CC BY
11
В. П. ПУГАЧ
ПРО АКУСТИЧНЕ ПОЛЕ
СФЕРИЧНОГО ПЕРЕТВОРЮВАЧА 13 ЗМ1ШАНИМИ ГРАНИЧНИМИ УМОВАМИ НА ЙОГО ПОВЕРХН1
Розглядаеться звукове поле випромшювання сфери при змша-них граничних умовах на П поверхш, а також розаяння плоско'1 хвшп на такш сферь
§ 1. У робот1 [1] розглядалося зовшшне акустичне поле сферичного випромшювача 1з змшаними граничними умовами на його поверхш. Задача була розв'язана за допомогою вар1ащйного методу, розвинутому в [2]. Наближене розв'язання задач1 будувалося на неортогональних базисних елементах ф) П1- Як мо-
дифжащя цього методу для цилшдричного випромшювача була розглянута ортогонал1защя базисних елемент1в [3].
Нижче наводиться ортогонал1защя базисних елемент1в [1] для сферичного випромшювача.
Зпдно з [4] введемо нов1 ортогональш базисш елементи ухт, таи, що
v v
т' =0
Коефщенти д*'™' знаходять з умов ортогональное™ О, <р)
„Ут- _
¿ч'т- у> ф х
хт ~ '
при , ^ е , , т' < т, ,0ч
V т' ^ ' \2)
V' = v,
0 при
т > т,
Де С1' = 0|>„т, I <'£: = (Уг.тмУ^)-скалярш добутки
функщй ф) 1 Ух.т. {г,®, ф), визначеш у форм1 [1].
Наближаючи розв'язання задач1 ортогональнимифункщями (1), вираз потенщалу швидкостей акустичного поля випромшювання сфери при граничних умовах [1] та умовах випромшювання на не-
ск1нченност1 можна записати у вигляд1
П V
/п<Г.*.ф) = Е VfivmYvm(r,^(Р), (3)
v=0 m=0
Де
^2иорт I уорт
5vm 1 vm . //|Ч
Vm =--- , (4)
cvm
"vm =
(5)
ds.
r=a
Скалярш добутки e^*' та ev,m, можна легко визначити через коефЫенти с^™' та [1]
V' р
р\ 41 - р............4 \
vm vm
0v'm' — r\'m'
V V Qps, ,Qps e ;
/ , / 'v m'^vm ps'
P=0s=0 (6)
v' 0
P=0 s=0
а помилка розв'язання ортогональними функщями визначиться так:
" Л. I k2u°Рт + Уорт I2 Vi I vm 1 vm I
¿a 6vm
g2 _ |__v=0 m= 0___ /уч
¿2 j j | и (0, q>) \4s + \ j | v (0,<p) \2ds '
SU so
§ 2. Розглянемо тепер розс1яння плоско1 хвил1 на сферичному перетворювач1 Í3 змшаними граничними умовами на його поверхш для неортогонально1 системи базисних елементгв.
Нехай на сферу одиничного pafliyca падае плоска звукова хвиля шд деякими просторовими кутами фо i Фо. Тод1 íí можна записати у вигляд1
ф. = Фые~шеи cos* (8)
Де
eos у = cos ft cos #0 4- sin ft sin ft0 eos (ф — ф0); г — kr; z0 = ka\ Imk = 0 в област1 а < г < оо, а — радаус сфери.
/
!
Уявляючи плоску хвилю несюнченним рядом сферичних хвиль, вираз для потенщалу (8) запишемо у вигляд1
оо к
Ф,- (г, А, ф) = V ^ (а^ соэ + Ък» ап (хФ) (соз 0), (9)
к=О ц=0
де
1(к + 11)\
акц = (2А + 1) бц ~ - [Т ltJk (г) (соэ О0) эт цф0;
= (2к+ 1)бц
1% (г) РГ (соз в0) ЯП ЦФо.
(Ю)
Тут Jk(z) — сферична функщя Бесселя, а Р^сов г*)-)— приедна-на функщя Лежандра першого роду; 60 = 2, == 1 при (х > 0.
