Метод послідовних переміщень для розв’язання контактних задач теорії пружності Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531

Д-р техн. наук О. Д. Шамровський1, С. М. Богданова2

1ЗапорЫка державна тженерна академя, 2ЗапорЬькт нащональшй техтчний утверситет;

м. Запорiжжя

МЕТОД ПОСЛ1ДОВНИХ ПЕРЕМ1ЩЕНЬ ДЛЯ

РОЗВ'ЯЗАННЯ КОНТАКТНИХ ЗАДАЧ ТЕОРИ

ПРУЖНОСТ1

Робота присвячена вивченню можливостi застосування методу по^довних перемщень для розв 'язання контактних задач теорп пружностi, зокрема задачi про штамп. Розгля-даеться розв'язання нелтшних задач для пружних стрижневих конструкцш на основi даного методу.

Ключовi слова: стержнева модель, суцльне середовище, метод полдовних перемщень.

Вступ

Ранше [1] була розроблена стрижнева модель суцшьного середовища для розв'язання пласких статичних задач теори пружносп, а також запро-понована дискретна модель елемента кшцевих розм1рш, який був усп1шно використаний для розв'язання класичних задач механжи деформш-ного твердого т1ла. У робота Н. I. МусхелшвЫ наводиться повне об 'рунтування розв'язань контактних задач [2]. Також аналтичне ршення наводиться Галшим [3]. Дана робота базуеться на аде! моделювання суцшьного середовища системою пружних стрижнв, яи деформуються разом [4]. Для проведення розрахунюв по данш модел1 пропонуеться використовувати метод послщов-них перем1щень [5]. Особливосп даного методу дозволяють застосовувати його 1 при розв'язант контактних задач теори пружносп.

Постановка задачi

Розв'язуеться змшана гранична задача статики пружного пла. А саме, знаходиться пружна р]вновага пла, якщо задан змщення частини то-чок його поверхш. Ф1зично це вщповвдае випад-ку, коли зусиллями, прикладеними до точок поверхш, цим точкам передаються задан перемщен-ня 1 закршлюють поверхню в цьому виглящ.

Розглядаеться випадок одного штампа з пря-молшшною пiцставою, паралельною ос1 Ох, при-чому цей штамп може перемщуватися лише вертикально (рис. 1). Вщр1зок гранинд, що стикаеться з1 штампом, ми будемо вважати симетричним щодо ос1 Оу. Штамп вдавлюеться в пружну кшцеву область Щ, невщомою силою, перпендикулярно! до границ Г. Передбачаеться, що тертя настшьки велике, що ковзання не може мати мтсця. Розгля-нута задача полягае у знаходженн1 зусиль, при-кладених до област1 Щ на границ1 Г, при ведомому вектор1 зсув]в (х, у) точок ще! област1, а також знаходженн перемщення вох шших точок пла.

© О. Д. Шамровський, С. М. Богданова, 2016

Рис. 1. Штамп з прямолшшною пщставою

Метод розв'язання

Маемо стрижневу систему, яка моделюе пев-не суцшьне середовище з самого початку зада-ними перемщеннями вузлтв в граничному д1а-пазон1 (рис. 2). Ц початков1 перемщення викли-кан1 прикладеним до пла навантаженням, в зош контакту е деформац1я. Для розрахунку викори-стовуеться метод посл1довних перемщень [3]. В1дм1нн1стю розв'язуваних контактних задач теори пружносп е те, що для деяких точок по-верхн задаються зусилля, а для шших перемщення. Метод послвдовних перемiщень цшком придат-ний для таких змшаних задач. Ид штампом зада-ються перемщення вуалв, а для шших вузлш по-верхн1 — зусилля (нульов1). Розроблено алгоритм 1 програму для розв'язання вщповщних задач.

Рис. 2. Стрижнева модель суцшьного середовища

Розглядаеться стрижнева система, в якй деяю вузли в граничному ддапазош мають початков1 перемщення 1 вважаються закр1пленими. А та-кож закр1плеш вузли нижньо! меж т1ла. Вс1 1нш1 вузли вважаються рухливими, !х перемщення необидно знайти для знаходження р1вноваги системи в цшому 1 зусиль, прикладених до тша.

