1 ана-
т
л1зованого сигналу Я = [Яр ..., RN- ^]т , що заданий у вих1дн1й частотн1й област1 на дискретнш с1тц1 Юп = Ю0 + п Лю (п = 0, 1, 2, ..., N - 1), у вигляд1
м
Я(а>„) = Яп = ^гт ехр(-/ЮТ) ,
(1)
т=1
р = ||6 - 2 = ||ё||2 - 2
Re(zHG, г )
+ Zr
М1н1мум ц1е! ц1льово! функц1! за вектором коеф1ц1ент1в г забезпечують оптимальн1 значення г , одержуван1 з
I Н Н Н- -1-
розв'язку л1н1йно! задач1 г = ^ ^ Z G = У и , де матриця системи л1н1йних р1внянь мае вигляд:
У = 2и2=
Со/Ст (^ - ( т - Р ^Кот С/
де гт 1 Тт - комплексн1 параметри модел1, дае змогу у
спектрально-спряжен1й област1 на с1тц1 ^ = кЛ?
(Лt = 2п/NЛю; к = 0, 1, 2, ..., N - 1) виразити цей сигнал за допомогою дробово-рацюнального представлення
(
к С-1)(гк СтМ = 1, 2, ..., М; т = 1, 2,., М
к е
а вектор правих частин системи визначаеться як
С(1к) = Ск =
к М ( ы 1)
1п ^ . Ьт Ьт - Ч,
Гп Ск -Л..) '
т=1 ^ОтГ £т
(2)
И=zHG=
1_у Ск^сАс? -1)
^.мСо1 "1((-к -СТ1
ке1"
1=1,2,...М
( 2П Ю0
де 2 = ехР ; £т = ехр(/ЛюТт); Сот = ехг(./'Ю)Тт) = ^тАЮ; г0 = 2Л'.
У матричн1й форм1 модель спектрально сполученого сигналу може бути записана як
G = [С),С1,...,Ск-111 = zг ,
(3)
р = ^ - zг'
(4)
де г = [г;, Г2,..., гм]Т , а (кт) -ий елемент матриц! 2 мае кг (г-ы -1)
„ 2оЬт \Ът 1 . вигляд ¿кт =—-Н-\ . Апроксимац1я в спектраль-
(к - ^т)
но сполучен1й област1 за допомогою м1н1м1зац11 ц1льово1 функц11
дозволяе визначати параметри експоненц1ально!' модел! (1) на основ! концепц!! кваз1розв'язку [3].
Оск1льки енерг1я сигналу нер1вном1рно розпод1лена на с1тц1 ?к = кЛ?, то е сенс використовувати в побудов1
П1дстановка оптимальних значень г , отриманих при розв'язанн1 л1н1йно! задач1, у ц1льову функц1ю дозволяе знизити розм1рн1сть ц1льово! функц1! 1 записати !! як
Р = G 2 - МИ,г)! . Оск1льки ця ц1льова функц1я е
принципово неун1модальною 1 попадання в !! глобальний м1н1мум при використанн1 стандартних метод1в локально! м1н1м1зац1! гарантуеться усп1шним вибором початко-вого наближення, то найб1льш ефективним для пошуку кваз1розв'язку е алгоритм посл1довного нарощування порядку модел1 з використанням оц1нок попереднього ета-пу як початкового наближення [4]. Тобто в якост1 по-чаткового наближення на кожн1м етап1 алгоритму використовуються оптимальн1 значення параметр1в моде-л1, знайден1 на попередньому етап1, а для розм1рност1, що додаеться, початкове наближення визначаеться за до-помогою апроксимац1! спектральних даних однополюс-
ною функц1ею за р1зницевим сигналом G - Zr . Бажано було б розглянути п1дходи, що б дозволили виконувати цю апроксимац1ю л1н1йними методами.
10
1607-3274 "Радюелектрошка. 1нформатика. Управл1ння" № 2, 2003
М.В. Андреев, В.Ф. Борулько, О.О. Дробахт, Д.Ю. Салтыков: СПРОЩЕН1 П1ДХОДИ ДРОБОВО-РАЦЮНАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕННЯ В СПЕКТРАЛБНО-СПОЛУЧЕН1Й ОБЛАСТ1 ДЛЯ ВИЗНАЧЕННЯ
АПРОКСИМАЦИ СПЕКТРАЛЬНИХ ДАНИХ
однополюсною функц16ю
Розглянемо можлив1сть апроксимаци спектральних даних однополюсного функщею за допомогою лшшних метод1в. Нехай використовувана для апроксимаци спектральних даних (заданих у спектрально сполученш областО модель мае вигляд:
Йк =
р1гк + р0 = ^Й-1, к = 0,1,...,К -1,
= Л-1 =
де р1 = Ь-
ИЪ
01
С1 (С-И -1) тх
Ро = 41 / Ь1 = -
иъ
Ь01 = (1Н7)-12Н0.
