CC BY
8
УДК 539.3
В. Р. СКАЛЬСЬКИИ, О. М. СТАНКЕВИЧ ^зико-мехашчний шститут
iменi Г. В. Карпенка НАНУ, Львiв), В. З. СТАНКЕВИЧ (Львiвський науково-дослщний
iнститут судових експертиз), Ю. Я. МАТВПВ (Луцький нацiональний технiчний
ушверситет)
АМПЛ1ТУДНО-ЧАСТОТН1 ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРУЖНИХ КОЛИВАНЬ ПОВЕРХН1 П1ВПРОСТОРУ, ПОСЛАБЛЕНОГО ДИСКОПОД1БНОЮ ТР1ЩИНОЮ В1ДРИВУ
Представлено розв'язок динашчно! задач1 про визначення хвильового поля перемщень на поверхш пружного швпростору, спричиненого розкриттям внутршньо! трщини ввдриву. На тдстам розв'язк1в кра-йових штегральних р1внянь показано характер змши амплггудно-частотних характеристик пружних коли-вань на поверхш твердого тша у залежносл вш розм1р1в дефекту.
Ключовi слова: трщина ввдриву, пружш хвил1, крайов1 штегральш р1вняння
Руйнування матер1ал1в конструкцш - склад-ний процес, який охоплюе цшу низку можли-вих мехашзм1в та явищ. Найнебезпечшшим дефектом матер1алу вважають трщину, особливо за крихкого руйнування. У результат стрибкопод1бного поширення трщин пружш хвил1 акустично! емюн (АЕ), яю випромшю-ються у матер1ал1, перетворюють первинними перетворювачами в електричш сигнали, за яки-ми можна щентифшувати стадп руйнування.
Для ефективного д1агностування техшчного стану р1зномаштних промислових об'екпв та визначення !х залишкового ресурсу використо-вують шдходи мехашки руйнування матер1ал1в [1]. За побудованими математичними моделями процешв дефектоутворення, як супроводжу-ються випромшюванням АЕ у навантажених тшах, встановлюють залежносп м1ж характеристиками дефекпв та параметрами пружних хвиль.
У цьому аспект значну защкавлешсть ви-кликае математичне моделювання трщин як джерел АЕ. У розв'язаних рашше динам1чних задачах теорн трщин використано р1зш шдхо-ди щодо вибору модел1 трщини (точкове дже-рело, твбезмежна плоска трщина, сферична порожнина тощо) та метод1в математичних ро-зрахунюв, зокрема метод1в сингулярних штег-ральних р1внянь [2], методу скшчених елемен-т1в [3], сюнчених р1зниць [4] тощо. Бшьшють задач розв'язано для випадку безмежного тша. Врахування ж зовшшньо! вшьно! поверхш тша дозволяе коректшше описати ф1зичш явища. У цьому випадку хвильова картина у тш значно складшша, шж у випадку безмежного тша, оскшьки взаемод1я пружних хвиль з поверхнею породжуе додатков1 коливання, як можуть сут-тево впливати на перерозподш характеристик
пружного поля перемiщень вщ трiщини. У пра-цях [5-8] i3 застосуванням методу крайових штегральних рiвнянь (К1Р) дослiджено характеристики пружного поля перемщень на поверхш швпростору, iнiцiйованого змiщенням протилежних поверхонь внутрiшнiх трiщин рiзноl орieнтащl.
Мета до^джень - вивчення ампл^удно-частотних параметрiв хвильового поля перем> щень, внаслiдок змiщення поверхонь наявно! у пружному пiвпросторi дископодiбноl трщини за механiзмом вiдриву.
Розглядаемо швбезмежне пружне iзотропне тiло у виглядi пiвпростору, послаблене диско-подiбною трщиною, яку моделюемо у виглядi плоского розрiзу (рис. 1). Трiщина займае плос-ку область S1 i паралельна поверхнi S0 швпро-стору. Глибина залягання дефекту становить d . Пружнi хвилi, породжуються розкриттям
протилежних поверхонь S± трщини. При цьо-му ll контур залишаеться нерухомим, а контакт поверхонь у процес розкриття вщсутнш.
Рис. 1. Схема змщення поверхонь трiщини вiдриву у пiвпросторi
© Скальський В. Р., Станкевич О. М., Станкевич В. З., Матвй'в Ю. Я., 2012
Задача полягае у визначенш поля пружних перемiщень и , якi задовольняють диференща-льне рiвняння Ляме
а - 1 77. — р д2 и ...
