CC BY
32
УДК 539.3
В. Р. СКАЛЬСЬКИИ, О. М. СТАНКЕВИЧ (Ф1зико-мехашчний шститут iM. Г. В. Карпенка НАНУ, Львiв)
ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМ1ЩЕНЬ НА ПОВЕРХН1 П1ВПРОСТОРУ, СПРИЧИНЕНИХ УТВОРЕННЯМ ВНУТР1ШНЬО1 ТР1ЩИНИ СКРУТУ
Розглянуто динашчну задачу про визначення хвильового поля перемщень на поверхш пружного тв-простору, спричиненого утворенням внутршньо! трщини. Задача розв'язана методом граничних штеграль-них р1внянь. Отримано та проанатзовано залежносп м1ж параметрами перемщень точок поверхш тша та функщями розкриття поверхонь дефекту.
Рассмотрена динамическая задача определения волнового поля перемещений на поверхности упругого полупространства, обусловленного образованием внутренней трещины. Задача решена методом граничных интегральных уравнений. Получены и проанализированы зависимости между параметрами перемещений точек поверхности тела и функциями раскрытия поверхностей дефекта.
The dynamic problem on determination of the wave field of displacements on the surface of the elastic halfspace caused by an inner crack nucleation is presented. The problem is solved using boundary integral equations. The relationships between the parameters of displacements of the body surface points and the functions of opening of the defect walls are derived and analyzed.
Техшчне дiагностування е важливою вiхою мошторингу стану конструкцш, оскшьки воно дае змогу не лише вщслщковувати стади заро-дження та розвитку пошкоджень у тшах, а й дозволяе прогнозувати !х залишковий ресурс i рекомендувати оптимальш режими експлуата-ци. Основу такого дiагностування складае не-руйшвний контроль, серед рiзноманiття спосо-бiв якого варто виокремити метод акустично! емюи (АЕ) [1-3]. Вiн грунтуеться на явищi ви-промiнювання пружних хвиль розривами сущ-льностi середовища (дефекти структури типу трщин, порожнин, тощо) як на етапах виник-нення, так i подальшого !х розвитку та поши-рення. Використовуючи строгий математичний апарат, метод АЕ дозволяе ефективно вщсте-жувати отримаш сигнали та пiсля вщповщно! !х обробки проводити вiрогiдну iнтерпретацiю щодо аналiзу пошкодженостi конструкцiй.
Важливою запорукою успiшного застосу-вання такого тдходу е створення вiдповiдних математичних моделей, як адекватно описують явище утворення у навантаженому тш струк-турних дефекпв, дослiджують iнiцiйоване ними пружне поле перемiщень, встановлюють залежност мiж характеристиками дефектiв та параметрами АЕ [4].
Розглянемо тривимiрну динамiчну задачу теори пружностi про утворення у пiвпросторi з вiльною поверхнею трiщини. Вибрана модель пiвбезмежного тша добре описуе поведiнку ре-альних великогабаритних конструкцiй на кшталт транспортних тунелiв, фундаментiв ш-
женерних споруд тощо. Нехай пружний шв-проспр мiстить дискову трiщину радiуса a , яка займае область S1, паралельну до поверхш S0 тiла та розташовану на глибиш d (рис. 1).
Рис. 1. Схема задач1
Декартову систему координат 01 ^С1 ^С 2 ^С з 1
вибрано так, щоб область ^ 1 мiстилась в пло-
щиш х1 01 х 2 . Утворення дефекту в чаш ^ мо-
делюемо заданням стрибкiв Дн;1 (х, ^), ]=1,3
протилежних поверхонь трiщини в напрямках 01 х ■. Обмежимось випадком розкриття в тiлi
трщини скруту з нерухомим контуром. Заро-дження такого типу дефекту може бути спри-чинене крутними навантаженнями, як виника-ють у фундаментах споруд при !х неоднаковiй
© Скальський В. Р., Станкевич О. М., 2010
осадц1 в1д нер1вном1рного прос1дання грунту, шдтоплення грунтовими водами тощо.
