Розрахунок стержневих конструкцій методом послідовних переміщень із урахуванням геометричної нелінійності Текст научной статьи по специальности «Математика»

IV МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРГП ТА МАШИНОБУДУВАНН1

УДК 004.021:539.3

Д-р фiз.-мат наук О. Д. Шамровський, Д. М. Колесник,

канд. техн. наук Ю. О. Лимаренко

Державна ¡нженерна академ1я, м. Запор1жжя

РОЗРАХУНОК СТЕРЖНЕВИХ КОНСТРУКЦ1Й МЕТОДОМ ПОСЛ1ДОВНИХ ПЕРЕМ1ЩЕНЬ 1З УРАХУВАННЯМ ГЕОМЕТРИЧНО1 НЕЛ1Н1ЙНОСТ1

Поданий в [1] метод розрахунку стержневих конструкцш застосовуеться в данш роботi з урахуванням геометрично нелiнiйного деформування елементiв конструкцИ. Це дозволило фiксувати моменти втрати стiйкостi, у тому числi ступеневу втрату стiйкостi для багатоярусних конструкцш, та дослiджувати закритичну деформацiю. Розроблений niдхiд е iтеративним i спираеться на активне застосування ЕОМ.

Вступ

У робоп [1] подано метод послщовних перемщень для розрахунку стержневих систем. У цьому метод ре-алiзована геометрично лшшна модель розрахунку кон -струкцш у статично визначеному й статично невизна-ченому випадках. Однак фактично для застосування цього методу лшшшсть моделi не обов'язкова.

Дана робота е логiчним продовженням роботи [1] з такою И модифiкацiею, що дозволяе враховувати гео-метричну нелiнiйнiсть задача Пропонований метод, зокрема, дозволяе наочно вивчати втрату спйкоеп стержнево! системи, а також Н закритичну деформа-цш.

Урахування геометричноТ нелiнiйностi

Розглянемо обчислення поздовжньо! деформацп стержня в довшьному геометрично нелiнiйному випад-ку.

Нехай шнщ стержня, як1 спочатку мають коорди-нати (, у1) й (х2, у2), одержують перемiщення уз-довж осей координат Ах1, Ау1 i Ах2, Ау2 (рис. 1). У результата таких перемiщень шнщ стержня будуть мати новi координати:

Хн1 = Х1 +АГ1, Ун1 = У1 + АУ1 ,

хн2 = х2 +ах2, Ун2 = У2 +АУ2.

При цьому довжина стержня змiниться на величину

АЬ = Ьн -Ь,

де Ь = ^(х1 -х2)2 + (1-У2)2 ,

Ьн = д/(н1 - хн2 )2 + (н1 - Ун 2 )2 - початкова й

шнцева довжини стержня вiдповiдно.

Внаслiдок деформування в стержш виникае зусил-

ля

Я = С ■АЬ , де С - жорстшсть стержня.

"У

У1 Дх,

Рис. 1. Деформування стержня - елемента стержнево! конструкци

© О. Д. Шамровський, Д. М. Колесник, Ю. О. Лимаренко, 2009

78

Напрямш косинуси сили R збпаються з напрямни-ми косинусами стержня в новому положенш й дорiв-нюють

cos а г = , cos аy = Ун2 ~ Ун1

LH

LH

де а х - кут мiж стержнем i вiссю x, а а у - кут мiж стержнем i вiссю у.

Застосуемо цi формули для розрахунку стержнево! конструкцп.

Приклади розрахуншв методом послвдовних перемiщень

Приклад 1. Розглянемо стержневу систему, зобра-жену на рис. 2. Для И розрахунку застосуемо метод послщовних перемщень [1], який, з урахуванням гео-метрично! нелiнiйностi, полягае в наступному.

Рис. 2. Система з 2-х стержшв

Перший крок. Для вузла О знаходимо сумарш проекцп навантаження, включаючи сюди зовнiшнe

навантаження (силу P) i реакцп стержнiв Rj, R2: X X = -Ri cos a1x - R2 cos a 2x,

X Y = -Rj cos ajy - R2 cos a 2y - P .

У загальному випадку цi проекци вщмшт вiд нуля. Зокрема, у першому наближеннi зусилля в стержнях до-рiвнюють нулю й враховуеться тшьки зовнiшня сила P:

X X = 0, X Y = -P .