Д3 и +-—;— graddiv и =——— , (1)
1-2 ц
G д t2
де ц - коефщент Пуассона, р - питома густи-на, G - модуль зсуву матерiалу тiла, з крайо-вими умовами
Uj (x,t)=U} (x,t) , j = 1,3, xeSj, (2)
(x,t) = 0, j=1,3, xeS0,
та нульовими початковими умовами
Uj (x ,0 ) = 0, U j (x ,0 ) = 0, j=13. (4)
Задачу розв'язуемо у перетвореннях Фур'е за часом. Тодi рiвняння (1) запишемо у виглядi
- 1 - 2 р -
Д3 и н--graddiv и + ю — и = 0 , (5)
1-2 ц G
а крайовi умови (2)-(3) - у виглядi
Uj (x,ю) = Uj (x,ю), j = 1,3, xeSj, (6)
'] 3
(x,ю)=0 , j = 1,3, xeS0. (7)
и = grad cp+rot у ,
(8)
яю задовольняють однорiднi рiвняння Гельмго-льца
Д3 p+raj2 cp=0, Д3 у +ю2 у = 0, j = 1,3,
де юj = ю/Cj, j = 1,2, c1 ,c2 - швидкостi по-
ширення у тш поздовжньо! та поперечно! пружних хвиль. Сдинють розв'язку задачi забезпе-чуеться накладанням додаткових умов випро-мiнювання Зоммерфельда на безмежност [9].
Для представлення функцiй cp та у вико-ристали результати пращ [10]
j=4
ю I
с л ^ Д2
V 22 у
P -
д ГдР21 дРи Л -+-
дх2 дх1
(3) V j =(-1j1 Ют
ю.
дх3
д (дР2
дх.
дР Л
12
3-j) V 2
дх2 дх.
1 У
ю! Р
" 2 Р3-j)2"' дх
д2 Р3
32
3-j )д х3
де Д 2 =-
д х1 д х2
j = 1,2, у3 = 0 ,
- двовимiрний оператор Ла-
пласа;
Р,
jk
(x)=||ДUj (|Фк (x,§dS%; (9)
Фk (x, § =
exp (i
Параметр перетворення Фур'е ототожнюемо з частотою коливань ю , а трансформанти Фур'е U j, о j - з ампттудними значеннями вщповщ-
них фiзичних величин и}-, о j. Розглядаемо усталений у чаш процес, тому початковi умови вщсутш. Функцiями Uj задаемо розкриття по-верхонь трiщини у вигщщ стрибка перемiщень точок протилежних поверхонь S1± дефекту
IJj (x,ю) = AU;1(x,ю) = [U- (x,ю)-U^ (x,ю)] /4л , j = 1,3, xeSi .
Для розв'язання задачi використовуемо метод К1Р, який дозволяе перейти вщ тривимiрноl задачi до двовимiрноl та не накладае обмежень на геометрда областi дефекту.
Розв'язок рiвняння (5) подамо у формi Ге-льмгольца через скалярний ф та векторний у потенцiали
x -
потенщали
x - §=
j=1,3, k=1,2
Гельмгольца. Тут - вщстань
t=V(X1 ) + ( ) + x3
мiж точками x (x1, x2, x3) i 1 2,0) . Густи-ни A üj потенцiалiв характеризують стрибок
змiщень точок протилежних поверхонь трщи-ни в процесi И розкриття в напрямку вщповщ-них координатних осей. Вибiр розв'язку за до-помогою потенцiалiв (9) автоматично задово-льняе умови Зоммерфельда на безмежносп.
Надалi обмежимось розглядом осесиметри-чно! задачi, коли функци розкриття поверхонь трщини описуються залежностями
A ü 11 (x, ю) = Q (r, ю) cos ф;
A ü 21 (x, ю) =Q (r, ю )sin ф;
Aü31 (x,ю)=F(r,ю), x eS1,
де r, ф - полярнi координати. Для спрощення запису у подальшому знак «U » над шуканими величинами опускаемо.
