Дискретное моделирование эластомеров, находящихся в условиях плоской деформации Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531; 539.3

Д-р техн. наук А. Д. Шамровский, канд. техн. наук Ю. А. Лымаренко,

Е. Н. Богданова

Запорожская государственная инженерная академия, г. Запорожье

ДИСКРЕТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛАСТОМЕРОВ, НАХОДЯЩИХСЯ В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ

Предложенная в работах [ 1, 2] дискретная модель сплошной среды для плоских задач теории упругости модифицирована на случай моделирования несжимаемых материалов. Рассматривается случай плоской деформации, характеризующийся в рамках классического континуального подхода вычислительными трудностями, связанными со значениями коэффициента Пуассона, близкими к 0,5.

Ключевые слова: дискретная модель, дискретный элемент конечных размеров, метод последовательных перемещений.

Введение

Широкое применение в технике полимерных материалов, в том числе эластомеров (резин, кау-чукоподобных материалов), ставит задачу проектирования конструкций, изготовленных на их основе, с учетом эффективности и высокого качества работы. Эластомеры, как конструкционный материал, нашли большое применение именно по ряду ценнейших свойств, отличающихся от свойств традиционных материалов, таких как металлы, пластмассы и др. Это и значительные обратимые деформации и высокая надежность при циклических нагружениях и стойкость к воздействию агрессивной среды.

Основной отличительной чертой расчета эластомеров является наличие слабой сжимаемости, учет которой вызывает определенные затруднения по сравнению с обычными материалами, в которых этот эффект не проявляется. В реальных условиях эксплуатации эластомерные конструкции испытывают механические нагрузки, в связи с чем возникает необходимость исследования напряженно-деформированного состояния. Однако, аналитическое решение задач расчета напряженно-деформированного состояния материалов, обладающих слабой сжимаемостью, наталкивается на определенные вычислительные трудности, связанные со значениями коэффициента Пуассона, близкими к 0,5 (V ® 0,5). Использование численных методов расчета, в частности, метода конечных элементов, также приводит к необходимости адаптации традиционных схем расчета к свойствам эластомерных конструкций путем создания специальных схем метода конечных элементов для слабосжимаемых материалов [3].

В то же время большинство эластомерных конструкций, встречающихся на практике, имеет четко выраженную анизотропную структуру, что в еще большей степени затрудняет использование традиционных континуальных моделей теории упругости, а также основанных на этих моделях как аналитических так и численных методов расчета. При этом используемые в теории упругости в качестве альтернативы к континуальным моделям дискретные подходы изначально ориентированы на возможность учета анизотропной структуры материи [4—7]. Однако проблема учета слабой сжимаемости в рамках дискретного подхода все же остается. В данной работе предпринимается попытка решить обозначенную проблему путем использования дискретного элемента, ориентированного на моделирование несжимаемых материалов.

Постановка задачи

Построить дискретную модель, с помощью которой можно было бы исследовать напряженно-деформированное состояние эластомеров, находящихся в состоянии плоской деформации.

Континуальный случай

Уравнения теории упругости для случая плоской деформации имеют вид [8]:

да г дх х

= 0

дх х

да,

= 0

дх ду ' дх ду

ЕI = СТ х-п(а у +а Г ), Е ^ = а у-п(а х +а * ),

0 = а г-п(а х +а у ) , ^ +£ ] = х ху .

© Д. И. Анпилогов, 2015

- 36 -

Выразив из предпоследнего уравнения ст г и подставив в третье и четвертое уравнения системы (1) получим:

Е % = (1 )а х+ п)а у'

E — = -v(l + v)ct x + (l - v 2 )с

dy

-v(1 + v)cx + [1 -v^y .

(2)

5 = E(1 -v)

(l + v)(l -2v) ' 1 -v'

(3)

dx E

E

dv 1 -v2 v(1 + v) du dv „

= y--, —+ —= 0 . (4)

dy E

E dy dx

Интегрируя первые два из уравнений (4) получаем:

1 -v 2

E

1 -v 2

E

М + v)

—-'-с

E

v(1 + v)

—- с

E

f (y) ,

• y + g (x

(5)

третье из уравнений (4), имеем:

f+dg = 0 dy dx

(6)

В уравнении (6) первое слагаемое зависит только от у, а второе — от х. Такое уравнение может удовлетворяться только при постоянных значениях обоих слагаемых:

Разрешим полученную систему относительно напряжений:

du dv | J dv du

с x = B\ — + c— I с = B\ — + c— dx dy J' I dy dx

f=C dg= -C dy dx

Интегрирование уравнений (7) дает:

f = Cy + C1 , g = -Cx + C2 .