стовпщв 11 = [гк к=0,1,...,К-1 , т0 = [1\к=0,1, ...,К-1 ,
Ур = и ,
/
де
У = 1Н1 =
% 7% Ч Ч Ч 10
НН 4*0 Ч ^ 10у
( К-1
К
к=0
К -1
I ^ К
и=0 У
К 0 0 К
И=1Нс=
К-1
2>к-1*-к =0
К-1
2>Ч-1
к=0 К-1
к=0
В виразах для елеменив У враховано, що
к-1 , К 2к =1 - *
к = 0,1,...,К -1 , (5)
5>к=1-
= 0 . Розв'язок (8) дае:
к=0
К-1
-1) Б
де Ь =---. Будемо використовувати множину
Щ>0\
шдекс1в I = {,к1,...,кК}, у яких ампл1туда спектрально сполученого сигналу максимальна. Параметр £1 входить у модель нелшшним образом, що затрудняе використання лшшних метод1в для його оцшки.
Щоб одержати можлив1сть використовувати лшшш методи для оцшки параметр1в модел1 (5), необх1дно облаштувати використання модел1 (5) тд швертоваш спектральш дат. Нехай швертована модель мае вигляд:
К-1
К-1
Й-1
Ж1
(9)
к=0
к=0
-к
к=0
(6)
(С/ - 1) Г1
Знаючи коефщенти Р1 , Ро, завжди можна знайти
¿1 =-Р0/Р1 , Т = 1п(-Р0/Р1))Аю 1 Г = (1-£-#)Р0 . У матричнш форм1 систему р1внянь (6) можна записати у вигляд1:
1р = С , (7)
де матриця I = (1 До) складаеться з двох вектор1в-
к
використовуваш вектори мають вигляд: Р = [P1,Р0\ , С = г0Й1-1,...,2К-1ЙКК1-1\ . Коефщенти р1 , р0 знаходяться з розв'язку лшшно! задач1 1Н1р = IН(С або
Але використання (9) для визначення шуканих пара-метр1в модел1 е проблематичним. Невеликий шум у С буде призводити до значних змш зворотно!' величини, а, значить, 1 до великих погршностей визначення шуканих коефщ1ент1в.
Щоб виключити використання зворотних величин спектра, можна для апроксимаци зам1сть системи р1в-нянь (6), що вщповщае швертовано!' модел1, використовувати модиф1ковану систему р1внянь наступного виг-ляду (перша стутнь модиф1кування модел1):
р^^Окг1 + Р0= 1, к = 0,1,...,К -1 . (10)
У матричнш форм1 система р1внянь (10) може бути записана у вигляд1:
Ер = Е , (1)
де матриця Е = ((До) складаеться з двох вектор1в-стовп-щв Ъ = кк°кгк к=0,1,...,К-1 , ^0 = кйк [=0 1 ... К-1 ,
а вектор Е = [1,1,...,1\ е одиничним. Коеф1ц1енти Р1 , Р0 знаходяться з розв'язку лшшно! задач1 ЕНЕр = ЕНЕ або
0р = V , (12)
с =Н-
де о = а а =
( — тт— — и—
—тт— — и— 0Н 1 0Н 0
К-1
К-1
Еы2 Ейк1
к=0 К-1
!>1
2 z-k
к=0 К-1
Ейк1
\к=0
2 к г
к=0
(8)
V = ЕНЕ =
К-1
2/0 °*к2 к
'0 к=0 К-1
2/0 о*
\ к=0
0
2
PAДIOФIЗИKA
Для цьoгo мoжнa викopиcтoвyвaти виpaзи виду
P = S22V1 - S12V2 „ = -S21V1 + S11V2
P1 = -с ç , P0 = -г. г. , Щo Дoзвoляe
S11S22 - S12S21 S11S22 -S12S21
зaпиcaти шyкaний poзв'язoк в нacтyпнoмy виглядi:
K -1 K -1 K -1 K -1
Y)Gk I2 z^zkG*z ~k - X ы 2Yj z0Gk
Cl =
k=o
k=0
k=0 k=0
K -1 K -1 K -1 K -1
3G i2 X z0Gkz ~k - 2] iGk I2 z -kbkGk
k=0 k=0
k=0
k=0
0p = G ,
дe X = 0H0 =