Другий крок. Задаемо проекцп перемiщення вузла О пропорцшш сумарним проекцiям навантаження:

Ax3 =YX x , дУз =YX y .

У пiдсумку вузол О перемутиться в положення з координатами

хн3 = x3 + ^3 , Ун3 = Уз + ДУз .

Третiй крок. При перемщенш вузла О довжини стержнiв одержують прирости

ALi — Lh\ — Li, AL9 — LH2 — L

2 - н2 2 ■

де

Li — V(x3 — xi)2 +(>"3 — y )2 '

Lh1 — a/(xh3 — x1)2 +(>н3 — Л)2 , L2 — a/(x3 — x2 )2 +>3 — У2 )2 ' lh2 —yj(xH3 — x2 )2 +(>н3 — У2 )2

- по-

4aTKOBi и кlнцевi довжини першого и другого сгержнiв вiдповiдно.

Пропорцшш деформашям стержнiв зусилля роз-тягання (стискання) дорiвнюють

Ri — C'i , R2 — C2AL2 ,

де Ci, C2 - жорсткосп першого И другого стержшв вщповвдно. Цi зусилля проходять уздовж нових на-прямк1в стержнiв, яш вони одержують у результатi перемщення вузла О.

Тепер сумарнi проекцп сил, що дiють на вузол О, будуть дорiвнювати

Е X — —Ricos ан1Х — R2cos ан2 x

е y — — p — R1cos а hiy — R2 cos а н2y ,

де

cos а н1х —

кн3

н1

cos ан1у —

Ун3 — У1

L

cosан2х —

н3

L

cos а

н2

н2 y

н1

.Ун3 — У2

L

н2

Якщо обчисленi суми не дорiвнюють нулю (знач-но вiдрiзняються ввд нуля), тод1 процедура повторюеть-ся, починаючи з другого кроку, з замiною Х3 = xнз,

Уз = Унз .

Рекурентний процес зак1нчуеться при досягненш рiвноваги третього вузла iз заданою точнiстю.

На рис. 3 представлен графiчно вiдповiднi резуль-тати розрахуншв iз зображенням перемiщення треть-ого вузла.

Подальше збiльшення навантаження приводить до результату, представленому на рис. 4. Система втрати-ла стiйкiсть, i вiдбувся стрибок перемiщень. Це типо-во нелiнiйне явище; його прояв тут показуе адек-ватнiсть запропонованого алгоритму розрахуншв.

Таким чином, пропонований метод дозволяе шляхом плавного збшьшення навантаження знайти кри-тичну силу як таку, при якш вiдбуваеться стрибкопо-дiбна змiна положення системи. На рис. 5 зображено графж залежносп вертикального перемiщення вузла 1

1

2

системи в залежносп вщ величини сили, прикладено!' до вузла. Характерна сходинка вiдображае момент втрати стiйкостi системи.

№

Рис. 3. Стержнева конструкция пщ д1ею вертикально! сили Р

Рис. 4. Стержнева конструкщя тсля втрати стшкосп

Рис. 5. Залежнють вертикального перемщення вузла О вщ прикладено! сили Р

Вiдзначимо, що зазвичай при вивченш втрати стiйкостi головна увага придметься пошуку критично! сили, вивчення закритично! деформацi! досить складне й тому провадиться порiвняно рiдко. Даний метод дозволяе вивчати весь процес деформування, включаючи стрибок у момент втрати стшкосп й за-критичну деформацш.

Приклад 2. Розглянемо стержневу систему, зобра-жену на рис. 6.

Рис. 6. Система з 3-х стержшв

Застосовуемо той самий алгоритм, що й у поперед-ньому приклада Перед початком першо! iтерацi! за-

даемо Ax4 = 0, Ау4 = 0, R1 = 0, R2 = 0, R3 = 0.

Перший крок. Для вузла О знаходимо сумарш проекцп навантаження:

X X = -Ricos a1x - R2 cos a2x - R3 cos a3x,

X Y = -Ri cos aiy - R2 cos a 2y - R3 cos азy - P .