(7)

(8)

Величины C1 и С2 — новые константы. Подставляя (8) в (5), получаем:

Область применения полученных выражений ограничивается случаем v ф 0,5 . А в практических расчетах из рассмотрения необходимо также исключать случай, когда v ® 0,5 (в связи с большой погрешностью округлений), характерный для эластомерных материалов. Это, в свою очередь приводит к необходимости, в частности, при конечно-элементных расчетах, использовать специально разработанные схемы, например, момент-ную схему конечного элемента для слабосжима-емых материалов [3].

Рассмотрим отдельно задачу об однородном растяжении-сжатии квадратного элемента. Пусть заданы нормальные напряжения сx = const, с = const, а касательное напряжение равно нулю:

t xy = 0. Тогда первые два из уравнений (1) удовлетворяются тождественно, а остальные три уравнения принимают вид:

du 1 -v2 v(1 + v)

-сx--*-'-сy ,

1 -v2 v(1 + v)

сx--i-'-с y

E

1 -v 2

E

E

v1+v E

x + Cy + C1

• y - Cx + C2

(9)

Здесь константа С1 задает поступательное перемещение вдоль оси Ох; константа С2 — перемещение вдоль оси Оу; константа С — поворот в плоскости ху. Отбрасывая соответствующие слагаемые, имеем окончательно:

1 -v2

E 1 -v

v(1 +v)

-с y

E y

2

v(1 + v)

с y-----с x

E y E x

• y.

(10)

Рассмотрим более подробно случай V = 0,5. При этом значении имеем:

1 -V2 = 0,75 ' п(1 + п) = 0,75. Из (10) получаем:

du 0,75 / \ dv

& "(с x-с y), dy

Обозначим:

dv 0,75

E

(с x -с y ). (11)

с=сx -сy .

Функции f (у) и g (х) играют здесь роль констант интегрирования как величины, не зависящие, соответственно, от х и у. Подставляя (5) в

В итоге (11) дает:

du = -_dv = 0,75 dx dy E

-с .

(12)

(13)

Пользуясь терминами аналитической механики, можно сказать, что от двух обобщенных ко-

v

u

v=

x

U =

X

v

v

ординат ах и ау мы перешли к одной координате а . Следовательно, система с двумя степенями свободы превратилась в систему с одной степенью свободы.

Очевидным следствием из (12) будет условие несжимаемости:

нии угловь

ди ду — + — = 0 . дх ду

Из (10) в этом случае получаем:

0,75 0,75 и =-а • х , у =--а • у .

Е

Е

(14)

(15)

Рис. 1. Моделируемый элемент сплошной среды

Подставляя в (15) координаты угловых точек элемента, получаем:

( ) 0,75 л ( ) 0,75 Дх1 = и(а) =-а • а , Ду1 = у(а) =--а • а ,

ЕЕ

0,75 0,75 Дх2 = и(- а)=--а • а, Ду2 = у(а) =--а • а,

0,75

Е

Е

0,75 0,75

Дх3 = и(- а) =--а • а, Ду3 = у(- а) =-а • а ,

ЕЕ

/ \ 0,75 / ч 0,/5 л Дг4 = и(а) =-а • а , Ду4 = у(- а) =-а • а. (16)

0,75

Е

Е

Рис. 2. Перемещения узлов дискретного элемента .У

Полученное частное решение уравнений теории упругости описывает напряженно-деформированное состояние бесконечной плоскости ху. Естественно, оно пригодно и для любой части этой плоскости.

Рассмотрим квадратный элемент, изображенный на рисунке 1.

' У

Рис. 3. Случай а х = а, а у = 0

Обратим особое внимание на тот факт, что в данном случае отсутствует взаимно однозначное соответствие между напряженным и деформированным состояниями элемента. По заданным напряжениям однозначно находятся деформации, но не наоборот. Так, деформации, изображенные на рисунке 2, могут отвечать бесконечному разнообразию напряжений ах и ау , отвечающих соотношению (12). На рисунках 3-5 изображены некоторые примеры напряжений, отвечающих деформациям с рисунка 2.

л

тт

о

11

И

Рис. 4. Случай ах = 0, ау = -а

Соответствующая картина перемещений этих угловых точек и деформаций элемента в целом, изображена на рисунке 2. Все угловые точки переместились перпендикулярно диагоналям квадрата; в итоге квадрат превратился в прямоугольник той же площади, что и исходный квадрат (при малых перемещениях угловых точек).

Длины диагоналей квадрата не изменились; эти диагонали совершили повороты как твердые тела (все при том же условии малости перемеще-

И 1 1 ,У а7 4 1 1 I

СТ* — Ох —

—- "—

■ 1 1 Т ' ■III' У

Рис. 5. Случай ох =а/2, а,, =-а/2

Моделирование континуального квадратного элемента дискретным элементом

Сконструируем дискретный элемент, моделирующий свойства континуального квадратного элемента (рис. 6).