Перемiщення и в довшьнш точцi xn тiла складаються з перемiщень иИ, спричинених
д
S
pозкpиттям повеpxонь дефектy, i пеpемiщень û0 вiд коливaння точок повеpxнi пiвпpоcтоpy
Û(x n ) = Ûl(x n ) + Û0 (xn )•
(l0)
Пicля виконaння послщовносп вiдповiдниx пiдcтaновок потенцiaли Гельмгольцa нaбyвa-ють вигляду
Pj-kn ( xn )=ÍJA ujn (Ç) ФI ( xkn, Ç) dS% ;
S
j = ¡Д l = l,2; k, n = 0,l,
де гycтини AUjl - вiдомi (зaдaнi) фyнкцiï pозк-
pиття повеpxонь тpiщини, a невiдомi гycтини AUj0 - xapaктеpизyють yмовнi пеpемiщення
точок повеpxнi пiвпpоcтоpy•
Для визнaчення Auj0 зaдовольняeмо кpaйовi
Умови Ha повеpxнi S0 пiвпpоcтоpy (7) i отpимy-емо cиcтемy тpьоx двовимipниx KIF вiдноcно невiдомиx густин Auj0 :
A2 (A 2 + (l - S j 3) а 2 + S j 3 x
(Ç) exP( i а |x o-Ç ^ dS
xÍÍ Auj0 (Ç)-j-Vi-LdSÇ-
So x 0 Ç
а
2
A 2 +-
ÍÍAUj0 (Ç)
exp (z а
-Ç| )
x o-Ç
dS Ç =
= -Bj (xo); j = l,3; xo e So • (ll)
Виpaзи Bj y пpaвиx чacтинax piвнянь (ll)
мicтять двовимipнi iнтегpaли з вiдомими густи-шми AUjl • Зacтоcyвaвши до ^стеми KIF (ll)
двовимipне iнтегpaльне пеpетвоpення Фyp'е зa змiнними xl, x2, отpимaли cиcтемy лiнiйниx aлгебpичниx piвнянь вiдноcно Фyp'е-тpaнcфоpмaнт фyнкцiй Au ■ 0 • Fозв'язaвши otc-
тему piвнянь тa зacтоcyвaвши до ïï pозв'язкiв обеpнене пеpетвоpення Фyp'е, отpимaли штег-paльнi пpедcтaвлення для густин Auj0 чеpез
вiдомi фyнкцiï pозкpиття повеpxонь тpiщини
-, +Т Т
A Uj 0 (С)=^ Ш Щ J0 (x|C-4)x
3
xZ ajnBnd x dSv ;
n=l
R(x)=R32 (x)-x2Rl (x)R2 (x) ;
R
(x)=Vx2-а2 ; j=l,2; R3 (x)=x2-(l2)
У pезyльтaтi вpaxyвaння кpaйовиx умов нa повеpxнi пiвпpоcтоpy у cпiввiдношенняx (l2) з'являетьcя фyнкцiя Релея R(x), що cвiдчить пpо появу у тш нового типу пpyжноï xвилi -повеpxневоï xвилi Релея •
Ha нacтyпномy етaпi pозв'язyвaння зaдaчi ш-дcтaвляли знaйденi cпiввiдношення для густин AUj 0 (l2) у виpaзи для пеpемiщень (l0) тa ви-
знaчaли пеpемiщення нa повеpxнi пiвпpоcтоpy• Для тpiщини ноpмaльного вiдpивy фyнкцiï pоз-кpиття повеpxонь зaдaвaли cпiввiдношеннями
Aull ( x ) = Au2l ( x )= 0 ;
A u 3l ( x )=^ a2 - x2 - x 2 =yj a2 - r2 ; x e S^
Викошвши вiдповiднi пiдcтaновки тa обчда-ливши двовимipнi iнтегpaли по облacтi т^щини тa повеpxнi пiвпpоcтоpy, отpимaли iнтегpaльнi пpедcтaвлення для веpтикaльниx тa гоpизонтa-льниx пеpемiщень нa повеpxнi пiвпpоcтоpy:
" ТQ3(x)
U 3 ( r , а) = 2л a I M(x) J o( x r ) d x ;
0 R (x) Т Q (x)
ur (r",а) = -4na Í M(x) J, (xr")dx ;
0 R (x)
Qr (x)=R2 (x)R3 (x) [e~dRl (x)- e-dR2(x)] ;
Q 3 (x)=I[x2 Rl (x)R 2 (x)e ^(x)-x
- R32 (x)e-dR2 (x);
ч sin ax
M (x) =--cos a x ,
ax
де a - paдiyc тpiщини ( RT ), r" - в^ст^нь вiд епiцентpy yтвоpення тpiщини до точки стосте-pеження А, в якш визнaчaють пеpемiщення фи^ 2)
а
о
А
Fиc• 2^ Сxемa визнaчення пеpемiщень нa повеpxнi пiвпpоcтоpy
На рис. 3 представлеш залежносп ампл^уд- зультатi числових розрахункiв для значення
них нормованих значень перемiщень \ы3\/а i коефiцieнта Пуассона ц = 0,3. Глибина d заля-
\пг\/а вщ хвильового числа ю2 а за рiзних роз- гання трiщини становила 2а, вщстань г * = 8а .