Xp = W
K -1 K -1
E^f 2^|Gk|4z"k
k=0 k=0
K -1 K -1
2>k|V 2>f
k=0 k=0
W = HG =
K -1
3lGk |2 G*z0
2 k k -k z
k=0 K-1
ElGkl2 Gk" k
K-l K-l K-l K-l
J)Gk\4 z^N 2G*zokz-kpk\|Gk| ^
Cl =
k=0
k=0
k=0 k=0
K -1 K-1 K-1 K-1
EN 4X lGkl 2G*z0z~k - X lGk|4 z"^lGk|
При чиceльнiй peaлiзaцiï poзв'язкy piвняння (16) нeoбxiднo вpaxyвaти випaдoк, кoли мaтpиця X cтae виpoджeнoю чepeз лшшну зaлeжнicть cтoвпцiв мaтpицi
© при "пoпaдaннi пoлюca нa диcкpeт", щр вiдпoвiдae cигнaлy у cпeктpaльнo cпoлyчeнiй oблacтi нacтyпнoгo вигляду:
(13)
Gk =
k = l k * l
l = lnfc)/jAccAí, Z = ;
(18)
Taкoж мoжнa викopиcтoвyвaти iншy мoдифiкoвaнy cиcтeмy piвнянь (друга cтyпiнь мoдифiкyвaння мoдeлi) для aпpoкcимaцiï cпeктpaльниx дaниx oднoпoлюcнoю фyнкцieю:
Plz0 Gkz + P0z0 Gk = Gk ' k = °'1'...'K -1 . (l4)
У мaтpичнiй фopмi cffin^a piвнянь (14) мoжe бути зaпиcaнa у нacтyпнoмy виглядi:
Öe ж вiднocитьcя i дo poзв'язкy piвняння (12) для мaтpицi S. Якщр при poзв'язкy (16) виявляeтьcя, щр
det(X)<е , дe g - дeякe мaлe чиcлo, тo тoдi пpиймa-
eтьcя, щр шyкaний пapaмeтp визнaчaeтьcя як = zl .
Для вибopy кpaщoгo вapiaнтa лiнiйнoгo мeтoдy визнaчeння пapaмeтpiв oднoпoлюcнoï фyнкцiï (5) були визнaчeнi ïx тoчнocтнi xapaктepиcтики m ocнoвi чиceль-нoгo eкcпepимeнтy. Brn cклaдaвcя з бaгaтopaзoвoгo oцi-нювaння (2500 icпитiв) пapaмeтpiв aдитивнoï eкcпoнeн-цiaльнoï мoдeлi, щo oбчиcлювaлacя зa фopмyлoю
(15)
Rn = exp
N-1 - j2п| n--— \т
+ Çn ; N = 100 , дe викopиcтo-
дe мaтpиця 0 = ) cклaдaeтьcя з двox вeктopiв-
cтoвпЦiв = [z0"kG2 zk k=o,l,..,K-1, ào = [zokG2 \k=0,1,..,K-1 , a вeктop пpaвиx чacтин визнaчaeтьcя cпeктpoм
G = [G^Gi,...,Gk-I\T . Koeфiцieнти Pl , P0 знaxoдятьcя з poзв'язкy лiнiйнoï зaдaчi 0H0p = 0HG aбo
(16)
k=0
Для ^ore мoжнa викopиcтoвyвaти виpaзи виду
X22 W1 - X12W2 - X 21W1 + X11W2
Pl =-2^-1-12 2 , Po =-21-1-11 2 , щр дoзвo-
22 - X12X21 X11X22 - X12X21
ляють зaпиcaти шyкaний poзв'язoк в нacтyпнoмy видi:
вyвaлиcя три piзнi знaчeння пapaмeтpa мoдeлi Т : a) 0.25 ("пoпaдaння пoлюca нa диcкpeт"); б) 0.255 ("пoлюc paвнoвiддaлeний вiд cyciднix диcкpeтiв"); в) 0.25-0.001/ ("вiдcyтнicть пoлюcy при пoпaдaннi m диcкpeт"). 3a peзyльтaтaми oцiнювaння для 2500 piзниx шyмoвиx peaлiзaцiй oбчиcлювaлиcя cepeднe знaчeння, зcyв i CKB oцiнoк пapaмeтpiв мoдeлi (5). Ha рш;. 1 пpeдcтaвлeнi зaлeжнocтi CKB oцiнки чacoвoгo мicцepoзтaшyвaння GT вщ вiднoшeння cигнaл/шyм для poзглянyтиx вищ^ вapiaнтiв мeтoдy. Для пopiвняння oтpимaниx peзyльтaтiв з тeopeтичнo дocяжнoю тoчнicтю oцiнювaння нa pиc. 1б дoдaткoвo нaвeдeнi гpaницi мiнiмaльнoï диcпepciï Kpaмepa-Pao, poзpaxoвaнi зa фopмyлaми з [5].
