CC BY
19
Перечень ссылок
1. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний. -М.: Машиностроение, 1967. - 313 с.
2. Тимошенко С.П. Теория колебаний в инженерном деле. -М.: Государственное научно-техническое изд-во, 1931. -344 с.
3. Моисеев А.А., Розенберг А.Н. Конструирование и расчет прочности судовых ТЗА. - Л.: Судостроение, 1964. -510 с.
4. Писаренко Г.С. Обобщенная нелинейная модель учета рассеяния энергии при колебаниях. - К.: Наукова думка, 1985. - 235 с.
5. Рассеяние энергии при колебаниях механических систем // Материалы ХШ научной конференции. - К.: На-укова думка, 1985. - 306 с.
Одержано 28.12.2007
До^джено власнi коливання вигину сталево'1 балки за наявностi внутрШнього тертя. Виконано комп 'ютерний анализ характеру коливань балки для pi-зних видiв i параметрiв функцП тертя. Показано, що використання комбiнованоi залежностi для функцИ тертя дозволяе зближувати розрахункову й експериментальну осцилограми коливань.
Self bending oscillations of steel beam possessing inner friction are studied. Computer analysis of the character of beam oscillations for different types and parameters of friction function has been carried out. It is shown that the employment of a combined relationship for friction function permits to bring closer the computed and experimental oscillograms of vibrations.
По результатам исследовании можно сделать следующие выводы:
- действительная зависимость силы внутреннего трения имеет более сложный вид, чем обычно применяемые простые показательные функции;
- использование комбинированной зависимости для функции трения позволяет сблизить расчетную и экспериментальную осциллограммы колебаний как по времени, так и по характеру огибающей линии.
Предложенный подход описания функции трения может быть использован для построения уточненных моделей осцилляторов с внутренним трением.
УДК 539.3
Ю. А. Лымаренко Государственная инженерная академия, г. Запорожье
ВЛИЯНИЕ ПОВРЕЖДЕНИЙ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ
МАКРОХАРАКТЕРИСТИКИ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ИЗДЕЛИЙ
На примере задачи о колебаниях пластины, содержащей локализованное повреждение, изложен общий подход к решению задач о влиянии повреждений на динамические макрохарактеристики напряженно-деформированного состояния изделий. Предлагаемый подход заключается в последовательном применении матричных методов анализа колебаний с последующим уточнением динамических параметров вибраций на основе нестационарной модели повреждения.
Введение
Проблема прочности (надежности), характеризующаяся процессами, приводящими к разрушению конструкций, стимулировала постановку и решение задач динамики пластин и оболочек с локальными неодно-родностями. Анализ существующих на данный момент подходов к решению таких задач позволил выделить следующие основные направления: 1) континуальный подход [1, 2], в котором рассматриваются лишь сквозные трещины; 2) континуально-дискретный подход [3, 4], в котором колебания всего объекта рассматриваются как движение континуума, а для моделирования
повреждения используется одномассовая модель с кусочно-постоянной жесткостью [5]; 3) дискретный подход [5], в котором либо развивается одномассовая система [6, 7], моделирующая «дышащие» трещины, либо рассматривается многомассовая система, моделирующая изделие со сквозной трещиной [8]; 4) ко-нечноэлементный подход [9].
Несмотря на такое многообразие подходов, все они имеют один существенный недостаток. В каждом из этих подходов учитывается лишь один из двух характерных признаков наличия повреждения: это либо изменение формы колебаний, либо изменение спектраль-
© Ю. А. Лымаренко, 2008
114
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРПТ ТА МАШИНОБУДУВАНН1
ных характеристик колебаний: наличие высших гармоник, а также суб- и суперрезонансных режимов колебаний. В данной работе предлагается методика, которая позволяла бы учитывать оба этих признака. Учитывая опыт всех предыдущих исследований было решено использовать единый дискретный подход как при описании динамики изделия, так и при описании трещины.
Методика исследований
Рассмотрим прямоугольную пластину, два противоположных края которой шарнирно оперты. В пластине имеется поверхностное повреждение в виде макротрещины, параллельное сторонам с шарнирным закреплением (рис. 1). Две других стороны пластины считаются бесконечно удаленными.
Согласно уравнениям трехмерной теории упругости движение такой пластины описывается уравнениями [10]
д 2 и
дг
- а Р
2 Р
д 2и 1 - 2v д 2 и
1
д 2 w
дх2 2(1 -V) дг2 2(1 -V) дхдг
д 2 w
дг
- а р
2 р
д 2 w
1 - 2у д 2 w
+ —,-г--+-
д 2 и
дг2 2(1 -V) дх2 2(1 -V) дхдг
= 0,
= 0,(1)
где и, w - компоненты вектора перемещений в направ-
лении осей х, г соответственно; а,
= л№ -
скорость
распространения фронта продольной трехмерной волны, Б = Е(1 - V)((1 + V) - 2v)); Е - модуль Юнга; V - коэффициент Пуассона.