I тут важливо ввдзначити, що для розв'язання дано! задач1 на першому кронд координати змще-них вузл1в беремо т1, яы були в модел1 до наван-таження, тобто до зсуву. Тому що розв'язуеться задача, зворотня тим, розв'язання яких запропо-нован1 в попереднж роботах [2—4].

Початков1 координати вузлв будуть:

(х, у) (/ = 1 ... и). (1)

Маючи зазначен1 координати, можна зазда-лепдь обчислити для вих стрижн1в !х початков1 довжини. На початков1 вузли д1ють сили з про-екц1ями на ос1 координат Рхк, Рук. Уздовж стрижшв ддють !х реакци Ик, спрямован1 вдд вуз-ла к, що вддповддае розтягнутим стиржням. Якщо в систем! е стисл1 стрижн1, то вддповддш реакци в1д'емн1.

Введемо позначення:

Жорсткост стрижшв обчислюються за фор-

мулами:

D _ EikSik

Lk

(i _ 1.. n).

(7)

Тут Ек — модуль пружносп; — площа поперечного перер1зу; Ь¡к — довжина 1-го стриж-

ня.

На довшьному кроцi будуемо лшшш р1внян-

ня:

де

апик + auvk _ Skx, a2luk + а22vk _ S^, (8)

i_1 n

а11 _ X Dik eos" aik; ai2 _ a2i _ X D,k sin aл eos aл;

i_1 i_1

22 ^ik

i розв язуемо ix:

(9)

Skx Pxk X Rik

Sky _ Pyk - X Rk

■ (2)

D

У положенн1 р]вноваги системи величини 8 кх

1 8 ку повинш бути р1вш нулю; проте на першому кронд, вони завддомо не дор]внюютъ нулю, а в подальшому, при правильно побудованш процедур^ до нуля наближаються.

Таким чином, отримуемо формулу для розра-хунку сили:

D

(10)

При знайдених на певному кроц1 процедури перемщеннях вузла к маемо рекурентну формулу для обчислення нових координат вузла:

хк ® хк + ик, У к ® У к + ук • (11)

А також накопичуемо значення сили

Pxk Rik eos aik' Pyk Rik sin aik, (3) i_1 i_1

де

Xi - Xk yt - yk

eosak _ T k; sinaik _ ' LL

(4)

D ik _-ukeos a ik- vksin a ik ■

(5)

Rk _ DkDik ((_ 1.. n).

(6)

P P P P

A xk xk Ayk yk •

(12)

Дал1 переходимо до наступного вузла 1 повто-рюемо процедуру. Умовою й припинення буде:

pl + Si Pxl + Pyk..

(13)

Позначимо мал1 перемщення вузла к пд д1ею сил Ркх, Рку через Ык, Тод1 для деформац1й стрижшв, що сходяться у вузл1 к, маемо:

Bd стрижнi вважаються пружними; зв'язок мiж реакцiями стрижшв i 1х деформацiями (по-довженнями) мае вигляд:

де e — задана вддносна похибка.

Аналiз отриманих результата

Застосування даного методу дозволяе знахо-дити сили, що викликали задан перемщення, а також перемщення всж вузл1в системи, що задо-вольняють р1вноваги системи в цшому.

Для дослщження поведiнки системи будемо поступово збшьшувати задане початкове змщен-ня вдд 0,1 до 0,5 при незмшних параметрах само1 системи, що демонструеться на рис. 3—11.

_1

cosa

sin a

i_1

i_1

Рис. 3, 4. Дискретна модель 5х3 елемента для перемщень 0,1 1 0,2

Рис. 5, 6. Дискретна модель 5x3 елемента для перемщень 0,3 1 0,4

Рис. 7. Дискретна модель 5х3 елемента для перемщення 0,5 Рис. 9. Дискретна модель 10х6 елементш розмру 0,5 для

перемщення 0,2

Проводимо подальше розбиття, робимо розмр дискретного елемента 0,5 1 пор]внюемо отриман1 результати.

Знову зменшуемо розмр дискретного елемента вдв1ч1, новий розмр дискретного елемента 0,25.

