CC BY
21
УДК 664.02
Варивода Ю.Ю., к.т.н., доцент, Щж Б.Р., д.т.н., професор, Волос В.О., к.ф.-м.н., доцент, Чохань М.1., к.т.н., ст.викл., Фшшсонов Р.В., лаборант Лъв\всъкий нацюналънийутеерситет ветеринарногмедицини та бютехнологт
Iмет С.З. Гжицъкого Гончар Ф. М., к. ф. - м. н., доцент © НУ «Лъвгвсъка Полтехшка»
ОЦ1НКА ТОЧНОСТ1 РОЗВ'ЯЗКШ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВ1ДНОСТ1 ДЛЯ НЕОДНОРЩНИХ ЕЛЕМЕНТ1В КОНСТРУКЦ1Й, ЩО М1СТЯТЬ ЧУЖОР1ДН1 ТОНКОСТ1НН1 ВКЛЮЧЕНИЯ
Быъшжтъ неоднор1дних вузл1в машин та апарат1в виробництв харчовог промисловост1 м1стятъ чужор1дт тонкосттт включения, ят суттево впливаютъ на температурный режим роботы таких вузл1в. Робота присвячена розрахунку та анал1зу такого вплыву. На приклаЫ довгого порожнистого гз тонкостшним чужор\дним включениям цилтдра, поверхт якого тдтримуютъся прир1зних температурах, проведена ощнка точност1розв'язку задач/ теплопров1дност1 для тм з тонкосттними включениями. При цъому коефщент теплопров1дност1 представляетъся через симетричну / асиметричну дельта - функцп Д1рака. Показано, що наближении розе 'язок можна отримати шляхом граничного переходу у точному розв'язку. На конкретному прикладг дослгдженого меж1 допустимост1 застосування наближеногорозв'язку.
Ключов1 слоеа:задача теплопров1дност1, неоднор1дт тма, чужоргдт включения, точшстъ розв'язюв, узагалънет функцп, коефщент теплопров1дност1,дельта - функцп, ступенев1 асиметричш функцп, алгебра узагалънених функщи, граничнии метод спряжения, тепловий контакт, температурнийрежим.
Вступ. Широке застосування в р1зних галузях сучасно! техшки харчово! та переробно! промисловостей знаходять тша неоднорщно! структури [1,2].Розв'язання проблем мщност1 для неоднорщних вузл1в апарапв \ машин переробно! промисловост1, оптим1заци технолопчних процеав [3,4] вимагають розробки нових метод1в розв'язку задач термомехашки тш неоднорщно! структурн. Першим етапом для дослщження теплового стану таких тш служить знаходження температурних пол1в в неоднорщних елементах конструкцш. При цьому вщомо [5-8], що одшею ¿з ефективних теорш розв'язку проблем термомехашки тш неоднорщно! структури на сучасному еташ И дослщження е теор1я, що базуеться на застосуванш апарату узагальнених функцп [9-13]. Ця теор1я в термомехашщ тш неоднорщно! структури призвела до виникнення нового наукового напрямку в термомеханщщеформ1вного твердого тша,
© Варивода Ю.Ю., ЩжБ.Р., Волос В.О., Чохань М.1., Фшпсонов Р.В., Гончар Ф. М., 2012
257
значний вклад в розвиток якось внесли льв1всью вчеш Я. С. Пщстригач та Ю. М. Коляно. Ними, наприкшщ минулого стол1ття, був започаткований I розвинутий новий науковий напрямок в термомехашщ - застосування узагальнених функцш втермомехашщ тш неоднорщно! структури: багатошарових, армованих тш, тш ¿з наскр1зними I ненаскр1зними включениями, иокриттями, ¿з залежними вщ темиератури теплоф1зичними характеристиками, ¿з неиерервною неоднорщшстю, з кусково-постшними коефщентами тепловщдач1, багатостуиеневих пластин, оболонок, вал1в. Про цей науковий напрямок яскраво вщм1чаеться в роботах всесв1тньовщомих вчених в област1 термопотужност1 неоднорщних структур академЫв М. М. Рикалша та О. О. Углова[14] та шших вчених [15-17]. При цьому теплоф1зичш I ф1зико - мехашчш характеристики та ¿х комбшаци для кусково-однорщних тш, коефщенти тепловщдач1 з ¿х поверхонь можуть бути описаш для всього неоднорщного тша як единого цшого за допомогою асиметричних одиничних або характеристичних функцш, а ф1зико - мехашчш характеристики тш з неперервною неоднорщшстю та ¿з залежними вщ температури характеристиками можуть бути апроксимоваш за допомогою ступеневих функцш. В результат! пщстановки представлених таким чином характеристик в диференщальш р1вняння термомехашки неоднорщних тш, приходимо до диференщальних р1внянь або граничних умов, як1 м1стять коефщентами ступенев1 функци, симетричну або асиметричш дельта - функци Д1рака та 1х похщш. В цьому випадку, за вихщш приймаються р1вняння термопружност1 однорщних тш, а також появляеться можлив1сть враховувати на поверхнях спряжения однорщних елемент1в розглядуваних тш умов контакту бшьш загальних, шж щеальний контакт. Це значно спрощуе I зменшуе трудом1стюсть под1бного роду задач, розв'язки отримуються, в основному, методом спряжения та виникае можливють отримання розв'язюв крайових задач термопотужност1 неоднорщних тш, що е единими для вЫе! дшянки 1х визначення [18,19].