Граничные условия включают в себя 1) условие отсутствия нагрузок на лицевых поверхностях
ст 4=±1 = 0 2
= 0;
г=± 1 2
(2)
2) условие шарнирного опирания двух противоположных сторон пластинки
и т а = 0, \х=0,Ь, г=0
СТ х|х=0,^ = 0,
=0,
(3)
х=0,Ь
где ст х , ст г - нормальные напряжения, т хг - касательное напряжение.
Нужно найти решение задачи (1)-(3) с учетом поверхностной трещины, параллельной сторонам с шарнирным опиранием.
Воспользуемся 1) дискретной моделью тонкого упругого слоя [11], представляющей собой прямоугольную решетку, в узлах которой находятся точечные массы, соединенные между собой упругими связями в горизонтальном, диагональном и вертикальном направлениях, и 2) двухмассовой моделью трещины [12].
Предлагаемая методика решения задачи включает в себя три этапа. Первый этап предполагает нахождение собственных частот и форм колебаний пластинки без учета повреждения. Для этого предварительно запишем систему уравнений, описывающую колебания пластинки, в матричном виде
М 0 X + С0 X = 0
(4)
где X - вектор-столбец перемещений,
М 0 - матрица масс, имеющая диагональную структуру,
С0 - матрица жесткостей.
Рис. 1. Пластина с поверхностным повреждением
т
хг
т
хг
1
1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2008
115
Разыскивая решение матричного уравнения (4) в виде
X = А о бш (со01 + а),
(5)
где Ао - вектор амплитуд, юо - частота колебаний, а - начальная фаза колебаний, имеем
(Со-с^М о) А о = 0.
(6)
С помощью стандартных алгоритмов, например, метода вращений [13], находим собственные числа и собственные вектора заданной квадратной матрицы
Во = М -1Со, являющиеся соответственно квадратами собственных частот колебаний ю^, k = 1, N и соответствующими им собственными формами
Ао,£ = (а1,£ a2,k ••• aN,£
Используя найденные собственные векторы А о к , перейдем к главным координатам
X = и о У
(7)
где ио - матрица перехода, по столбцам которой стоят собственные векторы. В главных координатах уравнение колебаний (4), распадается на N не связанных между собой уравнений [14], каждое из которых описывает колебания по одной из собственных форм
M о,£ && + Cо,kX = о,
k = 1, N,
(8)
где M о k, Cоk - компоненты главных матриц масс
Мо = иоМоио и жесткостей Со = иоСоио, имеющих диагональную структуру.
Учтем теперь влияние на колебательный процесс локализованного повреждения. Трещину будем моделировать, во-первых, ослаблением жесткости горизонтальных и диагональных пружин на величину, пропорциональную глубине трещины, во-вторых, уменьшением массы соответствующих частиц на величину Дт, эквивалентную объему участка с нарушенной сплошностью [15]. Свободные колебания системы с повреждением будут описываться матричным уравнением, аналогичным (5)
МХ + СХ = о.
(9)
После нахождения собственных частот и форм колебаний переходим к главным координатам X = иУ и формируем главные матрицы масс и жесткостей С
и М , £-ые компоненты которых описывают колеба-ния пластинки в пределах £-ой формы колебаний с частотой ю2 = С к /м к .
N
Полученное решение X Ак + а£)
к=1
описывает свободные колебания объекта в предположении, что влияние повреждения на жесткостные и инерционные характеристики проявляется на обоих полуциклах колебаний в равной степени, что справедливо, прежде всего, для рассеянных повреждений и крупномасштабных локализованных дефектов.
На рис. 2 (а-г) представлены первые четыре формы колебаний пластины без повреждения (тонкая линия) и с учетом повреждения (жирная линия). Формы посчитаны для случая, когда трещина находится в среднем сечении пластины. Рядом с формой колебаний приводится коэффициент Р1, равный относительному изменению собственной частоты колебаний, выраженному в процентах, р1 = (юо -Ю1 )/юо -Юо% .
Р1 = 5,29 %
б
р1 = о %
р1 = о %
Р1 = 4,55 %
Рис. 2. Формы колебаний пластины (а, в - изгибные формы; б, г - продольные формы) без повреждения (тонкая линия) и
с учетом повреждения (жирная линия)
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРГИ ТА МАШИНОБУДУВАНН1
Характерным признаком относительно небольшой трещины является нелинейный характер колебаний объекта вследствие различия его жесткостей на полуциклах разного знака. Для учета динамических эффектов, связанных с раскрытием и закрытием трещины, воспользуемся нелинейной двухмассовой моделью повреждения [12].