Oтpимaнi peзyльтaти дeмoнcтpyють, щo кpaщi тoч-нicнi xapaктepиcтики мae лшшний мeтoд визнaчeння пapaмeтpiв oднoпoлюcнoï функци пo iнвepтoвaним cпe-ктpaльним дaним iз другим cтyпeнeм мoдифiкyвaння мoдeлi, щo визнaчaeтьcя cиcтeмoю piвнянь (14). При цьoмy, як виднo з рте. 1б, oтpимaнi тoчнicнi xapa^e-pиcтики цьoгo пiдxoдy пpaктичнo збiгaютьcя з тeope-тичнo дocяжнoю тoчнicтю oцiнювaння. Пpямa aпpoкcи-мaцiя iнвepтoвaниx cпeктpaльниx дaниx oбepнeнoю пo-люcнoю фyнкцieю нe дoзвoляe oдepжyвaти зaдoвiльнi peзyльтaти. Bикopиcтaння пepшoгo cтyпeня мoдифiкyвa-ння мoдeлi дoзвoляe знaчнo знизити говну cepeдньo-квaдpaтичнy пoмилкy oцiнки мicцepoзтaшyвaння i нaблизитиcя дo тeopeтичнo дocяжнoï тoчнocтi oцiню-вaння, a викopиcтaння дpyгoгo cтyпeня мoдифiкyвaння мoдeлi дoзвoляe пpaктичнo вийти нa ^11.
.(17)
k=0 k=0
k=0
k=0
0
12
ISSN 1607-3274 "Paдioeлeктpoнiкa. Iнфopмaтикa. Упpaвлiння" № 2, 2003
М.В. Андреев, В.Ф. Борулько, О.О. Дробахт, Д.Ю. Салтыков: СПРОЩЕН1 П1ДХОДИ ДРОБОВО-РАЦЮНАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕННЯ В СПЕКТРАЛЬНО-СПОЛУЧЕН1Й ОБЛАСТ1 ДЛЯ ВИ3НАЧЕННЯ
О 100 200 300 0 50 100 150 0 50 100 150
с/ш, дБ с/ш, дБ с/ш, дБ
а) ? = 0.25 б) г = 0.255 в) 1 = 0.25-0.001.1
Рисунок 1 - Залежтсть СКВ оцтки мicцeрозташування в1д в1дношення сигнал/шум для р1зних вар1ант1в лтшного методу визначення nарамeтрiв однополюсног функци (0 - без модифтування модeлi; 1 - з першим ступенем модифтування модeлi; 2 - iз другим ступенем модифтування модeлi; 3 - границя Крамера-Рао)
ДРОБОВО-РАЩОНАЛЬНА 1НТЕРПОЛЯЩЯ ДАНИХ У СПЕКТРАЛЬНО СПОЛУЧЕН1Й ОБЛАСТ1
Розглянутий вище п1дх1д дозволяе знаходити пара-метри модел1 першого порядку, що звужуе область його використання. Бажано було би мати метод, що одно-часно мае таку ж простоту та дае змогу знаходити пара-метри модел1 будь-якого порядку. Цього можна домогти-ся на основ1 використання дробово-рац1онально! 1нтер-поляц1! даних у спектрально сполучен1й област1.
Для цього представимо дан1 в спектрально сполучен1й област1 у вигляд1, що дозволяе розглядати !х як в1дно-
л:
шення пол1ном1в в1д
м м , .
