Решение контактных задач теории упругости с помощью дискретных моделей Текст научной статьи по специальности «Математика»

З аналізу наведених графіків випливає, що збільшення коефіцієнта Пуассона призводить до збільшення енергії в крайових точках плити на верхній межі, при цьому потенційна енергія на нижній межі мало змінюється. Зменшення товщини досліджуваної плити при незмінному коефіцієнті Пуассона призводить до зменшення енергії в крайових точках верхньої межі. Встановлено наступний механічний ефект: при зміні товщини плити розподіл енергій формозміни на нижній межі може істотно змінювати свій вигляд: при великих значеннях товщини максимум енергії спостерігається в центрі межі, а при малих значеннях - поблизу крайових точок. У подальшому планується більш детальне дослідження вказаного ефекту.

4. Величко О. В. Плоска періодична контактна задача для

багатошарової основи / О. В. Величко // Вісник Дніпропетровського університету. Серія механіка. - Дніпропетровськ : видавництво ДНУ. - 2005. - № 10 (1). - Вип. 9. -Т. 1. - С. 118-124.

2. Малыгин Г. А. Анализ параметров субмикронной дислокационной структуры в металлах при больших пластических деформаціях / Г. А. Малыгин // Физика твердого тела. - 2004. - Т. 46. - № 11. - 274 с.

3. Власов В. З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В. З. Власов, Н. Н. Леонтьев. - М. : ГИФМЛ, 1960. - 490 с.

1. Гузь А. Н. О построении нелинейной теории малых деформаций в механике деформируемых тел / А. Н. Гузь // Вестник ЧГПУ, серия: Механика предельного состоя-

ния. - 2010. - № 8. - С. 79-86.

Список літератури

Висновки

У статті розглядається плита, яка знаходиться в умовах плоскої деформації під дією штампа. Отримано аналітичні вирази для функції, яка визначає міцність конструкції за четвертим критерієм міцності. Виділені найбільш небезпечні з точки зору міцності ділянки плити та досліджено вплив товщини плити та коефіцієнта Пуассона на потенційну енергію формоутворення на цих ділянках.

5. Плотников В. П. Теоретическое исследование упругопластического состояния бетонных блоков при нагружении внутренним давлением воды / В. П. Плотников // Горный информационно-аналитический бюллетень. -

2006. - №. 9. - С. 24-31.

6. Дильман В. Л. Исследование математических моделей напряженного состояния неоднородного поперечного слоя в круглом стержне / В. Л. Дильман // Bulletin of

SUSU. - 2009. - С. 56-72.

Одержано 29.03.2013

Штефан Т. А., Величко В.Е. Исследование энергии формоизменения в плите, деформируемой штампом

Рассматривается стационарная задача о плоской деформации прямоугольного параллелепипеда штампом. Нижняя граница тела свободна от нагрузок. Получен аналитический вид для напряжений и перемещений точек параллелепипеда. Исследовано влияние геометрических и механических характеристик на поведение величины энергий, которая применяется в четвертой (энергетической) гипотезе прочности.

Ключевые слова: плита, штамп, плоская деформация, четвертая гипотеза прочности, энергия, зона пластичности.

Shtefan T., Velichko E. Energy research forming a plate which deforms stamps

The stationary problem on planar deformation of cuboid stamp was researched. Lower bound body is free from stress. The analytical form for the stresses and displacements of the points of the parallelepiped was received. The influence of geometrical and mechanical characteristics over the behavior of the value of the energy that is used in the fourth (energy) hypothesis strength was researched.

Key words: plate, stamped, flat deformation, the fourth hypothesis is strength, energy, plasticity zone.

РЕШЕНИЕ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ПОМОЩЬЮ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ

Изучена возможность применения метода последовательных перемещений для решения контактных задач теории упругости, в частности, задачи о штампе.

Ключевые слова: стержневая модель, сплошная среда, метод последовательных перемещений.