Матер1али 1 методи.
Проведемо оцшку точносп розв'язку задач! теплопровщност1 для тш з тонкостшними включениями на наступному прикладг Розглянемо довгий порожнистий цилшдр, внутршня г = р\ зовшшня г = Я поверхш якого пщтримуютьсявщповщно при температурах 1Р\ Я
258
Нехай цилшдр мктить кшьцеве чужорщне включения серединного рад1уса Я1\ товщини стшки 2И (рис.1). Доиускаючи, що коефщент теплопровщносп включения вщмшний вщ коефщента теплопровщносп основного матер1алу, зобразимо його для неоднорщного цилшдра як единого цшого наступним чином:
або
Ъ (г) Ч ' ' ' N (г),{2) де Щг)=8( г- Я1+И)-8(г- Я-И),
Щг),(1)
N (г) = 5 (г — А| + к) 5+ ("г — Яг — к)- характеристичш функци, Г 1, > О,
Л" (\у 7 + 75 = 0 - асиметричш одиничш функци.
I 0^<0
Визначимо спочатку стацюнарне температурне поле в неоднорщному цилшдр1, якщо А [0') зображено виразом (1). Для цього використаемо диференщальне р1вняння в частинних похщних, стащонарного двовим1рного температурного поля в неоднорщному цщиндричному тш [1]
Я/г,+ ^ * = 0, (3)
дг дг 0Е0Е
де Яг(г,г) - неоднорщний коефкцент теплопровщност1, 1 д
- оператор Лапласа. Таким чином, враховуючи (3), для точного виразу температурного поля 1;т отримаемо р1вняння теплопровщност1 :
еГ . 1££г
1 ¿Л Г (г) <ИТ _ 0
(4)
г ¡¡г Л^г) йг йг Граничш умови приймемо у вигляд1
Хт = при г = р, Хт = ХЯ при г =Я (5)
Диференщальне р1вняння теплопровщност1 в частинних похщних (3) ¿з врахуванням сшввщношення (2) можна переписати [2] :
259
1/г,*). Д/+(Л<® 8_( г - Ъ) | 1=м± -3, (г- ¡12) Ц 1=Яя ] 5_(с1 -
Э* . (¡£4.(5)
-Щг) = |а=, У 0 де, г) ф--(6)
або в шшому вигляд1
й- ¡гт
¿г*
X
(7) Де К, .
Використовуючи метод вар1ацп довшьних сталих, знаходимо розв'язок останнього [3-6]:
Ь
£г = С| (лг + С2 +
(8)
1з стввщношення
¿г
л; 5- (г- + + *!-
% I
випливае, що - и Ц-,- л . й — с,-
(9)
Стал1 штегрування, що входять у (8), визначимо ¿з граничних умов (5) ¿з врахуванням (9) у вигляд1
с± = м ,с2 = Ь - м
(10), де м = —
(д — (с
-т-т^ Пщставляючи
(10) у вираз (8), запишемо розв'язок межово! задач1 (4) - (5) остаточно
£г = £„ + М
1г -Р ¿(г) = 1п
К,
К- е-
5_ {г- +
де
Ы-
Покажемо, що як при зображенш коефщента теплопровщност1 неоднорщно! системи ( або ж будь - яко! шшо! теплоф1зично! характеристики) у вигляд1 (1), чи у вигляд1 (2) умови щеального теплового контакту на границ! спряжения «включения - основний матер1ал» збер1гаються. Для цього розглянемо температуру \ тепловий пот1к С] окремо для кожно! ¡з трьох кусково - однорщних областей (див. рис.1).
260
Для першо! обласп р г — Ь маемо:
№
=^+М1п~, д± = М^—
Для друго! област1 — к г к буде:
Т2
Для третьо! обласп к г к знаходимо:
Л1*
- и^
ГО
На внутршнш границ! г — — к контакту включения з основним матер1алом, отримуемо, що
*п1г=Л-Ь =
1«
= М
1
<Ъ1г=Л1-* - МКл
На зовшшшй границ! г = 4- к контакту знаходимо
*тх\г=я1+ь = ¿Р4М [Ы^
Та t^
КЛ)Ь—]
4'
Отже £7-21*-= л^+ь — ^"гэI>-= л^+й> я^ь —
У вииадку представления коефщента теплопровщност1 неоднорщно! системи сшввщношенням (2) отримаемо , що температурив поле мае вигляд виразу (11), в якому замють 54 (г — — к ) буде 5_ (г — — к ). При цьому також виконуються умови щеального теплового контакту.