т ПИ )
м Ск =
т=1
т=1
т zk-Г 2 Ь;
т_= 2к
— ¿п "
I=1
I
м
(19)
П(/k^
т =1
де dm =^
Ст {С т 1)
*Соп
. Наприклад, для випадку двох-
компонентно! модел1 (М = 2) дан1 в спектрально сполу-чен1й област1 можуть бути записан1 як
Ск = 2о
(1 + V - МС2 + r2d2Z1) ^ -((1 +С2 )zk + С1С2
(20)
1 представляються як в1дношення двох пол1ном1в:
Ск = О^ =
(zk )=
Р{2к
М -1 . т=0
М
М
т=0
(21)
Ьт2к
Це дозволяе використовувати досить прост1 п1дходи
для визначення шуканих параметр 1в {Ст}т=1,_,,м , за якими пот1м визначаються значення м1сцерозташування тт = 1п(£т )//Лю (т = 1,...,м) , обчислюються значення
спектрально-сполученого сигналу с(Ст) для цих м1сце-
, С(2)= 2о м гт 1 -кт1;:N .
розташувань за формулою СЧ = "7--7-1 1 1
2 т=^0т 1 \pMiZj розв'язуеться л1н1йна задача по 1нтерполяц1! отриманих значень спектрально-сполученого сигналу формулою
G = Zf шляхом визначення г = Z-1G . Як випливае з
(19), значення {Ст}т=1,_,,м ° коренями пол1нома Q(zk), що використовуеться для дробово-пол1ном1ального представлення спектрально-сполученого сигналу (21).
Для одержання дробово-пол1ном1ального представ-лення спектрально-сполученого сигналу використову-валася 1нтерполяц1я ланцюговими дробами. Сигнал, заданий у L точках ..., , може бути представ-
лений у вигляд1 ланцюгового дробу наступного виду:
V (2 ) = у1 +-
2 - 21
у2 +"
2 - 22
(22)
У3 + ...+
2 - 21-1
де параметри ланцюгового дробу {, г2,..., уь } визначаються зворотними р1зницями И1 ^,22,...,)
П = V (21)= И1(21);
у2 =
22 - 21
22 - 21
22 - 21
V((22)- V(21) V((22)-П И1(22)- икч)
23 - 22
23 - 22
23 - 21
22 - 21 М2(21,23)-И2(г1,22)
= и (zl, 22);
= -И3(( 22' 23);
ИМ 2.2?- • ,zL-2,zL -ИТЯ^- • 2-22-1
- • 2-22-12,..
т
к
т
т
РАДЮФ13ИКА
За знайденим значениям параметр1в ланцюгового дро-
бу можна шляхом нескладних перетворень
визначити коефщ1енти полшом1в
, Ьм} дробово-полшом1ального представления (21). Поим, використовуючи стандарта! методи визначення комплексних корешв пол1нома з комплексними коес[нщентами, за коеф1щентами полшома знаменника
\Ь<),Ь\_,...,Ьм) визначаються значения •>---->£м}, що
дозволяе визначити параметри адитивноТ експонен-щально! модел1 (1).
Виб1р спектральних точок для штерполяцп ланцю-говими дробами здшснювався шляхом поступового нарощування порядку моделк спектральна точка, що додаеться на кожному етат, вщповщала максимумов!
Ь~1 / 1
р1зницевого сигналу С / ^Ьтгкт (1 ^1 й м,
т=0 / т=0
де використовуються коефщ1енти полшом1в {{, а^,.., а^} та {¿0,Ь[,...,¿1} , знайдеш на попередньому £-ому етат.
Для розглянутого п1дходу були отриман1 точн1сн1 характеристики 1 проведене !хне пор1вняння з анало-пчними характеристиками шших метод1в даного класу. Точн1сн1 характеристики анал1зованих алгоритм1в визна-чалися за результатами оцшювання параметр1в адити-вно! експоненщально! модел1 для 2500 шпшгв тестового прикладу, у якому оброблюван1 дан1 обчислювалися за формулою
Яп = 0.6 • ехр(-у2п • п • т1) + 0.4 • ехр(-у2п • п • т2) + Ъп, п = 0,1,...,100 , (23)
де використовувалися параметри модел1
т! = (0.2 - 0.001 у), т2 = (0.3 - 0.0005у), а ^ - це
незалежт випадков1 гауавсью величини з диспераею
дшсно! та уявно! частин а2 1 нульовим середшм. Така модель вщповщае найпрослшш шаруватш структур! (один шар) або двом неоднор1дностям в НВЧ тракта За результатами оцшювання для 2500 р1зних шумових реа-
л1зацш обчислювалися середш значення {~1,~2} 1 дис-
* к л }
5 т2 }
nepci'i к, к f ощнок м1сцерозташування т
Для аналiзу алгоpитмiв обчислювалася повна середньоквадратична помилка ощнок мicцepозташування
е- =
Sk
m=1
+ Т - Т
. Oтpиманi значення середньо-
квадpатичноi помилки оцiнок мicцepозташування в залежност вiд вiдношeння сигнал/шум для pозглянутого методу й аналогiчниx йому шших алгоpитмiв пpeдcтавлeнi на pиc. 2.