Поставлена задача зводиться до розв'язу-вання диференщального р1вняння руху вщнос-
но вектора и (ит, и 2, и 3) пружних перемщень
а ^ Р д2 и Д 3 и +--2гааа1уи =--— (1)
3 1 - 2у О дл2
з такими крайовими умовами:
с13 (х0>л) = 0 , 1 = 1,3 , X0 е5о; Ди¡1 (х,Л)=(51 ]%2 -52;Х1 ))а2 -х2 -Х22 /(л) ; 7 = 1,2 , Ди31 (х,Л)= 0 , хе51, (2)
де V, р, О - вщповщно коефщент Пуассона,
густина I модуль зсуву матер1алу тша;
Д д2 д2 д2 . „ и Д 3 =—- +--- +--- - тривим1рний Лаплаав
дх1 дх2 дх3
оператор; 5 ^ - Кронекер1в символ; с ¡3 - компонента тензора напружень; /(л) - функщя
розкриття в чаш поверхонь трщини. Початков1 умови задач1 вважаемо нульовими. Наявшсть коренево! особливосп в (2) забезпечуе вщсут-шсть стрибка перемщень в точках контуру тр> щини [5].
Задачу розв'язували з використанням штег-рального перетворення Фур'е за часом. При цьому сшввщношення (1), (2) набувають ви-гляду:
1 ? Р
Д и +-graddiv и +ю 2 —11 = 0; (3)
1 - 2v О
с]■ 3(х0,ю) = 0 , х0е50; Ди 1 (х,ю) =(51. х2 -52. х1 ))а2 - х12 - х^ /(ю) ;
Ди31 (х,ю) = 0 , хе^1, (4)
де юе (-< +<х>) - параметр штегрального перетворення; £ (ю) - Фур'е-трансформанта функцп £ (л) . Розв'язок задач! (3), (4) додатко-
во повинен задовольняти певним змшаним крайовим умовам. Зокрема, якщо поверхш трь щини навантажеш лише нормальними зусил-лями, то перемщення и 3 = 0 поза трщиною в
площиш И розташування, а напруження с 13 = 0,
с 23 = 0 у всш площиш. Якщо ж поверхш тр1-
щини зазнають ди зсувних зусиль, то и1 = 0,
и 2 = 0 поза трщиною в площиш И розташуван-
ня, а напруження с33 = 0 у всш площиш. Вра-
ховуючи вищесказане, розв'язок задач1 (3), (4) вибрано у вигляд1 штегральних представлень:
Ч 0
(х,ю)=-
ю,
Ю 2 д-РД
ю
2 Л яЫ
2
-(Д 2 +Ю 2 )
2 дх 30 V
дх1 дх 310
дР
30
дх,
, 1=1,2;
30
(х,ю)=
2д
ю 2 дх30
Д (Р1 -Р 2 )+°1Р1
^ 30 1 30 у 2 30
В (5) наведеш таю позначення:
, . <.,. ехр (
Р"]к (0,ю)=||Ди~к (|,ю)- V
о
.(5)
„
К0 3
7 = 1,3 , к = 0,1 , п = 1,2 - Гельмгольцев1 потен-щали [5] ; ю п =ю/ сп - хвильове число;
ст у)(Т-2у)с2 1 с2 =О/Р - швидко-
ст поширення у тш поздовжньо! \ поперечно! об'емних пружних хвиль;
|^(хт-|т) +(( 12) ;
|х10 -|^(х1 1 ) +(х 22 ) + х 3
/=л/-Т - уявна одиниця; Ди ¡0 - невщом1 гус-
тини потенщал1в, як характеризують перем1-щення точок поверхш 5" 0 п1впростору та шдля-
гають визначенню. Виб1р розв'язюв у вигляд1 (5) тотожно задовольняе р1вняння (3) та умови Зоммерфельда випромшювання на безмежнос-т1. Розв'язки вибраш на п1дстав1 принципу су-перпозицИ, зг1дно якого перем1щення в довшь-н1й точц1 т1ла складаються з перем1щень в1д розкриття трщини та вщ перем1щень точок поверхш твпростору.