мiрiв трiщин (Ят = а;2а;4а), отримaнi у ре-
0 2 4 6 8 (й2а б
0 2 4 6
г
д е
Рис. 3. Залежшсть нормованих значень перемщень на поверхш твпростору у точщ спостереження г* = 8
1 d = 2а ввд хвильового числа:
а, б - Ят = а ; в, г - Ят = 2а ; д, е -
Ят = 4а
Графши залежностей починаються вiд стати- трщини призводить до: збiльшення амплггуд-
чних значень перемiщень для ю2а = 0, по™ них значень перемщень; зменшення кiлькостi
зростають i приймають осцилюючий характер з осЦиляЦiй на пPомiжку а 2а <4; звуження ши-
поступовим заниканням. Збiльшення розмiрiв рини спектра частот та змщення у сторону ниж-
а
в
чих частот значення приведено1 частоти, за яко1 перемiщення досягають максимальних значень.
Як зазначено вище, пiд час АЕ-дiагностування технiчних об'eктiв прийнят пружнi коливання поверхнi рееструють як еле-ктричнi сигнали. Надалi вважаемо, що на вихо-дi первинного перетворювача отримуемо елек-тричнi вщображення коливань без спотворення або з мшмальними спотвореннями форми [2]. Тодi отриманi результати змiни ампл^удно-частотних параметрiв перемiщень на поверхнi твердого тша справедливi i для вщповщних си-гналiв АЕ.
Нами виконано числовi розрахунки ширини смуги частот та домiнуючоl частоти пружних хвиль АЕ для випадку розкриття трщини вщ-риву у конструкцiйних сталях 38ХН3МФА та 45. Вихщш дат: сталь 38ХН3МФА: Е = 210 ГПа; О = 83 ГПа; р = 7900 кг/м3;
ц = 0,265; с2 = 3241 м/с ; сталь 45:
Е = 200 ГПа; О = 78 ГПа; р = 7826 кг/м3;
ц = 0,282; с2 = 3157м/с . Параметри трщини:
а = 5 х10~3 м; d = 2а ; г* = 8а (див. рис. 2). Результати обчислень вщображено у табл. 1.
Таблиця 1
Залежшсть частотних napaMeTpiB пружних хвиль АЕ ввд ixmiipiit дископодiбноT трщини для pi3H^ конструкцiйних мaтерiaлiв
Ширина смуги частот Значення домшуючо! частоти
Рад1ус трщини А/ ,кГц А/3, кГц ./max , кГЦ /max , кГЦ
а 186 / 181 186 / 181 258 / 251 206 / 201
2а 134 / 131 165 / 161 165 / 161 114 / 111
4а 83 / 81 103 / 100 145 / 141 105 / 100
1.
Примггка: у чисельнику значення для стат 38ХН3МФА; у знаменнику - для стат 45
Вони показали, що iз збiльшенням розмiрiв трщини ширина смуги частот звужуеться, а значення домiнуючоl частоти змiщуеться у сторону нижчих частот. Водночас, що бшьша тр> щина, то бшьших значень набувають перем> щення на поверхнi пiвпростору, тобто амплггу-ди сигналiв АЕ зростають.
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
2.
Висновки
За отриманими розв'язками тривимiрноl ди-намiчноl задачi для пружного пiвпростору, пос-лабленого дископодiбною трiщиною вiдриву, встановили, що характер коливань поверхш твпростору залежить вщ розмiрiв трiщини. Коливання мають осцилюючий характер, iз по-ступовим заниканням.
За умови збшьшення розмiрiв трiщини зростають ампттуди коливань точок поверхнi пiвп-ростору, звужуеться ширина смуги частот та зменшуеться значення частоти, за яко1 коливання досягають максимальних амплиуд. Ви-користання отриманих результатiв пiд час АЕ-дiагностування дозволяе встановити характер руйнування у конструкцiйному матерiалi, що водночас сприяе пiдвищенню ефективностi ощнки залишкового ресурсу об'екта контролю.
AHgpenKiB, O. £. TeopeTHHHi ochobh MeTogy aKy-cthhhoi eMicii' b Mexarn^ pynHyBaHHH [TeKCT] / O. £. AHgpeHKiB, B. P. CKagbCbKHH, r. T. CyguM.