Рисунок 2 - Середньоквадратична помилка ощнок мгсцерозташування в залежностг eid вгдношення сигнал/шум (1 - метод дробово-ращональног штерполяцп в спектрально сполучетй областг, 2 - метод Пронг, 3 - метод пучка матриць [2], 4 - метод пошуку квазгрозв язку [3-4])
ВИСНОВКИ
Oтpиманi peзультати демон^ують, що метод дpо-бово-pацiональноi iнтepполяцii в спе^^ально сполуче-нш област дозволяе одepжувати стшю оцiнки пpи бiльшиx piвняx шуму в даних, тж метод ^от, однак його точнicнi xаpактepиcтики поступаються аналопчним xаpактepиcтикам методу пучка матpиць i методу пошуку квазipозв'язку у виxiднiй облаcтi. Пpи цьому чаcозатpа-тнi xаpактepиcтики методу дpобово-pацiональноi irnep-поляцп в cпeктpально cполучeнiй област досить близькi до чаcозатpатниx xаpактepиcтик методу Пpонi i значно одаще зазначeниx xаpактepиcтик мeтодiв пучка матpиць i пошуку квазipозв'язку у виxiднiй облаcтi. Для pозгля-нутого вище чисельного eкcпepимeнту чаcовi витpати на його пpовeдeння для викоpиcтовуваноi конкpeтноi моде-лi комп'ютepа склали: для методу ^ош - 7 сек., для методу дpобово-pацiональноi iнтepполяцii в спе^^ально-cполучeнiй облаcтi - 21 сек., для методу пошуку квазipозв'язку у виxiднiй облаcтi - 339 сек., для методу пучка матpиць - 1047 сек.
ПЕРЕЛ1К ПОСИЛАНЬ
1. Vanhamme H. High resolution frequency-domain reflectome-try // IEEE Trans. Instrument. Measurem. 1990. Vol. IM-39, № 2. P. 369-375.
2. Maricevic Z.A., Sarkar T.K., Hua Y., Djordjevic A.R. Timedomain measurements with Hew-lett-Packard network analyzer HP8510 using the matrix pencil method // IEEE Trans. Micro-wave Theory Tech. 1991. Vol. MTT-39, № 3. P. 538547.
3. Андреев M.B., Борулько В.., Дробахин О. О. Применение концепции квазирешения для оценки параметров многослойных диэлектрических структур по характеристике отражения, измеренной на сетке дискретных частот // Дефектоскопия. 1996. № 9. С. 47-60.
4. Андреев M.B., Борулько В.Ф., Дробахин О.О. О реализации метода квазирешений при определении параметров слоев диэлектрических слоистых структур. // Дефектоскопия. 1996. № 9. С. 61-72.
5. Андреев M.B. Предельная разрешающая способность многочастотного радиоволнового метода определения параметров слоистых диэлектрических структур // Вюник Днтропет-ровського ушверситету. Ф1зика. Радюелектрошка. 2000. Вип. 6. С. 121-128.
Надшшла 08.09.2003 Шсля доpобки 23.10.2003
14
ISSN 1607-3274 "Радiоeлeктpонiка. Iнфоpматика. Упpавлiння" № 2, 2003
■2
В.Ф. Борулько: ПОПЕРЕЧНО-ЕЛЕКТРИЧН1 ХВИЛ1 У ДВОВИМ1РНОМУ БРЕПВСЬКОМУ РЕЗОНАТОР1 3 НЕПЕРЮДИЧНИМ РАД1АЛЬНИМ ЗБУРЕННЯМ Д1ЕЛЕКТРИЧНО1 ПРОНИКНОСТ1
Рассмотрена возможность применения линейных подходов для аппроксимации спектральных данных однополюсной функцией и использование дробно-рациональной интерполяции спектральных данных с целью ускорения процедуры определения параметров аддитивной экспоненциальной модели. Проанализированы точностные характеристики предложенных методов и проведено их сравнение с аналогичными характеристиками других методов данного класса.
