CC BY
38
Выводы
Разработана стержневая модель сплошной среды для решения контактных задач теории упругости. Предложенная дискретная модель для решения задачи о штампе с прямолинейным основанием. Для проведения расчетов по дискретной модели предлагается использовать метод последовательных перемещений, хорошо зарекомендовавший себя при расчете стержневых конструкций.
Список литературы
1. Дискретные модели для плоских статических задач теории упругости / А. Д. Шамровский, Ю. А. Лымаренко, Д. Н.Колесник и др.] // Восточно-Европейский журнал
передовых технологий //научный журнал. - Харьков : Технологический центр, 2011. - № 3/7 (51). - С. 11-18.
2. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили. -М. : Наука, 1966. - 709 с.
3. Развитие теории контактных задач в СССР : учеб. / под ред. Галина Л. А. - М. : Наука, 1976. - 493 с.
4. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела : учебное пособие для вузов / Ю. Н. Работнов. -[2-е изд., испр.]. - М. : Наука, 1988. - 712 с.
5. Шамровський О. Д. Метод последовательных приближений для расчета стержневых систем / О. Д. Шамровський, А. І. Безверхий, В. В. Кривуляк // Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні. - 2008. -№ 2. - С. 110-118.
Одержано 17.05.2013
Шамровський О.Д., Богданова Е.М. Розв’язання контактних задач теорії пружності за допомогою дискретних моделей
Вивчено можливості застосування методу послідовних переміщень для розв’язання контактних задач теорії пружності, зокрема задачі про штамп.
Ключові слова: стержнева модель, суцільне середовище, метод послідовних переміщень.
Shamrovskyi A., Bogdanova E. Solution of contact problems of elasticity using the discrete models
The application opportunity of successive movements method for solution of elasticity theory contact problems, in particular problem of stamp was reasereched.
Key words: beam model, solid medium, method of successive movements.
УДК 691.7:620.17 Канд. техн. наук В. Г. Шевченко, канд. техн. наук С. Л. Рягин,
М. А. Журба, Н. В. Литовский Национальный технический университет, г. Запорожье
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ
Получены аналитические зависимости для прочностного расчета статически неопределимых пространственных составных стержней, представляющих собой набор 5продольных профилей, соединенных поперечными диафрагмами. Показано, что кручение таких стержней может вызывать изгиб продольных профилей.
Ключевые слова: статически неопределимые пространственные составные стержни, прочностной расчет.
Введение
Точность расчета на стадии проектирования обеспечивает низкую материалоемкость и высокую надежность создаваемых конструкций. Поэтому разработка моделей аналитического расчета связана с важной научной и практической задачей повышения конкурентоспособности продукции отечественного машиностроения.
В машиностроительных конструкциях периодически встречаются статически неопределимые пространственные составные стержни, которые представляют собой набор параллельных профилей, скрепленных между собой поперечными диафрагмами по концам и в пролете - сидения, ограждения, перила, полки, ступени и т. п. (см. рис. 1, 2). На такие стержни могут действовать изгибающие, крутящие и сдвигающие нагрузки.
© В. Г. Шевченко, С. Л.Рягин, М. А. Журба, Н. В. Литовский, 2013
В литературных источниках, связанных с сопротивлением материалов и строительной механикой, большое внимание уделено сварным составным балкам и фермам. Например, в книге [1] наиболее подробно приведен расчет составных стержней и пластин. Однако в этой книге в качестве частного случая рассматриваются составные стержни без сдвиговых связей, работающие только на изгиб только в одной плоскости. Авторам не известны публикации, приводящие аналитический расчет статически неопределимых пространственных составных стержней при данной комбинации нагрузок. Решению этой задачи посвящается данная статья.
Целью статьи является разработка аппарата аналитического расчета статически неопределимых пространственных составных стержней при изгибе, кручении и сдвиге.
Материалы и методы исследований
Если поперечную диафрагму считать абсолютно жесткой, уравнение совместности деформаций следует из перемещений центров тяжести профилей вместе с поперечной диафрагмой.
Изгиб в вертикальной плоскости
Полагаем, что посередине пролета составной стержень нагружен вертикальной силой (см. рис. 1).
Считаем, что при изгибе составной стержень получает опору по краям.
Перемещение нагруженной диафрагмы будет одинаковым для всех п- профилей. Тогда уравнения совместности деформаций:
/ = /, / = 1 ..., п,
где / - вертикальное перемещение поперечной диафрагмы;
/ - вертикальное перемещение центра тяжести /-го профиля.
Сила Рв распределяется между профилями:
п
Р = У Р
1 в ^ 1 вг .