Розглянемо випадок тонкостшного включения. В цьому вииадку коефщ1ент теплопровщност1 можна представити у вигляд1 [9]
(12) (13)
СО) _ -СО),
де Лс = 2 п
приведена теплопровщшеть включения, К^ =
Пщставивши (12) в загальне р1вняння стащонарно! теплопровщност1 — [гА,, (г) — =0, отримаемо р1вняння для визначення наближеного температурного поля
261
v 1J dr 1
(14)
1нтегруючи р1вняння (14) раз по Г, маемо: йг С.1 ) йг I Г= о (г R-l) —
(15)
Взявши до уваги, що 2hS(r — R^) ^ N (г), ¿з (11) знаходимо I _ с'х
Лг R'-
Повторно штегруючи (15) по г ¡з врахуванням (16), маемо
(16).
(17)
Стал! штегрування С^ i С^ знаходимо ¡з граничних умов (5) у вигляд1
c[ = M'xf, C'2 = tp-M'
(18)
де М' = —%
_
Шсля пщстановки (18) у (17) знаходимо наближений розв'язок крайово! задач! теплопровщност1 у випадку тонкостшного включения
= % + М'[ (1 - K^V (г)], (19) де L' (г) = fs(r - Jtj .
Користуючись представлениям (13) р1вняння теплопровщност1, отримуемо вираз температурного поля у вигляд1 (19), в якому замють 5 (г — fi-j буде
Покажемо, що розв'язок (19) р1вняння теплопровщност1 (14) можливо також отримати, виходячи ¿з точного розв'язку (11). Перетворимо коефшдент М у сшввщношенш L (г) розв'язку (11) таким чином.
Розкладемо в коефщенп М вираз для логарифма In R~ " в ряд за
R ^ FL
h
(20)
Ji т Jij-l-h . 1+Д, 2h 2hs
степенями —: In —— = In —¡5- =--1--7 +
зяг
У випадку тонкостшного включения в розклад1 (20) можна обмежитись першим членом. Таким чином, виходимо на коефкцент М' розв'язку (19). Вираз £(г}, що входить в (11), перетворимо так:
L (г) = fa-^Sjr-+ h)-ln—S+(r-R1-h} = - +
г
(l + ±)s+(r-R1-k)
In
(21)
Використавши теля цього сшввщношення (19) i враховуючи, що
V ~ к*/
262
Замкть (21) знаходимо
I (г) зу 1п— 2 к 8(г - 4 — [5_ (г - + Ь) 4 54 (г - - Л)] =
--=-1-=- ^ —5 [г — Д-, 1
2
Пщставляючи результата перетворених сшввщношень М 1 £ (г) у розв'язок (11), отримуемо розв'язок (19).
Результаты дослщження.
Дослщжуемо дал1 на конкретному приклад1 гранищ застосування наближеногорозв'язку (19). Нехай^А = 0,5
= 500вС = Ю0° С р = 2- 10"5М Д = 5 ■ 10-5пм = 3,5 ■ 10"
м
3 \ ^ч/ А /Ь Г/г
1.6 1.9
Рис. 2
2.2
На рис.2 представлен! графки змши надлишкових температурних пол1в
з" ---УП _
потовщиш Р
безмежного порожнистого
цилшдра з тонкостшним цилшдричним включениям при р1зних значениях товщини стшки включения. Суцшьними лмями зображеш крив1 змши температурного поля, яке розраховане за точною формулою (11) при 2А _ 1 1 2к _ 1
Й! 70 20 (крива 1), 7 (крива 2), 2к _ 1
3 (крива 3), штриховими лшями -змши наближеного температурного поля, що розраховаш за формулою (19).
Крив1, що вщповщають точному розв'язку, представляють собою ламаш лшп.
Висновок.
1з графшв випливае, що при наближене температурив поле ствпадае з його точним виразом. Пот1м спостер1гаеться деяка незначна вщмшшсть \ вже 2к _ 1
при 3 в област1 включения наближене температурив поле вщр1зняеться вщ точного значения на 12%.
Л1тература
263
1. ВариводаЮ.Ю., Волос В О., Гончар Ф.М., Сешв Р.В.
Розрахунок температурних режим1в у сховищах тд час збер1гання продовольчо! сировини i готово! харчово! продукц!!. - В кн. «Матер!али М!жнародно! науково! конференци ¿м. академ!ка М. Кравчука», Ки!в, 2012р., ч.1. Диференц!альн! та штегральш р!вняння, с. 91.