УДК 5S1

Д-р техн. наук А. Д. Шамровский, Е. Н. Богданова Государственная инженерная академия, г. Запорожье

© А. Д. Шамровский, Е. Н. Богданова, 201S 100

Введение

Ранее [1] была разработана стержневая модель сплошной среды для решения плоских статических задач теории упругости, а также предложена дискретная модель элемента конечных размеров, который был успешно использован для решения классических задач механики деформируемого твердого тела. В работе Н. И. Мусхелишвили приводится полное обоснование решений контактных задач [2]. Также аналитическое решение приводится Галиным [3]. Эта работа базируется на идее моделирования сплошной среды системой упругих стержней, которые деформируются совместно [4]. Для проведения расчетов по указанной модели предлагается использовать метод последовательных перемещений [5]. Особенности данного метода позволяют применять его и при решении контактных задач теории упругости.

Постановка задачи

Решается смешанная граничная задача статики упругого тела. А именно, находится упругое равновесие тела, если заданы смещения части точек его поверхности. Физически это соответствует случаю, когда усилиями, приложенными к точкам поверхности, этим точкам сообщают заданные смещения и закрепляют поверхность в этом виде.

Рассматривается случай одного штампа с прямолинейным основанием, параллельным оси Ох, причем этот штамп может перемещаться лишь вертикально (рис. 1). Отрезок границы, соприкасающийся со штампом, мы будем считать симметричным относительно оси Оу. Штамп вдавливается в упругую конечную область О, неизвестной силой, перпендикулярной к границе Г. Предполагается, что трение настолько велико, что скольжение не может иметь места. Рассматриваемая задача состоит в отыскании усилий, приложенных к области О на границе Г, при известном векторе смещений и (х, у) точек этой области, а также отыскании перемещения всех остальных точек тела.

Метод решения

Имеется стержневая система, которая моделирует некую сплошную среду с изначально заданными перемещениями узлов в граничной зоне (рис. 2). Эти начальные перемещения вызваны приложенной к телу

нагрузкой, в зоне контакта имеется деформация. Для расчета используется метод последовательных перемещений [3]. Отличием решаемых контактных задач теории упругости является то, что для некоторых точек поверхности задаются усилия, а для других перемещения. Метод последовательных перемещений вполне пригоден для таких смешанных задач. Под штампом задаются перемещения узлов, а для остальных узлов поверхности - усилия (нулевые). Разработаны алгоритм и программа для решения соответствующих задач.

1 2 3 4 5 6

7

13 1 ,

з 1 19 2 / -1 / 0 J 1 / 2 /

-1

Рис. 2. Стержневая модель сплошной среды

Рассматривается стержневая система, в которой некоторые узлы в граничной зоне имеют начальные перемещения и считаются закрепленными. А также закреплены узлы нижней границы тела. Все остальные узлы считаются подвижными, их перемещения необходимо найти для нахождения равновесия системы в целом и усилий, приложенных к телу.

И здесь важно отметить, что для решения данной задачи на первом шаге координаты смещенных узлов берем те, которые были в модели до приложения нагрузки, т. е. до смещения. Потому так решается задача, обратная тем, решения которых предложены в работах предшествующих данной [2-4].

Начальные координаты узлов будут:

(xp yi), (i = 1 ...n) (1)

Имея указанные координаты, можно предварительно вычислить для всех стержней их начальные длины. На начальные узлы действуют силы с проекциями на оси координат Pk, Pyk. Вдоль стержней действуют их реакции R.k, направленные от узла к, что отвечает растянутым стержням. Если в системе имеются сжатые стержни, то соответствующие реакции отрицательны.

Введем обозначения:

Skx = Pxk -ltRik C0S aik , Sky = Pyk -l^Rik sm aik . (2) i=1 i=1

В положении равновесия системы величины Skx и Sky должны быть равны нулю; однако на первом шаге,

они заведомо не равны нулю, а в дальнейшем, при правильно построенной процедуре, к нулю приближаются.