Використавши сп1вв1дношення закону Гука, запишемо 1нтегральн1 представлення для напружень:
~ ( \ 4 О
с 13 (хо,
ю о
(
- в■
ю 2 | д2 (Р30 - Р302)
•21
дх7- дх30
(Д 2 +ю 2 )Р1
7 = 1,2
~ ( 1 4 О
с33 (хо,ю^=—г
4 7 ю 2
(
- в 3 -
ю
2
Д 2 +— 2 2
V
Р1
1 30
А2 (а2 +ю 2)], 1=1,2,
(6)
де Б] (А2 +ю 2)) , 1=1,2 , В3 = 0 .
Для визначення невщомих функцiй АН ;0
необхiдно скористатися умовою (4) вiдсутностi напружень на вшьнш поверхнi 5 0 тша. Задово-
льняючи вiдповiдну крайову умову, отримали систему 3-х двовимiрних граничних штеграль-них рiвнянь типу потенщалу Гельмгольца вщ-носно густин Ай ■ 0:
ю
2
д2 Р - Р32 ) ю
дх;- дх30
2 (А 2 +ю 2)) = В,
ю
22
А 2 +— 2 2
р0 +А 2 (а 2 +ю 2 ) = В3. 1=1,2, х0е50. (7)
Ай10= 2 п2 ю
1 ад
—П ^^0 (Р|^-п|)В1^Р^п
2 5 „ 0
дР
10
дх
= 2 п Ай
10
х30 0 , 1=1,3,
30
дР
1] 0
(х0,ю)=д^-Я Айк (Е,ю)^(х10,Е)5Е
дх 310 5,
51
1 = 1,2 , й 3
( х 0,ю) = 0.
(8)
Де
^(хю, Е) = |р exp ( — х310 Я2 (р))/0 (р|х0 — Е)Р .
0
Перший доданок у (8) характеризуе перем> щення у безмежному тш вiд розкриття трщи-ни, а другий доданок характеризуе вплив вшь-но! поверхнi тiла. Виконаемо тотожш перетво-рення
Е) = |р eXP (-х 310 Я 2 (р)) 0 (р| х0 -Е|) Р =
0
д ад ехр(-х310Я2 (р)). ( , Е|),
= ^- Я (р\- .0 (р|х0 Р =
дх
310 0
Я2 (р)
д ехР ('
Е|)
дх 3
-Е|
На пiдставi вищесказаного вирази (8) набува-ють вигляду:
Застосувавши до (7) двовимiрне iнтегральне перетворення Фур'е за змшними х10, х20 та
використавши теорему про згортку, отримали систему лiнiйних алгебричних рiвнянь вiдносно невiдомих Ай ■ 0. Розв'язавши систему рiвнянь
та застосувавши до И розв'язюв обернене дво-вимiрне перетворення Фур'е, отримали пред-
ставлення густин Ай ■ 0, 1=1,3 , через функци Ай (х, ю) розкриття трщини у видi:
1] 0
(х0,ю) = 2
Л
дх
310
2 ^ Ям 11 (Е, ю)
exP ( 7 ю 2 |х10 -Е|)
310 51 Iх10 Е|
1 = 1,2 , й30(х0,ю) = 0.
¿5Е
(9)
де Я2 (р)=^р2-ю 2 ; /0 (г) - Бесселева функ-
цiя нульового порядку дшсного аргументу г. Поставивши вирази АН ;0 у сшввщношення
(5), використавши результати роботи [6] та вла-стивiсть нормально! похщно! вiд потенцiалу
отримали такi штегральш представлення для перемiщень на поверхш пiвпростору:
Вирази (9) дозволяють зробити наступи ви-сновки:
1. При розглянутому утвореннi трiщини кручення в тш поширюються лише горизонтально поляризоваш (8И) поперечнi хвилi зi шви-дкiстю с 2.