- HbBiB: CnogoM, 2007. - 479 c. Ha3apnyK, 3. T. AKycTHKO-eMiciHHe giarHOCTy-
BaHHH egeMemiB KoHCTpyK^n: HayK.-TexH. noci6. y 3 t. - T. 1: TeopeTHHHi ochobh MeTogy aKycTHH-Hoi' eMicii' [TeKCT] / 3. T. Ha3apnyK, B. P. CKagbCb-khh. - K.: HayKoBa gyMKa, 2009. - 287 c.
3. BugeK, 3. H3gyneHue BogH Hanpa^eHHH npu CTpa-rHBaHHH Tpe^HHM MeTogoM KoHenHbix эgeмeнтов
[TeKCT] / 3. BugeK // npo6geMbi nponHocTH. -1980. - № 6. - C. 23-25.
4. Alterman, Z. The vibration of elastic plane and half plane due to the sudden appearance of a crack [TeKCT] / Z. Alterman, R. Burridge, D. Loewentha // Geophys. J. Roy. Astron. Soc. - 1971. - 24, № 1/2. - P. 239-259.
5. CKanbCbKHH, B. P. BroHaneHHH nepeMi^eHb Ha noBepxHi mBnpocropy, cnpHHHHeHHx yTBopeHHHM BHyTpimHboi' Tpi^HHH CKpyTy [TeKCT] / B. P. CKa^bCbKHH, O. M. CraHKeBHH // BiCHHK ^Hy3Ty iM. aKageMiKa B. ,Ha3apaHa. - Bun. 33. -^HinponeTpoBCbK, 2010. - C. 255-258.
6. rpugH^KHH, M. 3BegeHHH 3agani npo B3aeMo-giro Tpi^HH y 3a^eMgeHoMy niBnpoCTopi go Kpa-hobhx iHTerpagbHux piBHHHb [TeKCT] / M. rpu-gu^KHH, I. n. HaymHHK, O. M. CraHKeBHH // ®i-3HKo-xiMinHa MexaHiKa MarepiagiB. - 2003. - № 1.
- C. 71-76.
7. Хай, М. В. Фундаментальний розв'язок квазю-татично1 задачi для твпростору з плоскими трiщинами [Текст] / М. В. Хай, В. З. Станкевич // Фiзико -xiMi4ra мехашка матерiалiв. - 2002. -№ 3. - С. 25-28.
8. Хай, М. В. Определение перемещений на поверхности тела, обусловленных разрывами сплошности среды [Текст] / М. В. Хай, В. З. Станкевич // Прикладная механика. - 1994. - № 30. -С. 25-33.
9. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики [Текст] / В. С. Владимиров. - М.: Наука, 1981. - 512 с.
10. Кит, Г. С. Метод потенциалов в трехмерных задачах термоупругости тел с трещинами [Текст] / Г. С. Кит, М. В. Хай. - К.: Наукова думка, 1989. - 288 с.
Надшшла до редколеги 26.06.2012.
Прийнята до друку 09.07.2012.
В. Р. СКАЛЬСКИЙ, Е. М. СТАНКЕВИЧ (Физико-механический институт имени Г. В. Карпенка НАНУ, Львов), В. З. СТАНКЕВИЧ (Львовский научно-исследовательский институт судебных экспертиз), Ю. Я. МАТВИИВ (Луцкий национальный технический университет)
АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУПРОСТРАНСТВА, ОСЛАБЛЕННОГО ДИСКООБРАЗНОЙ ТРЕЩИНОЙ ОТРЫВА
Представлено решение динамической задачи определения волнового поля перемещений на поверхности полупространства, обусловленного раскрытием внутренней трещины отрыва. На основе решений граничных интегральных уравнений показан характер изменения амплитудно-частотных характеристик упругих колебаний на поверхности твердого тела в зависимости от размеров дефекта.
Ключевые слова: трещина отрыва, упругие колебания, граничные интегральные уравнения
V. SKALSKY, E. STANKEVYCH (Karpenko Physico-Mechanical Institute of the National Academy of Sciences of Ukraine, Lviv), V. STANKEVYCH (Lviv Research Forensic Institute), YU. MATVIIV (National Technical University of Luck)
SPECTRAL CHARACTERISTICS OF SURFACE ELASTIC OSCILLATIONS OF HALF-SPACE WEAKENED BY A MODE I PENNY-SHAPED CRACK
The solution of a dynamic problem for calculation of displacement field caused by internal mode I crack opening is presented. Based on boundary integral equations solutions it was revealed that a spectral characteristics of half-space surface elastic oscillations depend on defect sizes.
Keywords: a crack of mode I, an elastic oscillations, a boundary integral equations method
