CC BY
42
мальные изгибающие напряжения в параллельных профилях.
Список литературы
1. Ржаницын А. Р. Составные стержни и пластинки / Ржа-ницын А. Р. - М. : Стройиздат, 1986. - 316 с., ил.
2. Справочная книга по расчету самолета на прочность / [Астахов М.Ф., Караваев А.В., Макаров С.Я., Суздаль-цев Я.Я.]. - М. : Оборонгиз, 1954. - 708 с.
3. Писаренко Г. С. Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г. С., Яковлев А. П., Матвеев В. В. ; отв. ред. Писаренко Г С. - 2-е изд., перераб. и доп. - К. : Наук, думка, 1988. - 736 с.
Одержано 20.05.2013
Шевченко В.Г., Рягін С.Л., Журба М.О., Литовский М.В. Розрахунок статично невизначуваних просторових складових стержнів
Отримані аналітичні залежності для розрахунку на міцність статично невизначуваних просторових складових стержнів, які являють собою набір повздовжніх профілів, з’єднаних поперечними діафрагмами. Показано, що кручення таких стержнів може викликати згин повздовжніх профілів.
Ключові слова: статично невизначувані просторові складові стержні, розрахунок на міцність.
Shevchenko V., Riagin S., Zhourba M., Litovsky N. Design of statically indeterminable three-dimensional sets of rods
Analytical dependences for strength design of statically indeterminable three-dimensional sets of rods have been obtained. Those rods consist of parallel profiles, connected by perpendicular diaphragms. It has been shown, that torsion of such rods may cause bending ofparallel profiles.
Key words: statically indeterminable three-dimensional sets of rods, strength design.
Затем эквивалентные напряжения в г-м профиле вычисляются по одной из теорий прочности, например - по III:
_ /^2 ,Л 2 ®еквг у®г + 4*тг ■
Анализ полученных результатов
В перспективе полученные аналитические зависимости могут быть использованы для расчета конструкций, относящихся к статически неопределимым пространственным составным стержням.
Выводы
В статически неопределимых пространственных составных стержнях кручение может вызывать нор-
УДК: 531. 31/39:519.85
А. В. Куземко1, канд. физ.-мат. наук И. А. Костюшко2 1 Национальный технический университет, 2 Национальный университет; г. Запорожье
СТАБИЛИЗАЦИЯ СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ПОМОЩЬЮ ВНЕШНИХ МОМЕНТОВ
Для динамически симметричного космического аппарата решена задача стабилизации относительного положения равновесия с помощью внешних моментов, формирующихся из постоянных и нелинейных составляющих. В линейной постановке получены условия стабилизации постоянными моментами. В нелинейной постановке показана невозможность стабилизации постоянными моментами, получены условия стабилизации внешними моментами с добавлением нелинейных составляющих.
Ключевые слова: устойчивость, космический аппарат, функция Ляпунова, первое приближение, внешние моменты.
Устойчивость неконсервативных систем - один из активными силами, при проектировании современных
разделов механики, имеющий важное практическое конструкций в машиностроении, крупногабаритных
значение и вызывавший интерес на протяжении всего космических конструкций. Эти же вопросы возникают
минувшего столетия [1, 2]. Задачи исследования устой- и при решении задач управления, поскольку нагруз-
чивости при рассмотрении систем со следящими и ре- ки, возникающие в объектах систем автоматического
© А. В. Куземко, И. А. Костюшко, 2013
ISSN 1607-6885 Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №1, 2013
109
регулирования, в большинстве случаев представляют собой неконсервативные силы. Поэтому анализ и обнаружение новых качественных механических эффектов поведения систем под действием неконсервативных нагрузок представляет значительный интерес.
Уравнения движения космического аппарата
Рассматривается движение динамически симметричного космического аппарата, центр масс которого движется по круговой орбите с угловой скоростью
ю0 = const. Два главных центральных момента равны A = B, момент инерции относительно оси симметрии равен C. За обобщенные координаты примем углы Эйлера 9, ф, у.