Знание собственных форм колебаний дает возможность рассматривать дискретную модель пластины при ее колебаниях по одной из собственных форм как систему с одной степенью свободы.
Поэтому в качестве приведенных характеристик жесткости и массы пластины без повреждения и с повреждением будем использовать соответствующие компоненты главных матриц масс и жесткостей
С0 = Ои, м0 = М~0,к, С = ск, ых = мк.
Следовательно,
С2 = С0 - С1 = С0,к - Ск , М2 = М0 - М1 = л~0,к - Мк .
При этом С 2 = С 2 (к), М 2 = М 2 (к), что позволяет учесть взаимосвязь между параметрами трещины, т.е. ее глубиной и месторасположением, и формой колебаний.
Определив таким образом все коэффициенты в системе уравнений (7) из [12], находим второе приближение задачи, учитывающее динамические эффекты, вызванные нелинейным характером колебаний системы с трещиной, путем численного интегрирования
системы методом Рунге-Кутта. На рис. 3 представлены амплитудно-частотные характеристики изгибных колебаний пластины, полученные с помощью двухмас-совой модели повреждения. Левый график соответствует большему грузу модели, интегрально описывающему динамическое поведение всей пластины, правый - меньшему, характеризующему динамическое поведение пластины вблизи повреждения. Относительная глубина трещины, находящейся в сечении xT /L = 1/2, составляет у = 0,2. АЧХ построены в относительных координатах Ai,/xi,CT (A2, j /xi,CT ) и p/rao , где Ai,j (A2,j) - амплитуды j-й гармоники колебаний 1-й (2-й) массы, j = 1, 2 , Х1,ст - величина
статического отклонения массы M1, ra o - собственная частота колебаний системы без повреждения, р -частота возбуждающей силы.
Анализ полученных результатов
Анализируя формы колебаний пластинки, часть которых приведена на рис. 2, можно сделать следующие выводы:
1) при изгибных колебаниях наибольшие изменения частоты и формы колебаний имеют место в том случае, когда поврежденное сечение расположено вблизи максимума формы, а наименьшие изменения соответствуют расположению повреждения вблизи узловых точек;
2) при продольных колебаниях наибольшие изменения частоты и формы колебаний имеют место в том случае, когда повреждение находится вблизи узловой точки формы, а наименьшие - при совмещении повреждения с максимумом формы;
0 0,5 1 2 р/Щ 0 0,5 1 ' 2 Pl™ о
Рис. 3. Амплитудно-частотные характеристики колебаний прямоугольной пластины при колебаниях по первой изгибной
собственной форме
ISSN 1607-6885 Hoei Mamepia.nu i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2008
117
3) при наличии повреждения в диагностируемом объекте не могут быть реализованы в отдельности ни изгибные ни продольные колебания: при возбуждении изгибных колебаний появляются и продольные формы, а при возбуждении продольных появляются и изгибные формы колебаний.
Как свидетельствуют графики, приведенные на рис. 3 характерным признаком относительно небольшой трещины является нелинейный характер колебаний объекта: в спектре колебаний помимо основной появляются высшие гармоники колебаний, наличие которых может свидетельствовать о наличии повреждения. В качестве диагностического критерия целесообразно использовать амплитуду второй гармоники при суперрезонансном режиме колебаний порядка 2/1.
На рис. 4 представлены графики зависимости относительного изменения частоты колебаний от относительной глубины трещины, расположенной в сечении Xf / L = ^2. Приводятся два значения:
ßi = (о -®1 Vюо , полученное на основе первого приближения (для открытой трещины) и ß = (ю о - ю)/ю о , полученное на основе второго приближения (для дышащей трещины). На том же рисунке для сравнения приводятся графики относительного изменения частоты для открытой и закрытой трещины, взятые из работы В.В. Матвеева и О.Е. Богинич [4]. Приведенные графики демонстрируют удовлетво -рительное соответствие результатов.
Выводы
1. На основе дискретной модели тонкого упругого слоя и нелинейной двухмассовой модели повреждения рассмотрена задача о колебаниях упругой пластины, содержащей локализованное повреждение в виде трещины.
2. Сформулирован общий подход к решению подобного класса задач, заключающийся в последовательном применении матричных методов анализа колебаний с последующим уточнением динамических параметров вибраций на основе нестационарной модели повреждения.
3. В ходе решения задачи было исследовано влияние поверхностного повреждения на динамические характеристики колебаний пластины: форму колебаний, собственную частоту колебаний, амплитуды высших гармоник. В качестве диагностического критерия предложено использовать амплитуду второй гармоники при суперрезонансном режиме колебаний порядка 2/1.