An opportunity of use of the linear approaches for approximation of the spectral data by unipolar function and use of rational in-terpolation of the spectral data with the purpose of acceleration of a procedure of parameter determination of the additive exponential model has been considered. The properties of these methods and their comparison with analogous properties of other methods of the given class are presented.
YAK 537.86
В.Ф. Борулько
П0ПЕРЕЧН0-ЕЛЕКТРИЧН1 ХВИЛ1 У ДВ0ВИМ1РН0МУ БРЕПВСЬКОМУ PE30HAT0PI 3 НЕПЕРЮДИЧНИМ РАД1АЛЬНИМ ЗБУРЕННЯМ
Д1ЕЛЕКТРИЧН01 ПР0НИКН0СТ1
Розглянуто брегiвське вiдбиття поперечно-електричних хвиль, що поширюються в середовищi з малою радiальною квазiперiодичною неоднорiднiстю дiелектрично'i проникно-стi. 3 використанням комплексно'1 форми методу Крилова-Боголюбова-Митропольского отримат вирази коефiцieнтiв зв'язку хвиль, що поширються. Дослiдженi резонансш властивостi для рiзних кутових номерiв.
ВСТУП
Увага до брепвських структур обумовлена багатством радюф1зичних ефекпв, що можуть спостер1гатися в них [1]: вщбиття хвиль, перетворення мод, зв'язок повер-хневих i просторових хвиль. Додаткова розматсть ефе-кив може бути реалiзована, якщо збурення параметрiв стае неперюдичним [2]. Останшм часом привертають увагу в^есиметричш хвилевщш структури з перюдич-ним збуренням параметрiв уздовж радiальноi' координа-ти [3-6]. Найбшьш популярнi методи, звичайно викори-стовуванi для дослщження брепвсько!' взаемодп - це метод, заснований на розкладанш Флоке [1], i набли-ження зв'язаних хвиль [1]. У пропонованш роботi роз-глядаеться двовимiрна хвилевiдна структура, неперю-дично неоднорiдна по радiальнiй координат р . У цьому випадку метод Флоке [1] не придатний через непе-рюдичшсть структури, а традицшний метод зв'язаних хвиль [1] не придатний бшя радiусiв вщачення (радiусiв повороту).
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ1 ТА АСИМПТОТИЧНИЙ МЕТОД II РОЗВ'ЯЗАННЯ
Розглянемо неоднорщне середовище, в якому дiеле-ктрична проникшсть представлена у виглядi суми си-нусо'дальних просторово осцилюючих гармошк збурення. Амплiтуда Ej i хвильове число Xj кожно! гармонiки
плавно змiнюeться уздовж радiальноl координати р
е = е(р) = es + ^^ 6j ()exp [ , (1)
j
де Yj(р) = JXj(Рр)dp - подовжня фаза гармонiки
збурення. Припускаемо, що малшть амплiтуд збурення i плавностi змiни параметрiв визначаеться тим самим малим параметром в [7]. Одночасно з радiальною координатою р ми введемо "плавну" змшну Z = вр .
У данш статтi розглядаються хвилi з компонентами
E , Hр , Нф , у випадку коли — = 0 . Функщя E z РФ dz z
повинна задовольняти рiвнянню
[ А + k2 (р) ]Ez = 0
(2)
3 урахуванням симетрi'i структури ми введемо потенцшну функцiю П(р) спiввiдношенням
Ez = р-12П(р)exp(/'wф) . Для П(р) одержуемо рiвняння
d 2П dp 2
+ [ ко2 е(Р) — ^^^^ ]П
= о
(3)
р
При в = 0 розв'язок незбурено! крайово! задачi одержуемо у виглядi суми розбiжних i збiжних цилiндричних хвиль
П(р) = a^ Hn?(ks р)+ а2р^ H4(ks р) =
= aj ехр['0(р)] + а2 exp [— iQ* (р)],
(4)
де Hn (р) - функцП Ханкеля, 0р) - комплексна просто-рова фаза, i ks = k0^E7 " хвильове число незбуреного середовища.