і=1
Перемещение центра тяжести каждого профиля:
р • i
1 вг 1
48 • E • I
где E - модуль Юнга;
Ixi - момент инерции г-го профиля. Тогда
Ре1 48 • E
-Г- = —3— f = const.
1 xi l
Рис. 2. Пример поперечного сечения статически неопределимого пространственного составного стержня
После выполнения преобразований получаем для i-го профиляі
I х
где
Р , = -ZL. Р
Іх = Z І*
і=1
Тогда
M x max І хі
I W ■
х хг
где Mx max - максимальный изгибающий момент;
Wxi - момент сопротивления i-го стержня.
Изгиб в горизонтальной плоскости
По аналогии с изгибом в вертикальной плоскости, напряжения в i-м профиле определяются по формуле:
M I ■
_ у max уг
где
1у = У I*
г=1
Определение положения у нейтральной линии при изгибе в вертикальной плоскости выполняется из условия равенства нулю статического момента £ ^ 0:
У,Р/ '{усг — Унл )= 0,
г=1
где хс/, ус/ - координаты центра тяжести /-го профиля, Е. - площадь этого профиля.
Z Fi• усі = унл -Z Fi
і=1
і=1
Тогда
унл
ZFi -ус і=1____
F
где
р = 1 р. і=1
Кручение
При кручении составной стержень считаем защемленным по концам. Крутящий момент, приложенный к центральной пластине, будет уравновешиваться за счет изгиба и кручения профилей:
П
М =У Р -\у - у I +
кр гг у с ■/ нл |
і=1
п п
+ Х Рві ■ |хсі | + ХМгі.
і =1 і =1
Последним слагаемым можно пренебречь. Перемещения при изгибе будут определяться поворотом центральной пластины. Тогда
48 • Е • І хі і і
Рві =------р---Ф • \хсі ^
48 • Е-1 Рі= - Ф- |Ус'- Унл I,
где ф - угол поворота центральной пластины.
Тогда
48. Е
Мкр =—3—ФХ
п п
Z І хі ' хс1 + Z Іу • У сі унл )
Обозначим
Z Іхг • хсі +Z Іуг • Усі - унл У
= К.
Тогда
ф=
Мкр = Мкр •l
48.Е .к 48.Е.K'
После преобразований
Мкр ,
P =—— І . х
вг к хі І с
P.- =■
М
кр
к
"^уі' ^сі унл |.
Полагая опасное сечение посередине пролета
Р -I Р -I
Мха =^—, М и =-г^-. х 4 * 4
Нормальные напряжения в /-ом стержне, вызванные кручением:
P l P l
= 1 вг * _*p = -‘гг *
x ” Wxi ’ 4 ’ y^ W’ 4 ■
уг
С учетом подстановки
акр = Мкр ._/*i_. I
VJ V1 I .'V
К 4 Wx
Мкр I I у/ . .
(ЗкР =--------------р-у \у . — у
у/ ^ 4 ^у/ 1Усг УнлI-
Для защемленного по концам профиля при кручении, полагая момент в худшем случае приложенным посередине, в том же опасном сечении:
I
х
X
і = 1
I = 1
І
I =1
і=1
l
ф=
Mzl-l 4. G-Ікр
где Мг/ - момент кручения в 1-м профиле;
О - модуль упругости II рода;
1кр/ - приведенный момент инерции при кручении. Тогда
Мр. Iі
M, -і
48 Е к 4 G І
крг
m„ = -
І
крг •
К 12-Е
Касательные напряжения в і-м стержне, вызванные кручением
М^,
М Кр G.l2
І
крг
к 24. Е W
крг крг
Если при кручении характер распределения нагрузок ближе к распределенному по длине, чем к сосредоточенному посередине, это можно учесть умножением напряжений на поправочный коэффициент а = 0,5. Этот коэффициент представляет собой отношение наибольших изгибающих моментов в двухопорном пролетном стержне, возникающих при действии сосредоточенной силы посередине, и эквивалентной ей распределенной нагрузки.
Сдвиг
Боковые силы и их реакции создают пару сил М. Получаем, что от ее действия поперечные диафрагмы поворачиваются на одинаковый угол ш (см. рис. 3).
При этом в каждой секции каждого профиля возникают моменты М . и соответствующие им реакции
Ri =
2М б
із
Таким образом, момент М6 уравновешивается внутренними силами:
т
Мб = 2- т • УМ бг,
/=1
где т - количество секций.
Уравнения совместности деформаций у. = у = const.
В i-й секции, по формуле [2]
у=
Мбг'із Ма = 6 E^x
6 E I x
із
.у.