2. Варивода Ю.Ю., Волос В О., Гончар Ф.М.
Досл!дження реолог!чних властивостей деяких харчових продукт!в.- В кн. «Матер!али Мжнародно! науково! конференц!! ¿м. академ!ка М. Кравчука», Ки!в, 2012р., ч.1. Диференщальш та штегральш р!вняння, с. 92.
3. Плахотш B.I., Тюр!кова I.C., Хомич 1.П.
Теоретичн! основи технологш харчових виробництв. - К. : Центр навч. л!тератури. 2006. - 640 с.
4. Бшонога Ю.Л. Процеси i аиарати харчових виробництв, Льв!в, Видав. «Л!га - Прес», 2003, 166 с.
5. Болотш В.В., Нов!чков Ю.М. Механ!ка багатошарових конструкц!й -М. : Машинобудування, 1980. - 376 с.
6. Коляно Ю.М.,Волос В.О. Р!вняння термоиружност! пластин ¿з не наскр!зними тонкостшними включениями - Доп. АН УРСР, сер. А., 1976, №9, с. 797-801.
7. Коляно Ю.М., Малк!ель Б.С.,Волос В.О., Кушшр P.M.
Температурш напруження в металево - скляному вузл! тримача
кольоророзд!льно! маски кольорового к!нескопу. - В кн. «Яюсть, м!цн!сть, над!йн!сть i технолог!чн!сть електровакуумних прилад!в», Ки!в: Наук. думка, 1976, с. 140-152.
8. Волос В.О., Фолькенфлж Ю.Я. Неустален! температурш напруження вметалево - скляному вузл! тримача оболонки кольорового к!нескопу при його в!дкачц!. - В кн. «Пщвищення якост! електронно - променевих прилад!в у X- ш п'ятир!чщ» : Тези допов!дей, Ки!в: Наук. думка, 1977, с. 6-7.
9. Коляно Ю.М. Застосування узагальнених функцш в термомехан!ц!кусково - однор!дних тш. - Мат. методи i ф!зико-мехашчш поля, 1978, вип.7 с. 7-11.
10. 1ванов В.К. Про одну алгебру елементарних узагальнених функц!й. - В кн. : Узагальнеш функци та векторн! поля. Прац! 1нституту математики, Свердловськ, 1979, вип.. 31, с. 3-15.
11. Пщстригач Я.С.,Коляно Ю.М. Узагальнена термомехан!ка, Ки!в: Наук. думка, 1976. - 310 с.
12. Ломакш В.А. Теор!я пружност! неоднор!дних т!л. - М. : Вид - во МДУ, 1976. - 367 с.
13. Коляно Ю.М., Микитишин M.I., Койфман Ю.1. Напруження у кругл!й пластин!, що нагр!ваеться по цил!ндричн!й i боковш поверхнях. - Теплов! напруження в елементах конструкц!й, 1976, вип. 16, с. 56-62.
14. Рикалш М.М., Углов О.О. Розвиток теплоф!зичних основ технолог!чнихпроцес!в, ФХОМ, 1981, №1, с. 7-18.
264
15. Самарський 0.0. Р1вняння парабол1чного типу ¿з розривними коефщентами. - Доп. АНСРСР, 1958, т. 121, №2, с. 225-228.
16. Тимофеев Ю.О. Про один наближений метод розрахунку температурних пол1в кусково - однорщних тш. - Журнал «Диференщальш р!вняння», 1980, том XVI, №8, с. 1492-1503.
17. Хорошун Л.П. Про побудову р1внянь шаруватих пластин та оболонок.
- Приклад. мехашка, 1978, т.14, №10, с. 3-21.
18. Преображенський I.M., Комозш I.T. Основш р1вняння Teopii' пружност1 макронеоднорщних тш. - Мехашка композитних матер1ал1в, 1981, №1, с. 142145.
19. Пщстригач Я.С.,Коляно Ю.М., Семерак М.М. Температурн1 поля i напруження в елементах електровакуумних прилад1в. - Ки!в: Наук. думка, 1981.
- 342 с.
Summary
Evaluation of the accuracy of task solving of heat conduction problem forinhomogeneous structural elements containing alien thininclusion.
Most of heterogeneous nodes machinery and apparatus manufacturing food containing alien thin inclusion, which significantly affect the temperature of such nodes. The work is devoted to the calculation and analysis of such effects. On the example of a long hollow thin-walled inclusion alien cylinder surface is maintained at different temperatures, the estimation accuracy of the solution heat conduction problem for bodies with thin-walled inclusions. The coefficient of thermal conductivity is represented by symmetrical and asymmetrical delta - function of Dirac. It is shown that the approximate solution can be obtained by passing to the limit in the exact solution. In the particular example studied limits of acceptability use approximate solution.
Рецензент - к.т.н., доцент Чайковський Б.П.
265