Тх/2 = <

(18)

Эти силы приложены в угловых узлах дискретного элемента. На рисунке 6 изображена такая сила, приложенная в первом, т. е. правом верхнем узле.

Изобразим также реакции стержней, сходящихся в первом узле (рис. 6). В качестве уравнения равновесия 1-го узла воспользуемся уравнением моментов приложенных сил относительно геометрического центра элемента:

Т

Кх ■ а - Ку • а —- • а = 0

х у 2

(19)

Задача нахождения двух реакций из одного уравнения равновесия является статически неопреде -лимой, поэтому воспользуемся перемещениями узла, полагая их такими же, как перемещения соответствующей угловой точки континуального элемента (16). При этом учтем, что продольная деформация стержня равна удвоенному перемещению его конца. Считая жесткости горизонталь-

ных и вертикальных стержней одинаковыми и равными С, имеем:

Кх = 2Аг1С , Ку = 2Ду1С = -2Дх1С = -Кх . (20)

Подставляя (20) в (19) имеем:

Кх = Тх14. (21)

Отсюда, с учетом (17), получаем:

(22)

Кх = -. х2

Рис. 6. Силы, приложенные к первому узлу дискретного элемента

Этот элемент состоит из шести стержней; причем диагональные стержни являются абсолютно твердыми, не изменяющими своих длин, а остальные стержни упругие. Размеры дискретного элемента такие же, как и континуального (рис. 1), т. е. 2а х 2а.

Для нахождения жесткостных характеристик предлагаемой модели рассмотрим задачу об одноосном растяжении-сжатии вдоль оси х. При этом равномерно распределенную нагрузку

ст х = а , действующую на вертикальные стороны квадрата, заменим на интегральную силу:

Тх = 2 аст . (17)

В свою очередь, разобьем эту силу на две, равные:

Подстановка в (20) выражения для Ах1 из (16) дает:

0,75

Кх = 2 —— астС

х Е

(23)

Приравнивая выражения для Кх из (22) и (23) имеем окончательно:

с = Е.

3

(24)

Таким образом, найдено значение жесткостей горизонтальных и вертикальных стержней, при котором одинаковое горизонтальное нагружение континуального и дискретного элементов приводит к одинаковым перемещениям соответствующих угловых точек. В этом легко убедиться, подставляя (22) и (24) в (20) и находя при этом Дх1 и Ду1.

Анализируя найденное значение жесткости (24) и сравнивая его с выражениями, приведенными в работе [2], видим, что значение С = Е/ 3 может быть получено из (47) в [2] в результате предельного перехода при V ® 0,5 и = ^ . Для жесткостей диагональных стержней в случае нагрузки растяжения-сжатия предельный переход дает

V-Е

Б = Нш

п V®0.5 (1 + п)(1 - 2V)

-> ¥ ,

что вполне согласуется с полученными ранее выводами об отсутствии деформирования диагональных стержней при рассматриваемом виде нагружения.

Аналогичным образом рассматривая задачу о деформировании квадратных континуального и дискретного элементов при изгибной и сдвиговой нагрузках, можно вычислить жесткостные характеристики дискретной модели для этих случаев нагружения. Соответствующие значения также могут быть получены в результате процедуры предельного перехода в выражениях (47) из [2]:

Е Б г Е

брт), Б *=г=^г+П).

Рассмотрим теперь следующий существенный

С/ =-

вопрос. На дискретный квадратный элемент действуют сосредоточенные силы (18), приложенные в угловых точках элемента. Эти силы моделируют распределенную горизонтальную внешнюю нагрузку интенсивности ах = а . Внутреннее напряженное состояние элемента моделируют реакции горизонтальных и вертикальных стержней. Реакции диагональных стержней не учитываем, поскольку при поворотах этих стержней как твердых тел относительно центральной точки квадрата эти реакции выполняют нулевую работу.

Две горизонтальных реакции (22) моделируют внутреннее горизонтальное напряжение. Сравнивая с усилиями (18), моделирующими внешнее напряжение, видим, что внутреннее напряжение оказывается вдвое меньшим, т. е. равным а х =а/ 2.

При горизонтальных растягивающих усилиях вертикальные усилия и соответствующие напряжения получаются сжимающими, т. е. ау = -а/2 .

Видно, что внешняя нагрузка, изображенная на рисунке 3, преобразуется во внутреннее напряженное состояние, изображенное на рисунке 5. Аналогично можно показать, что и внешняя сжимающая нагрузка, изображенная на рисунке 4, также преобразуется во внутреннее напряженное состояние, изображенное на рисунке 5.

Таким образом, для построенной дискретной модели имеется однозначная связь между напряженным и деформированным состояниями. При внешнем нагружении, представляющем собой растяжение, сжатие или их произвольную комбинацию, элемент деформируется за счет поворота абсолютно твердых диагональных стержней и с созданием антисимметричного напряженно-деформированного состояния.