Функция Лагранжа системы имеет вид [3]
/^ • 2 ' 2 А I & 2 2 2 2 Г\ |
у sin 9 + 9 — ®o cos у sin 9 + + ую0 cos у sin(29) + 2ю0 9 sin у
L = -A 2
1 3
+ — C (у cos 9 + ф — ю0 cos у sin 9)2 — — (C — A)cos2 9.
Здесь точка означает дифференцирование по времени t. После исключения циклической координаты Ф [4] уравнения движения космического аппарата приводятся к виду:
x1 — -2x2 sin2(xj +90) + x2 cos(x2 +у0)—
— X2 cos 2( +90 )cos(x2 + у 0 )+
+ ■i-sin2(x1 +90 )cos2 (x2 + у 0) +
+ P[ x2 sin(xj +90) + cos(xj +90 )cos(x2 +у 0)] —
3
—^ —1)^2^ +90 ) = m 9,
x2 sin2 x + 90)+ x1x2 sin2xxj + 90)+
+ xjcos2xx1 +90 )cos(x2 + у 0 )—
— xj cosx + у0)—^sin2x +90)sin2x +у0) —
(1)
-p sin(xJ +90) + sin (x2 + у 0 )] =
где x1 =9 —90, x2 = у — у 0, a =—, p =
A Aror
CQ -
циклическая постоянная, отвечающая координате Ф . Штрих означает дифференцирование по безразмерному времени т = ю 0t. Выражения для безразмерных стабилизирующих моментов имеют вид:
1 2
m9= — sin290cos у0 +рcos90 cosу0 —
3 3 2
— — X — 1)sin290 —Y1x1 — d1x2 x1 — /1x12x1,
1 2
ту=——sin 9^ш2у0 —psin90 sinу0 —
— У 2 x2 — d 2 x1 x2 — l1x2 x2 ,
где у1,у2,й1,й2,11,12 - положительные постоянные. Заметим, что каждой паре значений 90 и у0 соответствуют выражения для т 9 и т , которые в свою очередь определяют ориентацию космического аппарата. Система (1) имеет тривиальное решение
х1 = х2 = 0, х1 = х2 = 0 , устойчивость которого исследуется в дальнейшем.
Исследование устойчивости в первом приближении
Разделяя нелинейные слагаемые системы (1) в ряды Маклорена, ограничиваясь линейными слагаемыми, получаем систему первого приближения:
MX'' + GX' + KX = 0,
(3)
где
0 sin2 90
X =jx1] M J1 0 1, G J 0 * I. K <к k2
*0
k2 k3)'
Здесь g , к1, к2, к3 - определенные тригонометрические функции углов 90 и у0, линейным образом зависящие от выбора параметров а и Р ■
Отметим, что матрица М в (3) является положительно определенной.
В случае если матрица К положительно определена, то нулевое положение равновесия системы (3) устойчиво, так как в этом случае нулевое положение потенциальной системы МХ" + КХ = 0 устойчиво и матрица О не влияет на устойчивость [5].
Условия положительной определенности матрицы К:
k1 > 0, k1k3 — k2 > 0.
(4)
В случае если матрица К отрицательно определена, то нулевое положение равновесия потенциальной
системы МХ" + КХ = 0 неустойчиво. Однако оба собственных значения матрицы К отрицательны, то есть степень неустойчивости четна, а это означает, что устойчивость равновесия системы (3) зависит от матрицы О и в системе возможна гироскопическая стабилизация [5].
Условия отрицательной определенности матрицы К:
k1 < 0, k1k3 — k2 > 0.
(5)
Характеристическое уравнение системы (3) имеет
вид:
+
x
2
где
)4 бій2 90 + Ь)2 + с = 0,
Ь = кі бій2 90 + кз + к2, с = кхкз - к|.
(6)
Уравнение (6) биквадратное. Для устойчивости системы (3) необходимо, чтобы уравнение (6) имело две пары чисто мнимых корней, для этого необходимо выполнение условий:
Ъ > 0, с > 0, Ъ2 - 4сбій2 90 > 0.