После подстановки и преобразований получаем:
у. 6. E т М б = 2-m----------------;--------Z Ixi.
Отсюда
у=
м б . із
2 - т - 6 - Е -1Х После повторной подстановки
6-Е-іхі
М б1 = -
м б. із
Мб Ix
із
2 m 6 E I x 2 m I x
Тогда нормальные напряжения в і-м стержне от действия боковых сил:
Мб Ixi
2.m.Ix Wxl
Касательные напряжения от реакций R^
тб = = М б 1 Ixi
1 F h'h m Fi
Эквивалентные напряжения
Исходя из принципа суперпозиции и правил определения напряжений при сложном сопротивлении [3], одноименные напряжения суммируются арифметически:
~ ~ I ~ I ~кр , ^кр . ^6 , ^л , _л
стг = ст хг + ст уг + ст хг + ст уг + ст хг + ст хг + ст уг,
где ст хг, ст у - локальные нормальные напряжения в г-м профиле.
кр . б . л Тг = Тг + Тг + Тг ,
где хгл - локальные касательные напряжения в г -м профиле.
Рис. 3. Вспомогательная расчетная схема для учета боковых сил
з
ткр =
ст... =
мальные изгибающие напряжения в параллельных профилях.
Список литературы
1. Ржаницын А. Р. Составные стержни и пластинки / Ржа-ницын А. Р. - М. : Стройиздат, 1986. - 316 с., ил.
2. Справочная книга по расчету самолета на прочность / [Астахов М.Ф., Караваев А.В., Макаров С.Я., Суздаль-цев Я.Я.]. - М. : Оборонгиз, 1954. - 708 с.
3. Писаренко Г. С. Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г. С., Яковлев А. П., Матвеев В. В. ; отв. ред. Писаренко Г С. - 2-е изд., перераб. и доп. - К. : Наук, думка, 1988. - 736 с.
Одержано 20.05.2013
Шевченко В.Г., Рягін С.Л., Журба М.О., Литовский М.В. Розрахунок статично невизначуваних просторових складових стержнів
Отримані аналітичні залежності для розрахунку на міцність статично невизначуваних просторових складових стержнів, які являють собою набір повздовжніх профілів, з’єднаних поперечними діафрагмами. Показано, що кручення таких стержнів може викликати згин повздовжніх профілів.
Ключові слова: статично невизначувані просторові складові стержні, розрахунок на міцність.
Shevchenko V., Riagin S., Zhourba M., Litovsky N. Design of statically indeterminable three-dimensional sets of rods
Analytical dependences for strength design of statically indeterminable three-dimensional sets of rods have been obtained. Those rods consist of parallel profiles, connected by perpendicular diaphragms. It has been shown, that torsion of such rods may cause bending ofparallel profiles.
Key words: statically indeterminable three-dimensional sets of rods, strength design.
Затем эквивалентные напряжения в г-м профиле вычисляются по одной из теорий прочности, например - по III:
_ 1^2 ,Л 2 стеквг \стг + 4- тг .
Анализ полученных результатов
В перспективе полученные аналитические зависимости могут быть использованы для расчета конструкций, относящихся к статически неопределимым пространственным составным стержням.
Выводы
В статически неопределимых пространственных составных стержнях кручение может вызывать нор-
УДК: 531. 31/39:519.85
А. В. Куземко1, канд. физ.-мат. наук И. А. Костюшко2 1 Национальный технический университет, 2 Национальный университет; г. Запорожье
СТАБИЛИЗАЦИЯ СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ПОМОЩЬЮ ВНЕШНИХ МОМЕНТОВ
Для динамически симметричного космического аппарата решена задача стабилизации относительного положения равновесия с помощью внешних моментов, формирующихся из постоянных и нелинейных составляющих. В линейной постановке получены условия стабилизации постоянными моментами. В нелинейной постановке показана невозможность стабилизации постоянными моментами, получены условия стабилизации внешними моментами с добавлением нелинейных составляющих.
Ключевые слова: устойчивость, космический аппарат, функция Ляпунова, первое приближение, внешние моменты.
Устойчивость неконсервативных систем - один из активными силами, при проектировании современных
разделов механики, имеющий важное практическое конструкций в машиностроении, крупногабаритных
значение и вызывавший интерес на протяжении всего космических конструкций. Эти же вопросы возникают
минувшего столетия [1, 2]. Задачи исследования устой- и при решении задач управления, поскольку нагруз-
чивости при рассмотрении систем со следящими и ре- ки, возникающие в объектах систем автоматического
© А. В. Куземко, И. А. Костюшко, 2013