Будемо шукати розв'язок хвильового р1вняння для потенщалу розаяноТ хвил1 при граничних умовах [1], де покладемо
и (о, ф) = — Фг (а, ф); (О, ф)=
Для знаходження наближеного розв'язку поставлено'1 задач1 застосуемо вар1ашйний метод, розвинутий у [2]. Позначаючи
е™ (Г, V, ф) -- соз тср/гу (г) Р[т) (соз 0);
%т Ф) = 5>п (г) РТ (соз А),
аналопчно [1] вважатимемо, що полшом
П V . -л \ ч
/„.('.О. Ф)= V + ф)], (11)
у=0 т.—О
де ' ^хт — ДоШлып комплексы постшш, е розв'язком даноТ задачу якщо вш мшм1зуе функцюнал
0 I/= & 1| Фг (а, А, Ф) /п5 (а, О, Ф) |+
+
ЗФ;
~дг г=а ~дг
(12)
Пщкоряючи функщонал (12) мЫмуму, приходимо до системи р1внянь
( П V
V УФ аУ'т' + Е (j>v'm') = ~t , ,;
¿, V»! V»! 1 ут ут > у'т '
у=0 т=О
п V п \->
V V Ш Рч'т' I Р ev'm") __ _/
/ | / \ vm®vm ' v/ra ут > у'т"
у=0 т=О
т' = 0, 1, 2_____ v'; V = 0, 1,2 ,...,п,
(13)
де позначення
0V'm' /0 0 у о^'т' _ ^
ут ^у'т''' ут V 'ут' •у'т'''
у'т'
е скалярш добутки функщй (а, я"), ф) I т]гт(а, ф, ф), визначеш у форм! [1]
' га
дг
дг
ск;
-Я
(14)
<4
дг
йэ.
Помилка наближеного розв'язку аналопчно [1] мае вигляд
П V
^у Ш / + £ I )
/ I ¥т vш 1 у/л ут'
б; = 1
у=0 т=0
<ЗФг
дг г=а
(15)
Якщо вся поверхня сфери абсолютно тверда, тобто Р = 0 [1] I до того ж плоска хвиля падае на сферу шд кутом §„ = 0, ва кое-фщенти наближення Бут = 0 при тф 0. При цьому приходимо до вдомого точного виразу коефщентт розв'язку [4]
А, +
К (20)
Л1ТЕРАТУРА
1. Карновский М. И., Лозовик В. Г. Акустическое поле внешности сферы при смешанных граничных условиях на сфере.— Акуст. ж., 1965, 11, 2.
2. Карновский М. И., Лозовик В. Г. Акустическое поле бесконечного кругового цилиндрического излучателя при смешанных граничных условиях на его поверхности.— Акуст. ж., 1964, 10, 3.
3. М о р с Ф. М., Ф е ш б а х Г. Методы теоретической физики. Т. I. ИЛ, 1958, стр. 858.
4. Р ж е в к и н С. Н. Курс лекций по теории звука. Изд-во МГУ, 1960, стр. 257.
5. О б о з н е н к о И. Л. Об одной смешанной задаче для уравнения Гельмгольца во внешнем цилиндре. ДАН УССР, 9, 1965.
В. П. ПУГАЧ
ОБ АКУСТИЧЕСКОМ ПОЛЕ СФЕРИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ
СО СМЕШАННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА ЕГО
ПОВЕРХНОСТИ
Краткое содержание
Рассматривается решение задачи излучения сферического преобразователя со смешанными граничными условиями на его поверхности в системе ортогональных базисных элементов, а также рассеяние плоской звуковой волны на сфере с аналогичными граничными условиями на поверхности сферы.
V. P. PU G АС H
ТО THE QUESTION OF THE SPHERICAL TRANSFORMER WITH COMPLEX BOUNDERY CONDITIONS UPON ITS SURFACE ACOUSTICAL FIELD
Summary
The decision of the spherical transformed with complex boundery conditions upon it surface radition problem in the system of ortogonal base elements and the diffusing, of a plan sound wave the sphere with the same boundery conditions upon sphere surface are examined.