(7)
Таким образом, при выполнении условий (5) и (7) система (3) устойчива и устойчивость достигнута за счет гироскопической стабилизации.
В случае если не выполняются условия (4), (5), то матрица К не является знакоопределенной и нулевое положение равновесия потенциальной системы неустойчиво. Матрица К при этом имеет одно отрицательное и одно положительное собственное значение, т. е. степень неустойчивости нечетна, следовательно, положение равновесия X = X' = 0 системы (3) будет неустойчивым при любом выборе матрицы О [5].
Критический случай двух пар чисто мнимых корней
В случаях знакооределенной матрицы К характеристическое уравнение (6) имеет две пары чисто мнимых корней ±/ю1, ±/ю2 Таким образом, из устойчивости в первом приближении нельзя делать вывод об устойчивости нелинейной системы. Для исследования этого критического случая необходимо использовать также нелинейные слагаемые системы (1). Запишем систему (1) в нормальной форме, полагая
У1 = ^ У2 = ^ Уз = *1 , У4 = *2 .
Разлагая нелинейные слагаемые системы (1) в ряды Маклорена, ограничиваясь членами третьего порядка включительно, получаем следующую систему дифференциальных уравнений:
Уі = Уз;
у2 = У4;
у3 = -к1 у1 - к2у2 - Ку4 + Уі2 + Уіз + ...; " 1
(8)
У4 =
■( к2у1 к3у2 + КУз ) + У22 + У2з + ...
Здесь многоточие означает совокупность слагаемых порядка не ниже четвертого; У12, У22 содержат квадратичные, а У13 и У23 кубические слагаемые аргументов у1, у2, у3, у4
У1з(У1,У2,Уз,У4), У23СУ1,У2,Уз,У4) - кубические слагаемые, и являются определенными функциями аргументов а, р, 9 0, у 0, у /, ,11 (/ = 1,2).
гі = сі уі + с2 у2 + сз уз + с4 у^ г2 = а1 уі + а2 у 2 + а3 уз + а4 У4, гз = г1 = с1 уі + с2 у2 + сз уз + с4 у4, г4 = г2 = аі уі + а2 у 2 + аз уз + а4 у4‘
(9)
Здесь черта означает сопряжение, комплексные постоянные с/, а/ (/ = 1,4) выбираем таким образом,
чтобы для линейных слагаемых выполнялись соотношения
йгі
ёт
0^
ёт
ёгз ёг4
= -/Юігз^ —4 = -/Ю2 г4.
ат ат
Обратная замена переменных может быть представлена в виде:
уі = тіігі + ті2 г2 + тіз гз + ті4 г4,
у2 = т2ігі + т22 г2 + т2з гз + т24 ^
уз = тзігі + тз2 г2 + тзз гз + тз4 г4, у4 = т4ігі + т42 г2 + т4з гз + т44 г4.
(і0)
Здесь т {/, і =і,4)
- известные комплексные величи-
ны.
В результате замены переменных (і0) система (8) принимает вид:
гі = гЮіг 1 + 2і2 (гі,‘
г2 - г2 + 222 (гі
гз = -/®і гз + 2і2 (г1
г4 = —/Ю і г4 + 2і2 (г
гі, г0, гз, г4 ) +
гі, г2, гз, г4
гі, г2, гз, г4
)+ (гі
4 ) + 2 2з (гі,
) + 2із(-)+2із(-
гі,г2,гз,г4 )+.
гі, г2, гз, г4 /
(іі)
гі, г2, гз , г4)
где
2і2 (гі
)= сзУі2 + с4У2:
і2\гі, г2, гз , г4 ) = сзУі2 + с4у22
із ^гі, г2 , гз , г4 ) = сзУіз + с4У2з
22\гі, г2 , гз , г4) = азУ і2 + а4У 22
)= азУі2 + а4У%
23 V21, 22, 23, 24 ) _ а3У13 + а4У23
функции Уц получаются из уу путем подстановки (10).