Таким образом, получаем формулу для расчета силы:

Pxk = Е Rik ‘ i=1

Pyk = Е Rk

ik yk ik ik

i=1

где cos aik =■

Li

Xk yi - yk

—; sin aik = ———

Lik

(3)

(4)

Обозначим малые перемещения узла к под действием сил Ркх, Ру через ик, Ук. Тогда для деформаций стержней, сходящихся в узле к, имеем:

Aik =-uk cos aik - vk sin aik.

(5)

Все стержни считаются упругими; связь между реакциями стержней и их деформациями (удлинениями

Aik) имеет вид:

Rik = Dk A ik (i = 1... n). (6)

Жесткости стержней Dik вычисляются по форму-

лам:

Dk = ELSk (i = 1...n).

Lik

(7)

Здесь Еік - модуль упругости; Бік - площадь поперечного сечения; Ь.к - длина і-го стержня.

На произвольном шаге строим линейные уравнения:

aUuk + auVk = Skx , a2luk + a22vk = Sky ..

(8)

где

an = Е Dikcos2 aik; al2 = a2l = Е Diksin aikcos aik;

22 ik ik

и решаем их:

Au

Av

k ~~T> vk

AA

(9)

(10)

При найденных на определенном шаге процедуры перемещениях узла к имеем рекуррентную формулу для вычисления новых координат узла:

хк ^ хк + ик, Ук ^ Ук + vk. (11)

А также накапливаем значение силы,

Рхк ^ Рхк, Рук ^ Рук. (12)

Далее переходим к следующему узлу и повторяем

процедуру. Условием ее прекращения будет:

■\j‘Skx + Sky ^єy|pX^~+pT

xk yk

где е - заданная относительная погрешность.

Анализ полученных результатов

Применение данного метода позволяет находить силы, вызвавшие заданные перемещения, а также перемещения всех узлов системы, удовлетворяющие равновесию системы в целом.

Для исследования поведения системы будем постепенно увеличивать заданное начальное смещение от 0,1 до 0,5 при неизменных параметрах самой системы, что демонстрируется на рисунках 3-11.

Рис. 3, 4. Дискретная модель 5х3 элемента для перемещений 0,1 и 0,2

Рис. 5, 6. Дискретная модель 5х3 элемента для перемещений 0,3 и 0,4

І = 1

г=1

2

a

i =1

Рис. 7. Дискретная модель 5х3 элемента для перемещеня 0,5

Проводим дальнейшее разбиение, делаем размер дискретного элемента 0,5 и сравниваем полученные результаты.

Снова уменьшаем размер дискретного элемента вдвое, новый размер дискретного элемента 0,25.

Как видно из рисунков, дальнейшее разбиение не имеет смысла, так как результаты, полученные с помощью данных моделей существенных отличий не имеют.

Все полученные значения сил, а также суммарные значения, заносим в таблицу 1.

Рис. 8. Дискретная модель 10х6 элементов размера 0,5 для перемещеня 0,1

Рис. 9. Дискретная модель 10х6 элементов размера 0,5 для перемещеня 0,2

ШШШшштттШШШШШШШШШ

шшшшшшшвш

ншншгам

Рис. 10. Дискретная модель 20х12 элементов размера 0,25для перемещеня 0,1

Рис. 11. Дискретная модель 20х12 элементов размера 0,25для перемещеня 0,2

Таблица 1 - Сила для вызываемого ею перемещения для моделей 5 х3, 10х6 и 20х12

0,05 0,1 0,15 0,2

5x3 10x6 20x12 5x3 10x6 20x12 5x3 10x6 20x12 5x3 10x6 20x12

0,036 0,024 0,017 0,072 0,047 0,032 0,106 0,070 0,047 0,140 0,091 0,061

0,036 0,017 0,011 0,072 0,034 0,02 0,106 0,050 0,029 0,140 0,066 0,039

0,073 0,024 0,010 0,143 0,047 0,018 0,212 0,069 0,027 0,279 0,091 0,035

0,066 0,011 0,129 0,02 0,189 0,029 0,248 0,039

0,017 0,032 0,047 0,06

0,065 0,123 0,179 0,233

Используя численные значения силы, строим графики зависимости силы от перемещения для предложенных моделей (рис. 12).