2. Вертикальш перемiщення точок поверхш швпростору вiдсутнi.
3. Наявнють вшьно! поверхнi пiвпростору призводить до того, що амплiтуди зсувних пе-ремiщень на нiй удвiчi перевищують сво! аналоги для випадку безмежного тiла.
Застосувавши до (9) обернене перетворення Фур'е за часом та скориставшись при цьому сшввщношенням зашзнення
/(сю)ехр(Ью) ^— /р (
отримаемо:
1 (х0,,) = 2¿Ц/ ¿5Е ,
дх31^ 1х10 Е
310 5,
Au jl (S t - т|X10 - Sl) = (5 1 jS2 - 5 2 jS1 ) X x^a2-|22 /(t-T|xio-||) , j=1,2. (10)
Тут x=ajc 2 - характерний час, за який поперечна хвиля проходить вщстань, piBHy радiусу трiщини; St - частина област S1 , для яко!
t-т|x10 -|| > 0 .
Таким чином, отримано розв'язки у виглядi запiзнюючого потенцiалy (10) для перемщень на поверхнi твпростору через вiдомi функци розкриття трщини. При цьому автоматично задовольняються умови причинносп - до приходу в точку спостереження пружно! хвит пе-ремiщення вiдсyтнi. Як приклад, розглядали випадок, коли фyнкцiя / (t) описуеться часовою залежшстю [4]
f (t)=í1 -exp(-*/т), *>0;
П ) | 0 , t<0.
Визначали залежностi перемiщення u ф = =u 10/ a sin ф=-u 10j a cos ф вiд безрозмiрного часу t. = t/т (рис. 2) в точщ поверхнi твпростору, розташованш на вiдстанi r=<Jx12 + x2 =10 a . Глибина залягання трiщини становить d=a .
Видно, що з приходом в точку спостереження пружних хвиль ампл^удш значення перемщень спочатку зростають, а потiм - спада-ють. Найбiльшого вiд'eмного значення перем> щення досягають в момент приходу в точку спостереження пружно! хвилi вщ найбiльш вщ-далено! точки контуру дефекту. З плином часу перемщення на поверхш тiла заникають.
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Скальський, В. Р. Акустична емгая тд час руй-нування матер1ал1в, вироб1в i конструкцш. Ме-тодолопчш аспекти вiдбору та обробки шфор-мацй' [Текст] / В. Р. Скальський, П. М. Коваль. -Львiв: СПОЛОМ, 2005. - 394 с.
2. Андрейшв, О. £. Теоретичш основи методу аку-стично! емки в мехашщ руйнування [Текст] / О. £. Андрейкiв, В. Р. Сокальський, Г. Т. Сулим. - Львiв: СПОЛОМ, 2007. - 480 с.
3. Grosse Ch. U. Acoustic emission testing. Basics for research - application in civil engineering [Текст] / Ch. U. Christian, Masayasu Ohtsu. - SpringerVerlag, 2008. - 404 p.
4. Назарчук, З. Т. Акустико-емюшне дiагносту-вання елементiв конструкцiй [Текст]: наук.-техн. посiб. у 3 т. - Т. 1. Теоретичш основи методу акустично! емки / З. Т. Назарчук, В. Р. Сокальський. - К.: Наук. думка, 2009. -287 с.
5. Кит, Г. С. Метод потенциалов в трехмерных задачах термоупругости тел с трещинами [Текст] / Г. С. Кит, М. В. Хай. - К.: Наук. думка, 1989. - 288 с.
6. Станкевич, В. З. Обчислення деяких двовимiр-них iнтегралiв, характерних для динашчних задач теори трщин в твбезмежному тш [Текст] / В. З. Станкевич // Мат. методи i фiз.-мех. поля. - 1995. - Вип. 39. - С. 56-61.
Надшшла до редколегп 17.03.2010.
Прийнята до друку 26.03.2010.
Рис. 2. Залежшсть перемщень вщ часу