Другий крок. Задаемо проекцп перемщення вузла О пропорцшш сумарним проекцiям навантаження:

Ax4 = yZ X , Ау4 = YZY .

У пiдсумку вузол О перемутиться в положения з координатами

xH4 = x4 + Ax4 , ун4 = y4 + Ay 4 .

Третiй крок. При перемiщеннi вузла О довжини стержшв одержують прирости

al1 = Lh1 -L1, AL2 = Lh2 -AL3 = Lh3 -де Lh1 =V(xh4 - x1 )2 + (Ун4 - У1 )2 ,

Lh2 = ^(xh4 -x2)2 +(Ун4 -У2)2 ,

Lh3 = V(xh4 -x3)2 +(Ун4 -У3)2 .

Пропорцiйнi !м зусилля розтягання (стискання), дорiвнюють

R1 = C1AL1, R2 = C2AL2 , R3 = C3AL3,

де C1, C2, C3 - жорсткостi стержиiв.

Тепер сумарнi проекцi! сил, що дшть на вузол О, будуть дорiвнювати

ZX = -R1 cosaH1x - R2 cosah2x -R3 cosaH3x , Z Y = -R1cos a н1 у - R2 cos a н2у - R3 cos a н3у - P ,

де

xh4 - x1 Ун4 - У1 cos ah1x =-;-, cos aн1у _

■ьн1 xh4 x2

cos ah2x =---, cos a н2у

lh2 xh4 - x3

cosaH3x =

L

cos a

H3

н3 у

lh1

. Ун 4 - У2

lh2

Ун4 - У3

L

н3

Якщо цi проекцi! значно вiдрiзняються вiд нуля, тодi повторюемо процедуру. Рекурентний процес зак-iичуеться при досягненш рiвноваги третього вузла. На рис. 7 зображеш графiчно ввдповвдт результати роз-рахунк1в iз зображенням перемщення третього вузла.

Рис. 7. Стержнева конструкция п1д д1ею вертикально! сили Р

Подальше збшьшення навантаження приводить до результату, представленому на рис. 8. Система втрати-ла стiйкiсть, i вiдбувся стрибок перемщень.

На рис. 9 зображений графш залежиостi вертикального перемщення вузла О системи, в залежносп вщ величини сили, прикладено! до вузла. Характерна схо-динка вщображае момент втрати стiйкостi системи.

Рис. 8. Втрата стшкосп системи

Рис. 9. Залежнють вертикального перемщення вузла О вщ прикладено! сили Р

Приклад 3. Наведеш вище приклади характерш тим, що в них кожний 3i стержшв мае один з кшщв нерухомим. У таких випадках деформашя стержня визначаеться по перемщенню рухливого к1нця стержня.

Розглянемо бшьш складш випадки. На рис. 10 наведена двох'ярусна стержнева система, що складаеть-ся з шести стержшв, з'еднаних шаршрно у вузлах I, II й III. У стержшв 1 i 2 рухливими е обидва юнщ, в 1нших тшьки один шнець.

Рис. 10. Двох'ярусна стержнева система з 6 стержшв

Робота методу послвдовних перемщень у цьому випадку вдентична попередшм прикладам з пею вшмшшстю, що знаходяться сумарш проекцп навантаження не тшьки для вузла I, на який д1е сила Р, але й для вузл1в II i III:

EXj = -R1 cosa1x - R2 cosa2x, E Yj = -R1 cos a1y - R2 cos a2y - P, EXjj = Ri cosaix - R3 cos a3x - R4 cosa4x, E Yjj = Ricos aiy - R3 cos аз y - R4 cos a 4 y, E Xjjj = R2 cos a2x - R5 cos a5x - R6 cos абx,

E Yjjj = R2 cos a2y - R5cos a5y - R6 cos a6y.

Рекурентний процес зак1нчуеться при досягненш р1вноваги у вузлах I, II, III, тобто при досить малих по модулю сумарних проекщях сил у цих вузлах.

Особлив1стю даного приклада е ступенева втрата стшкосп. На рис. 11 представлена розглянута система шд д1ею вертикального навантаження Р. У цьому випадку система втратила спйкють, i вшбувся стрибок перемщень. Подальше збшьшення навантаження приводить до втрати стшкосп одного з сегменпв першого ярусу (рис. 12).