Как видим, численно значения силы для данных моделей отличаются не значительно. А следовательно и нет потребности в дальнейшей дискретизации.

5x3

-10x6

-20x12

Рис. 12. Зависимость между силой и вызываемым ею перемещением для моделей 5х3, 10х6 и 20х12

Выводы

Разработана стержневая модель сплошной среды для решения контактных задач теории упругости. Предложенная дискретная модель для решения задачи о штампе с прямолинейным основанием. Для проведения расчетов по дискретной модели предлагается использовать метод последовательных перемещений, хорошо зарекомендовавший себя при расчете стержневых конструкций.

Список литературы

1. Дискретные модели для плоских статических задач теории упругости / А. Д. Шамровский, Ю. А. Лымаренко, Д. Н.Колесник и др.] // Восточно-Европейский журнал

передовых технологий //научный журнал. - Харьков : Технологический центр, 2011. - № 3/7 (51). - С. 11-18.

2. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили. -М. : Наука, 1966. - 709 с.

3. Развитие теории контактных задач в СССР : учеб. / под ред. Галина Л. А. - М. : Наука, 1976. - 493 с.

4. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела : учебное пособие для вузов / Ю. Н. Работнов. -[2-е изд., испр.]. - М. : Наука, 1988. - 712 с.

5. Шамровський О. Д. Метод последовательных приближений для расчета стержневых систем / О. Д. Шамровський, А. І. Безверхий, В. В. Кривуляк // Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні. - 2008. -№ 2. - С. 110-118.

Одержано 17.05.2013

Шамровський О.Д., Богданова Е.М. Розв’язання контактних задач теорії пружності за допомогою дискретних моделей

Вивчено можливості застосування методу послідовних переміщень для розв’язання контактних задач теорії пружності, зокрема задачі про штамп.

Ключові слова: стержнева модель, суцільне середовище, метод послідовних переміщень.

Shamrovskyi A., Bogdanova E. Solution of contact problems of elasticity using the discrete models

The application opportunity of successive movements method for solution of elasticity theory contact problems, in particular problem of stamp was reasereched.

Key words: beam model, solid medium, method of successive movements.

УДК 691.7:620.17 Канд. техн. наук В. Г. Шевченко, канд. техн. наук С. Л. Рягин,

М. А. Журба, Н. В. Литовский Национальный технический университет, г. Запорожье

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ

Получены аналитические зависимости для прочностного расчета статически неопределимых пространственных составных стержней, представляющих собой набор 5продольных профилей, соединенных поперечными диафрагмами. Показано, что кручение таких стержней может вызывать изгиб продольных профилей.

Ключевые слова: статически неопределимые пространственные составные стержни, прочностной расчет.

Введение

Точность расчета на стадии проектирования обеспечивает низкую материалоемкость и высокую надежность создаваемых конструкций. Поэтому разработка моделей аналитического расчета связана с важной научной и практической задачей повышения конкурентоспособности продукции отечественного машиностроения.

В машиностроительных конструкциях периодически встречаются статически неопределимые пространственные составные стержни, которые представляют собой набор параллельных профилей, скрепленных между собой поперечными диафрагмами по концам и в пролете - сидения, ограждения, перила, полки, ступени и т. п. (см. рис. 1, 2). На такие стержни могут действовать изгибающие, крутящие и сдвигающие нагрузки.

© В. Г. Шевченко, С. Л.Рягин, М. А. Журба, Н. В. Литовский, 2013