■ кГ1 »•Г< иГ" С? е- ^ ^ ^ »з ^ ^ ^ ^ щ

б ® ^ X ш Ш Ш Й в т штшт ш ш •.«аз©«. • • • • • • ш> а•• 18 -шиш

ШШШШШШШШШ

Рис. 8. Дискретна модель 10х6 елеменпв розмхру 0,5 для Рис. 10. Дискретна модель 20х12 елеменпв розмру 0,25 перемщення 0,1 для перемщення 0,1

1 Ïa?^K^tâ4'v3'¿л ^^sf ^¿f KL"'^

SSfS? $5 •ii'^Vi

& fe

'Si'Sr'SüSa'SüSiSi Êr vf'-tl'- Î? >1" ЙЗ 'S"

«•►afifS?©«®«®'©'

ЕП ¿Та Л SB ¡30 Л Л ГО Л kTi Ш1ШПИ №11

i £ g g щ X * * ** * * ** * * * * »I- *,

Рис. 11. Дискретна модель 20х12 елеменпв розмхру 0,25 для перемщення 0,2

Як видно з рисунюв, подальше розбиття не мае сенсу, так як результат, отримат за допомо-гою даних моделей, не мають 1стотних вщмшнос-тей.

Вс1 отриман1 значення сил, а також сумарш значення, заносимо в таблицю 1.

Використовуючи чисельт значення сили, бу-дуемо графши залежност1 сили вщ перемщення для запропонованих моделей ( рис. 12).

Як бачимо, чисельно значення сили для да-них моделей не дуже ввдр1зняються. А отже, i немае потреби в подальшш дискретизаци.

Висновки

Розроблено стрижневу модель суцшьного се-редовища для розв'язання контактних задач теорц пружност1. Запропонована дискретна модель для розв'язання задач1 про штамп з прямолшшною щдставою. Для проведення розрахунюв з дискретно! модел1 пропонуеться використовувати метод послщовних перемщень, що добре заре-комендував себе для розрахунку стрижневих конст-рукщй.

Таблиця 1 — Перемщення та сила, що 1х викликае, для моделей 5х3, 10х6 i 20х12

0,05 0,1 0,15 0,2

5x3 10x6 20x12 5x3 10x6 20x12 5x3 10x6 20x12 5x3 10x6 20x12

0,036 0,024 0,017 0,072 0,047 0,032 0,106 0,070 0,047 0,140 0,091 0,061

0,036 0,017 0,011 0,072 0,034 0,02 0,106 0,050 0,029 0,140 0,066 0,039

0,073 0,024 0,010 0,143 0,047 0,018 0,212 0,069 0,027 0,279 0,091 0,035

0,066 0,011 0,129 0,02 0,189 0,029 0,248 0,039

0,017 0,032 0,047 0,06

0,065 0,123 0,179 0,233

0,05 ОД 0,15 0,2 0,25 U

Рис. 12. Залежтсть м1ж силою i перемщенням, що нею викликаеться для моделей 5х3, 10х6 i 20х12

3. Развитие теории контактных задач в СССР : учеб. / под ред. Галина Л. А. — М. : Наука, 1976. — 493 с.

4. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела : учебное пособие для вузов / Ю. Н. Работнов. — 2-е изд., испр. — М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 712 с.

5. Шамровский А. Д. Метод последовательных приближений для расчета стержневых систем / О. Д. Шамровський, А. I. Безверхий, В. В. Кривуляк // Новi матерiали i технологи в металурги i машинобудуванш. — 2008. — № 2. - С. 110 -118.

Поступила в редакцию 16.05.2016

Шамровский А. Д., Богданова Е.Н. Метод последовательных перемещений для решения контактных задач теории упругости

Работа посвящена изучению возможности применения метода последовательньх перемещений для решения контактньх задач теории упругости, в частности, задачи о штампе. Рассматривается решение нелинейньх задач для упругих стержневых конструкций на основе данного метода.

Ключевые слова: стержневая модель, сплошная среда, метод последовательны перемещений.

Shamrovskiy A., Bogdanova E. Method of successive movements for solution of contact problems of theory of elasticity

The work is devoted to studying the possibility of using the method of successive movements for solving contact problems of elasticity theory, in particular the problem of the stamp. We consider the solution of nonlinear problems for elastic rod designs based on this method.

Key words: beam model, solid medium, method of successive movements.

Список лггератури

1. Дискретные модели для плоских статических задач теории упругости / [А. Д. Шамровский, Ю. А. Лымаренко, Д. Н. Колесник, и др.] // Восточно-Европейский журнал передовых технологий //научный журнал. - Харьков : Технологический центр, 2011. - № 3/7 (51). - С. 11-18.

2. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили. - М. : Наука, 1966. -709 с.