Однако следует отметить, что это особенность сконструированной дискретной модели. Рассмотрим другой вариант модели (рис. 7).

Здесь вертикальные стержни отсутствуют (их жесткости равны нулю). В итоге внешнюю нагрузку воспринимают только горизонтальные стержни, в результате чего их реакции удваиваются:

Кх = аа .

Это отвечает удвоенным жесткостям горизонтальных стержней:

С =

2E 3

Рис. 7. Альтернативная модель дискретного элемента

Реакции диагональных стержней в данном случае внешнего нагружения отсутствуют. Внутреннее напряженное состояние совпадает с внешним нагружением. Если мы рассмотрим другие виды внешнего нагружения, например, стx = 0, sу = -s , то внутреннее напряженное состояние останется прежним, т.е. таким, как на рисунке 3. Т. е. в данном случае при любой внешней нагрузке внутри элемента имеем только горизонтальное напряжение sx = s .

Аналогично, если оставить только вертикальные стержни, убрав горизонтальные, то при любой внешней нагрузке получаем вертикальное напряжение: ст = -ст .

Можно, при желании, оставлять и горизонтальные и вертикальные стержни, но с разными жесткостями, получая при любой внешней нагрузке соответствующее внутреннее напряженное состояние с пропорцией между горизонтальным и вертикальным напряжениями, задаваемой жесткостями стержней.

Список литературы

1. Шамровский А. Д. Решение плоских статических задач механики деформируемого твердого тела при помощи дискретных моделей, получаемых на основе экспериментальных данных / А. Д. Шамровский, Ю. А. Льгмаренко, Д. Н. Колесник // Проблеми обчислювально! мехашки i мщносп конструкцш. Збiрник наукових праць. — Дншропетровськ : Лра. — 2011. - Вип. 17. - С. 274-288.

2. Шамровский А.Д. Дискретные модели для плоских статических задач теории упругости /

A. Д. Шамровский, Ю. А. Лымаренко, Д. Н. Колесник, Т. А. Миняйло, В. В. Кривуляк // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. Серия «Прикладная мехашка». — 2011. — Вип. 3/7 (51). - С. 11-18.

3. Киричевский В. В. Метод конечных элементов в механике эластомеров: [ монография] /

B. В. Киричевский. - К.: Наукова думка, 2002. -655 с.

4. Кунин И. А. Теория упругих сред с микроструктурой: нелокальная теория упругости / И. А. Кунин. - М. : Наука (СО), 1975. - 415 с.

5. Рушицький Я. Я. Хвиш в матерiалах з мжро-структурою / Я. Я. Рушицький, Ц. I. Цурпал. -К. : 1н-т механжи НАНУ. - 377 с.

6. Metrikine A. V. One-dimensional dynamically

consistent gradient elasticity models derived from

a discrete microstructure. Part 1: Generic formulation / A. V. Metrikine, H. Askes // European Journal of Mechanics A/Solids. - 2002. - Vol. 21. -P. 555-572.

7. Suiker A. S. J. Micro-mechanical modelling of granular materials - Part 2 - Plane wave propagation in infinite media / A. S. J. Suiker, R. de Borst, C. S. Chang // Acta Mechanica. -2001. - Vol. 149. - P. 181-200.

8. Новацкий В. Теория упругости / В. Новац-кий. - М. : Мир, 1975. - 872 с.

9. Шамровський О. Д. Дискретна модель плос -кого елементу сынченних розмiрiв для ор-тотропного середовища / О. Д. Шамровський, Т. О. Мшяйло // Методи розв'язування при-кладних задач механжи деформiвного твердого тша - Дншропетровськ : Лiра, 2012. -Вип. 13. - С. 428-436.

Поступила в редакцию 20.04.2015

Шамровський О.Д., Лимаренко Ю.О., Богданова 6.М. Дискретне моделювання еластомерiв, що перебувають в умовах плоско! деформацп

Запропонована в роботах [ 1, 2] дискретна модель суцльного середовища для плоских задач теорп пружностi модифкована на випадок моделювання нестискуваних матерiалiв. Розглядаеться випадок плоско1 деформацп, що характеризуеться в рамках класичного континуального тдходу обчислювальними труднощами, пов 'язаними 3i значеннями коеф^ен-та Пуассона, близькими до 0,5.

Ключовi слова: дискретна модель, дискретний елемент ктцевихрозмiрiв, метод полдов-них перемiщень.

Shamrovskiy A., Lymarenko Y., Bogdanova E. Discrete modeling of elastomers in plane strain

Proposed in [1,2] discrete continuum model for plane elasticity problems is modified in case of modeling incompressible materials. The case of plane strain, characterized in classical continuum approach computational difficulties associated with the values of Poisson's ratio close to 0,5.

Key words: discrete model, a discrete element of finite size, the method of successive movements.