На рис. 13 зображений графж залежносп вертикального перемщення вузла I системи, в залежносп ввд величини сили, прикладено1 до вузла. Дв1 характерш сходинки вшображають моменти втрати стшкосп системи. Шляхом поступового збшьшення сили Р мож-на продовжити наведений графж до моменпв втрати стшкосп четвертого та п'ятого стержшв.

Таким чином, застосування запропонованого методу дозволило виявити другу втрату стшкосп системи, що виникла вже шсля першо1 критично1 дефор-мацл.

Рис. 11. Двох'ярусна стержнева конструкщя пiсля втрати стiйкостi першого й другого стержшв

Рис. 13. Залежнють вертикального перемiщення вузла О вщ прикладено! сили Р

Рис. 12. Двох'ярусна стержнева конструкщя тсля втрати стшкосп першого, другого, третього й четвертого стержшв

Приклад 4. На рис. 14 наведена двох'ярусна стержнева система, яка складаеться з 12 стержшв, з'една-них шаршрно у вузлах I, II й III. У стержшв 1, 2, 3 рухливими е обидва кшш, в шших тшьки один шнець.

У цьому випадку так само спостерпаеться ступе-нева втрата стшкосп. На рис. 15 зображена розгляну-та система тсля втрати стшкосп стержшв другого ярусу, що супроводжуеться стрибком перемщень.

Подальше збшьшення навантаження приводить до ще одного стрибка перемщень, у зв'язку 1з втратою стшкосп одного 1з сегменпв першого ярусу (рис. 16).

Х|3>Уи У»*«!, У)0 »>,У* Х*,У»*7,У7 *(„У(,

Рис. 14. Двох'ярусна стержнева система з 12 стержнiв

Рис. 16. Двox'ярyснa стержневa кoнстрyкцiя июля втрaти стiйкoстi стержнiв другого ярусу

Ha рис. 17 зобряжений грaфiк зaлежнoстi верти-кaльнoгo перемiщення вузля I системи, в зaлежнoстi вщ величини сили, приклaденoï до цього вузля. Двi xaрaктернi сxoдинки вiдoбрaжaють моменти втряти

стiйкoстi системи. Можливосп дяного методу, що доз-воляють вивчяти зaкритичнi дефoрмaцiï, допомогли в цьому випядку виявити другий момент втряти стшкосп системи.

З4

Ау

■0.2

■0,4

Рис. 17. Залежнють вертикального перемiщення вузла О вщ прикладено'1 сили Р

Висновки

1. Поданий в [1] метод розрахунку стержневих кон-струкцш розширений на випадок урахування геомет-рично нелшшного деформування елеменпв конструкций

2. Розв'язано ряд задач з розрахунку стержневих систем. Як показують результати розрахуншв, урахування геометрично! нелшшносп дало змогу фшсува-ти моменти втрати стшкосп системи, у тому числ сту-пеневу втрату стшкосп у випадку багатоярусних кон-струкцш, а також досл1джувати закритичну деформацш елеменпв системи.

3. Розроблену методику можна використовувати для розв'язування рiзних задач теорп пружностi, що до-пускають побудову стержнево! моделi дослiдження. Метод дозволяе вивчати весь процес деформування, включаючи стрибок у момент втрати стшкосп й закритичну деформацш.

Перелж посилань

1. Шамровський О. Д. Метод последовательных приближений для расчета стержневых систем / О. Д. Шамровський, А. I. Безверхий, В. В. Кривуляк // Нов1 мате-р1али 1 технологй' в металургп та машинобудуванш, 2008. - № 2. - С. 110-118.

Одержано 18.03.2009

Представленный в [1] метод расчета стержневых конструкций применяется в данной работе с учетом геометрически нелинейного деформирования элементов конструкции. Это позволило фиксировать моменты потери устойчивости, в том числе, ступенчатую потерю устойчивости для многоярусных конструкций и исследовать закритическую деформацию. Разработанный подход является итеративным и опирается на активное применение ЭВМ.

Method of bar structure calculations is used with account of geometrically nonlinear deformation of structural elements. This allowed to fix the moments of buckling, including stepped buckling for multistage structures and to research supercritical deformation. The proposed method is iterative and lased upon active using of computers.