Решения, полученные с помощью предложенного подхода сравнивались с известными аналитическими решениями и решениями, полученными другими авторами. Продемонстрировано удовлетворительное соответствие результатов.
Перечень ссылок
1. Murphy K.D., Zhang Y. Vibration and stability of a cracked translating beam // Journal of Sound and Vibration. - 2000. -237(2). - P. 319-335.
2. Wu D., Law S.S. Damage localization in plate structures from uniform load surface curvature // Journal of Sound and Vibration. - 2004. - V. 276, №5. - P. 227-244.
3. Плахтиенко Н.П. Резонанс второго порядка пластины, содержащей протяженные дефекты целостности // Проблемы прочности. - 2001. - № 1. - С. 105-116. Матвеев В.В., Богинич О.Е. Вибродинамические параметры усталостного повреждения прямоугольных пластин. Сообщение 2. Прямолинейные трещины постоянной глубины // Проблемы прочности. - 2005. - № 1. -С. 43-59.
Ройтман А.Б., Шамровский А.Д. Диагностика трещин путем анализа форм вынужденных колебаний. Новые технологические процессы и надежность ГТД. - М.: Тр. Центр. ин-та авиац. моторостроения. - 1976. - №4. -С. 41-46.
Бурау Н.И. Теоретические исследования временных и частотных характеристик нестационарной модели объекта виброакустической диагностики // Техническая диагностика и неразрушающий контроль. - 2002. -№ 1. - С. 13-17.
Матвеев В.В. Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров не линейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 2. Определение диагностических параметров при основном и супергармоническом резонансе // Проблемы прочности. - 2004. - № 5. - С. 5-22. Григорьева П.П., Шамровский А.Д. Исследование колебаний поврежденных дисков с лопатками газотурбинных двигателей на основе дискретной модели // Проблемы машиностроения. - 2005. - Т. 8. - №2. - С. 56-64.
Р\Ф
У
у уУ У/ ¿г
и" " А*-*
0 0.0.5 0.1 0.1Î 0.2 0.2.5 0.3
7.
Рис. 4. Зависимости относительного изменения собственной частоты колебаний пластины, при изгибных колебаниях по первой форме, от относительной глубины трещины Y , вычисленные с помощью дискретной модели для открытой трещины (штрихпунктирная линия) и для дышащей трещины (обозначена точками), и взятые из 8.
работы В.В. Матвеева и О.Е. Богинич [4] в предположении об открытой трещине (пунктирная линия) и для дышащей трещины (сплошная линия)
НАУКОВО-ТЕХН1ЧНА 1НФОРМАЦ1Я
9. Krawczuk M. Natural vibrations of rectangular plates with a through crack // Archive of Applied Mechanics. - 1993. -V. 63. - P. 491-504.
10. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872 с.
11. Лымаренко Ю.А., Шамровский А.Д. Дискретное моделирование стационарных волновых процессов в тонком слое при симметричной деформации // Вюник Харювського нацюнального ушверситету. Серiя «Математика, прикладна математика i механжа». - 2005. -Т. 711. - С. 68-79.
12. Лымаренко Ю.А., Шамровский А.Д. Математическое моделирование процесса акустической эмиссии // Тех-
ническая диагностика и неразрушающий контроль. -2003. - № 1. - С. 30-33.
13. Теорiя алгоритмiв. Методичний поыбник / Уклад. О.Д. Шамровський. - Запорiжжя: Вид.ЗДА, 2005 - 150 с.
14. Бабаков И. М. Теория колебаний. - М.: Наука, 1968. -560 с.
15. Бовсуновский А. П. К вопросу об определении собственной частоты Численное исследование колебаний нелинейной механической системы, моделирующей тело с трещиной // Проблемы прочности. -1999. - № 6. - С. 65-79.
Одержано 28.12.2007
На npuKnadi 3ada4i про коливання пластини, що Micmumb локал1зоване пошкодження, викладено загальний nidxid до розв 'язання задач про вплив пошкоджень на дuнамiчнi макрохарактеристики напружено-деформованого стану вuробiв. Запропонований пiдхiд полягае в по^довному застосуванн матричних меmодiв аналiзу коливань iз наступним уточненням дuнамiчнuх парамеmрiв вiбрацiй на оcновi неcmацiонарноiмоделi пошкодження.
Presented is general approach to solving the problem of the influence of damage of dynamic macro-characteristics of a strained deformed state ofparts. Proposed approach is based on consecutive use of matrix methods of vibrations analysis with subsequent refinement in dynamic parameters of vibrations on basis of non-stationary model offailure.
ISSN 1607-6885 Нов1 матер1али i технологи в металурги та машинобудуванш №1, 2008 119