С помощью полиномиального преобразования переменных (21, 22, 23, 24 )^(м'1, ^2, W3, W4 ), систему (11) можно привести к нормальной форме:
I w1 = /ю1w1 + ^1^12 w1 + А12 w1w2 w2 +...,
= /Ю 2 w2 + А21^2 W1 + А22 W2 W2 + ... (12)
Коэффициенты Ли, Д2 равны соответствующим коэффициентам при 2^23, 212224 в разложении
= /оъг
= /оьг
і*і
і*2
ІББМ 1607-6885 Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №1, 2013
111
функции 213 (21,22,23,24 ), коэффициенты А21, А22 -коэффициентам при 212223, 22 24 в разложении функции 2 23 (2Ъ 22 , 23, 24 ) .
Согласно теоремы Каменкова [6, 7], положение равновесия w1 = w2 = w1 = w2 = 0 системы (12) асимптотически устойчиво при одновременном выполнении трех условий:
1) Яе Ли < 0, 2) Яе А22 < 0, 3) если Яе А12 > 0 и
Яе А21 > 0 , то Д = Яе А11 Яе А22 - Яе А12 Яе А21 > 0 .
В случае строгого нарушения знака хотя бы в одном из приведенных условий, положение равновесия будет неустойчивым.
Аналитический анализ позволяет утверждать, что в случае отрицательной определенности матрицы К , всегда имеет место нарушение условий Каменкова, т. е. нулевое положение равновесия нелинейной системы (1) всегда неустойчиво, в то время как линейной системы первого приближения устойчиво при выполнении условий (5), (7).
В случае положительной определенности матрицы К , всегда можно найти нетривиальные значения параметров задачи у/, ,1/ (/ = 1, 2), при которых условия
Каменкова будут выполнены, т. е. имеет место асимп-
тотическая устойчивость тривиального решения системы (1), при этом в случае у/ = 11 = 0 (/ = 1,2) ну-
левое положение равновесия системы (1) неустойчиво, или иными словами стабилизация движения постоянными моментами невозможна.
Полученные аналитические результаты подтверждаются численными, что свидетельствует об их достоверности.
Список литературы
1. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости / В. В. Болотин // М. : Физматгиз, 1961. - 339 с.
2. Филин А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела Т. 3 / А. П. Филин // М. : Наука, 1981. - 400 с.
3. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле / В. В. Белицкий // М. : Изд-во Московского университета, 1975. - 308 с.
4. Маркеев А. П. Теоретическая механика / А. П. Марке-ев // М.: ЧеРо, 1999. - 572 с.
5. Четаев Н. Г. Устойчивость движения / Н. Г. Четаев // М. : Наука, 1965. - 208 с.
6. Каменков Г В. Избранные труды Т. 1 / Г. В. Каменков // Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика. -М. : Наука, 1971. - 256 с.
7. Хазин Л.Г. Устойчивость критических положений равновесия / Л. Г. Хазин, Э. Э. Шноль // Пущино, 1985. -216 с.
Одержано 29.05.2013
Куземко А.В., Костюшко І. А. Стабілізація стаціонарного руху динамічно симетричного космічного апарату за допомогою зовнішніх моментів
Для динамічно симетричного космічного апарату вирішена задача стабілізації відносного положення рівноваги за допомогою зовнішніх моментів, які формуються з постійних і нелінійних складових. У лінійній постановці отримано умови стабілізації постійними моментами. У нелінійній постановці показана неможливість стабілізації постійними моментами, отримано умови стабілізації зовнішніми моментами з додаванням нелінійних складових.
Ключові слова: стійкість, космічний апарат, функція Ляпунова, перше наближення, зовнішні моменти.
Kuzemko A., Kuzemko I. Stabilization of the steady motion of a dynamically symmetric spacecraft with the help of external moments
For a dynamically symmetric spacecraft the problem of stabilization of the relative equilibrium with the external side, the emerging of the permanent and non-linear components is solved. In the linear formulation conditions for the stabilization constant moments were obtained. In the nonlinear setting the impossibility of stabilizing the constant moments, we obtain conditions for the stabilization of the external moments with the addition of non-linear components.
Key words: stability, spacecraft, Lyapunov function, the first approximation, the external moments.
